余姚市2023學(xué)年高二第一學(xué)期高中期末試卷

數(shù)學(xué)試題

說明：本試卷分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分.

考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.經(jīng)過A（-1,2間,網(wǎng)2,6）兩點的直線的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】利用斜率公式和傾斜角與斜率的關(guān)系求解.

【詳解】解：因為直線經(jīng)過人卜1,2石）,3（2,0），

所以經(jīng)過該兩點的直線的斜率為左=括,2g=一正,

設(shè)直線的傾斜角為1,則tane=—無，

因為0<?<180，所以。=150，

故選：D

2.已知圓G：x~+y~—4x=0,圓。2：x2+y~—2x—2y+1—0,則兩圓的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離

【答案】B

【解析】

【分析】將圓的方程化為標準方程，得各自的半徑，圓心，結(jié)合圓心距滿足的條件即可判斷.

【詳解】由題意圓G：f+丁2-4工=0即圓G：（x—2）2+3?=4的圓心，半徑分別為

G（2,0）M=2,

圓。2：/+/一2x—2y+l=0即圓。2：（x—l）2+（y—1）2=1的圓心，半徑分別為G（L1）,馬=1，

所以兩圓的圓心距滿足彳一弓=1<=巧萬=夜<4+馬=3,

所以兩圓的位置關(guān)系為相交.

故選：B.

3.在平行六面體ABC?！狝4GR中，E為AA的中點，若3￡=乂45+”位＞+2441,貝|(x,y,z)=

()

【答案】A

【解析】

【分析】畫出圖形，由空間向量的線性運算法則，準確運算，即可求解

【詳解】由題意可作出平行六面體ABC。-44。］。］,如圖，

則BEMA+AvgaR=-A3+3A0+朋，

即故A正確.

故選：A.

22

4.雙曲線土-匕=1的焦點到漸近線的距離為()

24

A.V2B.2C.y/6D.氈

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線方程求解出焦點坐標和漸近線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求出結(jié)果.

22

【詳解】由題意可知雙曲線5=1,則焦點坐標(土6,0),漸近線方程為"c±y=0,

不妨取焦點(、后,0),漸近線缶-y=0,

|0x面

所以焦點到漸近線的距離為C_1=2,故B正確.

G

故選：B.

5.已知函數(shù)/(x)=cosx+sin2x,則/'U()

A.-3B.0C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得了'(%)=—sinx+2cos2],從而可求解.

【詳解】由題意得/，(x)=-sin%+2cos2x,所以/=—sin5+2cos12x3=-3.故A正確.

故選：A.

6.把正方形紙片A8CD沿對角線AC折成直二面角，E為A5的中點，歹為CD的中點，。是原正方

形ABCD的中心，則折紙后NEO廠的余弦值大小為()

AV6R百c_1D」

z\.----D.--------x_z.kJ.

6223

【答案】C

【解析】

【分析】要求NEOF的余弦值，需求EF，故要構(gòu)造RtAEFH,分別求FH,EH,易得FH,可通過余弦

如圖，連接。。，則DOLAC,過點尸作FH_LAC,垂足為連接FH,EH.

因平面ZMC_L平面ABC且平面ZMCc平面ABC=AC,FHu平面。AC,故得：切_1_平面

ABC,

又即u平面ABC,則設(shè)正方形ABCD邊長為4,則AC==20,

FH=-DO=42,AH=-AC=3y[2,

24

在ZVLEH中，由余弦定理可得：EH2=AH-+AE2-2AH-AEcos45

=18+4-2x372x2x—=10,

2

在RtAEFH中,EF=^EH2+FH2=273，又0歹=gAZ）=2,OE=g3C=2,

設(shè)NEO尸=。，在_田乃中，由余弦定理：cos0=~+vJ—'.

2OEOF82

故選：C.

7,數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列1,1,2,3,5,8L其中從第3項起，

每一項都等于它前面兩項之和，即生=%=1,?！?2=%+1+4,這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則下

列各式中正確的選項為（）

A.d-yQ]d-y~~~-I--CL-yQQ

B.Goi=%+/+/++CI99

C。101―。2+^4++」+“100

D.=2(/+4+%++%9)+1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)“斐波那契數(shù)列”的定義以及數(shù)列求和等知識求得正確答案.

