保便★肩用前

湛江市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研考試

高二數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在

答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

11.已知兩條直線1}：3工一2、+1=0和l2：a^+2y+l=0相互垂直，則a=

44

A.2B.3C.一年D.-f

2.已知空間向量。=(儲(chǔ)1,2),6=(2"+1'),若a〃b,則實(shí)數(shù)久=

A.0B.2C.—1D.—2

3.若雙曲線C：y-^-=l的左、右焦點(diǎn)分別為B，尸z,點(diǎn)P在雙曲線C上，且

A.2B.10C.12D.6

4.已知數(shù)列4為}與《心)均為等差數(shù)列，且如+74=7,。8+仇=11?則念+仇=

k

A.9B.18C.16D.27

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)汽(2,0)的距-離比到'軸的距離大2,則點(diǎn)

M的軌跡方程為

A.y2=8xB.y=0

C.、=0(HV0)或1y2=舐D.〃=0或r/=8x

高二數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共6頁(yè))

6.已知圓E：Z2+y2—2x—2,—3=0,過(guò)點(diǎn)A（2,3）且與圓E相切的直線2與兩坐標(biāo)軸

分別交于點(diǎn)M,N,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OMN的面積為

A.9B.20C.16D.8

22

7.已知P為橢圓。（十方=1（。>6>0）上的點(diǎn)，6,巳分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，

橢圓C的離心率為:，NBPB的平分線交線段于點(diǎn)Q，則卷*=

A.2B.與C：V2D.日

8.已知數(shù)列列”）為等差數(shù)列，數(shù)列｛仇）為等比數(shù)列，且仇一。】=仇一。2=仇一。4=1，則

A.64。4=1

B.。5-恁=1

C.bd=26?（nGN*）

D..—。8=1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知產(chǎn)是雙曲線C：。*—?2=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有

O

A.雙曲線C的離心率為多

B.F到雙曲線C的一條漸近線的距離為1

&2

C.雙曲線。一/=1與雙曲線C有相同的漸近線

O

D.過(guò)點(diǎn)P（4,9）的直線與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有兩條

10.已知PM。,？。）是圓O：f+，=2外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓。的切線，切點(diǎn)分別為A,B,

則下列選項(xiàng)正確的有

A.直線N°N+W3=2與圓。相切

B.直線xvjr+yoy^2與圓。相交

C.|PA|=什就一2

D.若/（）=2,=2J2，則|AB|—

0

高二數(shù)學(xué)第2頁(yè)（共6頁(yè)）

ir.若數(shù)列｛4｝滿足從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即=4+1+a”成

立，我們稱之為斐波那契一盧卡斯數(shù)列.已知數(shù)列是斐波那契-盧卡斯數(shù)列，

且田=1,怒=2,5"為數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的有

A.數(shù)列｛斯｝存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列

B.數(shù)列a｝存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列

C.S99=<^ioi-2

D?S]00=Q]02-4

12.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCDAJBIGR中，M是棱BC的中點(diǎn)，%P是線段

AjM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在正方形DCC12內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下冽四個(gè)結(jié)論中正確

的有

A.存在點(diǎn)Q,使得QC_LA】M

B.存在點(diǎn)P,使得NBPD=90°

C.△PDA面積的最小值是"反

0

D.若NAQD=NMQC,則三棱錐Q-ABD體積的最大值是

1273〃一

三、填空題：本題共4小題，每小題—5分，共20分.

13.已知直線2：%+2）—3=0的傾斜角為a,貝ijcosa=.1

14.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C：y2=4x焦點(diǎn)的直線/與拋物線C交于A兩點(diǎn),

則△OA8面積的最小值為

15.如圖，在平行六面體ABCDA1BCR中，四邊形

ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且N4AB=NA|AD=

NJBAD=60°.若直線AA｝與平面BDC,所成的角

的正弦值為《，則AA]=

O

16.已知分別是雙曲線C：專一*=l（a>0">0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線

a.0

/與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，直線/與V軸交于點(diǎn)M.若用J_瓦花，3而T=

2跖有，則雙曲線C的離心率為.

高二數(shù)學(xué)第3頁(yè)（共6頁(yè)）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

-1-1-1Z'

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛狐｝的首項(xiàng)即=7,不+丁=屋?

