勾股定理全章復習與鞏固

0目標導航

課程標準

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；

3.能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題.

繼知識精講

知識點01勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.（即：a2+b2=c2）

2.勾股定理的應用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用是:

（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊;

（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；

（3）求作長度為6的線段.

知識點02勾股定理的逆定理

1.原命題與逆命題

如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把

其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長bC,滿足/+62=02,那么這個三角形是直角三角形.

應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：

（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為C；

（2）驗證0?與/+〃是否具有相等關系，若/+〃=，，則4ABC是以NC為直角的直角三角形，反

之，則不是直角三角形.

3.勾股數(shù)

滿足不定方程/+/=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以X、VZ

為三邊長的三角形一定是直角三角形.

常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（a、bc）是勾股數(shù)，當t為正整數(shù)時，以m、btc/為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角

形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長的直角邊與對應斜邊相差L

3.假設三個數(shù)分別為a、bc,S.a<b<c,那么存在/=b+c成立.（例如④中存在7?=24+

25、92=40+41

知識點03勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.

口能力拓展

考法01勾股定理及逆定理的應用

【典例1】如圖所示，直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZB=90°,AD=375,AB=10A/5,BC=8A/5,E是

AB上一點，且AE=4j^,求點E到CD的距離EF.

【分析】連接DE、CE將EF轉化為4DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出4CDE的面積，

所以利用面積法只需求出CD的長度，即可求出EF的長度，過點D作DHLBC于H,在RtZXDCH中利用勾股

定理即可求出DC.

【答案與解析】

解：過點D作DH_LBC于H,連接DE、CE,則AD=BH,AB=DH,

/.CH=BC-BH=8A/5-375=575DH=AB=10A/5,

在RtZiCDH中，CD?=DH-+CH2=(10V5)2+(575)2=625,

CD=25,

SXCOE=S梯形/BCD-SADE-SBC￡

=g(AD+BC)?AB—gAD?AE—；BC?BE

=1X(3V5+8V5)X10V5-1X3A/5X4V5-1X8A/5X6V5=125

又：S&CDE=LDC.EF，

/\t.!Jr.2

，-x25?￡,F=125,EF=10.

2

【點睛】（1）多邊形的面積可通過輔助線轉化為多個三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一

種常用的簡易方法.（2）利用勾股定理求邊長、面積時要注意邊長、面積之間的轉換.

【即學即練】如圖所示，在AABC中，D是BC邊上的點，已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求DC的

長.

【答案】

解：在ZiABD中,由12?+5?="2可知：

AD"+BD1=AB2,又由勾股定理的逆定理知NADB=90°.

在RtAADC中，DC=^AC2-AD2=A/152-122=9.

考法02勾股定理與其他知識結合應用

【典例2】如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC=400米，BD=200

米，CD=800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家.試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是

多少？

□

cD

C

'B

A,

【分析】作點A關于直線CD的對稱點G,連接GB,交CD于點E,利用“兩點之間線段最短”可知應在E

處飲水，再根據(jù)對稱性知GB的長為所走的最短路程，然后構造直角三角形，利用勾股定理可解決.

【答案與解析】

解：作點A關于直線CD的對稱點G,連接GB交CD于點E,由“兩點之間線段最短”可以知道在E點處飲

水，所走路程最短.說明如下：

在直線CD上任意取一異于點E的點I,連接AI、AE、BE、BI、GKGE.

,/點G、A關于直線CD對稱，AI=GLAE=GE.

由“兩點之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GI+BI>GB=AE+BE,于是得證.

最短路程為GB的長，自點B作CD的垂線，自點G作BD的垂線交于點H,在直角三角形GHB中，

GH=CD=800,BH=BD+DH=BD+GC=BD+AC=200+400=600,

22

...由勾股定理得G5?=GX2+5〃2=800+600=1000000.

GB=1000,即最短路程為1000米.

【點睛】這是一道有關極值的典型題目.解決這類題目，一方面要考慮“兩點之間線段最短”；另一方

面，證明最值，常常另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進行比較來證明，如本題中的

I點.本題體現(xiàn)了勾股定理在實際生活中的應用.

【即學即練】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E,AE=3,EB=1,在AC上有一點P,使EP+BP

最短.求EP+BP的最小值.

