高三數(shù)學(xué)試卷(理科)

考生注意：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分。考試時間120分鐘。

2.請將各題答案填寫在答題卡上。

3.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部內(nèi)容。

卿

第I卷

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

解

1.設(shè)復(fù)數(shù)之=￡,則三=

熱A4i14i

A-~17~17RR~17~17.

4i14i

郵rn

2.已知集合A={Z|N+3>0>,_B={Z[^^^<0}，則AC\B=

A.(3,5)B.(—3,4)C.(—3,0)D.(—3,5)

區(qū)3.在AABC中，角A,B所對的邊分別為a,6.若遍6sinA=2sinB,則a=

A2區(qū)B—c—D

鄭A,5B?25,5

4.已知函數(shù)/(i)=z+負(fù)的圖象在z=2處的切線與直線Z：4x+5jz+l=0垂直，則a=

范

A.-1B.1C.-2D.2

果

5.下列區(qū)間中，函數(shù)/⑴=3sinCz+￡)單調(diào)遞增的區(qū)間是

A.(0,手)B.(￡,T)C.(智,竽)D.(冗,2式)

6.已知函數(shù)f(z)+l為定義在R上的奇函數(shù)，命題P：三1。J(七)=-1,命題q：VmGR,

/(m)+f(—m)=—2,則下列命題中為真命題的是

A.p/\qp)NqC.pN5q)D.[(pVq)

7.古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率.黃金分割

率的值也可以用2sin18°表示，即與二=2sin18°,設(shè)J為正五邊形的一個內(nèi)角，則關(guān)喘=

乙sin00

A乃+1R網(wǎng)一\C痣+1D后T

A.-2口41412

8.用2個0,2個1和1個2組成一個五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有

A.8個B.12個C.18個D.24個

【☆高三數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)理科☆】

上某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個圓柱，則該圓柱的側(cè)面

積的最大值為

A.2?rB.^/3KC.2偌nD.47r

AO.已知貴州某果園中刺梨單果的質(zhì)量M（單位：g）服從正態(tài)分布N（30,/）,且P（M<28）=0.2,

若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個單果，則質(zhì)量在28g?32g的單果的個數(shù)的期望為

A.20B.60C.40D.80

L1.已知Q（3,3）,M為拋物線Ci：y=8N上一動點(diǎn)，N是圓Cz：/+y2—42+3=0上一點(diǎn)，則

|MQ|十|MN|的最小值是

A.5B.4C.3D.2

12.已知函數(shù)/（2）=|log2E.|—L0）U（0,41.若關(guān)于2的方程"尤）=。有3個實數(shù)解

久1,神，力3，且見（n2<?3，則與---------L的最小值是

加,亞久3」可了2

A.8B.11C.13D.16

頻

第n卷

二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.陛

13.已知雙曲線eg一若=l（a>0">0）的一條漸近線方程為西力+'=0,左焦點(diǎn)為

ab

潴

F（—M而,0）,則C的實軸長為▲■

比一，一120，

身

14:若實數(shù)x,y滿足約束條件v3x+y-2>0,則z=x-3y的最小值是▲.

、#&5,

15.如圖，直彳封8=10的半圓，D為圓心，點(diǎn)C在半圓弧上，sin/ADC=太/、

0.8.F為a的中點(diǎn),AP與EC相交于點(diǎn)E，則cosNPEC=▲

16.在正四棱臺ABCD—AiBCDi中,AB=2A1Bi=4%;AA]=河,點(diǎn)\/\

P在底面ABCD內(nèi)，且A1=4,則P的軌跡長度是▲4

帽

三、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17?21

題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

螺

（一）必考題:共60分.

17.（12分）

從某臍橙果園隨機(jī)選取200個臍橙，已知每個臍橙的質(zhì)量（單位：g）都在區(qū)間[90,110]內(nèi),

將這200個臍橙的質(zhì)量數(shù)據(jù)分成[90,95）,[95,100）,[100,105）,1105,1101共4組,得到的

頻率分布直方圖如圖所示.

（1）試問這200個臍橙中質(zhì)量不低于100g的個數(shù)是多少？

（2）若每個區(qū)間的值以該區(qū)間的中間值為代表，估計這200個臍橙的質(zhì)量的平均數(shù).

