四川省濱陽市樂至中學2024屆高考考前模擬數(shù)學試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數(shù)2=/-,則復數(shù)Z的虛部為（）

3+4z

444.4.

A.—B.C.—iD.i

5555

2…+log,%,—1<x<1

2.已知函數(shù)/（x）=28，若/（。）=/3）（。<3,則曲的最小值為（）

2r,l<x<2

參考數(shù)據(jù)：In2合0.69,h?2合0.48

A.-B.受C.log,73D.—

242

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+?）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=GB./（%）=xsin%C./（x）=x2+|%|D.y=|x+l|

4.若xG（0,1）,a=lnx,,c=elnx,則a,b,c的大小關系為（）

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

5.已知函數(shù)f（x）=sin（ox+。）（。>Q,\（p\<|）的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關于V軸對

jr

稱，則/（X-7）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.—+^,—+kZB.-------卜k兀,—卜k兀keZ

3636

?757r7

C.---------F卜兀,------FK71keZD.------\-kn.——\-knkeZ

1212_63

2

6.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當I>0時，f(x)=x+——3.若xKO,則/(%)<。的解集是()

x

A.[-2,-1]B.(-a),-2]u[-1,0]

C.(f,—2]3—L0)D.(f—2)D(T0]

2〃+1

7.已知數(shù)列｛4｝的通項公式是??=/sinn貝!]%+a2+〃3+%2=()

2

A.0B.55C.66D.78

8.在“+5](2x+l)3展開式中的常數(shù)項為()

A.1B.2C.3D.7

9.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（)

B.4

13

C.TD.5

10.函數(shù)〃力=-^^+111（%+1）的定義域為（）

A.(2,+co)B.(―1,2)D(2,+8)C.(-1,2)D.(-1,2]

11.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車,等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,

設計兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐

第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為Pl,P2,則（）

115

A.Pi?P=-B.Pi=P=-C.Pi+P=-D.P1VP2

243262

TTTTTT

12.已知函數(shù)/（為=5也（如+。）（0＞0,0＜。＜1）滿足/。+1）=/（月,/（五）=1,則/（一五）等于（）

AV2RV2r￡n￡

2222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽粒，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品

嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1

的正三角形構成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為一；若該六面

體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為一—.

14.已知等比數(shù)列｛%,｝的各項均為正數(shù)，％+。5=4,。4+。3-。2-囚=1，則內(nèi)的值為.

15.已知不等式卜+2用無|＜。的解集不是空集,則實數(shù)。的取值范圍是_；若不等式

4+361-11

x"+x—11+1x~+x+2一達——L對任意實數(shù)a恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是__

16.設函數(shù)/(x)(xeR)滿足/(—%)=/(%),/(%)=/(2-％),且當xe[0,1]時/(%)=/,又函數(shù)g(x)=|xcos(?龍)|,

13

則函數(shù)/幻=gCO-/⑴在［-有力上的零點個數(shù)為.

22

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛為｝的各項均為正數(shù)，S.為其前"項和，對于任意的“GN*滿足關系式2s“=3%-3.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

13

(2)設數(shù)列｛4｝的通項公式是用=——，前〃項和為北，求證：對于任意的正數(shù)”，總有7；＜：.

log3a?-log3a,ln+24

18.(12分)在直角坐標系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為＜7(a為參數(shù))，以原點。為極點，以x軸正

y=sina

7T

半軸為極軸，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕sin(e+：)=2.

6

(1)求曲線G的普通方程與曲線的直角坐標方程;

77

(2)設A,3為曲線G上位于第一，二象限的兩個動點，且ZAOB=Q,射線。4,03交曲線C2分別于C,求AAOB

面積的最小值，并求此時四邊形ABC。的面積.

19.(12分)/(%)=^cos2x+2sin(^+sin(^-%),xeR,

(1)求/(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,且/(A)=—g,a=3,求邊上的高的最大

值.