【詳解】A選項，〃101=%00+%9，所以A選項錯誤.

B3^^工頁,“101^100+“99^99+^98+"992d^g+2〃99+^^7+“96

—2a99+Q97+Q95+。94=—2〃99+〃97+%5++%+。3+。2

=2的9+%7+。95++。5+。3+%，所以B選項錯誤.

C項，°101—400+^99—400+。98+。97—"100+”98+。96+“95

=。100+。98+^96++%+%+%，所以C選項錯誤.

D項，^101^100+“99”99+”98+^992a99+“982a99+“97+^96

設(shè)點Q（x2,y2）,則點

—i|_J1—J22

2

所以2b,,兩個等式作差可得五子+比子=0,可得咚胃b

門式/b2xf-x-

U2b2

^±A-0_2_

所以kOMkPQ=———=冬一￡

a2

一+?_QX；-%2%1-

2

因為橢圓「的離心率為e=￡

a

33

所以左°”左P°=—Z，即左2下島2=—7，故B正確.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是首先得到壇M=%F，再證明中點弦有關(guān)斜率之積的結(jié)論，從而得到

最終答案.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的是（）

A.直線x+y+l=0在y軸上的截距是1

B.直線儂+y+加+2=0（meR）恒過定點（T一2）

C.點（0,0）關(guān)于直線X-y—1=。對稱的點為（1,-1）

D.過點（1,2）且在x軸、y軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=0

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A項，將直線方程化成斜截式方程即得；對于B項，把直線方程化成關(guān)于參數(shù)，〃的方程，依

x+1=0

題得到17解之即得；對于C項，只需驗證兩點間的線段中點在直線上，且兩點的直線斜率與已

知直線斜率互為負倒數(shù)即可；對于D項，需注意截距相等還包括都為。的情況.

【詳解】對于A項，由x+y+l=0可得：y=-x-l,可得直線x+y+1=。在y軸上的截距是—1,故

A項錯誤;

%+1=0

對于B項，由mx+y+〃z+2=0可得：〃z(x+l)+y+2=0,因“eR,則有：＜

。+2=0‘

故直線“+丁+機+2=0（加€口）恒過定點（一1,一2）,故B項正確;

對于C項，不妨設(shè)4（0,0）,3（1,—1）,直線—1=0,因直線A3的斜率為-1與直線/的斜率為1的

乘積為-1,則得

11

又由點A到直線/的距離為與點8到直線/的距離為正相等，且在直線/的兩側(cè),故點（0,0）關(guān)于直

線x—y—1=。對稱的點為（1,—1）,即C項正確;

對于D項，因過點（1,2）且在x軸、y軸上的截距相等的直線還有y=2x,故D項錯誤.

故選：BC.

10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除

余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛4｝,其前幾項和為S“，則（）

A.qo=55B.a8-a6=24

C.Ho=280D.數(shù)列｛an｝共有84項

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意得現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一

列，則它們構(gòu)成首項為1,末項為499,公差為6的等差數(shù)列，由此即可逐一判斷每一個選項.

【詳解】1到500這500個數(shù)中能被2除余1的數(shù)有：1,3,5,7……499,

1到500這500個數(shù)中能被3除余1的數(shù)有：1,4,7……499,

由題意現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，

構(gòu)成首項為1，末項為499,公差為6的等差數(shù)列，

所以=6〃—5,（lW〃W84,〃eN*）,

10x+55

所以40=55,as-a6=12,S10=（^）=280,數(shù)列｛4,｝共有84項.

故選：ACD.

11.已知拋物線C：y=—的焦點為尸，點夕（餐，兒）為拋物線。上一動點，點4。＜3）,貝I（）

8

A.拋物線C的準線方程為y=2

B.|必+|尸耳的最小值為5

C.當飛=4時，則拋物線C在點尸處的切線方程為x+y—4=。

D.過A尸的直線交拋物線C于兩點，則弦MV的長度為16

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,直接由拋物線標準方程即可判斷；對于B,由拋物線定義結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可判斷；

對于C,設(shè)出切線方程（斜率為參數(shù)），聯(lián)立拋物線方程由判別式為。即可驗算；對于D,聯(lián)立"方程和

拋物線方程，結(jié)合韋達定理、焦點弦公式即可判斷.

