數(shù)學(xué)試題

本卷共分兩大部分共計4頁

溫馨提示：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.試卷包括試題和答題卷兩部分.請務(wù)必在答題卷上答題，在試題卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后，請將試題卷和答題卷一并交回.

第I部分客觀題（共40分）

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選

項是正確的.）

1.已知實數(shù)a,b,則下列選項中正確的是（）

A.若o>b,則B.若同>/?,則/〉〃

C.若a>網(wǎng)，則儲>〃D.若a>b,則

11ab

【答案】C

【解析】

【分析】賦值判斷A,B,D,利用不等式性質(zhì)判斷C.

【詳解】對于A選項，a=l力=-1,滿足">》，此時〃=112=1,不滿足故A錯誤；

對于B選項，a=l,b=-1,滿足同>/?,此時/=132=1,不滿足故B錯誤；

對于C選項，a>|Z?|>0,所以/>網(wǎng)2=/,故c正確；

對于D選項，a=l力=-1,滿足。>b,此時,=1,-=-1,不滿足上<1,故D錯誤,

abab

故選：C.

2.若x>0,y>0,S.3x-2y--y/xy,則］的值為（）

49.4

A.1B.-C.—D.1或一

949

【答案】B

【解析】

__x4

【分析】等式3x—2y=—而兩邊同時平方，%=y或7=3,驗證即可.

【詳解】由題意知，等式3x—2y=—而兩邊同時平方，

得9x2—13孫+4/=0,即(x_y)(9x_4y)=0,

%4

解得％=y或_=x,

y9

當(dāng)x=y時，3x-2y=x,-y[xy=-x,所以與3x-2y=矛盾.

x4

所以一=x.

y9

故選：B

3.數(shù)20232°23的個位數(shù)字為()

A.1B.3C.7D.9

【答案】C

【解析】

【分析】先將20232023轉(zhuǎn)化為(3+2O2O)2023,用二項式定理展開可知,20232°23的個位數(shù)字與

C黑3*32023x2020。的個位數(shù)字相同，將32023化為3x(10—1片，再將(10-1)項用二項式定理展開可

知所以32°23的個位數(shù)字與3[c；器X101X(-1)1010+C：：：；X10°X(-1)1011]個位數(shù)字相同，即可求解.

【詳解】因為(2023)2023=(3+2020)2023

1202122023

=C；023x32°23X2020°+C；023x32022X2020+Cf023x3x2020+.+C就x3°x2O2O

而20201、20202、20203L202。2023個位數(shù)均為0,所以20232°23的個位數(shù)字與

C；023><32°23乂2020°的個位數(shù)字相同，而32°23=3*32°22=3X9項=3X(10—1片

101110101011

=3x[c：ouXIOx(-l)°+C；011XIOX(-1/++Cl；X10°x(-1)]

因為IO1、102L10"”個位數(shù)均為0,所以32023的個位數(shù)字與

3[C器X1O*X(-1)1010+X10°X(—1)1°口=3x1011x1—3=30327個位數(shù)字相同,

故20232023的個位數(shù)字為7.

故選：C

4.平面四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°,ZB=30°,AB=2,則的取值范圍為()

A.1<BC<V3B.*<5C<4C.百<BC<4D.73<BC<—

33

【答案】D

【解析】

【分析】如圖，由題意可得創(chuàng)/=還尾，BF=—>結(jié)合AM=BM-2>。，CF=M—3C>0計算

33

即可求解.

【詳解】如圖，延長B4、CD,交于點M,延長AO.BC,交于點R,

所以AM=BAf-2=*BC-2>0,CF=BF-BC=—-BC>Q，

33

得BC>5BC(坐,所以

故選：D

5.關(guān)于尤、y的二元二次方程2型+2x—y=31正整數(shù)解的組數(shù)為（）

A.3組B.4組C.5組D.6組

【答案】B

【解析】

【分析】對2孫+2x—y=31變形為（2x—l）（y+l）=30,根據(jù)x、y為正整數(shù)求解即可.

