2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五

類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素，則2

11

C.1D.-

45

x-2,(x>10)

2.設(shè)/⑴=，則〃5)=()

/[/(%+6)],(x<10)

A.10B.11C.12D.13

3.雙曲線G：(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為E(c,0)(c>0),且雙曲線G的兩條漸近線與圓

ab

*

(%-c)2+y2=［均相切，則雙曲線G的漸近線方程為()

A.x±y(3y=0B.y/3x±y=0C.A/5x±y=0D.x±y/5y=0

4.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛an］的前n項(xiàng)和為，且滿足S6-2S3=2,則，的最小值為

A.8B.16C.24D.36

5.已知命題P：若Q<1,則則下列說法正確的是()

A.命題"是真命題

B.命題〃的逆命題是真命題

C.命題。的否命題是“若a<1,則

D.命題，的逆否命題是“若片21,則。<1"

22

6.已知月、工分別是雙曲線C：，-2=l(a>02>0)的左、右焦點(diǎn)，過B作雙曲線C的一條漸近線的垂線，分

別交兩條漸近線于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)3作x軸的垂線，垂足恰為《，則雙曲線。的離心率為()

A.2B.73C.273D.布

7.如圖所示，為了測量4、3兩座島嶼間的距離，小船從初始位置C出發(fā)，已知A在C的北偏西45。的方向上，B在

C的北偏東15°的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)￡處，此時(shí)測得3在E的北偏西30°的方向上，再開回。處，

由C向西開2面百海里到達(dá)。處，測得A在。的北偏東22.5°的方向上，則4、3兩座島嶼間的距離為()

A.3B.372C.4D.472

8.已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)尸(2,-1)在角a的終邊上，貝!]sin]/-2a

()

4433

A.----B.—C.--D.一

5555

9.已知a=log374,b=log2m,c=g,若則正數(shù)m可以為()

A.4B.23C.8D.17

10.函數(shù)g(x)=Asin(a>x+0)(A>O,O<0<27r)的部分圖象如圖所示，已知g⑼=,函數(shù)y=/(x)

的圖象可由y=g(x)圖象向右平移g個(gè)單位長度而得到，則函數(shù)/(%)的解析式為()

A./(x)=2sin2xB./(x)=2sin2x+—

C./(x)=-2sinxD./(x)=2sin2x---

11.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比q/1,且%，：％，成等差數(shù)列，則"幺的值為（）

2。4+。5

1-小口A/5+1

A.-----------15?-------------

22

C.6-1D.岔+1或6一1

222

12.已知等差數(shù)列｛%｝滿足％=2,公差dwO,且6,。2，生成等比數(shù)列，則1=

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)積為北，。4。8=4,1。8/；41=7（6>0且6/1）,則6=

14.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是.

15.在（2-x）5的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.

16.對定義在［0H上的函數(shù)/Xx）,如果同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:

(1)對任意的％e[0,1]總有/(%)..0；

（2）當(dāng)孫.0,x2..O,%+%2”1時(shí)，總有/（七+七）一/（玉）+/（%2）成立?

則稱函數(shù)/（X）稱為G函數(shù).若h（x）=a-2x-l是定義在［0,1］上G函數(shù)，則實(shí)數(shù)?的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)46c的內(nèi)角4、3、C的對邊長分別為。、b、c.設(shè)S為45c的面積，滿足5=乎（/+02—52〉

⑴求B；

⑵若6=百，求（若一l）a+2c的最大值.

18.（12分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中

隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會闖紅燈，處罰時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)：

處罰金額X（單位：元）5101520

會闖紅燈的人數(shù)y50402010

若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.

（1）當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低多少？

（2）將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：A類市民在罰金不超過10元時(shí)就會改正行為；3類是其他市民.

現(xiàn)對A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為3類市民的概率是多少？

2

19.（12分）設(shè)點(diǎn)月（-G0）,月（c,0）分別是橢圓C：++y2=i（q〉i）的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓C上任意一點(diǎn)，且

PF^PF2的最小值為1.

（2）如圖，動直線/：y=H+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)以，N是直線/上的兩點(diǎn)，且耳F2N±l,

求四邊形RMNF］面積S的最大值.

20.(12分)已知等差數(shù)列｛?！埃偷缺葦?shù)列也｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前幾項(xiàng)和分別為7；,且々=2%=2,

b2s3—54,a2+T2=11.

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求Mn=01bl+a2b2+a3b3++anbn；

(3)是否存在正整數(shù)機(jī)，使得六三*恰好是數(shù)列｛%｝或也｝中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的加的值；若不

口加m

存在，說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=r^——(?>0).

X-tzx+l

(1)當(dāng)。=0時(shí)，試求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線；

(2)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

22.(10分)如圖所示，四棱錐P-ABC。中，PC±^ABCD,PC=CZ>=2,E為A3的中點(diǎn)，底面四邊形ABC。

滿足NAOC=NDC3=90。，AD=1,BC=1.