【☆高三數(shù)學(xué)第2頁（共4頁）理科☆】

18.(12分)

已知數(shù)列｛"”>滿足ai+y+yH---

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)伉=(%+i—a“)2”T,求數(shù)列協(xié).｝的前"項和S“.

卿

19.(12分)

如圖,在三棱柱ABC-ABjQ中,AAI，平面ABC,AABC是等邊三角形，且。為棱AB

的中點(diǎn).

(1)證明:AB,平面CGD

(2)若2AAi=3AB,求平面AC。與平面ABG所成銳二面角的余弦值.

期

20.(12分)

已知橢圓C§+g=l(a〉6>0)的上、下頂點(diǎn)分別是A,B,點(diǎn)P(異于A,B兩點(diǎn))在橢圓C

上，直線PA與PB的斜率之積為一卷,橢圓C的長軸長為6.

(D求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知T(0,1),直線PT與橢圓C的另一個交點(diǎn)為Q，且直線AP與BQ相交于點(diǎn)D,證

明:點(diǎn)D在定直線上.

【☆高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)理科☆】

21.（12分）

已知函數(shù)f(x')=er-\~cosx——x.

(1)當(dāng)無￡［3,+8)時，證明"包)</包).

(2)試問工=0是否為了a)的極值點(diǎn)？說明你的理由.

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系zOy中，直線Zi的參數(shù)方程為『二?’］?為參數(shù))，直線。的參數(shù)方程為

/_1,

<LQ為參數(shù)).謹(jǐn)

(1)求這兩條直線的普通方程(結(jié)果用直線的一般式方程表示);3-

(2)若這兩條直線與圓c：(z—3)2+3—4)2=/都相離，求利的取值范圍.

堀

哨

23.［選修4一5：不等式選講［(10分)

已知函數(shù)/(工)=|工一。|十|丁+6］，其中a,6為常數(shù).

(1)求/(?)的最小值；

(2)若a>0,6=0,求不等式f(x')<2a的解集.

【☆高三數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)理科☆】

高三數(shù)學(xué)試卷參考答案(理科)

LBz4—j(4—D(4+D"+17'則z1717'

2.D依題意得A={z|①+3>0}=(—4,5)，則AC|B=(—3,5).

3.A?.?且sinA=2sinB,：.^5ab=2b,：.a=^~.

5

4.A由題可知/⑴的圖象在z=2處的切線斜率為9，因為r(z)=l—所以八2)=1—

年二。,解得a=-L

5.C函數(shù)y=sin^的單調(diào)遞增區(qū)間為(2無兀一￡,2日+￡)(%eZ),

對于函數(shù)/(久)=3sin(i+￡),由2%兀^-<Crc+-j-<C2^7cH~~^(%GZ),

解得球l苧<工<2薪+,諼ez),取-0,可得函數(shù)/⑺的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(一苧,

￡),取仁1,可得函數(shù)/⑴的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(苧*),故選c.

6.A由題可知/(Z)+1=—z)+l],即/(—7)+/(7)=—2,

令我=0,則/(4)=—1,所以力為真命題；

由/(—z)+/(z)=—2,可得/(加)+/(一根)=—2,所以g為真命題;

所以夕Aq為真命題，(「p)!\q,pNLq)「(夕Vq)為假命題.

sin108°=cos18°=cos18°=1=2

7.A由題可知個=1。8。,所以需

sin360sin3602sin180cos1802sin180辰一］

_^5~+1

一2?

A4A4

8.C當(dāng)首位為2時，這樣的五位數(shù)有嬴=6個;當(dāng)首位為1時，這樣的五位數(shù)有崔=12個.

綜上，這樣的五位數(shù)有6+12=18個.

9.C由題設(shè)可知該圓錐的高刀=2伍.設(shè)在該圓錐中內(nèi)接一個高為7的圓柱，該圓柱的底面半

徑為八則字=2乃二"，所以廠=2一喙丁，故該圓柱的側(cè)面積S=2g=27t(2—=

42?33

2JTC—,當(dāng)7=打時，側(cè)面積S取得最大值2乃".

10.B因為M(單位：g)服從正態(tài)分布N(30,1/),且p(M<28)=0.2,所以P(28<MV32)=2

X(0.5-0.2)=0.6,若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個單果，則質(zhì)量在28g?32g的單

果的個數(shù)X?8(100,0.6)，所以E(X)=100X0.6=60.

