普通高等學(xué)校2022年招生全國(guó)統(tǒng)一數(shù)學(xué)考試模擬測(cè)試(新高考)

一'單選題

1.已知集合M,N是全集U的兩個(gè)非空子集，且MU(CuN),貝I]()

A.MCN=0B.MQNC.NUMD.NU(CM=U

2.若(x+i)?=3+yi,則實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足()

A.2y=xB.y=2xC.%+2y=0D.2%+y=0

3.若某圓臺(tái)的上底面半徑為2,下底面半徑為4,高為3,則該圓臺(tái)的體積為()

A.詈B.207rC.287rD.327r

4.已知tana=3,則，嗎。=()

singer

A.IB.|C.1D.6

236

5.在1859年的時(shí)候，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并

提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并得

到小于數(shù)字％的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)可以表示為兀(無(wú)的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)105以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)

的個(gè)數(shù)為()(素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，Ige=0.4343,計(jì)算結(jié)果取整數(shù))

A.2172B.4343C.869D.8686

6.若(/一§6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為則實(shí)數(shù)a=()

A.+(B.±2C.iD.2

一22

7.已知乙、尸2分別為橢圓C：當(dāng)+4=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，直線(xiàn)

ab

fl2fe2

1：x=+.且PQ，/,垂足為Q點(diǎn).若四邊形QP0F2為平行四邊形，則橢圓C的離心率的取值

a

范圍是()

A.(孝，1)B.(V2-1,1)C.(0,V2-1)D.(0,:)

8.已知函數(shù)/■(無(wú))=Inx-直線(xiàn)y=nu:+n是曲線(xiàn)y=f(%)的一條切線(xiàn)，則m+2n的取值范圍是

()

A.[-3,+oo)B.[―21n2-4,+8)

e-3

C.(—00,―?—]D.[In2--7,+oo)

e乙

二、多選題

9.為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部

職工對(duì)黨史的了解，某單位組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，將本單位全體黨員黨史知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)

（均位于［60,100］之內(nèi)）整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)

論正確的是（）

A.本次成績(jī)不低于80分的人數(shù)的占比為75%

B.本次成績(jī)低于70分的人數(shù)的占比為5%

C.估計(jì)本次成績(jī)的平均分不高于85分

D.本次成績(jī)位于［70,90）的人數(shù)是其他人數(shù)的3倍

10.如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD1底面ABCD,SD=AB,則下列選項(xiàng)中兩異

面直線(xiàn)所成夾角大于45。的是（）

C.SB與ADD.AC與SB

11.已知函數(shù)f（久）=4cos（2無(wú)+0）-1（4>0,0<（p<TT）,若函數(shù)y=（久）|的部分圖象如圖所

示，函數(shù)gQ）=4sin（Ax-R）,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.函數(shù)g(K)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-金對(duì)稱(chēng)

B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓，0)對(duì)稱(chēng)

C.將函數(shù)y=/(%)+1的圖象向左平移各個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)gQ)的圖象

D.函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,身上的單調(diào)遞減區(qū)間為［0,1

12.阿基米德(公元前287年——公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，

不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)A、B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)

P,稱(chēng)APAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線(xiàn)C：%2=8y的焦點(diǎn)為F,過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)的方程

為gx-3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形"APAB,下列結(jié)論正確的是()

A.\AB\=竽B.PA1PB

C.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(遮，-2)D.PFLAB

三'填空題

13.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若a4a8=4,則log2a2+log2aio=-

14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件①②的向量五=.

①同=1；②向量3與3=(1,-1)的夾角a6(0,力.

15.已知在正四面體P-ABC中，AB=3,記以PA為直徑的球?yàn)榍騉,則平面ABC截球O所得截

面的面積為.

16.若+a)21nx+1對(duì)任意%>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

四'解答題

17.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,點(diǎn)E在邊CD上，ZC=120。，BC=2班,^CEB=45°.

(1)求BE,CE；

(2)若4B=7,求sin乙4EB.

