秘密★啟用前

遂寧市高2021級(jí)第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)(文科)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合4={司—3<x<2},8={乂/+4%—5?0},則()

A.0B.(-3,1]C.[-1,2)D.(-3,2)

2.復(fù)數(shù)z="+i,則|z|=()

1-i

A.1B.V2C.2D.4

3.已知向量a=,則+()

A.10B.18C.(-7,8)D.(-4,14)

4.已知命題夕：￡R,2"22x+1,則「夕為()

A.3xR,2X<2x+1B.eR,2X<2x+1

C.任R,2"<2x+1D.VxGR,2X<2x+1

5.甲、乙兩人進(jìn)行了10輪的投籃練習(xí)，每輪各投10個(gè)，現(xiàn)將兩人每輪投中的個(gè)數(shù)制成如下折線圖:

下列說(shuō)法正確的是()

A.甲投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)比乙投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)小

B.甲投中個(gè)數(shù)的中位數(shù)比乙投中個(gè)數(shù)的中位數(shù)小

C.甲投中個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小

D.甲投中個(gè)數(shù)的極差比乙投中個(gè)數(shù)的極差大

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的x值為2023,則輸出的歹值為（）

1111

A.——B.-C.一D.-

16842

7.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列也,｝是等比數(shù)列，若為+牝+%=9，aaa=36，則安上)

1+02線

A.2B.V3C.-

2

8.已知耳胤為雙曲線C:￡—與=1（?！?力〉0）的左、

右焦點(diǎn)，點(diǎn)/在。上，若|大，|=2巴聞，

ab

。片鳥的面積為則的方程為（

ZAFXF2=304/6G,C)

B.LJlC.L——

A.D.

96366963

9.若直線y=丘與曲線＞=lux相切，則上二（

1212

A.-2"B.——C.-D.一

eeee

711

10.函數(shù)/(x)=sin(ox+°)0>0,網(wǎng)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),將該函數(shù)的圖象向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)

22

度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。的最小值是（）

587

A.-B.-C.3D.-

232

11.在正方體48CD-481GA中，下列結(jié)論正確的是(

A.48］與4G所成的角為60。B.與4G所成的角為60。

C.48］與/Q所成的角為45。D.與G2所成的角為45。

22

12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，片，鳥是橢圓。：二+二=1伍〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)，48分別為C的左、右頂

ab

點(diǎn).尸為。上一點(diǎn)，且陰，工軸，直線4P與歹軸交于點(diǎn)直線員欣與神交于點(diǎn)0,直線片。與歹

軸交于點(diǎn)N.若|ON|=則。的離心率為()

1123

A.-B.-C.-D.一

3234

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)=(a-1)必+asinx為偶函數(shù)，則°=.

y<4-x,

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足<y+220,則2x+3y的最大值為.

jVx+2,

15.在正四棱臺(tái)4BCD-481GA內(nèi)有一個(gè)球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，若4片=2,46=4,則該四棱

臺(tái)的高是.

16.《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問(wèn)題今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織

尺數(shù)之積.則第十日所織尺數(shù)為？譯為現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的

布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所織布尺數(shù)的積?問(wèn)第10天織布尺數(shù)為

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)某工注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計(jì)并試運(yùn)行了甲、乙兩條生產(chǎn)線.現(xiàn)對(duì)這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行

評(píng)估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取了300件進(jìn)行測(cè)評(píng)，并將測(cè)評(píng)結(jié)果(“優(yōu)”或“良”)制成

如下所示列聯(lián)表:

良優(yōu)合計(jì)

甲生產(chǎn)線4080120

乙生產(chǎn)線80100180

合計(jì)120180300

(1)通過(guò)計(jì)算判斷，是否有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？

（2）現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步分析，在測(cè)評(píng)結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品.若

在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求這2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的概率.

附表及公式：

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-be)2

其中K?=,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)他+d)

71

18.（12分）記△4BC的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為見(jiàn)仇。，若為銳角三角形，4=1,,求△4BC

面積的取值范圍.

從①a=2百；②6=2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（2,0）的動(dòng)直線/與拋物線C:/=4%相交于48兩點(diǎn).

（1）求與.礪；

（2）在平面直角坐標(biāo)系X。中，是否存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)。，使得乙4。尸=/8。尸恒成立？若存在，求

出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（12分）如圖，在三棱柱N5C—481G中，直線G5,平面/5C，平面J_平面.

