2022-2023學年廣東省廣州市番禺區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題，共30.0分.）

/CBD是AABC的外角，ZC=60°,則的大

A.180°

B.120°

C.100°

D.80°

2.若分式」；的值大于零,則X的取值范圍是（）

A.%>1B.%<0C.x<1D.%>0

3.如圖圖形中，作△4BC的邊BC上的高,正確的是()

AA

'/'、'、一

-----L?e

CDc

A

A

、閆

——/C

y

D

4.下列計算正確的是()

A.b3-b3=2b3B.(a5)2=a7

C.(xy)3+(xy)2=xyD.(—2a)2=—4a2

若長度分別為a、3、5的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（

6.如圖，若△ABC三△4DE,則下列結(jié)論中一定成立的是（）一

A.AD=DC憶

B.乙BAD=/.CAE

BDC

C.AB=AE

D.Z.ABC=^AED

7.如圖，在^ABC中，乙4cB=90。，C。是高，乙B=60°,若BD=C

1,貝必1。=（）

A.2

ADB

B|

C.3

8.在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖甲），把余下的部分拼成

一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證等式（）

圖甲圖乙

A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a—b)2=a2-2ab+b2

C.a2—h2=(a+b)(a—b)D.(a+2b)(a—2b)=a2—ab—2b2

9.如圖，在四邊形ZBCD中，乙4=90。，AD=3,BC=5,對角4廣_^

線BO平分/4BC,則△BCD的面積為()/

A.7.5//\

B.12BC

C.8

D.6

10.如圖，梯形ABCD中，4=4=90。，5是8(?的中點，。后平分20(7,pC

以下說法：①4CDE=60°；@DE1AE-,(3)AD<CD+AB；@S^ADE=/\

齊梯形4BCD，其中正確的是()/

A.①②④I

AB

B.③④

C.①②③

D.②④

二、填空題(共6小題，共18.0分)

11.計算：(x-1y2)3=.

12.若(x—l)(x+2)=x2+ax-2,則a-.

13.點P(-1,2)關(guān)于y軸對稱的點的坐標是.

14.等腰三角形的一個角為100。，它的另外兩個角的度數(shù)分別為.

15.如圖三角形紙片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿過點B的直線折疊這個三角

形，使點C落在邊上的點E處，折痕為BD,則△AED的周長為cm.

16.觀察以下等式：

第1個等式：(2x1+1)2=(2x2+1)2_(2x2)2

第2個等式：(2x2+1產(chǎn)=(3x4+1產(chǎn)一(3x4)2

第3個等式：(2x3+=(4x6+1產(chǎn)一(4x6)2

第4個等式:(2x4+1)2=(5x8+一(5x8)2

按照以上規(guī)律，第5個等式是：,第幾個等式(用含n的式子表示)是：

三、解答題(共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題8.0分)

因式分解

(l)4a2-9；

(2)3ax2+6axy+3ay2.

18.(本小題8.0分)

如圖，已知4B=0C,44=ND,4c與DB相交于點0.

(1)求證：4AOB3&DOC.

(2)若4BOC=120°,求NOBC的大小.

AD

19.（本小題8.0分）

如圖所示，牧馬人從4地出發(fā)，到一條直的河流/邊的C處飲馬，然后到達B地.牧馬人到河邊的

什么地點飲馬，可以使所走的路程最短？請用尺規(guī)作圖，在圖中找出路程最短的飲馬點C,

并用軸對稱的性質(zhì)說明理由.

20.（本小題8.0分）

⑴計算:

①(x-8y)(x_y)；

②(2x)3.(_5xy2)；

③金（-凱

(2)先化簡，再求值：(2%4-3y)2-(2x+y)(2x-y),其中x=：,y=-1

21.（本小題8.0分）

如圖，△ACD、ABCE都是等邊三角形，BD分別與4E、AC相交于點M、N.

（1）證明：BD=AE；

（2）求乙4MN的度數(shù).

N,

M

A

B

22.(本小題8.0分)

(1)解分式方程：言=%

(2)己知H=g_》(“-霽+.(。H0,bH0，且a*b).

①化簡H;

②若數(shù)軸上點4、B表示的數(shù)分別為a,b,且4B=2,求H的值.

23.(本小題8.0分)

如圖，在△4BC中，4。是4BAC的平分線，AD的垂直平分線交48于點P,交BC的延長線于點

E.

(1)求證：AC//FD；

⑵NB與NC4E的大小是否相等？若相等，請給予證明；若不相等，請說明理由.

24.(本小題8.0分)

(I)列方程解應用題：兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工一個月完成總工程

的以這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成，哪個隊的施工速度快？

(II)編應用題：

聯(lián)系你的生活實際，編一道關(guān)于分式方程的應用題，并列出方程求出答案.