【詳解】因為2孫+2x—y=31,

所以2孫+2x—y_l=30,即2x(y+l)_(y+l)=30,

所以(2x—l)(y+l)=30,

因為x、y為正整數(shù)，

所以2x—1和y+1為30的約數(shù)，

當(dāng)2尤—1=1,y+l=30時，即x=l,y=29,符合題意,

3

當(dāng)2x—1=2,y+l=15時，即x=5，y=14,不符合題意，

當(dāng)2x—1=3,y+l=10時，即尤=2,y=9,符合題意，

當(dāng)2%—1=5,y+1=6時，即x=3,y=5,符合題意，

7

當(dāng)2x—1=6,y+l=5時，即x=—,y=4,不符合題意，

2

當(dāng)2x—1=10,y+l=3時，即x=],y=2,不符合題意，

當(dāng)2x—1=15,y+l=2時，即％=8,y=l,符合題意，

31

當(dāng)2x—1=30，y+l=l時，即x=m，y=0,不符合題意，

綜上，二元二次方程2孫+2尤—y=31正整數(shù)解的組數(shù)為4組，

故選：B.

6.從0、1、2、3、4、5、6這七個數(shù)字中，取三個不同的數(shù)組成一個十位數(shù)字大于個位數(shù)和百位數(shù)的三

位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個數(shù)為()

A.40B.48C.55D.70

【答案】C

【解析】

【分析】由題意分兩種情況討論：選出的數(shù)字中含有。與不含有0.分別求出對應(yīng)滿足題意的三位數(shù)，結(jié)

合分類加法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】由題意知，分兩種情況討論：

若選出的數(shù)字中含有0,則0必須在個位上，

此時只需在其它6個數(shù)中選出2個，大的放在十位，小的放在百位，

共有廢=15個三位數(shù)；

若選出的數(shù)字中不含有0,

此時只需在。以外得其它6個數(shù)中選出3個，最大的放在十位，其他兩個放在百位和個位，

共有2C：=40個三位數(shù)，

綜上，滿足題意得三位數(shù)共有55個.

故選：C

7.已知實數(shù)縱b滿足〃+3。-1=0，3b—1=0，且則。+工+@=()

bb

A.一百B.73C.4D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件化尸—38—1=0為+3.b1=0,得,是方程_+3x-l=0的兩根,

利用根與系數(shù)關(guān)系計算即可得結(jié)果.

【詳解】因為"—3人一1=0,即1一'一'=0，+3（']—1=0，

所以有：a,—是方程/+3尤-1=0的兩根，所以aH—=—3,a--=—1,

bbb

所以〃+'+—3-1=—4.

bb

故選：D

8.在凸四邊形ABC。中，BC=2AB=2,ZABC=ZADC=60°,則BD的最大值為（）

A.V2+1B.gC.73+1D.3

【答案】C

【解析】

【分析】如圖，作八4。。外接圓圓O,當(dāng)且僅當(dāng)。三點共線時，3。取到最大值，結(jié)合

05LCE即可求解.

【詳解】如圖，AB=LBC=2,NABC=60°,

所以△ACfi是直角三角形，NC43=90°，

作ZW）。的外接圓，。為圓心，

藥

延長B4，^AE=AB=1,則NEAC=90°，

所以點E在以CE為直徑的圓上，故二CE5為等邊三角形，

當(dāng)且僅當(dāng)。,0,3三點共線時，取到最大值.

此時底=5C=2,。為CE的中點，

所以O(shè)BLCE,故05=6,又OD=OC=L

所以百+1.

故選：C

第II部分主觀題（共110分）

二、填空題（共10小題，每小題5分，共計50分）

[131

—X——>—X

223

9.若關(guān)于x的不等式組有且僅有四個正整數(shù)解，則實數(shù)加的取值范圍為.

—x+1<m

12

【答案】嚀,8）

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得不等式組的解集，結(jié)合題意，得到13W2m-2<14,即可求解.

131

223x>9

【詳解】由不等式組，解得4cC，

1?x<2m~2

[2

要使得不等式組的解集中有且僅有四個正整數(shù)解，則13W22<14,解得竺<機<8,

2

所以實數(shù)〃2的取值范圍為[”,8）.

2

故答案為：[?,8）.

