瀘縣五中2023年秋期高三期末考試理科數(shù)學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計算.【詳解】由題意，，，根據(jù)交集的運算可知，.故選：A2.某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本．若樣本中A型號的產(chǎn)品有20件，則樣本容量n為（）A.50 B.80 C.100 D.200【答案】C【解析】【分析】直接由分層抽樣的定義按比例計算即可.【詳解】由題意樣本容量為.故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，根據(jù)復數(shù)除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.4.設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝2x＋y的最小值是（）A.－15 B.－9 C.1 D.9【答案】A【解析】【分析】作出可行域，z表示直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合知z在點B(－6，－3)處取得最小值.【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，目標函數(shù)，z表示直線的縱截距，，數(shù)形結(jié)合知函數(shù)在點B(－6，－3)處縱截距取得最小值，所以z的最小值為－12－3＝－15.故選：A【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題.5.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A6.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.7.已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的值為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量線性運算得到，再使用平面向量數(shù)量積運算法則進行計算.【詳解】∵，∴，∴，∴，故選：B.8.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24 C.30 D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題．9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.【詳解】.故選：D10.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分為或當5人被分為時，情況數(shù)為;當5人被分為時，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計種，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.11.已知三棱錐的外接球半徑為，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)的中點為，為的外接圓圓心；的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為，由正弦定理確定，在中由勾股定理確定，在中由勾股定理確定，作出二面角的平面角，求即可.【詳解】不妨設(shè)二面角為銳角，設(shè)的中點為，因為，所以為的外接圓圓心；設(shè)的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為，如圖，連接，，，，則平面，平面，，中，，，所以由正弦定理知，所以；在中，由，得；在中，由，，得；在中，，，則；所以在中，，從而；在平面內(nèi)過點作交于，則為二面角的平面角，易知，所以.故選：D.12.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因為，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．求導得：，所以．故切線方程為．故答案為：．14.若，則___________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合展開式第項的通項公式可得項及其系數(shù).【詳解】展開式第項，時，，時，，．.故答案為：15.過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為___________.【答案】【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再利用直線方程的相關(guān)知識即可求出.【詳解】拋物線可寫成：且設(shè)，則兩條切線的斜率分別為兩條切線的方程為：又兩條切線過點，所以所以直線AB的方程為：又，所以直線AB的方程為：.故答案為：.16.如圖，在棱長為3的正方體中，在線段上，且是側(cè)面上一點，且平面，則線段的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，易證平面平面，得到的軌跡為線段求解.【詳解】解：如圖，在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，因為，所以，又，所以，因為平面平面，所以平面，同理，因為平面平面，所以平面，又，所以平面平面，因此，在線段上.因為，所以線段的最大值為.故答案為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某實驗學校為提高學習效率，開展學習方式創(chuàng)新活動，提出了完成某項學習任務(wù)的兩種新的學習方式.為比較兩種學習方式的效率，選取40名學生，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組學生用第一種學習方式，第二組學生用第二種學習方式.40名學生完成學習任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成學習任務(wù)所需時間超過和不超過的學生人數(shù)得到下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種學習方式155第二種學習方式515（Ⅰ）估計第一種學習方式且不超過m的概率、第二種學習方式且不超過m的概率；（Ⅱ）能否有的把握認為兩種學習方式的效率有差異？附：，P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）有.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)古典概型概率公式求解即可.（Ⅱ）根據(jù)的計算公式計算其觀測值，并與附錄中的數(shù)據(jù)進行對比可得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表得：第一種學習方式且不超過m概率.第二種學習方式且不超過m的概率.（Ⅱ）由于，所以有的把握認為兩種學習方式的效率有差異.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用問題，考查古典概型概率問題，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數(shù)學歸納法證明即可；（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項公式的特征，由錯位相減法求解即可．【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當時也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構(gòu)造法，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項均為0的常數(shù)列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：錯位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優(yōu)解】：裂項相消法，所以．［方法三］：構(gòu)造法當時，，設(shè)，即，則，解得．所以，即為常數(shù)列，而，所以．故．［方法四］：因為，令，則，，所以．故．【整體點評】（1）方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項從而歸納得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)學歸納法進行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項公式；方法三：由化簡得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項公式；方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項，歸納得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項公式．（2）方法一：根據(jù)通項公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；方法二：根據(jù)通項公式裂項，由裂項相消法求出，過程簡單，是本題的最優(yōu)解法；方法三：由時，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；方法四：將通項公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項和即可，其中數(shù)列的前項和借助于函數(shù)的導數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨特，很好的簡化了運算．19.如圖所示，在三棱柱中，已知平面，，，.（1）證明：；（2）已知點在棱上，二面角為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，解之即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：在中，，，，由余弦定理可得，所以，，，平面，平面，則，，、平面，平面，平面，.【小問2詳解】解：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，設(shè)，其中，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，易知平面的一個法向量為，由已知可得，整理可得，，解得.因此，當為棱的中點時，二面角為，即.20.已知拋物線，拋物線與圓的相交弦長為4.（1）求拋物線的標準方程；（2）點為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，，若的面積為，且直線的斜率存在，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用圓與拋物線的對稱性可知，點在拋物線和圓上，代入方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，點的坐標分別為，將拋物線與直線聯(lián)立，分別消，再利用韋達定理可得兩根之和、兩根之積，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得，的面積為即可求解.【詳解】（1）由圓及拋物線的對稱性可知，點既在拋物線上也在圓上，有：，解得故拋物線的標準方程的（2）設(shè)直線的方程為，點的坐標分別為.聯(lián)立方程，消去后整理為，可得，聯(lián)立方程，消去后整理為，可得，，得由有，，，可得的面積為可得，有或聯(lián)立方程解得或，又由，故此時直線的方程為或聯(lián)立方程，解方程組知方程組無解.故直線的方程為或【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了學生的計算能力，屬于難題.21.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）證明：對任意的，有．【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導數(shù)無法判斷情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【小問1詳解】解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：【小問2詳解】解：因為，所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證.（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設(shè)點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點．【答案】（1）；（2）P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），C與沒有公共點.【解析】【分析】（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；（2）方法一：設(shè)，設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可