B

(1)求證：AC±BB,

_4

（2）若AC=BC=BC[=2,在棱4月上是否存在一點(diǎn)尸，使得四棱雉尸-8。。1用的體積為]?若存在，

指出點(diǎn)尸的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.（12分）已知函數(shù)=+2sinx-xcosx.

(1)若a=0,判斷/(x)在［―上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)a>0,探究/(x)在(0,1)上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

JQ—/cosa

在直角坐標(biāo)系X。中，已知曲線C：/+y2=N+y(其中曲線G：1一.'(，為參數(shù)，

［y=tsina

x=-tsina.TC

r>0),曲線G：<(/為參數(shù)，/>0,0<a<一).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸

［y=tcosa2

建立極坐標(biāo)系.

(1)求C的極坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C與G，G分別交于48兩點(diǎn)，求AOAB面積的最大值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=|2x_2|+|x+2卜

(1)解不等式/(x)W5—2x；

(2)令/(x)的最小值為T,正數(shù)a力滿足/+/+26=7,證明：a+b<241-1.

文科數(shù)學(xué)參考答案

1.B2.C3.A4.D5.C6.D7.C8.B9.C10.A11.A12.B

13.014.1115.2#16.21

2

”士匚、八、4M_300X(40X100-80X80)_1000“，八

17.［解析］(1)由w,K，-i9nviQnvi9nviQn-777°4〉2?7°61........................4分

IZUAloU1ZUAloU乙/

因此，有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系...............................5分

(2)記這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的有2件，記為A-Az,產(chǎn)自于乙生產(chǎn)線的有4件，記為

Bi,用，B3,B4.

從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有基本事件有：(A1,A2),(A1,3),(A】，&),(A］，風(fēng))，

(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),

(3,瓦)，(4，64),共15個(gè).

其中，至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的基本事件有9個(gè).

QQ

所以，抽取的2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的概率為得即得.............12分

1b5

18?【解析】若選①，由正弦定理得希=熹=品=吟=4,.........................................2分

sin—

所以6=4sinB,c=4sinC,............................................................................................................3分

)竽

c=4sinC=4sin—B=4(sincosB-cos^sinB)=2V3-cosB+2sinB,5分

所以S^ABC=；6csinA=；X4sinB?(273-cosB+2sinB)?g

=6sinBcosB+27^sin2B...........................................................................................................7分

=3sin2B+73(1—cos28)

—3sin2B—V3~cos2B+V3-

=2^/3sin(2B-y)+73,............................................................................................................9分

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<C=等—且

所以廣3日,

所以強(qiáng)V2B一￡<醇Jvsin(2B一冬)<1,......................................................................11分

b66/\6/

所以2西<2①sin(2B-J)+V3<373,

故銳角AABC面積的取值范圍為(2乃,3有1.......................................................................12分

若選②，由正弦定理得仁=4=果......................................2分

sinCsinDsmD

2sin(3+B)_^~cosB+sin_B_如

2sinC_2sin(A+B)

所以C1,.............6...分...

sinBsinBsinBsinBtanB

因?yàn)锳ABC為銳角三角形，所以0<。=專一BV今且OVB<手,

所以"VB<與，..............................................................8分

b/

所以tanB〉岑，+.........................................10分

3tanB

所以S/^ABC=^-6csinA=^y-cG

故銳角AABC面積的取值范圍為(斗，29)?......................................................................12分

19.【解析】(1)由題知，直線/與'軸不垂直，

故可設(shè)直線I的方程為了=〃<y+2,A(?,,y^,BCx2,y2).

[Y=4z,

由，My2-4：my—8=O............................................................................................2分

[x=my-\-2

顯然，△=16??2+32>0,

于是'1+y2=4"2,>"2=-8,處了2=表必必=4...................................................................4分

所以示?麗=皿⑥+，1，2=—4............................................................................................5分

(2)當(dāng)直線軸時(shí)，Z：￡=2,A(2,2V^),B(2,—27^),

故當(dāng)NAQP=/BQP時(shí)，點(diǎn)QC了軸............................................6分

當(dāng)直線I與了軸不垂直時(shí).由拋物線的對(duì)稱性知，滿足條件的點(diǎn)QGi軸.設(shè)Q(〃,0),

由NAQP=/BQP得心Q+上版=0,即^^+^^=0,.................................................8分

—n久2一%

整理得)1(12—九)+”(11—%)=0,即

一yi(m)2+2一〃)+、2(MNI+2一%)=0,

所以2根y1”+(2—")(y1+y2)=0.…10分

故一16??+4(2―〃)%=0,解得〃=—2.