10.計算：（cos45。+sin60。尸+也-4人-卜-2倒=.

【答案】71-1

【解析】

【分析】利用特殊角三角函數(shù)值、根式與指數(shù)累的運算和絕對值求解即可.

【詳解】（cos450+sin60°尸+79-4A/2-|71-2731

2

+2應(yīng)-1-2若+兀

72+73

2(0一6)

+2A/2-1-2^+71

(V2+V3)(V2-V3)

=2^-272+272-1-273+71

二兀一1,

故答案：71-1

11.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：X(X2-1)(X+2)-120=.

【答案】(X-3)(X+4)(X2+X+10)

【解析】

【分析】將原式分解成爐(爐+x+10)+x(x2+x+10)-12(x2+X+10),即可求解.

【詳解】原式=犬+2/-/一2了一120

=(x4+x3+10x2)+(x3+x2+10x)-12(x2+x+10)

=X'(x2+x+10)+x(x2+x+10)—12(x?+x+10)

=(X2+X-12)(X2+X+10)

=(X+4)(X-3)(X2+X+10).

故答案為：(X+4)(X-3)(X2+X+10)

12.已知函數(shù)丁=—勺和y=x+K,其中%、k2均可取1、2、3、4、5、6中的任一數(shù).則這兩函數(shù)圖象

X

有交點的概率為.

19

【答案】77

36

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立兩函數(shù)，解得左22上4左，結(jié)合左、左2的取值，根據(jù)古典概型求概率公式即可

求解.

區(qū)

y-k

2

【詳解】根據(jù)已知條件聯(lián)立《x,即—'=》+&，整理有：x+k2x+ki=0,

X

y=x+k2

因為兩函數(shù)圖象有交點，所以△=七2-4占20,即右224%,

224]=；2

當(dāng)左=1時，K無解；當(dāng)左=2時，1當(dāng)左=3時，kY—1,2；

當(dāng)左2=4時,=1,2,3,4?當(dāng)左2=5時，k1=1,2,3,4,5,6；

當(dāng)&=6時,勺=1,2,3,4,5,6；綜上，滿足條件的匕、42共19對，

又根據(jù)已知條件匕、42的所有取值情況為6?=36種，

19

所以兩函數(shù)圖象有交點的概率為P=—.

36

19

故答案為：——

36

13.已知(2.X—1)9=%+a^X+'貝!J%+。6+.

【答案】-9840

【解析】

【分析】借助賦值法，分別令x=l、彳=—1、*=0計算即可得.

【詳解】令x=1,則有4+q+%+L+a9—1,

,./、9

令X——],則有4—q+2——%=(—3)，

令％=0,則有/=-1,

..f6ZQ++612L+49)+(〃0-Q1+〃2-L一。9)

故％+%+。6+/=-------------------------------------------------------------一％

1+(-3)9/、

=—--(-1)=-9840?

故答案為：-9840.

14.已知3犬+4丁+4盯一4x+2=0,貝|(》+1)分=.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】對3/+4/+4孫-4x+2=0變形為V+4盯+4/+2/-4x+2=0,配方成

(尤+2yy+2(x—丁=0,得到x=Ly=-g,進而得到答案.

【詳解】因為3關(guān)2+49+4D一4x+2=0,所以/+2x2+4丁+4孫一4x+2=0,

所以無2+4xy+4y2+2x2-4%+2=0,

所以（x+2yF+2（x—1）2=0,

因為（x+2y）2?0,2（X-1）2>0,

所以x+2y=0,%-1=0,

所以x=l,y=-g,

所以（x+l）4>=（1+1）4、鳥）=工

故答案為：1

15.已知關(guān)于X的方程|3%+1|-狽+。-1=0有兩個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍為.

、3

【答案】—3<a<—

4

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件分l，%>-j兩種情況討論，結(jié)合題意方程有兩個不等實根，則

33

°

x=@=，x=—J均為方程的根，根據(jù)題意兩種情況下a的取值范圍取交集即可.