22

20.(12分)已知直線x+y=l過橢圓二+與=l(a〉6〉0)的右焦點，且交橢圓于A,B兩點,線段A5的中點是

ab

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線/與線段A3相交（不含端點）且交橢圓于C,。兩點，求四邊形AC3D面積的最大值.

21.（12分）某調(diào)查機構為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x（噸）對價格y（千克/噸）和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和

價格統(tǒng)計如下表：

X12345

y17.016.515.513.812.2

（1）求y關于x的線性回歸方程y=%+6；

（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設該產(chǎn)品可全部賣出，預測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤w取到最大值?

￡.%一〃?"?z（.一元）（%一3）

參考公式：b=上，-----------=。-------------,a=y-bx

儲;-戒2方（“可2

i=\i=\

22.（10分）已知數(shù)列｛%｝,也｝,數(shù)列｛媼滿足"為偶數(shù)，〃eN*.

⑴若4=〃，2=2",求數(shù)列｛%｝的前2”項和Q；

（2）若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且對任意"eN*，c〃+i〉g恒成立.

①當數(shù)列也｝為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列｛4｝,也｝的公差相等；

②數(shù)列出｝能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列也｝;若不能，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出

【詳解】

_55(3-旬=34.

3+4/-(3+4z)(3-4z)-5-5Z，

4

則復數(shù)z的虛部為-

故選：B.

【點睛】

本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

2、A

【解析】

首先八1)的單調(diào)性，由此判斷出由/(”)=/3)求得。力的關系式.利用導數(shù)求得1082"的最小值，由

l<b<2

此求得ah的最小值.

【詳解】

2+log,x,-<x<l/、、

由于函數(shù)/(x)=28，所以/(九)在上遞減，在［1,2］上遞增.由于/(a)=/3)(a<。)，

O)

2\1<%<2

/，］=2+log，=5,/(2)=22=4,令2+log/=4,解得％=工，所以且2+logitz=2",化簡

⑻324I。5

x

得log2a=2-2",所以log2ab=log2a+log26=2-2"+log2b,構造函數(shù)g(x)=2-2+log2x(l<x<2),

g'(x)=-2xln2+-^—=-2.構造函數(shù)力⑴=「尤.ZFn?2(l<x<2),

xIn2xIn2

h(x)=-(1+%ln2)-2V-In22<0,所以h(x)在區(qū)間(1,2］上遞減,而力⑴=1—2"2々1—2x0.48=0.04>0,

/i(2)=l-81n22?1-8x0.48=-2.84<0,所以存在不?1,2),使M%)=0?所以g(尤)在。，/)上大于零，在

(天,2)上小于零.所以g(x)在區(qū)間(1,3)上遞增,在區(qū)間(尤0,2)上遞減.而g⑴=0,g(2)=2-2?+log22=-1,所

以g(x)在區(qū)間。,2］上的最小值為—1,也即log2仍的最小值為-1,所以質(zhì)的最小值為2-1=j.

故選：A

本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.

3、C

【解析】

結合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結合各選項進行判斷即可.

【詳解】

A：>=孤為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

B：/(%)=*11*在(0,+00)上不單調(diào)，不符合題意；

C：y=為偶函數(shù)，且在(0,+“)上單調(diào)遞增，符合題意；

D：y=|x+l|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎題.

4、A

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

【詳解】

VxG(0,1),

,\a=lnx<Qf

b=(—)lnx>(—)°=1,

22

OVc=￡〃xVe0=l,

.?.a,b,c的大小關系為辦>c>a.

故選：A.

【點睛】

本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

5、D

【解析】

先由函數(shù)/(%)=sin(s+0)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)/(x)=sin(s+0)的解析式，從而

兀TT

得出/(X—-)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)/(x)=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)/(X-￡)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選

項.