11.B4Z+3=0可化為(z—2)2+/=1,則&(2,0),半徑為1,易知Cz(2,0)是拋物

線Ci的焦點(diǎn)，設(shè)M到G的準(zhǔn)線的距離為d,^\\MQ\+\MN\^\MQ\+\MC2|-1=

【☆高三數(shù)學(xué)?參考答案第1頁(共5頁)理科☆】

IMQ|+d—1m5—1=4,即|MQ|十|MN|的最小值是4.

12.C作出了(力的大致圖象，如圖所示.由圖可知46(1,4],遼2々y

=1,處=一22，貝ll21久213=因為―~—+-~—=~~\

^±^=一^±^=一1—也=—1—君，所以"—'一」

X2x213￡1131112/\'\/\

=1+后+埋設(shè)函數(shù)g(x)=1+JC2+—(1<J;<4)，則g(力)=卜"一一

2%—■當(dāng)=2”不16.當(dāng)1<冗<2時,g,(z)<0,當(dāng)2Vl<4時,g'(i)〉O,所以g(i)min=g(2)

XX

=1+4+8=13,即"一一----」的最小值是13.

%3

13.2西由題可知，=",/+"=30,解得。=病,6=5,所以C的實軸長為2西.

14.—7畫出可行域(圖略)知，當(dāng)l：z=x-3y平移到過點(diǎn)(5,4)時,n取得最小值，最小值為

-7.

15.一("以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB,DP所在直線分別為工,y軸,建立直

角坐標(biāo)系，則A(—5,0),B(5,0),P(0,5),C(—3,4),

則Q=(5,5),就=(—8,4),所以cosNPEC=耳卷|=

—40+20/10

572X4V51°

16.如巖如圖1,連接AC,作AH^AC,垂足為H,易證平面ABCD.因為AB=

2Ali3i=4Vs",AAi=，10,所以AH=4^,則AiH=\/AAjAH"=2,因為點(diǎn)P在底面

ABCD內(nèi)，且AP=4,所以PH=2g".以H為圓心,2而為半徑畫圓，如圖2,則而是P的

軌跡.分別作HE，AM,HF，AN,垂足分別為E,F.由題意可得HE=HF=^3,HM=

HN=2乃，則NMHE=NNHF=^,從而NMHN=￥，故P的軌跡長度是￥*2e=

366

17.解：(1)因為臍橙的質(zhì)量不低于100g的頻率為(0.07+0.04)X5=0.55,................3分

所以這200個臍橙中質(zhì)量不低于100g的個數(shù)是0.55X200=110.................................6分

【☆高三數(shù)學(xué)?參考答案第2頁(共5頁)理科☆】

（2）這200個臍橙的質(zhì)量的平均數(shù)的估計值為5X（0.02X90+95+0.07X95+10°+0.07

X100,105+0,04><1。53110)=]00.75g....................................12分

18.解：(1)當(dāng)"=1時,ai=l,...................................................1分

當(dāng)時，由?+等+等+…+^E^=(〃一1",...............................2分

oO乙72o

得"5~f—ZZ2——(72——I)2=272——],即“〃=4%2——4%+1,............................4分

乙n—1

因為<21=1符合a〃=4%2—4%+1,

所以數(shù)列｛&｝的通項公式為狐=4M—4/z+l....................................5分

3n

(2)-(Q〃+I-Q〃)2"—zzX29...............................................6分

S?=1X2+2X22+3X23+4X24H---\~nX2n,.................................7分

貝!]2s〃=1義22+2義23+3義24+4乂25-|---HnX2n+1,...........................8分

所以一Sa=2+2?+23H---1-2"-7!X2n+1=2(^~1)-/；X2n+1,..................11分

211

所以S?=(?-l)X2"+1+2.12分

19.（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知CG〃A%.....................1分

因為AAiJ_平面ABC,所以CG,平面ABC.................2分

因為ABU平面ABC,所以CCAB.........................3分

因為D為AB的中點(diǎn)，且AABC是等邊三角形，所以CD^AB.…4分

因為CD,CGU平面CClD,且CClnCD=C,所以AB,平面CQD.