3+aa-3

【詳解】根據(jù)已知條件：當(dāng)xW—；時，|3%+1|-依+。-1=0為一（3x+l）-ax+a-l=0,

°

整理有一（a+3）x=2—a,若a=—3,則方程無解，若aw—3,解得％='|大，

若^〃—一2是方程的解，則a^——24-1二且aw—3,

3+a3+a3

[a-21八3〃—6+3+a?4”3（0

----+-<03

3+a3,<3（3+〃）,|3（3+（2）,解得—3<a<：

4

ciw—3aw—3aw—3

當(dāng)x〉—工時，|3x+l|-ax+a-l=0為（3x+l）-ar+a-l=0,

整理有（3—a）x=—a,若a=3,則方程無解,

a1

a若'是方程的解,---->一一

若a/3,解得x=——則d-3---39

a—3a—3

aw3

a13ci+a—34-ct-3

----+->0>0>0，,3

a—33,<3（〃-3）,<3（Q-3）解得a<—或a>3；

4

aw3aw3aw3

因為關(guān)于X的方程\3x+l\-ax+a-l=Q有兩個不等實根,

3

所以以上兩個根都是方程的根，取交集則-3＜。＜一.

4

3

故答案為：—3＜。＜:.

4

16.如圖，邊長為3的正方形，E,歹分別是3C,CD上兩點，且AE=5戶，連接尸交于點M,若

2

圖中陰影部分面積是正方形面積的耳，則的周長為.

DFC

B

【答案】3+V15##715+3

【解析】

【分析】由題意，易證MLAE，設(shè)①?=b=x(0＜x＜3),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

93%r2

AM=后7、8"=后?、.=扃了，進而由陰影部分的面積建立關(guān)于“得方程’得

9+3xc/9+3x、2

*+9=9尤，表示出的周長為+3,求出(而L")即可求解.

【詳解】由題意知，在吊BCF^ORtABE中，BE=CF,AB=CB,

所以八=八ABE,貝l]8E=CF,NCEB=N8E4,又/CFB=/FBA,

所以NB￡A=NF8A,故NAMB=NABE=90°,即

4FAR

所以AEBABM,得絲=父，^BE=CF=x(0<x<3),

ABAM

A§29

則AE=49+￡，所以

得BM=。AB2-AM?=A,所以EM=JBE?-BM?=1,

V9+X2y/9+x2

所以陰影部門的面積為s=SmABFD-SABM+SBME=1(OF+AB)AD-^AM-BM+^EM-BM

:(6-+

22^772797729+V

XS=--32=6,所以.(18-3尤+3/-2公,

329+x2

整理得X?—9%+9=0，得f+9=9x,

9+3%

所以的的周長為A"+B"+3=R+3,

2

又(9+E3x)2=9(9^+x)+^54%=9+彳54x廠9+54x=凡所以9用+3x尸后r—，

9+3x

故.A3”的周長為+3=715+3.

故答案為：V15+3

17.如圖，邊長為6的正方形ABC。中，E在邊4。上，MAD=3AE,〃為C。的中點，尸在線段8M

上，則EP的最小值為.

【答案】275

【解析】

【分析】依題意，當(dāng)石尸_L5M時，EP最小，利用

SBEM=S正方形ABC。—SABE—DEM~BCM=-XBMXEP,求解即可.

當(dāng)上時，EP最小，

因為邊長為6的正方形ABC。中，￡在邊A。上，S.AD=3AE,M為CD的中點,

所以AB=3C=6,AE=2,Z)E=4,Z)Af=DC=3,BM=[BC?+CM。=36，

（1）當(dāng)a=3,y=0時，求+4%2+4%+3的值;

(2)當(dāng)-1W%W2時，二次函數(shù)y=f+ax+l的最小值為T,求a的值.

9

【答案】(1)2(2)6或一5

【解析】

【分析】把/換成—3尤-1后代入所求算式后計算即可；

先求出二次函數(shù)的對稱軸，再分對稱軸的值與給定區(qū)間的大小關(guān)系分別討論最值，求出符合條件的a即可.

【小問1詳解】

即尤2+3X+1=0=>爐=-3%-1S.X2+3X=-1>

又xi+4x~+4x+3—x,x2+4x~+4x+3=x(—3x—1)+4x~+4x+3—x2+3x+3——1+3—2.

