第3講函數(shù)的極值與最值

函數(shù)的極值

極值問題是導(dǎo)函數(shù)的一個直接應(yīng)用，極值點作為單調(diào)區(qū)間的分界點和函數(shù)最值

點的候選點，在研究函數(shù)單調(diào)性和最值時具有重要意義.

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，我們先來看相關(guān)定義：

⑴極大值:一般地,設(shè)函數(shù)“X)在點X。及其附近有定義,如果對X。附近的所有的

點都有/(X)</(%),就說/(%)是函數(shù)/(X)的一個極大值，記作丁極大值=/(%)，

其中X。是極大值點.

(2)極小值:一般地設(shè)函數(shù)/⑴在點見及其附近有定義,如果對見附近的所有的

點都有/(%)>/(%0)，就說/(%)是函數(shù)/(%)的一個極小值，記作y極小值=/(%0),

其中「是極小值點.

看上面對極值點和極值的一般定義，我們要注意以下幾點:一是極值點和極值的

定義不要搞混淆;二是極值是一個雙邊定義:極值點的兩邊函數(shù)都有定義，極值才

存在;三是極值具有局部性，極值是函數(shù)局部的最值,一個函數(shù)區(qū)間內(nèi)可存在多個

極值.

在高中階段，我們可以簡單地理【解析】一階導(dǎo)函數(shù)為零的點即為原函數(shù)的極值

點，一般來說，做大題不會出錯,不過保險起見還是需要驗證一下極值點兩邊一階

導(dǎo)數(shù)是否變號，即原函數(shù)單調(diào)性是否改變.

需要注意的是，極值點處導(dǎo)函數(shù)可能不存在，比如函數(shù)〃x)=|x-l|,x=l是函數(shù)

的極小值點，但在極值點處導(dǎo)函數(shù)是不存在.這是大學要研究的內(nèi)容，不需要過分

糾結(jié).

極值問題的兩種考查方式:一種是直接求極值點(極值)，一般步驟是求導(dǎo),解出導(dǎo)

函數(shù)的零點，即為函數(shù)的極值點(求解后需要驗證)，如果含參數(shù)的話還要分類討論

一下.再求極值.

另外一種就是給出某個點是極值點，來求解參數(shù)的取值范圍.

求無參函數(shù)的極值點和極值

求極值點的步驟：

⑴篩選:令/'(司=0求出/'(%)的零點(此時求出的點有可能是極值點).

(2)精選:判斷原函數(shù)在廣(力的零點左、右兩邊，其單調(diào)性是否發(fā)生變化,若發(fā)生

變化，則該點為極值點，否則不是極值點.

(3)定性：通過函數(shù)單調(diào)性判斷出是極大值點還是極小值點:先增后減一是極大

值點，先減后增一是極小值點.

通常，判定一個點是極大值點還是極小值點我們有兩種充分判別條件:

第一充分條件:設(shè)函數(shù)/(力在點X。的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(/'(%)可以不存

在).

⑴若在寺的左鄰域內(nèi),外力>0.在見的右鄰域內(nèi),外力<0,則“X)在4處取

得極大值/(%).

(2)若在毛的左鄰域內(nèi),〃龍)<0.在無。的右鄰域內(nèi),r⑺>0,則〃力在七處取

得極小值/(%).

⑶若在與的左、右鄰域內(nèi),r⑴不變號，則/(%)在/處沒有極值.

注意:第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號來判斷函數(shù)單調(diào)性時,為了快速判別，我們

只需要在極值點X。的左邊或者右邊取一個特殊值驗證一階導(dǎo)函數(shù)的正負號即可

(這個方法我們稱為特殊值法).

第二充分條件:設(shè)/(X)在X。處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則

⑴當/"(/)<0時，函數(shù)/(%)在X。處取得極大值.

(2)當/"(%)>0時，函數(shù)/(%)在X。處取得極小值.

注意:利用駐點處二階導(dǎo)數(shù)符號來判斷駐點是否為極值點時，二階導(dǎo)函數(shù)的正負

號，其實決定了-階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.解題時,為了快速判別，我們可以直接判定決定

一階導(dǎo)函數(shù)正負號部分函數(shù)的單調(diào)性，一階導(dǎo)函數(shù)為增一是極小值點，一階導(dǎo)函

數(shù)為減一是極大值點.為極大值點(這個方法，我們稱之為一階單調(diào)性法).

【例1】求函數(shù)y=x-ln(l+x)的極值.

