第29練正弦定理、余弦定理[基礎(chǔ)保分練]1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，B＝60°，a＝4，其面積S＝20eq\r(3)，則c等于()A．15B．16C．20D．4eq\r(21)2．在△ABC中，已知其面積為S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則角C的度數(shù)為()A．135°B．45°C．60°D．120°3．在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(2)，A＝45°，則B等于()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°4．(2019·安徽省皖中名校聯(lián)盟聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝eq\f(π,3)，b＝2，S△ABC＝3eq\r(3)，則eq\f(a＋b－2c,sinA＋sinB－2sinC)等于()A.eq\f(2\r(7),3)B.eq\f(4\r(21),3)C．4D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)5．(2018·撫順質(zhì)檢)在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，則△ABC的周長為()A．7.5B．7C．6D．56．在△ABC中，已知tanA＝eq\f(1,2)，cosB＝eq\f(3\r(10),10)，若△ABC最長邊的邊長為eq\r(10)，則最短邊的長為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(2)7．在△ABC中，若sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形8．(2019·鶴崗市第一中學(xué)月考)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足a＝4，asinB＝eq\r(3)bcosA，則△ABC面積的最大值是()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．8eq\r(3)D．49．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，則角A的值為________．10．(2018·長沙市雅禮中學(xué)高三月考)銳角△ABC中，AB＝4，AC＝3，△ABC的面積為3eq\r(3)，則BC＝________.[能力提升練]1．在銳角△ABC中，A＝2B，則eq\f(AB,AC)的取值范圍是()A．(0,3)B．(1,2)C．(eq\r(2)，eq\r(3))D．(1,3)2．(2018·濟南模擬)若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，則cosC的最小值是()A.eq\f(\r(6)－\r(2),4)B.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)C.eq\f(\r(6)－\r(2),2)D.eq\f(\r(6)＋\r(2),2)3．若滿足∠ABC＝eq\f(π,3)，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一個，那么k的取值范圍是()A．(1,12] B．8eq\r(3)C．(1,12]∪{8eq\r(3)} D．(0,12]∪{8eq\r(3)}4．(2019·山東省膠州一中高三模擬)在銳角三角形ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，則B的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))5.(2019·福建福鼎三校聯(lián)考)如圖，一座建筑物AB的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面上點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為_______m.6．(2018·河北邯鄲臨漳一中月考)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2))).若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為________．

答案精析基礎(chǔ)保分練1．C2.B3.A4.B5.D6.A7.B8．A[由題意可知asinB＝eq\r(3)bcosA，由正弦定理得sinAsinB＝eq\r(3)sinBcosA，又由在△ABC中，sinB>0，即sinA＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3)，因為0<A<π，所以A＝eq\f(π,3)，在△ABC中，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝4，即16＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立，即bc≤16，所以△ABC的最大面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×16sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，故選A.]9.eq\f(π,3)10.eq\r(13)能力提升練1．B[在銳角△ABC中，A＝2B，B∈(30°，45°)，cosB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，cos2B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，所以由正弦定理可知eq\f(AB,AC)＝eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin3B,sinB)＝eq\f(3sinB－4sin3B,sinB)＝3－4sin2B＝4cos2B－1∈(1,2)，故選B.]2．A[設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則由正弦定理得a＋eq\r(2)b＝2c.故cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))2,2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2－\f(\r(2),2)ab,2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2,2ab)－eq\f(\r(2),4)≥eq\f(2\r(\f(3,4)a2·\f(1,2)b2),2ab)－eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝2b2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))時等號成立．]3．D[由正弦定理得，eq\f(12,sin\f(π,3))＝eq\f(k,sinA)，即k＝8eq\r(3)sinA，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，因為滿足∠ABC＝eq\f(π,3)，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一個，所以A∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))和A＝eq\f(π,2)，故有k∈(0,12]∪{8eq\r(3)}．]4．B[在銳角△ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，根據(jù)正弦定理可得sin2BcosAcosC＝sinAsinCcos2B，即eq\f(sin2B,cos2B)＝eq\f(sinAsinC,cosAcosC)，即tan2B＝tanAtanC，所以tanA，tanB，tanC構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則tanA＝eq\f(tanB,q)，tanC＝qtanB，又由tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝－eq\f(tanB\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,q))),1－tan2B)，所以tan2B＝1＋q＋eq\f(1,q)≥1＋2eq\r(q·\f(1,q))＝3，當(dāng)q＝1時取得等號，所以tanB≥eq\r(3)，所以B≥eq\f(π,3)，又△ABC為銳角三角形，所以B<eq\f(π,2)，所以B的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故選B.]5．60解析作AE⊥CD，垂足為E，則在△AMC中，AM＝eq\f(AB,sin15°)＝20eq\r(6)，∠AMC＝105°，∠ACM＝30°，∴eq\f(AC,sin105°)＝eq\f(20\r(6),sin30°)，∴AC＝60＋20eq\r(3)，∴CD＝30－10eq\r(3)＋ACsin30°＝