【詳解】對于A,由題意拋物線C：必=-8＞的準線方程為y=2,故A正確；

對于B,如圖所示：

過點。向準線作垂線，設(shè)垂足為點5,過點A向準線作垂線，設(shè)垂足為點C,

所以+|PF|=+|PB|?|AC|=5,

等號成立當且僅當點尸與點E重合，點E為AC與拋物線的交點，故B正確；

對于C,切點為（4,-2）,且切線斜率存在，所以設(shè)切線方程為丁+2=左（X-4）,

聯(lián)立拋物線方程得龍2+8日—32左—16=0，

所以A=64左2+64（2左+1）=0,解得上=—1,

所以當/=4時，則拋物線C在點尸處的切線方程為％+y—2=0,故C錯誤；

對于D,由題意A。,—3）/（0,—2）,所以左釬二一；（；）=_i,

所以直線Ab：y+2=—%,即AF:x+y+2=0,聯(lián)立拋物線方程得/一8%—16=0，

所以工用+X、=8,=2-%+2_，N=4_（_為-2）=8+（x”+/）=16,故D正

確.

故選：ABD.

12.已知—e-y，則()

A.ln(x+_y+l)<0B.(x+y)2+l<ex+y

C.x+y>-siwc-sinyD.cosx-cos^>y-x

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，計算出x與y的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項分析.

【詳解】因為f—y2<e'—e-y,即無？—/<(—丁了—尸.

令/(x)=*—e',則有/(x)</(—y)，

則/(x)=2x-eX,令g(x)=2x-e"則g'(x)=2-e”,

令g'(x)=2-e*=0,可得i=ln2,

當xe(f。，ln2)時,g(%)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當xe(ln2,+co)時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

故g(x)B=g(ln2)=21n2-2<0,

所以總有/'(可<0,故"％)單調(diào)遞減；所以》>—兀即x+y>0；

對于A,ln(x+y+l)>lnl=0,故A錯誤；

對于B,設(shè)力(％)=6"—￡一1(%>0),則(x)=e*-2x=-/'(x)>0,

故/z(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增，所以/z(x)>/2(0)=0,

所以￡+l<e%x>0),因為x+y>。，所以(x+?+]</+>,故B正確；

對于C,x+y>-sinx-siny,gpx+sint>(-_y)+sin(-y).

設(shè)〃(尤)=x+sinx,則a(x)>M(—y),

則M'(X)=l+co&x20,所以"(x)單調(diào)遞增.

因為x>—V,所以故C正確；

對于D,cosx-cosy>_y2-x2,BPx2+cosx>y2+cosy,

令1%)=兀2+cosx,則

因為;■(-%)=+cos(-x)=x2+cosx=/(x),所以/(x)=*+COSX為偶函數(shù)，

所以即為.

則，(x)=2x-sinx,令〃z(x)=2x-sinY,則和(x)=2-co&x>0,所以單調(diào)遞增.

又771(0)=0,

所以當X?TX),0)時，m(x)<0,f(x)<0,函數(shù)r(x)單調(diào)遞減；

當XG(0,+8)時，777(X)>0,r'(%)>0,函數(shù)《X)單調(diào)遞增，

當一y<x<0時，r(-y)>r(x),故D錯誤；

故選：BC.

第II卷(非選擇題，共90分)

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知則2。一萬=.

【答案】(3,0,1)

【解析】

【分析】利用空間向量線性運算的坐標表示即可得解.

【詳解】由a=(l,Ll)］得2。_匕=(2,2,2)_(—1,2,1)=(3,0,1).

故答案為：(3,0,1)

a

14.已知.項等比數(shù)列｛%｝,4=1,且。2，^^一生成等差數(shù)列，則%024=.

V0231

【答案】匕J##產(chǎn)

【解析】

【分析】由%，%，—%成等差數(shù)列可得2%=%—。3,求出公比<7=(，從而求出數(shù)列｛%｝的通項公

式為=(:),即可求解.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q(q>0),

1

由題意知。2，〃4，一。3成等差數(shù)，貝!J2%=%一/，即2/=1—/解得=一1（舍）,

2

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為4=則

故答案為：.