【詳解】

因為函數(shù)/(%)=5皿5+0)(。>0,附<工)的最小正周期是乃，所以兀=如，即啰=2,所以/(x)=sin(2x+。),

2co

/(x)=sin(2x+0)的圖象向左平移在單位長度后得到的函數(shù)解析式為

y=sm2yx+—^+(p-sm^2x+—+^J,

由于其圖象關于y軸對稱，所以《+夕=/+2初次eZ,又|同<?所以°=弓，所以/(x)=sin[2x+\,

71

所以/(%—：)=sin

6

7171

因為/(x)=sinx的遞增區(qū)間是：一?+2上萬,2左萬+耳,k&Z,

TTTTTTTTTT

由+2k7i<2x<2k7i-\——,keZ,得：----vkji<x<kn——,keZ

26263f

jrjrjr

所以函數(shù)/(X—:)的單調(diào)遞增區(qū)間為一二+左犯;+左乃(丘Z).

6L63_

故選：D.

【點睛】

本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進行圖象的平移時，注意自變量的系數(shù)，屬于

中檔題.

6、B

【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得了(%)在％<0時的解析式和/(0),進而構造出不等式求得結果.

【詳解】

/(%)為定義在R上的奇函數(shù)，??./(O)=O.

當x<0時，一x>0,------3,

2

/(X)為奇函數(shù)，，/(x)=-/(-x)=x+-+3(x<0),

X

x<0

由<得:xW—2或一lWx<0；

xH----1-3<0

x

綜上所述：若x<0,則的解集為(f),—2][-1,0].

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的應用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式；易錯點是忽略奇函數(shù)在％=0處有意義

時，/(0)=。的情況.

7、D

【解析】

先分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出sin(爸1萬]的值，可進一步得到數(shù)列｛??｝的通項公式，然后代入

q+%+/+…+%轉化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結果.

【詳解】

2n+l=sin『萬+A=sin「+A37r

解：由題意得，當〃為奇數(shù)時，sin------71=sm——=T,

22

sm^^=sin^^=smj=l

當〃為偶數(shù)時,+

1

所以當“為奇數(shù)時，an=-n；當〃為偶數(shù)時，4=外,

所以q+%+%----1~〃12

=-12+22-32+42------112+122

(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

_12x0+12)

-2

=78

故選：D

【點睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

8、D

【解析】

求出(2%+1)3展開項中的常數(shù)項及含X的項，問題得解。

【詳解】

(2%+1)3展開項中的常數(shù)項及含X的項分別為：

C；(I)3(2x)°=1,(2%)\12=6%,

所以］+1}21+1)3展開式中的常數(shù)項為：lxl+：x6x=7.

故選：D

【點睛】

本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉化思想，考查計算能力，屬于基礎題。

9、B

【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐A-C2E放入長方體中，利用體積分割求解即可.

【詳解】

如圖，三棱錐的直觀圖為A-C0E,體積

匕4—C*=5:方體AG-VBB^E—A\F-VE-CCQADiFADC

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故選:B.

4

//\I//

/f-\//

y、-W/

8k-------------?

【點睛】

本題主要考查了錐體的體積的求解，利用的體積分割的方法，考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.

10、C

【解析】

2-x>Q

函數(shù)的定義域應滿足，c，:.—1〈尤<2.

1+尤>0

故選C.

11、C

【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.

【詳解】

三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐車可能：132、213、231,所以，Pi=-；

6

2

方案二坐車可能：312、321,所以，Pi=-；

6

所以Pl+P=7

26

故選C.

【點睛】

本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.

12、C

【解析】

設/(九)的最小正周期為T，可得U=〃,〃eN*,則0=2〃2eN*,再根據(jù)，專1=1得

</>=-+2k7r-n--,k^Z,n^Nt,又0<0(工，則可求出〃一12左=2,進而可得了(—△).