(I)求證：平面正。E_L平面PAC；

(II)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;

(III)求二面角D-PE-B的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種，其中2類元素相生的結(jié)果有5種，再根據(jù)古典概型概率公式

可得結(jié)果.

【詳解】

金、木、水、火、土任取兩類，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，

其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，

所以2類元素相生的概率為故選A.

102

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有⑴枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；⑵樹狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先（4,與），（4，不）…?（4,紇），

再（4,4）,⑷血）.....（4,即依次（兒,耳）（演不）…紇）…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

2.B

【解析】

根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉(zhuǎn)化為求近10內(nèi)的函數(shù)值，代入即可求出其值.

【詳解】

x-2（x>10）

（%+6）］（%<10）>

?V（5）=/［f（1）］

=/（9）=/［/（15）］

=/（13）=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

be化簡得到儲=尸，得到答案.

根據(jù)題意得到d=f,3

Vtz2+b2

【詳解】

b,bec

根據(jù)題意知：焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線y=—x的距離為d=-F===-,

a+b2

故"2=3",故漸近線為x±g〉=0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

4.B

【解析】

方法一：由題意得&-25=(56-53)-邑=2,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得59-$56-53,53成等差數(shù)列，^S3=x(x>0),

則S6-S3=X+2,S9-S6=X+4,則豆=1^2i=(%+.+%)2=(.[S6)2=^±^=彳+史+82*+8=16,

%3%%+%+〃3S3XXyX

當(dāng)且僅當(dāng)尤=4時(shí)等號成立，從而且的最小值為16,故選B.

〃2

方法二：設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及S6-2邑=2,化簡可得

6“2（3“+號〃）=2,即]],則豆=也"空=上三_=3%+也+822"

曳+8=16,當(dāng)且

"%a2a23%飛3%

僅當(dāng)34=/,即出=：時(shí)等號成立,從而青的最小值為16,故選B.

5.B

【解析】

解不等式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用原命題與否命題、

逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

解不等式/<1,解得-則命題“為假命題，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

命題P的逆命題是“若“2<1,則。<1"，該命題為真命題，B選項(xiàng)正確;

命題P的否命題是“若a21,則621”，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

命題P的逆否命題是“若/21,則a21"，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

2

設(shè)點(diǎn)3位于第二象限，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由直線8R與直線y=b垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為-1可得出勺b

aa-

的值，進(jìn)而可求得雙曲線C的離心率.

【詳解】

/7he(be

設(shè)點(diǎn)3位于第二象限，由于軸，則點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為/=-c，縱坐標(biāo)為力=-2XB=上，即點(diǎn)3-C,一

aa<a

be

b也2

由題意可知，直線86與直線)=一》垂直,三=__L=_q,'彳一2,

2clab

因此，雙曲線的離心率為

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出。、b.c的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

7.B

【解析】

先根據(jù)角度分析出NCBE,ZACB,NDAC的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到AC的長度，再根據(jù)正弦定理計(jì)算出的

長度，最后利用余弦定理求解出AB的長度即可.

【詳解】

由題意可知：ZACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,ZBEC=60°,

所以ZCBE=180°—75。一60°=45°,ZDAC=180。一67.5。一45°=67.5。，

所以NZMC=NADC,所以C4=CD=2C，

又因?yàn)閟in%EC=sin：2E'所以BC=2。與=布,

所以A5=1AC、BC?—24c.BC.cosNACB=J24+6-2x276x辰；=3&.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.

8.D

【解析】

由題知cosa=^@，又sinj^-2a卜cos2a=2cos?a-1,代入計(jì)算可得.

【詳解】

又sin]'—2a

由題知coscc-....,=cos2a=2cos2a—1=一.

55

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.

9.C

【解析】

首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍，再代入驗(yàn)證即可；

【詳解】

解：,..3=log327<a=log374<log381=4,.?.當(dāng)加=8時(shí)，6=log2〃z=3滿足。>/>c,...實(shí)數(shù)M可以為8.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

TSTC7171,0）,（0,抬"）,即

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得式=二-2義；=”，利用周期公式可得。，再根據(jù)圖像過

2662

可求出9,A,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.