22

15.若直線/與單位圓和曲線L-匕=1均相切，則直線/的方程可以是（.寫出符合條件的一

43

個方程即可）

【答案】丫:土空X土叵（寫出符合條件的一個方程即可）

33

【解析】

22

【分析】設(shè)直線方程為：y=kx+b,根據(jù)直線/與單位圓和曲線L一匕=i均相切，方程聯(lián)立，由判別式

43

為零求解.

【詳解】解：易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：y=kx+b,

y=kx+b

由＜消去y得:(l+k2)^+2kbx+b2-l=0,

+/=1

則4=4左2/一4(1+/)(1)=o,化簡得從=1+-,

y=kx+b

由＜元2y2,消去y得：(3—4左2)]2—8劭X—4Z?2—12=0,

--------1

143

貝必2=64//—4(3—4/)(—4/-12)=0,化簡得尸=16左？—4,

22

b=l+k97942x/3J?!

由＜2c，解得"=1,k=—,貝|%=±----,b=土------

b2=4k2-33333

所以直線方程為：丁=±2叵％±'11,

33

故答案為：＞=±2叵》±叵（寫出符合條件的一個方程即可）

33

16.已知函數(shù)/（x）=e2x+（l—2a）e「4a（acR）有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】（L+8）

【解析】

【分析】由函數(shù)求導(dǎo)后，對導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)。進行分類討論，在。>0時，通過判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性求

得其最小值，依題需使“XL<0推得a>l；接著分段說明函數(shù)在區(qū)間Ina)和(Ina,+“)

上各有一個零點即得.

【詳解】由/(x)=e2*+(l-2a)eX—<xt(aeR)求導(dǎo)可得：

/(x)=2e2-v+(1-2a)ex-?=(eA-?)(2eA+1)

當aWO時，八%)>0,/(x)在R上單調(diào)遞增，所以/(%)至多有一個零點.

當a>0時，由/i'(%)<()可得：x<lna,由可得：X>lna,故函數(shù)/(%)在(—“Jna)上

單調(diào)遞減，在(Ina,+“)上單調(diào)遞增，

所以，當x=lna時，/(%)取得最小值，

/(x)min=/(lna)=a-a2-alna=a(l-a-Ina).

令〃(a)=l-a-lna,ae(0,+<x>^,則=所以，/z(a)在(0,+”)上單調(diào)遞減.

又/z(l)=0,所以要使/(力而口<0,即〃(a)<0,則a>l.

又因為/(T=J+「+aJe+：；(e-2)〉o,

所以/(%)在(一8,1n〃)上有一個零點.

又了(ln(3a))=3/+3a-aln(3a)=a[3a+3-ln(3a)]=a[(3a-l)-ln(3a)+4]

令g(x)=x—l—lnx,xe(3,+e),貝!Jg，(x)=l--=-——>0,所以g(x)在(3,+“)上單調(diào)遞增，

JCX

因為”>1,所以3a>3,所以g(3a)=3a—1—ln(3a)>g(3)>0,所以

f(in(3a))=a[3a+3-In(3a)]>a[g(3a)+4]>4a>0.

所以/(x)在(Ina,+s)上也有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍是(1,+。).

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解；

(4)分類討論法：通過對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合函數(shù)簡圖進行推理求

解.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)〃耳=，3_2/+3%為常數(shù))，曲線y=/(x)在點4(—1"(—功處的切線平行于

直線y=8x-7.

(1)求。的值；

(2)求函數(shù)/(%)的極值.

【答案】(1)。=1

(2)極大值為/(l)=g,極小值為/(3)=0

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)得/'(1)=4。+4=8,由此即可求解；

(2)求導(dǎo)得/'(x)=f—4x+3=(x—l)(x—3),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系列表即可得解.

【小問1詳解】

于'(x)=x2—4ox+3,

?.?在點A(-l,/(-l))處的切線平行于直線y=8x—7,

/'(-1)=4a+4=8,a=1；

【小問2詳解】

由⑴可得/'(x)=f-4x+3=(xT(x-3),

令得力>3或x<l,列表如下：

(-8,1)1(L3)3(3,+co)

+0—0+

/(X)/極大值極小值/

4/、

極大值為/(1)=耳，極小值為/(3)=0.