(1)求數(shù)列S”｝的通項(xiàng)公式；

4

(2)已知數(shù)列｛閥a“)的前幾項(xiàng)和S,，證明：S,＜々.

O

18.(本小題滿分12分)

過(guò)點(diǎn)尸(0,—1)的直線，與圓E:人十/+強(qiáng)一6)+4=0交于A,B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)|AB|取最大值時(shí),求直線I的方程；

(2)用坐標(biāo)法證明M?屆為定值.

高二數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共6頁(yè))

19、（本小題滿分12分）

下圖是一座拋物線拱形拉索大橋，然形最高點(diǎn)與橋血’的距寓為30m,拋物線拱形橋

的縱截面曲線為拋物線G拋物線C與橋面的交點(diǎn)為八,3兩點(diǎn),川八陰120m,

（1）求拋物線C的焦點(diǎn)到共準(zhǔn)線的來(lái)離,

（2）巳知P.Q兩點(diǎn)為拋物線拱形橋的縱低而拋物線C與水物的交點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)八

在拋物線C對(duì)稱軸的同側(cè),從點(diǎn)13俯瞰點(diǎn)P,俯珀的正切仞為:，求橋面與水面

的距離.

20.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛。力的前n項(xiàng)和為S”,°2=3,。“+冊(cè)+」=4幾

Q）求S“；

（2）記T”為數(shù)列仍“｝的前?！?xiàng)和，若仇=18,且數(shù)列｛4F了"是以3為公差的等

?差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

高二數(shù)學(xué)第5頁(yè)（共6頁(yè)）

21.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，△號(hào)是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面AB。0為平

行四邊形，且四，PBjjLD,/ABC=45°.

(1)證明：平面PADJ_平面ABCD.

(2)棱PD上是否存在點(diǎn)E,使得平面BCE與平面PDC的夾角為30°?若存荏，求

DF

前的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

―1/、、、/

B

22.(本小題滿分12分)

已知A(—2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足:直線PA與直線PB的斜率之積為常數(shù)一亳

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)已知Fi(—l,O),Fz(LO),設(shè)直線PB與直線PF2交軌跡C于另兩點(diǎn)M,N,

記△PBF2和aPMN的面積分別為Si方2，求自的取值范圍.

高二數(shù)學(xué)第6頁(yè)(共6頁(yè))

湛江市2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研考試

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.D【解析】由/」總可得>；（一等）=—1.所以a=4■.故選D.

4\乙/O

91-1-1

2.D【解析】當(dāng)a=0時(shí)，。=（0,1,2）"=（2,1,0）,顯然。，6不平行.當(dāng)4片0時(shí)，a〃d則彳=中

A1

=之,解得入=—2.故選D.

3.B【解析】由題意得?=2,c=5,IIFF：I-|FF2II=2a=4,而IPF"=6,解得IPF2I=2或

10.而IPFzI>c—a=3,所以IPF,I=10.故選B.

4.A【解析】因?yàn)閿?shù)列｛a.｝與｛4｝均為等差數(shù)歹ij,且a?+d=7,“十仇=H,由等差數(shù)列的性質(zhì)可

知,+仇=看出+包+仇）=9.故選A.

5.C【解析】設(shè)MG,，），由題意|MF|=|z|+2,所以，（工―2）2+由=|紀(jì)|+2,兩邊平方得，

x2+/-4久+4=12+4||+4,即y2=^\x\+4%,當(dāng)%<0時(shí)，*=-41+4%=0,即6=0；當(dāng)

時(shí)，丁=42+4%=8久.故選C.

6.C【解析】由22+32—2X2—2X3—3=0,所以點(diǎn)A（2,3）在圓E上，圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（“一1）2+（？一1）2=5,設(shè)直線I的方程為了一3=后（久一2）,即—、一2笈+3=0.因?yàn)橹本€I與

圓E相切，所以-2發(fā)+3]=痣，解得歸=一所以直線i的方程為了+2>一8=0.設(shè)點(diǎn)

yp+r2

M,N分別為直線，與1軸、）軸的交點(diǎn).令、=0,得1=8,即M（8,0）,令1=0,得了=4,即N（0,

4）,所以SACMN=｝><8X4=16.故選C.