18.《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于實(shí)現(xiàn)鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果同鄉(xiāng)村振興有效銜接的意見(jiàn)》明確提出，支持

脫貧地區(qū)鄉(xiāng)村特色產(chǎn)業(yè)發(fā)展壯大，加快脫貧地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品和食品倉(cāng)儲(chǔ)保鮮、冷鏈物流設(shè)施建設(shè)，支持

農(nóng)產(chǎn)品流通企業(yè)、電商、批發(fā)市場(chǎng)與區(qū)域特色產(chǎn)業(yè)精準(zhǔn)對(duì)接.當(dāng)前，脫貧地區(qū)相關(guān)設(shè)施建設(shè)情況如

何？怎樣實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)對(duì)接？未來(lái)如何進(jìn)一步補(bǔ)齊發(fā)展短板？針對(duì)上述問(wèn)題，假定有A、B、C三個(gè)解決

方案，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)有J的受調(diào)查者贊成方案A,有梟勺受調(diào)查者贊成方案B,有之的受調(diào)查者贊成方

z3o

案C,現(xiàn)有甲、乙、丙三人獨(dú)立參加投票(以頻率作為概率).

(1)求甲、乙兩人投票方案不同的概率；

(2)若某人選擇方案A或方案B,則對(duì)應(yīng)方案可獲得2票，選擇方案C,則方案C獲得1票，

設(shè)X是甲、乙、丙三人投票后三個(gè)方案獲得票數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

、ri

19.已知數(shù)列｛時(shí)｝滿(mǎn)足彳+a/+…+/=乃.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意的踐CN*,令“=,；，二之,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn.

22-n,為偶數(shù)

20.在如圖所示的多面體AFDCBE中，1平面BCE,AB//CD//EF,BE1EC,AB=4,EF=

2,EC=2BE=4.

(1)在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)G,使得EG〃平面AFC?如果存在，請(qǐng)指出G點(diǎn)位置并證明；

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)三棱錐。-4FC的體積為8時(shí)，求二面角￡>—4F—C的余弦值.

21.已知雙曲線(xiàn)C：—b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=過(guò)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)

F(2,0)的直線(xiàn)。與雙曲線(xiàn)C分別交于左、右兩支上的A、B兩點(diǎn).

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；

(2)過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)6，使得G//11，且與雙曲線(xiàn)C分別交于左、右兩支上的點(diǎn)M、N.是否存

在定值4,使得|麗|?而=4而？若存在，請(qǐng)求出4的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)/(%)=alnx+^(x>0).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若存在％1，K2滿(mǎn)足0<%1<%2，且％1+久2=1，/(久1)=/(久2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案解析部分

L【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A,B,C

10.【答案】A,C,D

【答案】A,B,D

12.【答案】A,B,D

13.【答案】2

14.【答案】,-J）（答案不唯一）

3兀

【答案】

15.不

16.【答案】

17.【答案】（1）解：因?yàn)锽C=2K，/-CEB=45°,ZC=120°,所以4CBE=15。.

在AEBC中，由正弦定理可得烏J=BECE

sin45sinl20sinl5

可得BE=2乃2V3xsinl5°后

3應(yīng)，CE=---r-rzo—=3n-V3

sin45sin45

（2）解：因?yàn)閆B||CD,所以NCEB=AABE=45°.

在^AEB^,由余弦定理可得瓦42=EB2+AB2-2EB?AB-cos45°

=（3V2）2+72_2X3V2X7X第=25，所以EA=5.

EA2+EB2-AB225+18-49__a,

因?yàn)镃OSNAEB=

2EA-EB2x5x3V2——而

所以sin/AEB=耍

18.【答案】⑴解：因?yàn)榧住⒁覂扇送镀狈桨赶嗤母怕蕿楸潜潜潜菫檩?/p>

ZZ33OO1O

所以甲、乙兩人投票方案不相同的概率為1—4=緊

(2)解：X的所有可能取值為3,4,5,6,

因?yàn)镻(X=3)=弓尸=態(tài)，

P(X=4)=Cix(1/x(l-1)=^=A,

P(X=5)=廢義1(1一》2=養(yǎng)=翁

P(X=6)=C°x(l-1)3=g|,

所以X的分布列如下:

X3456

1525125

p

2167272216

所以E(X)=3X4+4*W+5*1|+6><寨=5

19.【答案】⑴解：當(dāng)n=l時(shí)，得，另，解得即=1;

當(dāng)7122時(shí)，可得號(hào)+||"|---?■第=余①

與+黃+…+3=導(dǎo)②，

由①一②，得袋an=2-n,

當(dāng)九=1時(shí),%=2-1=1也符合，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為斯=2-九

2-n,n為奇數(shù)

(2)解：由(1)知“=

,22~\為偶數(shù),

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

2-

Sn=[1+(-1)+(-3)+??■+2-(n-1)]+(2°+2-2+2")

n

2

(l+3-n)^1-(1)(4—n)九

41

=----2----+V^=4

4

_—3n2+12n+161

123x2n-2,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

-3(n+1)2+12(n+1)+161

S"=Sn+1—bi=

n+123x271T

—3n2+6n+254

12

'—3n2+6n+254

R為奇數(shù)

123x2n-1

綜上所述，Sn=

?—3n2+12n+161

112，R為偶數(shù)

3x2n-2

20.【答案】(1)解：存在，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，理由如下:

取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)H,連接EH、HG、EG.