18.已知.ABC的三個頂點4(—3,2),5(2,1),C(-2,-3).

（1）求邊上中線A。所在直線的方程;

（2）己知點P（羽y）滿足S詠=4,且點P在線段AC的中垂線上，求點尸的坐標.

【答案】(1)x+y+l=O

5_j_153

(2)或

4，-4

【解析】

【分析】（1）首先得中點坐標，進一步求得AD所在直線的斜率，結(jié)合點斜式化簡即可求解;

⑵首先得忸。=40,直線的方程為X—y—1=0,結(jié)合5詠=4以及點到直線的距離公式得點

P所在直線方程為x—y+l=O或x—y—3=0,進一步求得線段AC的中垂線方程，聯(lián)立即可得解.

【小問1詳解】

由題意中點。（0,—1）,

所以A。所在直線的斜率k=2—（T=-1,

-3-0

所以A。所在直線的方程為y+1=-x，

即5C邊中線所在直線的方程x+y+l=0；

【小問2詳解】

因為8(2,1),C(-2,-3),所以忸。|=&6+16=4行,

=L所以直線的方程為丁―1=%—2,即x—y—1=0,

—2—2

設(shè)點P到直線的距離d,則由題意SMe=；x4&=4,

所以點尸到直線的距離d

貝!1點尸所在直線方程為x-y+l=0或x—y—3=0,

因為4(—3,2),C(-2,-3),

-3-2=—5,線段AC中點坐標為-g,一g

所以&1c—_2—(-3)

所以線段AC的中垂線為y+g=g5

XH------,即

2

x—y+l=0x-y-3=0

所以聯(lián)立《1或<1

y=~xy=-x

55

5

所以點尸的坐標為:或

47

19.己知數(shù)列｛4｝的首項％=1,且滿足4+1

%+2.

（1）證明：數(shù)列|工一1（是等比數(shù)歹！J；

142J

1111

(2)若---1-----H----F-\----<2024,求正整數(shù)〃的最大值.

Cl?^^3

【答案】（1）證明見解析

(2)4046

【解析】

【分析】（1）兩邊取倒數(shù)結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證;

（2）由分組求和以及等比數(shù)列求和公式得前〃項和，結(jié)合其單調(diào)性即可求解.

【小問1詳解】

易知｛4｝各項均為正，對4+1兩邊同時取倒數(shù)得,

111(1

即-------二一

a

n+l2227

111

因為或-5二5

所以數(shù)列||是以51為首項，；1為公比的等比數(shù)歹U.

[42J22

【小問2詳解】

分別取AB,CD中點Q尸，連接PO,OF,

由已知底面ABC。是直角梯形，BC//AD,ABJ.BC,PA=PB,

易得0尸LAB,POLAB,

:平面叢6,平面ABCD，平面ELBc平面ABCD=AB，POu面PAB,

?*.PO1平面ABCD,

又因為OFu平面ABCD,

所以POLQE,

以。中心，以。民。工OP所在直線分別為蒼％z軸建立空間直角坐標系,

則網(wǎng)0,0,6),以-1,0,0),3(1,0,0),。(1,1,0),。(-1,3,0),尸(0,2,0),

PE=2PD(0<2<1),

CE=CP+PE=(-1-2,3>1-1,A/3-A/32),

顯然OF=(0,2,0)是平面PAB的一個法向量,

若CE〃平面Q45,則CE.Ob=2(3X—1)=0=/=；,即；1=；；

【小問2詳解】

若2=；,則P(0,0,后),{-1,0,0),5(1,0,0),。(1/,0),。(-1,3,0),尸(0,2,0),

/

513勿

由(1)CE=CP+PE=(—1—434—1,百一后)=

廠了丁)

/133面

所以E~,~~7,~

444

所以A3=(2,0,0),AE=,PC=(1,1,-73),PD=(-1,3,-A/3),

設(shè)〃z=(a,ZJ,c),”=(%,y,z)分別為平面ABE與平面PCD的一個法向量,

定義域為(0,+8)，

制r，/、1,,,1ax2+(a+l)x+l(x+l)(4x+l)

則j(%)=——FQX+Q