26312

【詳解】

解：設/(九)的最小正周期為T,因為/(%+=)=/(%),

所以nT=兀/GN*,所以T=—=—,zieN*,

nco

所以co=2n,neN",

又二1=1，所以當x=C時，cox+(p=n-—+</>=—+2k/r,

U2j1262

:.(/)=^+2kn-n-,k&Z,n&N*,因為0<°<g

八TT—7TCTC

0<—F2kji—YI,—〈—,

263

整理得1<〃一12左<3,因為〃一12左eZ,

.\n—12k=2,

:.(i=-']L+2k7r-/(2+12\kY)L-=J-L,則〃?']L生+J々L=']々L+2左乃

2l'66662

nn兀

———F2k兀

63

所以"一逐戶sm[2”1一歷J+6

=sin----2kn-\——

I36

故選：C.

【點睛】

本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性，考查學生分析能力和計算能力，是一道難度較大的題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

inV28屈式

■LJ、--------

6729

【解析】

⑴先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的2倍，即可得出該六面體的體積；（2）由圖形的對稱性得,

小球的體積要達到最大，即球與六個面都相切時，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.

【詳解】

fl百

⑴每個三角形面積是S=-xlx^-=]?，由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的，

（22J4

可求出該四面體的高為[走]巫,故四面體體積為_Lx立

V3334312

因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是YZ;

6

(2)由圖形的對稱性得，小球的體積要達到最大，即球與六個面都相切時，由于圖像的對稱性，內(nèi)部的小球要是體積最

大，就是球要和六個面相切,

連接球心和五個頂點，把六面體分成了六個三棱錐設球的半徑為R,

所以邛,

也.8府

故答案為:

V；"729"

【點睛】

本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求

解球的體積關鍵是判斷在什么情況下，其體積達到最大，考查運算求解能力.

14、V2-1

【解析】

運用等比數(shù)列的通項公式，即可解得由.

【詳解】

(〃6+。5=4j〃5(l+9)=4

解：V

%+%—%—=1%(1+q)—(1+Q)—1

44

42

:.a3x--alx---=lf4=4(q_4),q-4q+4=0,

⑷-2)2=0,q'=2,:.q=0,q"=4,

54

atq+a,q=4,(v2+1)4=1,

故答案為：V2-1,

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項公式及應用，考查計算能力，屬于基礎題.

15>?>2,xe(-00,-2]o[1,-H?)

【解析】

利用絕對值的幾何意義，確定出|無+2+國的最小值，然后根據(jù)題意即可得到。的取值范圍

-\a-

?9,?9?Itz+1|13tz—11+1|13tz—11

化簡不等式X2+X—I+X2+X+1NJ—科——L,求出I_II——L的最大值，然后求出結果

|?|同

【詳解】

卜+2|+|%|的最小值為2,則要使不等式的解集不是空集，則有〃22

2

-2+—?a<-

-4；-l<a<0

化簡不等式J+%—"+]X+%+12

4；0<a<—

3

+x+x+l>4

…X—或%—

+X—1+%2+X+1=<

當2必+2%24時滿足題意，解得xW—2或

所以答案為無￡-2]o[l,+oo)

【點睛】

本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式，要注意到絕對值的幾何意義，數(shù)形結合來解答本題，注意去絕

對值時的分類討論化簡

16、1

【解析】

判斷函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，周期為2,判斷g(x)為偶函數(shù)，計算/(0)=0,/(1)=1,g(0)=g(1)=g(—g)=g(；)=0,

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像到答案.

【詳解】

/(—x)=/(x)知，函數(shù)/(尤)為偶函數(shù)，/(x)=/(2—x),函數(shù)關于x=l對稱。

f(x)=f(2-x)=f(x-2),故函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，

f(x)2fi/(0)=0,/(l)=lo

g(x)=|xcos(?x)|為偶函數(shù)，g(O)=g(g)=g(—g)=gg)=o,g⑴=1,

當xe時，g(x)=xcosOrx),g'(x)=cos“rx)-Gsin(G),函數(shù)先增后減。

,a3…

當時'g(x)=-xcos(^-x),g'(x)=%xsin(〃x)—cos(%x),函數(shù)先增后減。

在同一坐標系下作出兩函數(shù)在［-］313

,萬］上的圖像，發(fā)現(xiàn)在［-5，萬］內(nèi)圖像共有1個公共點,

2

13

則函數(shù)以幻在［-萬為］上的零點個數(shù)為1.