【答案】

解：根據(jù)正方形的對稱性可知：BP=DP,連接DE,交AC于P,ED=EP+DP=EP+BP,

即最短距離EP+BP也就是ED.

AE=3,EB=1,AB=AE+EB=4,

/.AD=4,根據(jù)勾股定理得：ED2=AE-+AD2=32+42=25.

ED>0,ED=5,最短距離EP+BP=5.

【典例3】如圖所示，等腰直角AABC中，ZACB-900,E、F為AB上兩點（E左F右），且NECF=45°,

求證：線段AE,BF,EF之間的數(shù)量關系.

【分析】：由于/ACB=90°,ZECF=45°,所以NACE+NBCF=45°,若將NACE和NBCF合在一起則

為一特殊角45°,于是想到將4ACE旋轉到4BCF的右外側合并，或將4BCF繞C點旋轉到4ACE的左外側

合并，旋轉后的BF邊與AE邊組成一個直角，聯(lián)想勾股定理即可證明.

【答案與解析】

解：⑴4E?+BF?=EF?,理由如下:

將4BCF繞點C旋轉得△ACT,使4BCF的BC與AC邊重合,

即△AC『^ABCF,

在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,

NCAF'=ZB=45°,；.ZEAF/=90°.

??ZECF=45°,ZACE+ZBCF=45°.

/ACF'=NBCF,NECF'=45

在AECF和△ECF'中:

CE=CE

<NECF'=ZECF=45°

CF=CF'

△ECF^AECF7(SAS),EF=EF'.

在Rt^AEF'中，AE2+F'A2=F'E2,

：.AE2+BF2=EF2.

【點睛】若一個角的內(nèi)部含有同頂點的半角，(如平角內(nèi)含直角，90°角內(nèi)含45°角，120°角內(nèi)含60°

角)，則常常利用旋轉法將剩下的部分拼接在一起組成又一個半角，然后利用角平分線、全等三角形等知

識解決問題.

【典例4】在AABC中，BC=a,AC=b,AB=c,設c為最長邊.當a2+b2=c2時，ZkABC是直角三角形；當

a2+b2/c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關系，可以判斷AABC的形狀(按角分類).

(1)請你通過畫圖探究并判斷：當AABC三邊長分別為6,8,9時，AABC為三角形；當△ABC三

邊長分別為6,8,11時，ZXABC為三角形.

(2)小明同學根據(jù)上述探究，有下面的猜想：“當a2+b2>c2時，AABC為銳角三角形；當a2+b2<c2時，

△ABC為鈍角三角形.”請你根據(jù)小明的猜想完成下面的問題：

當a=2,b=4時，最長邊c在什么范圍內(nèi)取值時，AABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形?

【分析】

(1)利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可；

(2)根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分

情況討論即可得解.

【答案與解析】

解:(1),兩直角邊分別為6、8時，斜邊=J^藐展10,

.二△ABC三邊分別為6、8、9時，AABC為銳角三角形；

當4ABC三邊分別為6、8、11時，AABC為鈍角三角形；

故答案為：銳角；鈍角；

(2)：c為最長邊，2+4=6,

；.4Wc<6,

a2+b2=22+42=20,

①a2+b2>c2,即C2<20,0<cV2泥，

...當4Wc<2旄時，這個三角形是銳角三角形；

②a?+b2=c2,即/=20,c=2旄，

.?.當c=2\而時，這個三角形是直角三角形；

③a2+b2〈c2,即C2>20,c>2j^,

.?.當2旄<c<6時，這個三角形是鈍角三角形.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解理解三角形為銳角三角形、直角三

角形、鈍角三角形時的三條邊的數(shù)量關系是解題的關鍵.

考法03本章中的數(shù)學思想方法

1.轉化的思想方法：我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問

題轉化為直角三角形問題來解決.

【典例5］如圖所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上

的點，且DELDF,若BE=12,CF=5.求線段EF的長.

【答案與解析】

解：連接AD.因為NBAC=90°,AB=AC.

又因為AD為4ABC的中線，

所以AD=DC=DB.ADXBC.

且/BAD=/C=45°.

因為NEDA+/ADF=90°.