7.A【解析】因?yàn)镹FJFz的平分線交線段于點(diǎn)Q,所以/F]PQ=/QPFz,所以由正弦定

E4曰|PF1|—|F1Q||P￡|—|FzQ|vr./PCk_./DC"

，v

理信sinNPQK—sinZF1PQsin/PQF2—sin/BPQ'又口為sm/PQK-sm/PQ￡’

sinNBPQ=sin/￡P(guān)Q,所以等J即篝J=不妨設(shè)|PF"=z,Q（—〃,0）,則

a（c-72）

―一―廠，解得z=a（L"），所以黑\=上=_￡_=三=工=2,故選A.

NQ—xc十〃cI5ilc—nc—nce

8.D【解析】設(shè)數(shù)列｛a,,）的公差為d,數(shù)列他J的公比為g.

由b\一。1=仇一（22—^3—“4=1，得"=。1+1,優(yōu)9=〃1+1+4,d/=Qi+1+3d,

故"q一仇=（Qi+l+d）—（Qi+1）=Q,8q2—仇9=（。1+1+3d）—（Qi+1+。）=2d,

解得q=l或q=2,所以C錯(cuò)誤；

當(dāng)q=2時(shí)，仇=cii+1=d,d=42$=8仇，丁=々1+3d,

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(yè)（共8頁(yè)）

所以仇一。4=86]——3c/=86i—（仇一1）—3bl=4d+1,

若仇一見(jiàn)=1，則仇=0,與｛兒｝為等比數(shù)列矛盾，所以A錯(cuò)誤；

當(dāng)q=2日寸，伍=（21+1=。，。5="24=16仇，。5=。1+4。，

所以b&—“5=16仇—（21-4d=16仇一（仇一1）—4仇=11仇+1,

若優(yōu)一恁=1，則8=0,與｛A｝為等比數(shù)列矛盾，所以B錯(cuò)誤；

當(dāng)q=2時(shí)，仇=。1+1=",64="23=861,。8=。1+7d,

所以仇一。8=8仇一Qi—7d=8（仇一）—7=1成立，

當(dāng)q=l時(shí)4=0,所以,所以仇一念=。1一處=1,所以D正確.故選D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.BD【解析】由雙曲線C的方程可得雙曲線。的實(shí)半軸長(zhǎng)。=29,半焦距c=，E=3,所以

雙曲線C的離心率0=￡=三=乎,故A錯(cuò)誤;

a2#4

由題意得，雙曲線C的漸近線方程為y=±亨Z,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3,0）,由點(diǎn)到直線的距離公式

（士與）X（±3）—0

得，到雙曲線C的漸近線的距離d=J——-----=1,故B正確；

2

雙曲線看一%2=1的漸近線方程為，=±2至久,故C錯(cuò)誤；

O

點(diǎn)P（4,9）在雙曲線C的漸近線，=牛了上，所以過(guò)點(diǎn)P（4,招）的直線與雙曲線C只有一個(gè)公

共點(diǎn)的直線有兩條，一條和漸近線、=一亨z平行，一條與右支相切，故D正確.故選BD.

10.BCD【解析】圓心O到直線2的距離為1=/「,，|PO\=，忌+就，又點(diǎn)P在

，就+就

______9

圓外，|PO|=+M>廠=9，所以d==廠,故直線/0久+夕0）=2與圓O相交，

，忌+4

所以A錯(cuò)誤，B正確；

|PA|=，=。2—/2=，=+4—2,所以C正確;

因?yàn)镻ALOA,所以SAOPA=^\OA\>\AP\=^X^^-X\OP\，故^^=烏息產(chǎn)=

?X'=平，所以IABI=烏比，故D正確.故選BCD.

/4+833

11.AC【解析】因?yàn)椤?=。1+。2=3,所以%=1,“2=2,。3=3成等差數(shù)列，所以A正確；

假設(shè)a”，a”+1，a*+2成等比數(shù)歹I」，則。5+1=冊(cè)??！?2，又a〃+2=a〃+i+"〃，

所以2±1=1+上.設(shè)j=八則1=0無(wú)有理數(shù)根，所以假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤；

Q”Q〃+ia〃+i

因?yàn)??！?2+a”+i,

所以。100=。99+。98=。99+。97+。96=。99+。97+。95HH（23+。2=。99+。97+。95H^恁+。1+1，

所以。100―1=。99+。97+。95+…+03+。】，

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(yè)（共8頁(yè)）

同理,。99=。98+。96+。94+???+。4+。2+1，所以。99—1=。98+。96+。94+?。'+。4+。2，

故S99=(<21+。3+。5+。7H------H&9)+(。2+。4+。6H----+。98)=0100+。99—2=Qioi—2,所以C

正確；

Sioo=?ioo+S99=a100+處01—2=aioz—2,所以D錯(cuò)誤.故選AC.