【小問2詳解】

2

y=(x+—)2+1--,對稱軸為x=—@,

-242

①當(dāng)—■!<—1時，即a?2故當(dāng)x=—1時，Xnin=2—a=—4na=6符合

②當(dāng)一1<2時，即-4<a<2故當(dāng)》=一微■時，gin=4j=一4na=±2&'(舍去)

a9

③當(dāng)—22時，即〃<-4故當(dāng)％=2時，y疝=5+2〃=一4n〃=—符合

22

9

綜上：〃=6或一

2

k

20.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=笈+加交曲線y=-(x>0)于A、8兩點，交x軸于點C,過點A作

X

AD_Lx軸于點。，且DC=20。，連接2D

(1)若A點的坐標(biāo)為(1,2),求線段AB的長；

(2)若“且..A8D的面積為3,求k的值.

【答案】(1)V2

⑵6

【解析】

k

【分析】(1)將點A代入曲線y=*(x＞0)可得上=2,由點。坐標(biāo)可求出點C,進而得到直線/的方

尤

程，聯(lián)立方程得到點B坐標(biāo)，線段A3長度即可求.

(2)由題意，由直線/的方程可依次得到點C,。,A的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，借助韋達定理，可求點B的坐

標(biāo)，由SABO=S4C￡?-SBCD=3得到加2,由此求出々的值.

【小問1詳解】

k

因為點A(l,2)在曲線丁=人(尤＞0)上，

X

所以k=2,0(1,0),

因為OC=20D,所以C(3,0),

t+m-2[t--1

由〈八得，]_，

3t+m=0[m=3

故/：y=一％+3,

y=-x+3

由2得8(2,1),

y=一

IX

所以線段A2的長為^(1-2)2+(2-1)2=V2.

【小問2詳解】

,1工，1

當(dāng)/=一一時，l:y=一一x+m,

33

2m

所以C(3/n,0),D(m,0),A(m,—),

3

1

y=——x+m

，31

由＜,得一九之一"X+左=0,

k3

y

X

所以XA+XB=3根，故%B=2〃Z,所以3

SABD=SACD-SBCD=--CD-(yA-yB)=--2m-(^——)=—=3,

AHUaAC"BLD2'JA，b，2'33’3

所以m2=9,

_2m2m2,

Wk=m----=----=o.

33

x+y+z=9

21.解下列關(guān)于尤、y、z方程組：\x-+y-+z2=29.

x3+y3+z3=99

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】由題意，結(jié)合平方和、立方和公式，解方程組即可求解.

x+y+z=9x+y=9-z

【詳解】由爐+9+22=29,得＜x2+/=29-z2

x3+J3+Z3=99=(x+,)卜2―孫+J)=99—[3

,:2xy=(x+y)2-(%2+y2),xy=z2-9z+26,

(9-z)(29-Z2-Z2+9Z-26)=99-z3,即z3-9z2+26z—24=0，

(Z-2)(Z2-7Z+12)=0,解得z=2或3或4,

x—2x=3x-2x=4x=3x=4

y=3或＜y=2或＜y=4或,y=2或＜丁=4或,y=3

z=42=4z=32=3z=2、z=2

22.如圖，圓內(nèi)接四邊形A8C￡）中，G為對角線AC、8。的交點，過點。作OE//A5交AC于E,且

EG=GA,/在線段GD上，//AF,R=/DEF,連接CT.

D

(1)求證：ADEFs^CAD；

（2）求證：ZACB^ZDCF.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）結(jié)合題意可證明5Gg△即G,結(jié)合平行線的性質(zhì)與相似三角形的判定定理即可得;

（2）借助相似三角形的性質(zhì)與判定定理即可得.

【小問1詳解】

DE//AB,:.ZABG=ZEDG,

ZABG=ZEDG

在.ABG和△EDG中，有<NAGB=NEGD,

GA=GE

ABG”EDG,:.AB=DE,

四邊形ABED為平行四邊形，

：.BE//AD,\?DAE?BEA,

ZAEB=/DEF,:.ZDAE=ZD