又因為/CDF+/ADF=90°.

所以/EDA=NCDF.

所以4AED且ACFD(ASA).

所以AE=FC=5.

同理：AF=BE=12.

在Rt^AEF中，由勾股定理得：

三1=AErtJS"=?.2'='3",所以EF=13.

【總結升華】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識.通過此題，我們可以知道：當已知的

線段和所求的線段不在同一三角形中時，應通過適當?shù)霓D化把它們放在同一直角三角形中求解.

【即學即練】已知凸四邊形ABCD中，NABC=30°,NADC=60°,AD=DC,

222

求證:BD=AB+BC

B

【答案】

解：將4ABD繞點D順時針旋轉60°.

由于DC=AD,故點A轉至點C.點B轉至點E,連結BE.

BD=DE,ZBDE=60°

4BDE為等邊三角形，BE=BD

易證4DAB絲/kDCE,ZA=Z2,CE=AB

:四邊形ADCB中/ADC=60°,ZABC=30°

ZA+Z1=36O°-60°-30°=270°

Z1+Z2=Z1+ZA=27O°

Z3=360°—(Zl+Z2)=90°

2.方程的思想方法

【典例6】如圖所示，已知AABC中，ZC=90°,NA=60°,a+b=3+s5,求口，“。的值.

B

【答案與解析】

解：在Rt^ABC中，ZA=60°,ZB=90°-ZA=30°,

則r-B由勾股定理，得I,-g-yjib

因為-r+---3+,所以-3+,

,亞后D_A

W+I—-3,「324.

【點睛】在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

【即學即練】直角三角形周長為12c機，斜邊長為5c機，求直角三角形的面積.

【答案】

解：設此直角三角形兩直角邊長分別是x,y,根據(jù)題意得：

lx+.y+5=12(1)

|x+y=j

由(1)得：x+y=l,

/.(x+y)2=49,即％?+2盯+y2=49(3)

(3)—(2),得：孫=12

11

二直角三角形的面積是一町=-X12=6(cm0)

22

【即學即練】如圖所示，在AABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點P從點A開始沿邊向B點

以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒

時，4BPQ的面積為多少？

【答案】

解：設AB為3xcm,BC為4xcm,AC為5xcm,

?周長為36cm,

AB+BC+AC=36cm,

3x+4x+5x=36,

得x=3,

.".AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm,

,.,AB2+BC2=AC2,

/.△ABC是直角三角形，

過3秒時，BP=9-3X1=6(cm),BQ=2X3=6(cm),

2

?■-SAPBQ=-BP*BQ=1X(9-3)X6=18(cm).

22

故過3秒時，△BPQ的面積為18cm2.

羔分層提分

題組A基礎過關練

1.下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（).

A.1.5,2,2B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判

定則可.

【詳解】

解：A,1.52+2^22,不能構成直角三角形，故符合題意；

B、72+242=252,能構成直角三角形，故不符合題意；

C、62+82=102,能構成直角三角形，故不符合題意；

D、92+122=152,能構成直角三角形，故不符合題意.

故選：A.

【點睛】

本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大

邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷.

2.在aABC中，NA,NB,4c的對邊分別記為a,b,c,下列結論中不正確的是（）

A.如果NA—NB=NC,那么aABC是直角三角形

B.如果a2=b2—c2,那么AABC是直角三角形，且N如90°

C.如果NA:NB：ZC=1：3：2,那么AABC是直角三角形

D.如果a2：b2：c2=9：16:25,那么4ABC是直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形定義即可.

【詳解】

解：A、vzA-ZB=ZC,

■?.Z.A=Z.B+z.C,

?.?ZA+ZB+ZC=180°,

.-.ZA=90",

.?.△ABC是直角三角形，此選項正確；

B、如果a2=b2-c2,

■,■a2+c2=b2,

.?.△ABC是直角三角形且NB=90。，此選項不正確；

C、如果NA：CB：ZC=1：3：2,

設NA=x,則NB=3x,Z_C=2x,則x+3x+2x=180°,

解得:x=30°,則3x=90。,

.?.△ABC是直角三角形，此選項正確；

D、如果a?：b2：c2=9：16：25,則a2+b?=c2,

??.△ABC是直角三角形，此選項正確；

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三

角形就是直角三角形.