【解析】法一:y=x-ln(l+x)的定義域為(-L+"),令了=1--匚='=0,得

尤=0,當一1<%<0時，有y'<0.當x>0時，有y'>0,

由極值的第一充分條件知,y=%-皿1+%)在％=0處取得極小值為/(0)=0.

法二:y=x-ln(l+x)的定義域為(一1,+s),令y'=l-1一=丁匚=0,得x=0.

又由了'=廠二，得y"(0)=l>0,

(1+汀

由極值的第二充分條件知,y=%-111(1+”在％=0處取得極小值為/(0)=0.

【例2】求函數(shù)/(x)=gx3-x2-3x的極值.

【解析】法一:/⑴^^—必一工的定義域為一與+⑹.

令/,(x)=x2-2%-3=0,^#^=3,%2=-1.現(xiàn)列表討論如下:

(―OO,

X-1(-1,3)1(3,+8)

—1)

/（Z）+a—0*

單調(diào)極大單調(diào)極小單調(diào)

/(])

遞增<遞減值遞增

由上表知,/（x）=gx3—爐—3x在x=—1處取得極大值為/（一1）=g,在X=3處

取得極小值為"3）=-9.

法二:令/'("=f—2x—3=0得石=3,々=—1.

由尸(x)=2x-2得廣(—1)=T<0,⑶=4〉0,

由極值的第二充分條件知,/（X）=gV-x2-3x在x=-1處取得極大值為

/1）=g,在X=3處取得極小值為/（3）=-9.

已知極值/極值點反求參數(shù)

題型:已知含參函數(shù)“X）的極值點為X。,在極值點X。處的極值為無，求參數(shù).

=°，求解參數(shù)即可.

方法:列出方程組

［例1］已知函數(shù)/（%）=加+Z?lnx在％=1處有極值g,求實數(shù)a/的值.

由f^x^=ax2+Mnx,知/"(x)=2ax+—.

JC

/⑴=02a+b=0

又/（X）在％=1處有極值”則V

/、1，即<1

/⑴二ci———

2

1,,

a——,b=-1.

2

【例2】已知函數(shù)〃x)=x-%匚-2alnMaeR),若函數(shù)/⑺在x=2日寸取得

極值,求實數(shù)a的值.

【解析】廣(力=1+”-生，

XX

依題意有/'⑵=0,即1+。^-a=0,解得a=1.

檢驗:當a=。時，,(x)=1+4--=J"=GT?-2)

2xxxx

此時，函數(shù)/(%)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+“)上單調(diào)遞增,滿足在％=2時取得

極值.

綜上可知〃二一.

2

［例3］已知函數(shù)〃x)=ga?_mx2+ma2x淇中aeR,若函數(shù)/(%)在％=1處

取得極大值，求實數(shù)。的值.

13333

【解析】/(%)=一加——x2+—crx,:.f'(x)=—ax2-3x+—a2.

、)222、)22

aa

由題意可得f'(l^=—a—3+—a~=0,整理得a2+a—2=0,解得a=1或a=—2.

3RR,

(1)當a=］時,/(力=］/_3工+：=；/卜_1)20恒成立，

止匕時，函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值.

(2)當a=—2時,/(%)=_3爐—31+6=_3(%2+%_2)=_3(%_1)(%+2).

令八九)〉0得-2<x<l.

令得x<-2或尤>1.

止匕時，函數(shù)y=/("在％=1處取得極大值，合乎題意.

綜上所述,a=-2.

注意:如尤0是/(%)的極大值點，除必須有/'(%)=0外,還必須滿足在尤0左側(cè)某

個區(qū)間(X0-〃/)上/在飛右側(cè)某個區(qū)間(%,%0+〃)上/>'(%)<0,其中

機>0,〃>0.僅僅有f'(x0)=0是不夠的,這也是易錯的地方.

已知極值點反求參數(shù)范圍(第二判別法)

對于已知極值點來求參數(shù)取值范圍的題目，我們一般有兩種解法：

方法一:分類討論，求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，確定f'(x)=0的根，然后由根分實數(shù)為若干

個區(qū)間，討論各區(qū)間中/'(6的正負，得單調(diào)區(qū)間，若在X。左側(cè)遞減，右側(cè)遞增，則X。

是極小值點;若在見左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，則/是極大值點.

方法二:第二充分判別條件驗證，求出二階導(dǎo)函數(shù)，當/"(%)<0時，函數(shù)/(x)在

X。處取得極大值;當/"(%)>0時，函數(shù)/(%)在X。處取得極小值，來快速求解參數(shù)

取值范圍.

注意:這個是充分條件，一般用來驗證答案，不作為解題過程，可作為分析過程。

［例1］已知函數(shù)/⑺=［--(4a+l)x+4a+3E(a/0),若/(%)在x=2處取

得極小值，求。的取值范圍.

