2023-2024學(xué)年湖南省邵東一中振華實驗學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為()A． B． C． D．2．已知直線傾斜角的范圍是，則此直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．3．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．4．已知，則的值為（）A． B． C． D．5．已知實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．66．直線，，的斜率分別為，，，如圖所示，則（）A． B．C． D．7．已知點在角的終邊上，函數(shù)圖象上與軸最近的兩個對稱中心間的距離為，則的值為（）A． B． C． D．8．已知平面向量與的夾角為，且，則（）A． B． C． D．9．如圖，各棱長均為的正三棱柱，、分別為線段、上的動點，且平面，，中點軌跡長度為，則正三棱柱的體積為（）A． B． C．3 D．10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時，的圖象與直線恰有兩個公共點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍為______．12．函數(shù)的定義域為__________；13．如果，，則的值為________（用分?jǐn)?shù)形式表示）14．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實數(shù)_______.15．已知，則______；的最小值為______.16．已知，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，是正方形，是正方形的中心，底面是的中點.（1）求證：平面；（2）若,求三棱錐的體積.18．已知角的終邊經(jīng)過點.（1）求的值；（2）求的值.19．如圖，在三棱錐中，垂直于平面，.求證：平面.20．如圖所示，是一個矩形花壇，其中米，米．現(xiàn)將矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求：在上，在上，對角線過點，且矩形的面積小于150平方米．（1）設(shè)長為米，矩形的面積為平方米，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)?shù)拈L度是多少時，矩形的面積最??？并求最小面積．21．一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖如下：溫度20253035產(chǎn)卵數(shù)/個520100325（1）根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（數(shù)字保留2位小數(shù)）；（3）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在多少以下？（最后結(jié)果保留到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，5201003251.6134.615.78

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

在三棱錐中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,進(jìn)而得到三棱錐外接球的直徑，得到，利用體積公式，即可求解.【詳解】由題意知，在三棱錐中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根據(jù)球的性質(zhì)，可得三棱錐外接球的直徑為，即，所以球的體積為，故選B.【點睛】本題主要考查了與球有關(guān)的組合體中球的體積的計算，其中解答中根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.2、B【解析】

根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值求解即可.【詳解】因為直線傾斜角的范圍是,又直線的斜率,.故或.故.故選：B【點睛】本題主要考查了直線斜率與傾斜角的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

當(dāng)直線與垂直時距離最大，進(jìn)而可得直線的斜率，從而得到直線方程?！驹斀狻吭c坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知當(dāng)直線與垂直時距離最大，由兩點斜率公式可得：所以所求直線的斜率為：故所求直線的方程為：，化簡可得：故答案選A【點睛】本題考查點到直線的距離公式，涉及直線的點斜式方程和一般方程，屬于基礎(chǔ)題。4、B【解析】sin(π+α)?3cos(2π?α)=0，即：sinα+3cosα=0，①又∵sin2α+cos2α=1，②由①②聯(lián)立解得：cos2α=.∴cos2α=2cos2α?1=.故選B.5、D【解析】

設(shè)點，根據(jù)條件知點均在單位圓上，由向量數(shù)量積或斜率知識，可發(fā)現(xiàn)，對目標(biāo)式子進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關(guān).【詳解】設(shè)，，均在圓上，且，設(shè)的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設(shè)到直線的距離分別為，，，.【點睛】利用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義，即構(gòu)造系數(shù)，才能看出目標(biāo)式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.6、A【解析】

根據(jù)題意可得出直線，，的傾斜角滿足，由傾斜角與斜率的關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)三條直線的傾斜角為，根據(jù)三條直線的圖形可得，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，故，即故選A.【點睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟悉正切函數(shù)的單調(diào)性.7、C【解析】由題意，則，即，則；又由三角函數(shù)的定義可得，則，應(yīng)選答案C．8、A【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則，將平方運算可得結(jié)果．【詳解】∵，∴，∴cos=4，∴，故選A.【點睛】本題考查了利用平面向量的數(shù)量積求模的應(yīng)用問題，考查了數(shù)量積與模之間的轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題目．9、D【解析】