'：AH||EF,AH=EF=2,

二四邊形AHEF是平行四邊形，二HE||4F.

5L'：AFu平面AFC,HEC平面AFC,：.HE||平面AFC.

：H、G分別為AB、BC的中點(diǎn)，

；.HG是△ABC的中位線(xiàn)，：.HG||AC.

,：ACu平面AFC,HG平面AFC,：.HG||平面AFC.

■:HGCHE=H,HG、HEu平面EHG,

平面EHG||平面AFC.

"：EGu平面EHG,：.EG||平面AFC.

(2)解：設(shè)CD=t(t>0),

,11It4t

由VD-4FC=VA-DFC=^xixCDxCExBF=ix^x4x2=y=8,

可得CD=t=6.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC、EB、EF所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題可知F(0,0,2),C(4,0,0),4(0,2,4),D(4,0,6),

AF=(0,-2,-2),CF=(-4,0,2),FD=(4,0,4).

設(shè)平面AFC的法向量為沅=(久1，yx，Zi),

財(cái)產(chǎn)LAF廠2當(dāng)—2zi=00的=-zi

Im1CFt—4%1+2zi=0Ui=2/'

令=1,得y1=-2,zi=2,

所以平面AFC的一個(gè)法向量為記=(1,-2,2).

設(shè)平面AFD的法向量為元=(%2>y2>Z2),

同儼1麻廠2y2-2Z2=0ry2=-z2

U1FOt4次+4Z2=0l%2=-Z2'

令Z2=1，得％2=丫2=—1，

所以平面AFD的一個(gè)法向量為元=(一1,-1,1).

/一一、m-n-1+2+2V3

cos(m,n)=阿同=下石=T'

由圖可知二面角。-AF-C為銳角，

故二面角。-AF-C的余弦值為學(xué)

21.【答案】(1)解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)C：今一5=1(。>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=±遮x,

所以，=V3?即人=V3a.

又因?yàn)橛医裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),所以c=2,

又由c?—a2+b2-4a2=4，解得a=1，所以b=V3,

所以雙曲線(xiàn)C的方程為/—1=1

（2）解：存在定值2=2,使得|麗|?~MN=XAB.

—.2

因?yàn)槎c而同向，所以4=?吧L,

\AB\

由題意，可設(shè)直線(xiàn)4：久=b+2,

'x=ty+2

聯(lián)立方程組，2,整理得(3/-l)y2+12ty+9=0,

"一專(zhuān)v=1

—12C9

設(shè)力（巧，y。，Bg,為），可得當(dāng)+丫2=至2一p%丫2=疔7'

3c—1DL—1

由直線(xiàn)。分別交雙曲線(xiàn)C的左、右兩支于A、B兩點(diǎn)，

'3t2-1Ho3t2-1力o

2

可得｛4=(121)2_36(3產(chǎn)-l)=36(t+1)>0，即m+2)(%+2)=^^<?！?/p>

%1%2<0

可得3t2-1>0,

2

所以I荏I=71+t2|%-y2\=V1+t-/(%+y)2-4yly2

,~~--12t36^6(t2+1)

=Vl+t2-(--------------)92——5——=-S——-

J3-13t2-l3t2-l

由L〃，i，可設(shè)%：%=ty，

叫33,整理得網(wǎng)2T）y2=3.

3

設(shè)MQo,y0）,則N（—%o，-y0）;所以%=?1，

DC—1

22

則|而廣=|y0-（-y）|）=（l+1）-4兆=吧+f），

DC—1

—＞2

所以，=^￥=2,故存在定值4=2,使得|而|.而=2通.

\AB\

22.【答案】（1）解：函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋?,+00）,1。）=箏上

當(dāng)a＜0時(shí)，/（久）＜0,/（%）在（0,+8）上單調(diào)遞減;

當(dāng)a＞0時(shí)，令廣。）＜0,得。＜%＜）令/（久）＞0,得％二,

所以/（久）在（0,4上單調(diào)遞減，在+8）上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)