【解析】法一:分類討論/(%)=［加-(2a+l)x+2］e*=3-D(x-2)e”，

令f(x)=。得x=,或x=2.

⑴若0<工<2,即a〉L則當時/(X)<0,當x?2,+”)時,〃x)>0.

a21〃J

.??〃力在％=2處取得極小值.

(2)若aVg,且aw07則當工￡(0,2)時1,

.,.依一1<0,同時x-2<0.

從而x=2不是/(%)的極小值點.

綜上可知，。的取值范圍是

法二:第二充分判別法驗證(x)=［加-(2a+1)x+2卜.

由極大值點的第二充分判別條件可得/"(2)=(4a-2-2a+l)e2>0,

解得

2

【例2】已知/(x)=a21nx—?^^?犬+以(。/0),若函數(shù)/(%)在x=l處取得極

大值,求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】法一:分類討論

/(X)=---++

X

(1)當a>0時,(Q+l)x+a>0,令/(%)>0得0<x<1.

令f(x)<。得%>1.

「./(%)在X=1處取得極大值.

(2)當④-1時,(a+1)%+av0,由⑴可知/(%)在1二1處取得極大值.

⑶當〃=_：時J⑴="J..0,則/(力無極值.

(4)當一1<。<一：時,令/'(x)>0得0<xvl或犬》——

令r(%)<o得i<x<——

“X)在X=1處取得極大值.

(5)當—；<a<0時，令/(力>0得0<x<—-^或x>l.

令r(%)〈。得——<%<i.

在X=1處取得極小值.

綜上,a的取值范圍為18,-ju(0,+8).

2_2

法二:第二充分判別法驗證廣(力=幺一(〃=9一(/+〃),

XX

由極大值點的第二充分判別條件可得/'(I)=-a2-(a2+a)<0.

解得1—co,—g]u(0,+oo).

【例3】(已知函數(shù)/(x)=e'-x-odn(x+l)-1,函數(shù)/(尤)在x=0處有極大值,

求。的取值范圍.

【解析】法一:分類討論

Y

r(x)=e*-l-〃ln(x+l)d----(x>-1).

x+1

設(shè)g(x)=r(x),貝i]g，(x)=e-a二+-

X+l(X+1)

⑴當aW0時,g'(%)>0,g(x)在(-1,+OO)上單調(diào)遞增，

xe(-1,。)時,g(x)<g(。)=0.

G(0,+ao)時,g(x)>g(0)=0.

/(x)在(-1,0)上遞減，在(0,+8)上遞增.

."=0是/(X)的極小值點,與題意矛盾.

(2)當a>0時,g<x)=e*-ax-一+—L?在(—1,+?上是增函數(shù)，

'x+1(尤+1門

且g，(O)=l_2a.

⑴當0<aVQ,xe(0,+8)時,g'(x)>g，⑼=1一2a20.從而f(尤)在(0,+“)上

是增函數(shù),故有/,(%)>/,(o)=o.

.?./(九)在(0,+")上是增函數(shù),與題意矛盾.

(2)當a〉：時，若xe(—l,0),則/(力<8，(0)=1—2。<0,從而/(可在(-1,0)上是

減函數(shù)，

.?仆)>r(0)=0.

???/⑺在(-1,0)上是增函數(shù).

若xe(O,a),由常用指數(shù)不等式[見"不等式放縮法”(10.2中)]e">a+l,則

g'(x)<g'(0)=1—2a<0,從而/(x)在(一1,0)上是減函數(shù)，

/(%)>/(0)=0.

.?./(x)在(-1,0)上是增函數(shù).

若xe(0,a),由常用指數(shù)不等式［見"不等式放縮法"(10.2中)］e“>a+l,則

11,11/+2〃2+。+]

1->a+1-a------1---------------------------->0.

a+1--(a+1)-----------------a+1(〃+1)(a+球

又g'(0)=l-2a<0,

存在x0e(0,a)使得g(x0)=0.從而當龍w(0,%)時,g\x)<0,

.-./(%)=g(x)在(0,%)上是減函數(shù)，從而/(x)</(0)=0.