3.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，若BD是

△NBC的邊NC上的高，則8。的長為（)

—416B,融c.2D.三屈

A.13

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用割補法可得AABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

解：由勾股定理得：AC=M”=屈,

111Z

VSAABC—3x3-2xlx2-2xlx3-2x2x3=2,

1Z

2AC*BD=2,

.?.g?BD=7,

??.BD=V后

故選：D.

【點睛】

本題考查了勾股定理與三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關鍵.

如圖，在四邊形中，貝

4.ND=ZACB=90。,CD=12,AD=16t8c=15,ijZ5=().

A.20B.25C.35D.30

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理求得/c的長度，再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

解：ZD=ZACB=90°

由勾股定理可得：AC=^AD2+CD2=20

AB=ylAC2+BC2=25

故選B

【點睛】

此題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

5.已知R/A48c中，ZC=90°,若a+6=14cm,c=10cm,則RS48c的面積是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)NC=90。確定直角邊為。、"對式子。+6=14兩邊平方，再根據(jù)勾股定理得到仍的值，即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)NC=90。確定直角邊為服b,.a2+62=c2=100

a+b=14

22

,（Q+?=142,gpa+2ab+b=196

...2ab=96

12

S^ABC=~ab=2^Cm

故選A

【點睛】

此題考查了勾股定理的應用，涉及了完全平方公式，解題的關鍵是根據(jù)所給式子確定/的值.

6.如圖，已知A/BC中，=45°,F是高/。和BE的交點，?=亞,BD=2,則線段。尸的長度

為（）

A.2&B.2C.拒D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

先證明4BDF三△ADC,得至UBF=AC=^,再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

解：?:AD和BE是aABC的高線，

.-?ZADB=ZADC=ZBEC=90",

??.ZDBF+ZC=90°,ZCAD+ZC=90°,

.,.Z.DBF=Z.CAD,

..Z5C=45。，

.-.ZBAD=45°,

???BD=AD,

.-.△BDF=AADC,

...BF=AC=B

?,^BF2-BD2=J(V5)2-22=1

在RtaBDF中，DF=V、>

故選：D

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明4BDF三4ADC是解題關鍵.

7.如圖，圓柱的底面周長是24,高是5,一只在/點的螞蟻想吃到3點的食物，沿著側面需要爬行的最

短路徑是(

B

A.9B.13C.14D.25

【答案】B

【解析】

【分析】

畫出該圓柱的側面展開圖，根據(jù)兩點之間線段最短，可知沿著側面需要爬行的最短路徑即為AB,然后根據(jù)

勾股定理求出AB即可求出結論.

【詳解】

解：該圓柱的側面展開圖，如下圖所示，

B

/

根據(jù)兩點之間線段最短，可知沿著側面需要爬行的最短路徑即為AB

AB恰為一個矩形的對角線，該矩形的長為圓柱的底面周長的一半，即長為24+2=12

寬為5

22

AAB=A/5+12=13

即沿著側面需要爬行的最短路徑長為13.

故選:B.

【點睛】

此題考查的是勾股定理與最短路徑問題，掌握勾股定理和兩點之間線段最短是解題關鍵.

8.如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為"勻稱三角形若RM4BC是

"勻稱三角形"，且NC=90°,AOBC,貝pC:3c為（）

A.6:1:2B.2:73：V72:1:石

cD.無法確定

【答案】B

【解析】

【分析】

作Rt^ABC的三條中線AD、BE、CF,由"勻稱三角形”的定義可判斷滿足條件的中線是BE,它是AC邊上的

中線，設AC=2a,則CE=a,BE=2a,在RtZkBCE中NBCE=90。，根據(jù)勾股定理可求出BC、AB,貝I]AC：BC：

AB的值可求出.

【詳解】

解：如圖①，作RtaABC的三條中線AD、BE、CF,

???ZACB=90°,

CF=-AB^tAB

2,

又在RtZs/8C中，AD>AC>BC,

AD豐BC,

,滿足條件的中線是BE,它是AC邊上的中線,

設AC=2a,則C￡=/E==2a,

在RtABCE中NBCE=90°,

,BC=yjBE2-CE2=屆，

AB=4BC2+AC2=J(2a『+(怎『=可,

在RtAABC中,

2a:6a:41a=2:^3:V7.