故答案為：6.

本題考查了函數(shù)零點問題，確定函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a,=3"(2)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)公式an=Sn-S.T得到an=3^(/1>2),計算得到答案.

(2)bn^\--一3—根據(jù)裂項求和法計算得到一一得到證明.

【詳解】

(1)由已知得("22)時，2(S?-Sn_x)=3an,故a“=3%("N2).

故數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且公比4=3.

又當〃=1時，2a1=3%-3,.1q=3.，a“=3".

711411)

(2)bn-..........................=-----------=--------------.

一一“k)g3a“?logs*H(H+2)2^nn+l)"

,1=偽+么+

+\nHn+2

1

2〃+1

【點睛】

本題考查了數(shù)列通項公式和證明數(shù)列不等式，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.

fL329

18、(1)—+y2=1；x+V3y-4=0(2)AQS面積的最小值為一；四邊形的面積為一

3-44

【解析】

(1)將曲線G消去參數(shù)即可得到G的普通方程，將x=〃cos。，y=〃sin。代入曲線。2的極坐標方程即可；

JFJF

(2)由⑴得曲線G的極坐標方程，設A(g,e),3(2,。+萬)，。(03，')，c(p4,^+-)

114211413

利用方程可得r+F=1,再利用基本不等式得——^—+—=T,即可得5小。3=二P1327，根據(jù)題意知

AA3AAP；A3024

SABCD=S&COD~SM0B，進而可得四邊形ABCD的面積.

【詳解】

X=、/3COSOf丫2

(1)由曲線G的參數(shù)方程為(￡為參數(shù))消去參數(shù)得上+y2=i

y=sina3

TTjrjr

曲線C的極坐標方程為psin(0-\——)=2,即psin0cos—+pcossin—=2,

2666

所以，曲線G的直角坐標方程x+百y-4=0.

（2）依題意得G的極坐標方程為金笠2+夕2sin?9=1

jrjr

設A（g,e）,3（0,e+］）,D（P3,0）,c（p4,3+-）

p：cos202.2八，速sin2022八，4

則^--------np；sm"9=1,--------1-p'cos'0=\,故r+F=刀

3132PiA3

2114萬

——^―+—=T,當且僅當夕|=22（即8=7）時取心”，

3

P\p2AP24

133

故SMOB=-P1P2即^OB面積的最小值為--

o，八_1____2__________2____4_

此時XCOD_2°3夕4_2./乃兀;771~71~,

sin(——k—)cos(——h-)cos

46463

329

故所求四邊形的面積為=SAC。?！?8—]=w

【點睛】

本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查

了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

19、(1)f(x)的最小正周期為：%;函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為：

[k^+—,k^+—](keZ)；(2)

12122

【解析】

(1)根據(jù)誘導公式，結合二倍角的正弦公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡成余弦型函數(shù)解析式形式，利用余弦型

函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性進行求解即可；

(2)由(1)結合/(A)=—百，求出A的大小，再根據(jù)三角形面積公式，結合余弦定理和基本不等式進行求解即可.

【詳解】

(1)

/(%)=A/3COS2X+2S^N(~+%)sin(?-x)

=A/3COS2X-2COSxsinx

=A/3COS2X-sin2x

=2cos(2無+令

/(X)的最小正周期為：7=可=%；

JT57r117T

當2左》+〃《2%+—42左》+2?(左￡2)時，即當匕TH---<x<k7i-\-----(左eZ)時，函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，所以函

61212

數(shù)/(元)單調(diào)遞增區(qū)間為：木萬+1|,1br+g](左eZ)；

(2)因為/(A)=—百，所以

/(A)=2cos(2A+-)=-V3ncos(2A+-),

662

,八TC_.7CTC7TC..TC57c.TC

Ae(0,—),J.2AH—E.(—,—)2A-\———A=—

2666663

設J5C邊上的高為h,所以有=—besinAnh=^-bc,

226

由余弦定理可知：er=b2+c2-2bccosA^9=b7+c2-bcb2+c2>2bc:.bc<9(當用僅當3=c時，取等號),

所以h力be工史,因此邊上的高的最大值逑.