在(0,%)上是減函數(shù)，故％=0是"％)的極大值點，符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為1:,+力］法二:第二充分判別法驗證

「x1「11,

r(x)=e，—l—ain(x+l)+—(x>—1),尸(x)=e'—a~-y

LX+1Jx+1(x+1)

由極大值，點的第二充分判別條件可得/"(0)=1-2a<0,解得

函數(shù)的最值

最值就是函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值和最小值,從函數(shù)圖像直觀說來，最大值與

最小值在圖像中體現(xiàn)為函數(shù)的最高點和最低點，由最大值和最小值可以確定函數(shù)

的值域，我們來看最值的具體定義：

(1)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為。，若罵e，使得對Vxe均滿足/(x)W/(%),

那么稱x=/為函數(shù)f(x)的一個最大值點,/(%)稱為函數(shù)/(%)的最大值.

(2)設(shè)函數(shù)八％)的定義域為。，若罵e，使得對Vxe。，均滿足/(可>/(%),

那么稱x=/為函數(shù)f(x)的一個最小值點,/(%)稱為函數(shù)"％)的最小值.

最值是函數(shù)的一個重要特征值,研究最值可以得出函數(shù)值域，也可以用在求解不

等式相關(guān)的問題中.

【例】證明不等式ImW尤-1,則構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx-x+1,可通過導(dǎo)數(shù)求出

/(Hmax=八1)=。，由此可得到對于任意的%>。，均有=°?故

lnx-x+l<O,lnx<x-l.

那如何求解出函數(shù)的最值呢?當然還是用到我們的導(dǎo)數(shù)來求解，最值問題通常會

結(jié)合前面所學的單調(diào)性、極值和邊界值最終來確定最值，下面我們一一講解.

求無參函數(shù)的最值

題型:求函數(shù)/(%)在上的最大值/(X)1rax和最小值/⑴而口?

方法步驟:一般來說，最值點只可能在極值點或者邊界點處產(chǎn)生，對于無參函數(shù)最

值的解題步驟如下：

第一步:求出極值點和極值"'(%)=0n極值為/(%).

第二步:求出邊界值，即/(加)和/(〃).

第三步:比較極值和邊界值的大小，最大的為最大值，最小的為最小值.

【例1】函數(shù)/(%)=1+111%-1,求/(力在區(qū)間-,e上的最大值.

x_e_

【解析】八力=」+L二,xpe

xxxl_e_

.?.當xeB,11時，尸(x)=?<0,即/(x)單調(diào)遞減.

當xG(1,e)時，廣(x)=上=>0,即“力單調(diào)遞增.

???/(%,="1)=°?

又/J]=e-2,/(e)=而e-2〉」,

ycyee

上的最大值為，"x=/f3=e-2.

在區(qū)間-,e

Ic，

【例2】已矢口函數(shù)/(力=則+.判斷了(%)的單調(diào)性，并求/(力在-,e上的最

e

值.

【解析】/(x)=^+x的定義域為(0,+“)

設(shè)g(x)=l+%2—lux,則g〈x)=.令g<x)=O得

XX

交

"一2'、

，g(x)在0,上單調(diào)遞減，在,+”上單調(diào)遞增,

7

=TTn曰〉0.在(0,+“)上為增函數(shù).

則g(x)m-g

/(x)在-,e上的最大值為/(e)='+e,最小值為了e.

討論含參函數(shù)的最值

討論含參函數(shù)〃尤)在區(qū)間［a,可上的最值，核心在于求出〃尤)在區(qū)間［a,可上的

單調(diào)性和極值，對于最值、單調(diào)性和極值之間的關(guān)系，有如下常用結(jié)論：

(1)若函數(shù)在區(qū)間［a,可上單調(diào)遞增或遞減，則〃a)與/⑻一個為最大值，另一

個為最小值.

(2)若函數(shù)在區(qū)間［a,句內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在［a,句上的極值，再與/(?),

/■修)比較，最大的為最大值，最小的為最小值.

(3)函數(shù)/(%)在區(qū)間(a,A)上有唯-個極值點,這個極值點就是最大(或最小)值

點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

除上述結(jié)論外，我們解題時通常會碰到一種求最大或者最小值的常考模型:

最大值模型:求解含參函數(shù)y=f(k,x)(k為參數(shù))在xe［a,句上的最大值小解

題步驟：

第一步:求出含參的極值點，這個極值點一般為極大值點,并用參數(shù)表示，即

f'(k,xo)=O^xo=g(k).

第二步:把極大值點/=g(左)分在區(qū)間句的左、中、右三種情況來討論.

⑴當極大值點在區(qū)間左邊時，即x0=g/)<a,函數(shù)y=/(左,尤)(左為參數(shù))在

xe［a,句上單調(diào)遞減，則y1mx=/(a).

(2)當極大值點在區(qū)間中間時，即=g(左)<6,函數(shù)y=/(左，龍)(左為參數(shù))在

xc［a,x()］上單調(diào)遞增，在xe［x(),句上單調(diào)遞減則y1mx=/(x0).