?'.AC：BC：AB=

故選：B.

【點睛】

考查了新定義、勾股定理的應用，算術平方根的含義，解題的關鍵是理解"勻稱三角形"的定義，靈活運用

所學知識解決問題.

9.如圖，將矩形N8CD沿對角線5D折疊，使點C落在尸處，BF交AD于點、E.若乙BDC=62°,貝|

ND斯的度數(shù)為（

A.31°B.28°C.62°D.56°

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用互余計算出43?！?28。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得NC8D=NBDE=28。，接著根據(jù)折疊的性質(zhì)得4廠5。

=<BD=28。,然后利用三角形外角性質(zhì)計算乙DE尸的度數(shù)，于是得到結論.

【詳解】

解：,??四邊形/BCD為矩形，

.■.ADWBC,^ADC=90°,

.?.NBDE=9Q』NBDC900-62°28°,

-ADWBC,

:,乙CBD=LBDE=28°,

?.?矩形ABCD沿對角線BD折疊，

:,乙FBD=CCBD=28°,

：.3EF=乙FBD+乙BDE=28°+28°=56°.

故選：D.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線和折疊的性質(zhì)，綜合運用以上性質(zhì)是解題的關鍵.

10.如圖，在RMABC中，AB=AC,NBAC=90。，點D,E為BC上兩點./DAE=45。，F(xiàn)為^ABC外一

點，且用,BC,FA1AE,則下列結論：

S=—AD-EF

222

①CE=BF；②BD2+CE2=DE2；③「DE4；@CE+BE=2AE,其中正確的是（）

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③

【答案】A

【解析】

【分析】

①利用全等三角形的判定得AAFB三AAEC,再利用全等三角形的性質(zhì)得結論；②利用全等三角形的判定

和全等三角形的性質(zhì)得FD=DE,再利用勾股定理得結論；③利用等腰三角形的性質(zhì)得

AD1EF,EF=2EG,再利用三角形的面積計算結論；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計算得

結論.

【詳解】

解：如圖:

對于①，因為/BAC=90。，F(xiàn)A1AE/DAE=45。,

所以NCAE=90°-/DAE-/BAD=45°-/BAD,

/FAB=90°-/DAE-/BAD=45。-/BAD,

因此/CAE=/FAB.

又因為/BAC=90。，AB=AC,

所以/ABC=/ACB=45°.

又因為FBLBC,所以/FBA=/ACB=45。.

因此AAFB三△AEC(ASA),所以CE=BF.

故①正確.

對于②，由①知AAFBmAAEC，所以AF=AE.

又因為/DAE=45。，F(xiàn)A1AE,

所以/FAD=/DAE=45。，連接FD,

AAEDSAS

HlthV^D^（）,

所以FD=DE.

在Rt^FBD中，因為CE=BF,

所以BD2+CE2=BD2+BF2=FD2=DE2

故②正確.

對于③，設EF與AD交于G.

因為/FAD=/DAE=45。，AF=AE,

所以AD_LEF,EF=2EG.

,,,=〈xADxEG=；xADxEF

因此24

故③正確.

對于④，因為CE=BF,

又在RtAFBE中，CE2+BE2=BF2+BE2=FE2

又?.?△AEF是以EF為斜邊的等腰直角三角形，

所以EFJ2M

因此，CE2+BE2=2AE2

故④正確.

故選A.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積.

題組B能力提升練

11.如圖，一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦48生長在它的中央，高出水面的部分

為1尺.如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳?恰好碰到岸邊的夕，則這根

蘆葦?shù)拈L度是尺.

【答案】13

【解析】

【分析】

設出AB=AB，=x尺，表示出水深AC,根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L.

【詳解】

解：設蘆葦長AB=AB，=x尺，則水深AC=(x-l)尺,

因為底面是邊長為10尺的正方形，所以B，C=5尺

在RtZkAB'C中，52+(x-l)2=x2,

解之得x=13,

即蘆葦長13尺.

故答案為：13.