622

【點睛】

本題考查了正弦的二倍角公式、誘導公式、輔助角公式，考查了余弦定理、三角形面積公式，考查了基本不等式的應

用，考查了數(shù)學運算能力.

20、(1)—+/=1(2)

2-3

【解析】

42

（1）由直線X+y=1可得橢圓右焦點的坐標為（1,0）,由中點〃可得占+%=*X+%=］，且由斜率公式可得

%一%一,由點口在橢圓上，則》興序+5=「者作差,進而代入整理可得儲=2"，即可求解;

（2）設直線l:y=kx,點A,B到直線/的距離為4,d2，則四邊形的面積為S=^\CD\-dl+1|CD|-4=今。|（4+4）,將

>=區(qū)代入橢圓方程，再利用弦長公式求得|8卜利用點到直線距離求得4,根據(jù)直線/與線段A5（不含端點）相交,

可得（-0一1）白+：皿即八q,進而整理換元，由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.

【詳解】

（1）直線x+y=1與x軸交于點（1,。），所以橢圓右焦點的坐標為（1,0）,故c=1,

因為線段的中點是“

42

設A（%,%）,5（%％），則須+馬=§，％+丫2=§，且AZ2L=_I

22

，作差可得太%一%

乂又工/+2/L=0,

b2

則(尤2—尤J(%+xJ?—X)(%+M)=0,得42=2廿

a2b2

又〃之=b1+c2,c=1,

所以/=2,〃=1,

因此橢圓的方程為

4

X221%二一

—+V-=1x=03

(2)由(1)聯(lián)立〈2，解得或,

gr

x+y=ly=——

3

不妨令，易知直線I的斜率存在,

設直線/：、=6，代入］+丁=1,得(2左？+1卜2=2,

解得x=或一

,2矛+1J2F+1'

應722直

設c(演,土),。(4%),則居—----*=—

42/2+1，2好+1,2左2+1，

22

貝！11CZ)|=A/1+k|x3-x4|=A/1+k'/5:,

42^+1

襄+』

因為A(O,I)，K」到直線了=日的距離分別是_]1-33],

c/|d

由于直線，與線段相(不含端點)相交，所以叱?！凹?外1。，即心廿,

33

-k+-%+1)

所以4+4=『一?—

,2

J1+左2Jl+k

四邊形AC皿的面積5=卬4總3(4+&)=殍

3

令4+1=力＞一,貝！12k2+1=21一4/+3,

4

S*4A/24四1'1

所以3匹-3V2f2-4z+33

2--+3

4A/21473

12Is=--------X

當_=_，即左=_時,324-163

t32

12

因此四邊形AC6D面積的最大值為迪.

3

【點睛】

本題考查求橢圓的標準方程，考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查運算能力.

21、(1)R18.69T.23x(2)當x=2.72時，年利潤z最大.

【解析】

(1)方法一：令2=丁-10,先求得z關于x的回歸直線方程，由此求得y關于x的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸

直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.

(2)求得w的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預測.

【詳解】

(1)方法一：取2=丁-10,則得X與z的數(shù)據(jù)關系如下

X12345

z7.06.55.53.82.2

x=|(l+2+3+4+5)=3,

z=1(7.0+6.5+5.5+3.8+2.2)=5,

5

Z%z：=1x7.0+2x6.5+3x5.5+4x3.8+5x2.2=62.7,

i=l

5

222222

^XZ=1+2+3+4+5=55.

i=l

5

2%/廠5藥<a