【詳解】

r-pC

由圖像可知一=----2x—=—,即7=萬，

2662

27r

所以T=——，解得。=2,

co

又=Asin]2x?+o]=0,

兀

所以1+0=左兀（左eZ）,由0＜夕＜2?,

所以。=事或9，

又g⑼=G,

所以Asin°=(A>0),

所以夕=方-,A=2>

即g(x)=2sin^2x+-^^,

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象由y=g(x)圖象向右平移三個(gè)單位長度而得到，

所以y=/(X)=2sin2(x—5)+等=2sin2x.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬

于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到公比q所滿足的

等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題意有出+%=2?；/，即/-4-1=0,因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以q=土叵，而

22

空也」=，^=叵±故選C.

a4+a5q1+J52

點(diǎn)睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比心而待求量就是,，代入即可得結(jié)果.

q

12.D

【解析】

先用公差d表示出的，生，結(jié)合等比數(shù)列求出

【詳解】

。2=2+%％=2+4〃,因?yàn)?，%,%成等比數(shù)列，所以(2+d)2=2(2+4d),解得d=4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.272

【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得4,進(jìn)而求得41，再利用對數(shù)運(yùn)算求得〃的值.

【詳解】

2222

由于〉0,%%=。6=4,所以4=2,則ZJi=4=2,..logi=11xlog62=,logfe2=—,_y_2^2,

故答案為：2后

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.6?

【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖，再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.

【詳解】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示

長方體對角線長為亞mF=#，所以三棱錐外接球半徑廠為半，故所求外接球的

表面積S=4萬/=6兀.

故答案為：67r.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力以及基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

15.-40

【解析】

(2—力5的展開式的通項(xiàng)為：C；25-r(-x)r.

令r=3,得G25-r(-x)r=-40x3.

答案為：-40.

點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求

出其參數(shù).

16.{1}

【解析】

由不等式恒成立問題采用分離變量最值法：。25對任意的工€［。,1］恒成立，解得aNl,又一《（2為-1乂2*-1：

在占20,420,石+x,VI恒成立，即佇所以aWl,從而可得a=l.

a

【詳解】

因?yàn)橥瑁▁）=42*—1是定義在［0,1］上G函數(shù),

所以對任意的％e［0」］總有h（x）>0,

則a2二對任意的xe［0,1］恒成立，

2A

解得?>1,

當(dāng)aNl時(shí)，

又因?yàn)槌?0,x2..O,xr+x2?1時(shí)，

總有從％+入2）.1（%）+"（X2）成立，

即h（%+%2）_［%（%）+%（%2）］=〃.2國+巧—a-2X'—a-2Xi+1

二a（2國一1）（2超-1）+1—aNO恒成立，

即—vQTQ—）恒成立，

又此時(shí)（2為—1）（2為-1）的最小值為0,

即生口W0恒成立，

a

又因?yàn)镼'l

解得a=l.

故答案為：{1}

【點(diǎn)睛】

本題是一道函數(shù)新定義題目，考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生分析理解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

71L

17.(l)y；(2)276.

【解析】

⑴根據(jù)條件形式選擇S=sin3,然后利用余弦定理和正弦定理化簡，即可求出；

2

7T

⑵由⑴求出角3利用正弦定理和消元思想，可分別用角A的三角函數(shù)值表示出。，。，

即可得至U(g_l)a+2c=2(6_DsinA+4sin(g〃_A],再利用三角恒等變換，化簡為

2c=2#sinA+?J,即可求出最大值.

【詳解】

1〃22_b2

（1）?.?S=-acsinB,cosB=-------------即a2+c2-b1=2accosB,

22ac

：-acsinB=—x2accosB,

24

整理得：tanB=6，

71

又OVBCTT,：?B=一；

3

2〃

（2）***A-]-BC=TVf<0<A<—9

3

Z?sinA近sinA

由正弦定理知sin5一.兀

sin—

3

/.（百一1）〃+2c=2（g-l）sinA+4sin（g?—

=2（G-l）sinA+4sin[g?—A）

=2A/3sinA+26cosA

=2V6sinG+^<276,當(dāng)且僅當(dāng)A=（時(shí)取最大值.

故(百-1)a+2c的最大值為2底.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，以及利用三角恒等變換求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的

轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題

18.(1)降低一(2)—

56

【解析】

(1)計(jì)算出罰金定為10元時(shí)行人闖紅燈的概率，和不進(jìn)行處罰時(shí)行人闖紅燈的概率，求解即可；

(2)闖紅燈的市民有80人，其中4類市民和3類市民各有40人，根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序，計(jì)算所求的

概率值.

【詳解】

401

解：(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率為荻=§；

on9

不進(jìn)行處罰，行人闖紅燈的概率為麗=不；

211

所以當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低§=二；

(2)由題可知，闖紅燈的市民有80人，A類市民和3類市民各有40人

故分別從A類市民和3類市民各抽出兩人，4人依次排序

記A類市民中抽取的兩人對應(yīng)的編號為1,2,3類市民中抽取的兩人編號為3,4

則4人依次排序分別為(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),次,3,4,2),(1,4,3,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,1,4,3),

(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),

(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),共有24種

前兩位均為3類市民排序?yàn)?3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),有4種，所以前兩位均為3類市民的概率是

246

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了計(jì)算古典概型的概率，屬于中檔題.