25.(本小題8.0分)

如圖，△48C是等邊三角形.

備用作①備用圖②

(1)點P是4B邊上一動點.

①當點P移動到中點時，延長CB至E,使BE=BP,連接PE,PC.求證：PE=PC；

②在點P運動過程中，以CP為邊在CP上方作等邊△CPD,連接ZD,CD,當4P>BP時，求乙4DP

的取值范圍；

(2)4H是△ABC的高，記4”長為a,動點M在4H上運動，在CM上方以CM為邊作等邊△CMN,

在點M運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長.

答案和解析

1.【答案】c

解：???3=40°,乙CBD是△ABC的外角，ZC=60°,

kCBD=^A+^C=100°.

故選：C.

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

解：?.?分式々的值大于零，

X-1

AX—1>0,

解得：X>1.

故選：A.

根據(jù)題意可得％-1>0,即可求解.

本題主要考查了分式的值，根據(jù)題意得到x-1>0是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】4

解：4、圖形中，4D是△ABC的BC邊上的高，本選項符合題意；

B、圖形中，不能表示△ABC的BC邊上的高，本選項不符合題意；

C、圖形中，不能表示AABC的BC邊上的高，本選項不符合題意；

D、圖形中，不能表示AABC的BC邊上的高，本選項不符合題意；

故選：A.

根據(jù)三角形的高的概念判斷即可.

本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫

做三角形的高.

4.【答案】C

解：4、b3-b3=b6,選項錯誤，不符合題意；

B、(a5)2=a10,選項錯誤，不符合題意；

C、(xy)3(xy)2=xy,選項正確，符合題意；

D、(-2d)2=4a2,選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

根據(jù)同底數(shù)基的乘法、除法，幕的乘方，積的乘方，逐一進行計算，判斷即可.

本題考查同底數(shù)幕的乘法、除法，幕的乘方和積的乘方.熟練掌握相關(guān)運算法則，是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

解：由三角形三動關(guān)系可得：5—3<a<5+3,

即2<a<8,

因為2<3<8.

故選:B.

根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出a的取值范圍，選擇再此范圍內(nèi)的選項即可.

本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟記兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是關(guān)鍵.

6.【答案】B

解：ABC=LADE,

■.AD=AB,故A、C選項錯誤，不符合題意；

:.Z.BAC=Z.DAE,

：?匕BAC—乙CAD=4DAE—乙CAD,即4BAD=4CAE,故3選項正確，符合題意.

???△ABCZAADE,

/.ABC=/.ADE,故。選項錯誤，不符合題意.

故選：B.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，逐項判斷即可求解.

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應角相等，對應邊相等是解題的關(guān)

鍵.

7.【答案】C

解：在△48。中，LACB=90°,CD是高，48=60。，

???乙CDB=90°,44=Z.DCB=90°一乙B=30°,

???BC=2BD=2,AB=2BC=4,

:.AD=4—1=3；

故選：C.

利用30。所對的直角邊是斜邊的一半，BC=2BD,AB=2BC,分別求出利用AD=AB-

BD,進行計算即可得解.

本題考查含30。角直角三角形.熟練掌握30。角所對的直角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

解：根據(jù)圖甲可得陰影面積為a?-從，

根據(jù)圖乙可得陰影面積為(a+b)(a-b),

二可以驗證等式a?-Z?2=(a+b)(a-b),

故選：C.

根據(jù)兩個正方形及長方形面積的計算公式即可得到答案.

此題考查了平方差公式與幾何圖形，正確理解并計算兩個陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】A

解：過點。作DEJ.BC,交BC于點E,

vZ.A=90°,

???DA1AB,

■■■BD平分2BC,

?1?DA=DE=3,

S^BCD=-DE=gx5x3=7.5.

故選：A.

過點。作DE1BC,交BC于點E,利用角平分線的性質(zhì)，得到D4=CE,利用“-⑺=?DE,

進行計算即可.

本題考查角平分線的性質(zhì).熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】D

解：過點E作E尸_L4D于點F,貝此DFE=90°,

???E是BC的中點，

.?.EB—EC,

vZ-B=Z-C=90°,

:.乙DFE=ZC?