【點睛】

此題主要考查了勾股定理的應用，熟悉數(shù)形結合的解題思想是解題關鍵.

12.如圖，等腰根8c中，AB=AC,BC-10,3。_1_么(7于￡),且8Z>=8.貝ijS^BC=

A

D

BC

100

【答案】丁

【解析】

【分析】

在RQBCD中，由勾股定理求出CD,再設AD=X,則AB=AC=AD+CD=6+x,最后在RtZkABD中由勾股定理求

出x即可求解.

【詳解】

解：在RtZkBCD中，由勾股定理可知8=JBCJBEP=\W_82=6,

設AD=x,貝UAB=AC=AD+CD=x+6,

在RtZXABD中，由勾股定理可知AB2=AD2+BD2,代入數(shù)據(jù)：

7

(x+6)2=x2+82,解得x=3,

/C=x+6="

3,

a_1125o100

SMBD=—x8=——

Z2J3,

100

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了勾股定理解直角三角形，本題的關鍵是設AD=x,進而將AB用X的代數(shù)式表示，在RtaABD中

使用勾股定理求出x求解.

13.如圖，在四邊形N8CD中，陋=26，AB=241,BC=\Q,CD=8,/BAD=90。,那么四邊形

ABCD的面積是

【答案】2舊+24

【解析】

【分析】

連結BD,可求出BD=6,再根據(jù)勾股定理逆定理，得出aBDC是直角三角形，兩個三角形面積相加即可.

【詳解】

解：連結BD,

...ABAD=90°,

...BD=ylAD2+AB2,

...AD=242,AB=2A/7,

??.BD=6,

VBD2=36,CD2=64,BC2=1OO,

BD2+CD2=BC2,

.-.ZBDC=90°,

-X2V2X2V7=2V14

SAABD=2,

-x6x8=24

SABDC=2

四邊形/BCD的面積是=SAABD+SABDC=2&4+24

2

故答案為：V14+24.

【點睛】

本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中

考?？碱}型.

14.如圖所示，在數(shù)軸上點/所表示的數(shù)為a,則。的值為

，、

，?%、

A-101

【答案】一6T

【解析】

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可得出選項.

【詳解】

解：如圖:

22

由圖可知：BC=AC=Vl+2=V5；

???數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a,

...a=Y-l,

故答案為：一行T

【點睛】

本題考查了數(shù)軸和實數(shù)，勾股定理的應用，能讀懂圖象是解此題的關鍵.

15.如圖一只螞蟻從長為5cm,寬為3cm,高為4cm的長方體紙箱的/點沿紙箱爬到8點，那么它爬行的

最短距離是cm.

【答案】"

【解析】

【分析】

把此長方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最

短距離.在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用

勾股定理可求得.

【詳解】

解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線.

（1）展開前面右面由勾股定理得/）=（5+3）一+42=80；

（2）展開前面上面由勾股定理得"爐=（4+3『+52=74；

（3）展開左面上面由勾股定理得=（5+4）一+3,=90；

所以最短路徑的長為AB=F

故答案為：^4.

【點睛】

本題考查了平面展開一最短路徑問題及勾股定理的拓展應用."化曲面為平面"是解決"怎樣爬行最近”這類

問題的關鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

16.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為26+1和26-1,求斜邊c的長.

【答案】斜邊c的長為而

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理的定義"直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”解答即可.

【詳解】

根據(jù)勾股定理可知：斜邊c的長=J（2>/3+l）2+（2V3-l）2=V26.

故斜邊c的長為圓.

【點睛】

本題考查勾股定理及二次根式的混合運算.掌握勾股定理的定義是解答本題的關鍵.

17.在四邊形/BCD中，44=N8=90。，E為N8邊上的點.

(1)連接CE,DE,CEYDE.

①如圖1,若AE=BC,求證：AD=BE.

②如圖2,若AE=BE,求證：CE平分NBCD；

BF=DF=

（2）如圖3,尸是N8CD的平分線以上的點，連接8尸，DF,若8C=4,CD=6,2,

求C~的長.