19.(1)—+/=1；(2)2.

2'

【解析】

2_1

(1)利用助?P片的最小值為1,可得尸耳?尸瑪=/+/—。2=巴『/+1—02,x^[-a,a\,即可求橢圓。的

方程;

（2）將直線/的方程>=依+相代入橢圓C的方程中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線/與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)

知，A=0即可得到m，女的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到4=|耳河|,d^=\F2M\.當(dāng)左wO時(shí)，設(shè)直

線/的傾斜角為凡貝!I?-4|=|ACV|x|tanq,即可得到四邊形耳"N8面積S的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)，

結(jié)合當(dāng)左=0時(shí)，四邊形耳”N8是矩形，即可得出S的最大值.

【詳解】

（1）設(shè)P（x,y）,則q=（x+c,y）,F2P=（x-c,y）,

222A22

PFX?PF2=X+y-C=x+l-c,x&[-a,a],

a

由題意得，1—/=0=>c=1=>=2,

2

「?橢圓。的方程為x二+y2=l；

2

（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程/+2;/=2中，

得（2人之+1卜2+4Amx+2療—2=0.

由直線I與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，A=16左2加—4（2左2+1）（2療-2）=0,

化簡得：療=2左2+1.

當(dāng)上W0時(shí)，設(shè)直線/的傾斜角為凡

則\dx-<72|=|A/ZV|x|tan0|,

，|“M=可.|4一崗,

11.?,、2m

s=3義百,|4+d2)=2,

.s.2M—川同_4

m2=2k2+1>k2+1m2+1ii1

網(wǎng)+1

\m\

二當(dāng)左wO時(shí)，|m|>l,lml+O>2?

，S<2.

當(dāng)左=0時(shí)，四邊形片"N片是矩形，S=2.

所以四邊形面積的最大值為

FXMNF2S2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的

性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

20.(1)%=2〃-1,2=2-3向；(2)M,i=2(n-l)-3"+2；(3)存在，1.

【解析】

(1)利用基本量法直接計(jì)算即可；

(2)利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；

⑶$/工胃",令=乙,L=N*可得(L_D_])=(3_83m,i<U3)討論即可.

【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為d,數(shù)列也｝的公比為心

因?yàn)?=2q=2,b2s3=54,a2+7^=11,

3

24(3+3d)=54.缶(l+d)=9解得q=3引Cf———

所以，即＜[+2”8'Jd=2'2(舍去).

l+d+2+2q=ll

d=5

所以a,=2"-l，4=2-3"T.

2n-1

(2)Mn=44+a2b2+a3b3+■,+anbn=1X2+3X2X3+5X2X3+—F(2n-l)x2x3,

2-1

3Mn=1X2X3+3X2X3+-.+(2n-3)x2x3"+(2n-l)x2x3",

所以-2M“=2+4(3+3?++3")(2〃-I)x2x3”,

3(1-3"-1)

=2+4x_(4“-2)x3"=-4-(477-4)-3"

1-3

所以此=2(〃-1)3+2.

(3)由(1)可得S“=",北=3"-1,

所以1+3'用

Sm+Tm療—1+3…

因?yàn)?；是?shù)列｛?｝或也｝中的一項(xiàng)，所以2=L,LSN*,

+1mm-1+3

2m

所以(￡-l)(m-1)=(3-L)3,因?yàn)椤?一1..0,3?>0,

所以1<43,又LeN*,則L=2或L=3.

當(dāng)L=2時(shí)，有(毋-1)=3",即?Zll=i，令/(㈤=三二

(m+l)2-lnr-12JTT-2m—3

貝！If(m+V)-f(m)-

3m+13m3m+I

當(dāng)“7=1時(shí)，/(I)</(2)；當(dāng)加22時(shí)，/(m+l)-/(,n)<0,

即/(l)</(2)>/(3)>/(4)>-..

由〃l)=0J(2)=：,知叵二Q=i無整數(shù)解.

33'"

當(dāng)L=3時(shí)，有7〃2—1=0,即存在m=1使得=3是數(shù)列｛%｝中的第2項(xiàng),

故存在正整數(shù)帆=1,使得虻妥是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng).

。加1m

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前"項(xiàng)和，數(shù)列中的存在性問題，是

一道較為綜合的題.

21.(1)y=x+l.(2)見解析

【解析】

(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以求出曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線

方程；

(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對實(shí)數(shù)。進(jìn)行分類討論，可以求出函數(shù)/(尤)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】

(1)當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽,f(x)=：J/n/'(0)=l,

(%+1)

所以切線方程為y=x+i；

x~-ax+l-2x+ajex(^x2-(a+2)x+l+a^e”(x-l)(x-(a+l))

(2)/(%)=-

(%2-以+1)(九2一〃%+1)(