12.BCD【解析】如圖LAM在平面DCCiD的射影為DC,若QC

，AiM,則QOC,顯然不存在這樣的點(diǎn)Q,故A錯(cuò)誤；

如圖2,建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(6,0,6),M(3,6,0),B(6,6,

0),0(0,0,0).設(shè)一(2,?,名。。1羊=；14面,0發(fā)3*1,所以4節(jié)=

(了一6,y,z—6)=4—3,6,—6),所以P(6—3/，6/，6—

6A).FB=(3A,6—6A,6A6),PT)=(3入-6,—6義，6/一6),假設(shè)存

在點(diǎn)P,使得NBPD=90°,則P3?=3A(3A-6)—6A

(6—6/)+(6/一6)(6/一6)=0,整理得9*一14a+4=0,解得A=

圖1

丘”>1(舍去)或義=飛色，故存在點(diǎn)P,使得NBPD=90°,

故B正確;

由上知P（6—3M6義，6—6義），所以點(diǎn)P在DDj上的射影為（0,0,6—6/），所以點(diǎn)P到D"的距

離為d=\/(6-3A)2+(6A)2=3，5乃一44+4=

a/5(L]+?所以當(dāng))=1_時(shí),心=4E,故

y5555

面積的最小值是JX6X足費(fèi)=些式，故C正確；

N55

由題易知AD±DQ,MC±CQ,

AD6-MC3

所Kc以nrtan/AQD=y^=杯，tan/MQC=E=M.

又/AQD=/MQC,所以焉=條,得累=2,

LJ\a^

在平面DCGD內(nèi)以DC為上軸，DC的垂直平分線為y軸建系，如圖3.

根據(jù)題意可得D（—3,0）,C（3,0）.設(shè)Q（工,y）,因?yàn)榈?2,所以

居然=4,故舁土爭(zhēng)士=4,整理得圓E：（^-5）2+y=16.

|CQ|一（％—3）~ry

在正方形DCGDj內(nèi)（包括邊界），Q是以E（5,0）為圓心，半徑

r=4的圓上的點(diǎn).

令z=3,可得|田=2①，當(dāng)Q為圓E與線段CG的交點(diǎn)時(shí)，Q

到底面ABCD的距離最大，最大距離為273.

所以三棱錐Q-ABD體積的最大值是呆號(hào).><2①=9><聶6><6*2畬=12后故口正

確.故選BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.一卒【解析】由題意，得直線I的斜率為左=一）,故tana=2=一又sm2?+cos2a

oNcosaN

1,所以cosa=

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁(yè)（共8頁(yè)）

14,2【解析】設(shè)直線/的方程為i=力)+1,A(乃，)i),8(12,)2)，聯(lián)立［2:'得/一4切一4

【V=47，

=0,則)1+、2=4z,)1)2=—4.因?yàn)镾^OAB=2X|OFXhi-3-21=2v71*,所以當(dāng)t=0

Ht.AOAB的面積的最小值為2.

15.3【解析】如圖，連接AC,設(shè)。為AC與BD的交點(diǎn).

因?yàn)锳Ai〃CG,所以AAj與平面BD3所成的角等于CG與平面BDG所成的角.

連接OCi,過(guò)C作CMXOCx于M.

由平面A%GC,平面BDG,平面A&GC。平面BDQ=OQ,CMU平面A&GC,所以CM±

平面BDG,所以/CG。就是CG與平面BDG所成的角，即為AA與平面BDG所成的角.

由已知得sinZCC1O=y,AA7?=AA??(A5+)=AA7?+AA7?A5=

2IAA7ICOS-y+2IAA7ICOS-y=2IAA7I.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且NBAD=

以|AC|—2A/3~,

所以cos/AAO=—A4°A。=.2IaA|盤

WUcosZAMO罰?崗2V3IAATI3-

在nAAiGC中，cosNOCG=一"，sin/OCG

cosZCC1O=/I—sinZCCQ=年.