FC=-46

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）①根據(jù)條件得出△的CE3,即可求證；

②延長交的延長線于點G,得出△口窗EG8再證明△鼠左即可；

（2）解法1：過點尸分別作尸F(xiàn)N1CB,得到△網(wǎng)叔FCN,由BN-BF?-FN\

DM2=DF2-FM2,得到Z）M=8N,設DM=BN=x,求得CN=5,在Rt△F5N和Rt△■?只中，由勾

股定理即可求得C尸的長.

FF'=FD=^-

解法2：在。上截取CP=5C,得出2,過尸作WC￡>,根據(jù)

FC2-CG2=FG2=F'F=F'G2,即可求得3的長.

【詳解】

⑴①證明：???N/=4=4>￡C=90°,

ZADE+ZAED=90°,ZDEA+ZBEC=180°-90°=90°,

ZADE=ZBEC,

在/\DEA和小ECB中

NADE=NBEC,NA=/B,AE=BC,

CEB,

AD=BE.

②證明：延長DE交CB的延長線于點G,

ZAED=NBEG,

???NN=ZEBG=90°,AE=BE,

EGB,

EG=ED>

???/DEC=90。

，/GEC=180°-/DEC=90°

ZGEC=/DEC,

?;CE=CE,

DCE,

NGCE=ZDCE,

CE平分/BCD.

(2)解法L如圖，過點尸分別作FM,CD,FN1CB,分別交8及四的延長線于點〃，N.

???CE平分/BCD,

/BCF=ZFCD,

又?：FM1CD,FN上CB,

ZCNF=ZFMC=90°,

在△尸CN和△FCN中

???ABCF=ZFCD,ZCNF=ZFMC,CF=CF,

AfiWFCN,

FM=FN,CM=CN,

在Rt/\FDM和Rt/\FBN中

?:MF=FN,FB=DF,BN2=BF1-FN2,DM2=DF2-FM2

DM=BN

設DM=BN=x,

???CD=6,CB=4,

:.CN=4+xfCM=6—x,

?：CN=CM,

??4+%=6-x,

x=l,

:.CN=CB+BN=4+\=5,

在Rt△用N和RtAFCTV中

■：FN1=FB2-BN2,FC2=FN2+CN2,2,

FC=y/FN2+CN2=^+(4+1)2=|A/6

解法2：如圖，在8上截取C〃'=5C,

?.?8C=4,CD=6,

:.DF'=CD-CF'=6-4=2t

在△尸CB和△尸C尸'中

???ZBCF=ZFCD,CF=CF,CB=CF'

△四龍FCF',

FF'=FB,

■：FB=FD,

FF'=FD=—

2,

過尸作尸GLCD,垂足為G,

：.GF'=GD=LDF'=1

2,

:.CG=GF'+CF'=l+4=5,

在Rt△尸CG和Rt△FF'G中

FC2-CG2=FG2=F'F2-F'G2

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，以及勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線以及利用方程解決問題.

18.臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞

力，如圖，有一臺風中心沿東西方向42由A行駛向3,已知點C為一海港，且點C與直線42上的兩點A

,3的距離分別為/C=300h？，BC=400km,又AB=500km,以臺風中心為圓心周圍250hw以內(nèi)為受影

響區(qū)域.

（1）求4c3的度數(shù).

（2）海港C受臺風影響嗎？為什么？

（3）若臺風的速度為20千米/小時，當臺風運動到點E處時，海港C剛好受到影響，當臺風運動到點尸

時，海港0剛好不受影響，即CE=W=250折，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？

【答案】（1）90°；（2）海港C受臺風影響，證明見解析；（3）臺風影響該海港持續(xù)的時間為7小時.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷；

（2）利用勾股定理的逆定理得出aABC是直角三角形，進而利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港

C是否受臺風影響；

（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間.

【詳解】

（1）AC=300km,BC=400km,AB=500km,

：.AC2+BC2=AB2

...AA8C是直角三角形，

.-?ZACB=90o；

（2）海港0受臺風影響,

過點C作，

,-,A48C是直角三角形，

:.ACxBC=CDxAB,

.-.300x400=500xCr）,

:.CD=240（碗）,

???以臺風中心為圓心周圍250碗以內(nèi)為受影響區(qū)域，

二海港C受臺風影響.

（3）當EC=250而，尸C=250碗時，正好影響C港口,

ED=yjEC2-CD2=