設(shè)的中點分別為，判斷出中點的軌跡是等邊三角形的高，由此計算出正三棱柱的邊長，進(jìn)而計算出正三棱柱的體積.【詳解】設(shè)的中點分別為，連接.由于平面，所以.當(dāng)時，中點為平面的中心，即的中點（設(shè)為點）處.當(dāng)時，此時的中點為的中點.所以點的軌跡是三角形的高.由于三角形是等邊三角形，而，所以.故正三棱柱的體積為.故選：D【點睛】本小題主要考查線面平行的有關(guān)性質(zhì)，考查棱柱的體積計算，考查空間想象能力，考查分析與解決問題的能力，屬于中檔題.10、C【解析】

根據(jù)二倍角和輔助角公式化簡可得，根據(jù)平移變換原則可得；當(dāng)時，；利用正弦函數(shù)的圖象可知若的圖象與直線恰有兩個公共點可得，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：由圖象平移可知：當(dāng)時，，，，，又的圖象與直線恰有兩個公共點，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)交點個數(shù)求解角的范圍的問題，涉及到利用二倍角和輔助角公式化簡三角函數(shù)、三角函數(shù)圖象平移變換原則的應(yīng)用等知識；關(guān)鍵是能夠利用正弦函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定角所處的范圍.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)與夾角是銳角，則它們的數(shù)量積為正值，且它們不共線，求出實數(shù)的取值范圍，．【詳解】向量，，，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們乘積為正值，即，且，求得，且．【點睛】本題主要考查利用向量的數(shù)量積解決向量夾角有關(guān)的問題，以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量平行的條件等．條件的等價轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．12、【解析】

根據(jù)偶次被開方數(shù)大于等于零，分母不為零，列出不等式組，解出即可．【詳解】依題意可得，，解得即，故函數(shù)的定義域為．故答案為：．【點睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，涉及三角不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

先求出，可得，再代值計算即可.【詳解】.故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式、累乘相消法，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

在方向上的投影為，把向量坐標(biāo)代入公式，構(gòu)造出關(guān)于的方程，求得.【詳解】因為，所以，解得：，故填：.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積定義中投影的概念、及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查基本運算能力.15、50【解析】

由分段函數(shù)的表達(dá)式，代入計算即可；先求出的表達(dá)式，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，求最小值即可.【詳解】由，可得，，所以；由的表達(dá)式，可得，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，綜上，的最小值為0.故答案為：5；0.【點睛】本題考查求函數(shù)值，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)最值的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由可得，然后用正弦的和差公式展開，然后將條件代入即可求出原式的值【詳解】因為所以故答案為：【點睛】本題考查的三角恒等變換，解決此類問題時要善于發(fā)現(xiàn)角之間的關(guān)系.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面得出，由底面為正方形得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可證明平面；（2）由勾股定理計算出，由點為線段的中點得知點到平面的距離等于，并計算出的面積，最后利用錐體的體積公式可計算出三棱錐的體積．【詳解】（1）平面，平面，，又為正方形，，又平面，平面，，平面；（2）由題意知：，又，，，點到面的距離為，.【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查三棱錐體積的計算，在計算三棱錐的體積時，充分利用題中的線面垂直關(guān)系和平面與平面垂直的關(guān)系，尋找合適的底面和高來進(jìn)行計算，考查計算能力與推理能力，屬于中等題．18、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．（2）利用誘導(dǎo)公式化簡所給的式子，再把代入，求得結(jié)果．【詳解】解：（1）因為角的終邊經(jīng)過點由三角函數(shù)的定義可知．（2）由（1）知，．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．19、證明見解析【解析】

分析：由線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理可得平面.詳解：∵面，在面內(nèi)，∴，又∵，，∴面.點睛：證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.20、（1）,;（2）,.【解析】

（1）由可得，，∴．由，且，解得，∴函數(shù)的定義域為．（2）令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值，故當(dāng)?shù)拈L度為米時，矩形花壇的面積最小，最小面積為96平方米．考點：1.分式不等式；2.均值不等式.21、（I）選擇更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型；（II）；（III）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在以下.【解析】

（I）由于散點圖類似指數(shù)函數(shù)的圖像，由此選擇.（II）對；兩邊取以為底底而得對數(shù)，將非線性回歸的問題轉(zhuǎn)化為線性回歸的問題，利用回歸直線方程的計算公式計算出回歸直線方程，進(jìn)而化簡為回歸曲線方程.（III）令，解指數(shù)不等式求得溫度的控制范圍.【詳解】（I）依散點圖可知，選擇更適宜作為產(chǎn)