在△OCCj中，sin/COCj=sin（Tt-/OCC,一NCQ。）=sin（/OCCj+ZCCjO）

=sinZOCC1?cos/CCJO+COS/OCCJ?sin/CGO=*X竽+（—亨）*方=方.

在△OCG中，由正弦定理得，O=sin［看OG'即乎=T，得CG=3,所以當(dāng)AA|=

3T

3時(shí)，直線AA】與平面BDG所成的角的正弦值為方.

16.【解析】由題意，設(shè)|A￡|=2m,^\\MF2|=3m=\MF1,\AF,\=2a+2〃z.在

中，9m2+（2a+2m）2=257n之，貝|J（Q+3稗）（Q—a）=0,故a=m或。=—3m（舍去），所以

\AF.|=4a,\AF2I=2a,\MF2\=\MF,=3a,則\AM\=5a,故cos/居AF?==

萼=［所以在△ARB中，由余弦定理得cos/BAB=16?二4,）4c2=、，整理得2

ba5NX4aXNa55c=

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(1)解：設(shè)數(shù)列｛a"的公比為q.

因?yàn)樯偈?§,所以工+E=9,......................................................................................1分

。2。3<2iqa1qm

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁(yè)(共8頁(yè))

故，+5=6,.....................................................................................................................................2分

qq

解得或q=一十...........................................................3分

又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q=一十舍去，故q=J，.........................................................4分

所以a”=：X^T7?........................................................................................................................5分

(2)證明：由(1),得"。〃=~^-乂^^,...............................................6分

則s“=白十福+…+戲)，..............................................7分

；S“=；C+自+皮+…+苗)，...............................................8分

兩式相減得;S"=}(l+；+"+/H^/7一iM=}(2—卜..............9分

?

故S〃=2——10分

18.(1)解：由后:興+丁+彳％—65；+4=0得(%+2)2+(3;—3)2=9,所以圓￡?是以_￡(—2,3)為圓

心，3為半徑的圓，..............................................................1分

當(dāng)直線，過(guò)圓E的圓心時(shí)，|AB|最大，...........................................2分

、,3+1

所以直線，的斜率為左=嚀與=—2,......................................................................................3分

—z—0

所以當(dāng)|AB|最大時(shí)，直線/的方程為)=-2%—1..................................................................4分

(2)證明：設(shè)AOi),_6(12,)2).

當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，即直線I的方程為①=0,

所以/—6)+4=0,所以+“=6,yi”=4,

所以Pl?P5=(Zi,2+1)?(久2，?2+1)=久1久2+(/1+1)()2+1)=久1久2+/1/2+丁1+、2+

1=0+4+6+1=11.........................................6分

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為了=心一1,

聯(lián)立，一「二:，得(公+1)*—(84—4)z+ll=0,8分

(z+2)2+(y—3)2=9,

則JC1+x=,工1工2=分

2,+；9

又yi=kxx一1,y2=kx2—1,

所以J51?R§=(笈2+1)乃及=11.

綜上，為定值11.............................................................................................................12分

19.解：(1)以拋物線拱形對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)對(duì)應(yīng)拋物線的方程為了,=22y(力<0),..................................................................................2分

則點(diǎn)(60,—30)在拋物線上，所以602=22><(—30),.............................................................4分

所以/=—60,即|，=60,故拋物線C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為60m.............................5分

(2)由(1)可知拋物線的方程為/=-120),..............................................................................6分

由拋物線對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，則P(z,一卷)，z>0.....................................7分

\_L乙U/

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁(yè)(共8頁(yè))

120-30i

由題意［的=),..................................................9分

1十6。4

解得紀(jì)=90,.....................................................................................................................................10分

2

故卷r—30=37.5，

所以橋面與水面的距離為37.5m............................................................................................12分

20.解：（1）由題意，+。2=4,“2=3,所以a】=1...........................................................................1分

由an+an+1=4",得Q〃+1+a〃+2=4w+4,兩式相減得d"+z—&=4,....................................2分

所以數(shù)列｛?！埃钠鏀?shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差的

等差數(shù)列.