⑶當極大值點在區(qū)間右邊時，即/=g(k)?函數(shù)y=/(左㈤(左為參數(shù))在

xe［a,句上單調(diào)遞增，則ymax=f(b).

注意:求最小值的模型類似，可自行總結(jié)。

［例1］已知a為實數(shù)屈數(shù)/(x)=4(x-a),設(shè)g(a)為在區(qū)間［0,2］上的

最小值，請寫出g(a)的表達式.

x-a3x-a

【解析】尸(x)=?-I---=-(-x->-0).若a<0,則尸(x)>0J(x)在區(qū)間

2y/x2y[x

［0,+力)上單調(diào)遞增.

若a>0,令r(x)=0,得％=三(極值點)，當0<尤<段時,r(x)<0;當尤>三時,

r(x)>o.x=］是極小值點.“工)有單調(diào)遞減區(qū)間(o措，單調(diào)遞增區(qū)間、,+J.

.?.若。<0,即極小值點在區(qū)間左邊,八X)在［0,2］上單調(diào)遞增.

，g(a)=/(O)=O.

若0<a<6,即極小值點在區(qū)間中間工(%)在0,|上單調(diào)遞減，在上單調(diào)

遞增,.??)=*>

若。之6,即極小值點在區(qū)間右邊"(%)在［0,2］上單調(diào)遞減，

.?.g(a)=/(2)=V2(2-a).

［例2］已知函數(shù)〃x)=(-e，(a〉O),求函數(shù)在［1,2］上的最大值.

【解析】/(x)=1-er(a>0),

貝ljf'(x\=!一e1令廣(x)=1—e'=0,解得x=ln-(極值點).

aaa

當x<In工時，/(x)>0.當x>In，時,/''(x)<0.x=In工為極大值點.

C/L

故函數(shù)八％)的增區(qū)間為［”,ln￡|.減區(qū)間為

⑴當ln^22,即0<a44,極大值點在區(qū)間右邊時在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞

ae

7111

增，則/(可而=/(2)=4-e2.⑵當1<1/<2,即3<a〈匕極大值點在區(qū)間中間

時，

/(x)在區(qū)間In工］上單調(diào)遞增,在區(qū)間fin-,2^上單調(diào)遞減，

則

⑶當即心!極大值點在區(qū)間左邊時,了⑺在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，則

—e.

/GJ/⑴a

［例3］求g(%)=alnx+2%2-依-4%在區(qū)間［l,e］上的最小值/z(a).

［解析］g(x)=alnx+2%2-雙一4%,貝!)g'^x)=-+Ax-a-^=^---磯^——,

JCJC

令g'(x)=0得％=￡或%=1.

⑴當￡V1,即a44時,g(x)在［l,e］上為增函數(shù),/z(a)=g6=—a—2.

⑵當l<￡<e,即4<〃<4e時,g⑺在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

，M〃)二g〃ln----a-u.

48

⑶當?2e,即a24e時,g(x)在［1,e］上為減函數(shù),

:.h［a)=g(e)=(1-e)a+2e2-4e.

—ci—2,a?4

綜上所述,//(a)=,Ia12〃

6zln----ci—4Ae.

48

(1-e)a+2e2-4e,a>4e

已知最值反求參數(shù)

反求參數(shù)問題是給出函數(shù)在區(qū)間上的最值，來反求參數(shù)，其一般步驟是：

第一步:按照上一節(jié)的步驟，先討論出含參數(shù)單調(diào)性和最值，這個最值通常含參

數(shù).

第二步:帶人已知的最值反求解參數(shù)，求解后驗證，不滿足則舍去.

【例1】已知函數(shù)/(x)=0—21nx.

X

⑴討論外力的單調(diào)性.

(2)若外力在［1,+句上的最大值為1,求a的值.

【解析】⑴”力的定義域為(O,+”),/'(x)=-?-1=-三箸.

①當a20時,/''(X)<0,/(x)在(0,+”)上單調(diào)遞減.

②當a<0時，令ra)<0得x〉-g則””的單調(diào)遞減區(qū)間為1與+力：令

廣(%)>0,得0<x<-g則”力的單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)由⑴題知,

i)當a之0時,/(%)在［1,+”)上單調(diào)遞減，

=/⑴=。=1則

ii)當—2Wa<0時在上單調(diào)遞減，

=y(l)=a=1廁_2<a<0,不合題意.

iii)當a<—2時,〃x)max=f［=-2—21n?a<—2,;.—2—21n［—<-2,

則a<-2不合題意.綜上,a=i.