綜上，存在定點(diǎn)Q（—2,0）滿足條件.12分

20.【解析】（1）在平面BBiGC中作BHLCG于H,

因?yàn)槠矫鍭A1CC平面BB.C.C,

且平面AA1GCA平面BBGC=CG,

所以平面AAiGC,從而..............2分

在三棱柱ABC—AiBiG中，GB，平面ABC,ACU平面ABC,

所以AC±C1B.

又因?yàn)锽QCBH=B，所以AC,平面BBiGC,

因此.................................................................5分

（2）假設(shè)點(diǎn)P存在，在平面AIBJG中，作PM〃AG交3G于M,

則PM〃AC,因?yàn)锳C,平面BBJGC,故PM,平面BBiGC..........................................7分

在平行四邊形BCGB1中，因?yàn)镚BLBC,且BC=BC1=2.

所以SNCJB]=BC.GB=2X2=4........................................9分4

所以VP-BCC=VS°BCCB-FM=4.PM=[\

1B1……11…?……:……-W1

因AC=2,所以號(hào)W7/

故符合條件的點(diǎn)P存在，為的中點(diǎn).12分

21.【解析】⑴當(dāng)a=0時(shí)"⑴在（一號(hào)，號(hào)）上是單調(diào)遞增函數(shù)，......................1分

理由如下：

思路1：依題意，/（了）=2sinz—xcos2"'（z）=,eosx+jcsinx,.............................................2分

當(dāng)HG]O,告）時(shí),F（Z）=COSz+zsinz〉0;

當(dāng)xG(一5，。)時(shí)，cos%>0,isin力〉0,則ff(x)—cosj:+j:sinJC>0,

故iG(一■^■，告)時(shí)(1)〉。，

所以/⑺在（一冷冷）上是單調(diào)遞增函數(shù)........................................4分

思路2:依題意"（無(wú)）—2sinjc―1cos1"'（久）=cosi+Ksin久，.......................2分

由于/（一￡）=―/⑴，則/⑺為奇函數(shù)，故可先判斷”了）在［0號(hào)）上單調(diào)性.

當(dāng)a；G］。，"!■，時(shí),/'（工）=cos＜r+jcsinj;＞0,此時(shí)“力單調(diào)遞增，

由于了⑺為奇函數(shù)，所以"了）在（一方4）上是單調(diào)遞增函數(shù)...................4分

（2）由=aj?+2sinj:一①cos%,得了'（%）=3QJ?+cosz+zsinz,

依題意，只需探究—（式）=3。12+cos￡+￡sini在（0,兀）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

令〃（2）=/'（1）=3a圮2+（：05比+15由1,貝!!u（JT）=6aj:+jrcosJC=JC（6（2+COSJC）,

（I）當(dāng)6Q＞1,即時(shí)，6Q+COS久＞0,此時(shí)？/（久）》0在［0,兀）恒成立，

6

則〃（力）即/（］）單調(diào)遞增，故刑（1））即（0）=1,

此時(shí)/（G在（0,兀）上無(wú)零點(diǎn)，則/（尤）在（0,冗）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0..................6分

（H）當(dāng)0V6QV1,即0VaV±時(shí)，三ioG（0,兀），使得xQ（6Q+COS1O）=0,即cosi。=—6Q,

6

可知OViVio時(shí)，〃'（力）〉0；々＜迎＜兀時(shí)，/（z）＜0,

所以〃（i）即//（久）在（0,￡（））上單調(diào)遞增，在（久。,式）上單調(diào)遞減，....................8分

由于/（0）=lj'（7t）=3aY—1,

①若/'（n）=3.2—1＞0,即工＜。＜《時(shí)"'（久）在（0.K）上沒(méi)有零點(diǎn)，

37ro

所以"（7）在（0,“）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0..........................................10分

②若/'（n）=3an2—1V0,即0＜aV工時(shí)，/'（H）在（0,“）上有1個(gè)零點(diǎn)，

O7t

所以，/（了）在（0,“）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

綜上所述：當(dāng)裊時(shí)，了（了）在（0,n）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；0＜々＜工時(shí)，/（7）在（0,無(wú)）上的

3兀-37r

極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1................................................................12分

22.【解析】（1）因?yàn)镽=pcos0,j/=psin6,

由比2+62=111+）,得02=ipcosj］+psin。..................................2分

由V〉。知，p=〉。，且2）?！?〈2后》+兀,

故p=|cosj|+sinj,2上式〈?！?6兀+兀,左GZ........................................4分

（范圍寫成0＜6＜/不扣分）

fjC=