若“為奇數(shù)，設(shè)〃=2后一1次GN*.則a?=a2i-1=l+（k-l）X4=4：k-3=2（2k-l）-l=2n-l；

3分

若n為偶數(shù)，設(shè)"二2上/GN<1,則==3+（左一1）X4=4左一1=2X2左一1=2"—1.

..............................................................................................................................................................4分

綜上，a“=2〃-l,〃CN*,所以數(shù)列｛七｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以S“=l〉"+"y（；—1）X2="、...............................................5分

（2）由數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列，可得十T?一，S|+A=3,

又SI=1,SZ=4,TZ=，I+62=6I+18,......................................................................................6分

所以Sz+Tz=4+bi+18=6i+22,故，22十仇一十仇=3,.............................................7分

解得d=3..........................................................................................................................................8分

又eTTTnv7喬經(jīng)=，中=2,所以數(shù)列｛是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，

..............................................................................................................................................................9分

所以，S”+T“=3〃-1,即S?+T?=(3?—1)2,

所以T?=(372—I)2—S?=9n2—6〃+1—n2=8ti2—67z+l......................................................10分

當(dāng)時(shí)也二T“一T"T=84一6〃+1—8(〃—iy+6(〃一1)—1=16〃一14,...............11分

3,n=1,

又當(dāng)w=1時(shí)，仇=3,所以b?=12分

16〃-14,w>2.

21.⑴證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B在平面ABCD內(nèi)作BOJ_AD,交DA的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接。P，所以PB±DO.

又BO_LDO,PB,OBU平面POB,PBnOB=B,所以D。，平面

POB................................................................................................1分

又POU平面POB,所以DCLLPO,即AO±PO.

由NABC=NADC=45°,AB〃DC,所以/。AB=45°.

又OA_LOB,所以NOBA=45°,故OA=OB...............................................................................2分

又△PAB為等邊三角形，所以PA=PB.又「。=20,所以4尸。4&/\「。8.

又POLOA,所以PO±OB............................................................................................................3分

又OA,OBU平面ABCD,OAp|OB=O,所以PO_L平面ABCD.

又POU平面PAD,所以平面PAD,平面ABCD..................................................................4分

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁(yè)（共8頁(yè)）

⑵解：由（1）知OP,OB,OA兩兩垂直，故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以05,攜,亦為了，軸的

正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

易得PO=OB=OA=AD=-^2,

所以B（72,0,0）.P（0,0,72），C（72，V2,0）-0（0,272,0）.

設(shè)存在點(diǎn)E（久。，四,z。），使得平面BCE與平面PDC的夾角為

30°,且器=4，0（義W1，故用=4亦，

所以E（0,27^（l—；O,也;0，.........................5分

故比=（0,招,0）,盛=（―",2北"（1—義）,府0,1=（72,72,-#）（V2,-72,0）.

.......................................................................................6分

[n,B^=0,

設(shè)〃=（皿，”，zi）為平面BCE的法向量，則有《一

[n?BE=0,

卬2了]=0,

即彳可取〃=（儲(chǔ)0,1）...............................8分

〔一冊(cè)4+2^2"（1—A）w+V2~A^i=0,

（m?力5=0,

設(shè)m=（22，了2，之2）為平面PDC的法向量，則有《f

可取機(jī)=(1,1,2),10分

\n?m\2P心1.

所以|cos〈打，機(jī)〉|-1^+1萬(wàn)，解得入=7或入=1,

l?l1^1，乃+]XV6-

r）pIr）p

所以當(dāng)程=索或器=1時(shí)，平面BCE與平面PDC的夾角為30°.....................12分

22.解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(z,y)(zW±2),則后PA=T?，無(wú)PB=......................1分

式十Nx-N

因?yàn)橛褹?須B=一J■，所以?一=一3，.......................................

3分

4支十/2—N4

22

即1+^=1(久力士2),

22

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(=±2)...................................4分

$-^-\PFl\-\PF2IsinZFjPF2ppi.iPf?i

5分

⑵由題意得彩=<------------------------=\1PPMM|\，|PPVN|?......................................................

S'^^\PM\.\PN\smZFlPF2

設(shè)P（%1，3h）,M（%2，了2），N（%，、3