........................................................5分

⑵解:取A出的中點(diǎn)A，連接DA.易證DB,DC,DDi兩兩垂直，故以

D為坐標(biāo)原點(diǎn)，加，虎的方向分別為z,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

設(shè)AB=2,則A(—l,0,0)，B；a,0,：0),C(0,7^,0),D(0,0,0),Ai(-l,0,3),G(Q,%,3),

故池=(2,0,0),宿=(1,偌,3),時=(—1,0,3),黃=(0,悟,0)...............7分

設(shè)平面4CD的法向量為"=

[n,DA*=+3zi=0,

則<_「令?=3,得”=(3,0,1)...........................8分

In,DC=x[3y\=0,

設(shè)平面ABC1的法向量為m=（72，2，Z2），

\m,A_§=2&=0,

則/*L令》2=乃,得機(jī)=（。,乃，一1）..................9分

=

\m,ACi=jr2+v3y2+3z20,

設(shè)平面ACD與平面ABC1所成的銳二面角為仇

貝I]cos9=|cos<n|11分

l?l\m\/ioX220

即平面A】CD與平面ABC1所成銳二面角的余弦值為啜.....................12分

【☆高三數(shù)學(xué)?參考答案第3頁（共5頁）理科☆】

20,（1）解：由題意可得A（0,6）,B（0,—6）,設(shè)P（陽，》）,

則人隊="^,睚8="^，所以七八?睚8=必三8....................................................1分

OC1JC1JC\

因為點(diǎn)P在橢圓C上,所以何+?=1,所以H=（",t）a2,....................2分

分24.

貝！JkpA?kpB=—/=--g-........................................................................................................3分

因為2〃=6,且a2=b2+c2，所以。2=9,加=4,......................................................................4分

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為常十于=1........................................................................................5分

（2）證明：設(shè)Q（B，2），D（z。，*。），顯然直線PT不會垂直于z軸,

設(shè)直線PT的方程為》=標(biāo)+1.

（y=kx-\-1,

由1/?v2消去丁得（4+9公）12+18日—27=0.

IT+4=E

因為點(diǎn)（0,1）在橢圓C的內(nèi)部，所以A＞。,乃+g=一1軍，"g=一而……7分

?JKIC7KI4t

設(shè)直線AP的方程為》="二4c+2,直線BQ的方程為y=^±2^-2,........................8分

處22

所以"+2=處”1?（功-2）........................................................................................9分

12—乙）

由（1）知2?"小，可得乃（於+2）9.（例+2）（於+2）_____9

X\X\力231—2）4X1&4

（后21+3）（kxz+3）9.議44+37（11+力2）+99—27層一54層+9（9/+4）=

乃&44=27T

.............................................................................................................................................11分

因此y）=4,即點(diǎn)D在直線丁=4上..........................................12分

21.（1）證明"z（￡）=1—sin1一力2—1,要證/（^）＜/（^）,

只需證3一一2

e^+cosx—^-rc-iVe1sinxrr-11分

即證V^sin（i+寵）一］?十1一1....................................................................................2分

設(shè)函數(shù)根（久）=：13一12+］一］（1〉3）,則mz（jr）=（R-1）2＞0,則加（1）在［3,+8）上單

調(diào)遞增，....................................................................3分

貝Uw（力）三九（3）=2〉V^^/^sin（x+g）,..........................................................................4分

所以當(dāng)力6［3,+8）時sinlx+gX：*—JC2+J;—1得證，

從而當(dāng)16［3,+8）時"（i）＜/（i）得證......................................5分

（2）解:/'（力）的導(dǎo)數(shù)f（久）=—cosx-2x.令函數(shù)g（x）=e"—cosx—^x^g（J?）=6"+

sinx一2,

當(dāng)zWO時，/（￡）＜0.................................................................................................................6分

【☆高三數(shù)學(xué)?參考答案第4頁（共5頁）理科☆】

g'(z)的導(dǎo)數(shù)g"(z)=e"+cosx,當(dāng)1>0時,g"(_r)>0,則g'(z)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

........................................................................7分

因為g'（0）=—l,g'（D=e—2+sin1＞0,所以mxoG（O,l）,g'（?o）=O...........8分

所以當(dāng)工＜20時,g'（7）＜0,g（E）單調(diào)遞減；當(dāng)工〉了0