???DE平分4/DC,

???Z-FDE=乙CDE,

又,：DE=DE,

OE/g0EC(44S),

:.EF=EC=EB,乙FED=乙CED,DF=CD,

???Z.AFE=乙B—90°,AE=AE,

SAEF三RtAAEB(HL),

AAF=AB,Z-AEF=Z-AEB,

.-.AD=DF+AF=CD+AB,故③錯誤；

???AFED+乙CED+Z,AEF+^AEB=180°,

/.Z.FED4-Z.AEF=90°,&\^AED=90°,

??DELAE,故②正確；

VS^DEF=S〉DEC，S—EF=S>AEB，^^.DEF+S?DEC+S&AEF+S〉A(chǔ)EB=S梯形ABCD，

JS^DEF+S￡^AEF=2s梯形ABCD，=5s梯形人口。。，

故④正確；

題中無條件證明4CDE=60°,故①錯誤；

正確的有②④

故選：D.

過點E作EF14。于點尸，證明ADEF三△DEC(A4S),得至喈F=EC,/.FED=/.CED,DF=CD,

再證明RtAAEF^Rt△AEB(HL),得至lj4F=AB,^AEF=^AEB,由此判斷③錯誤；根據(jù)/FED+

/-CED+AAEF+AAEB=180。判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及S^EF+S?DEC+S^EF+

S-EB=S梯形ABCD，得到S-DE=；S梯形即。，由此判斷④正確；題中無條件證明NCDE=60°,

故①錯誤.

此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線及掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)

鍵.

11.【答案】弓

解：Q-ly2)3=%-3y6=g

故答案為:4.

根據(jù)積的乘方計算法則去括號，再根據(jù)負整數(shù)指數(shù)幕定義將負指數(shù)化為正指數(shù)即可.

此題考查了積的乘方計算法則，負整數(shù)指數(shù)基定義，熟記各計算法則是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】1

解：(％-l)(x+2)=%2+%—2,

(%-1)(%+2)=x2+ax-2,

x2+x-2=x2+ax-2,

a=1.

故答案為：L

利用多項式乘多項式的法則，計算出(x-1)(%+2),根據(jù)兩個多項式相等，對應項對應相等，進

行求解即可.

本題考查多項式乘多項式.熟練掌握多項式乘多項式法則，是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】(1,2)

解：點P(-1,2)關(guān)于y軸對稱的點的坐標是(1,2).

故答案為：(1,2).

根據(jù)關(guān)于y軸對稱，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變；即可得出答案.

本題考查了關(guān)于%軸、y軸對稱點的坐標，

注：關(guān)于y軸對稱，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變；

關(guān)于x軸對稱，縱坐標互為相反數(shù)，橫坐標不變；

關(guān)于原點對稱，橫縱坐標都互為相反數(shù).

14.【答案】40°,40°

解：???等腰三角形的一個角為100。，

100。的角是頂角，

二另兩個角是*180。-100。)=40°,

即40。，40°.

故答案為：40°,40°.

先判斷出100。的角是頂角，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等解答.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等，需要注意100°的角只能是頂

角.

15.【答案】7

解：由折疊的性質(zhì)得：BE=BC=6cm,DE=DC,

AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2(cm),

ZED的周長=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=5+2=7(cm),

故答案為：7.

先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE=BC,DE=CD,再求出4E的長，然后求出△40E的周長=4C+AE,

即可得出答案.

本題考查了翻折變換的性質(zhì)以及三角形周長；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)的解題的關(guān)鍵.

16.【答案】(2x5+1)2=(6x10+I)2-(6x10)2(2xn+1)2=[(n+1)x2n+l]2-[(n+

1)x2n]2

解：第1個等式：(2x1+I/=[(1+1)x2x1+If-[(i+i)x2xIf=(2x2+I)2-(2x

2B

第2個等式：(2X2+1產(chǎn)=[(2+1)x2x2+If一限2+1)x2x2產(chǎn)=(3x4+I)2-(3x4)2；

第3個等式：(2x3+1產(chǎn)=[(3+1)x2x3+If一鼠3+1)x2x3產(chǎn)=(4x6+I)2-(4x6)2；

第4個等式：(2x4+I/=[(4+1)x2x4+If一鼠4+1)x2x4產(chǎn)=(5x8+I)2-(5x8)2；

.?.第5個等式：(2x5+=[(5+1)x2x5+1K-[(5+1)x2x5]2=(6x10+I)2-(6x

10)2,

二第n個等式(用含n的式子表示)是：(2xn+1)2=[(n+1)x2n+l]2-[(n+1)x2n]2；

故答案為：(2x5+1尸=(6x10+I)2-(6x10)2,(2xn+1)2=[(n+1)x2n+I]2-[(n+

1)x2n]2.

根據(jù)前四個等式，抽象概括出相同位置上的數(shù)字規(guī)律，即可得出結(jié)論.

本題考查數(shù)字規(guī)律探究.根據(jù)已知的等式，抽象概括出相應的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解:(1)原式=(2a+3)(2a-3)；

(2)原式=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2.

【解析】(1)直接利用平方差公式分解因式得出答案；

(2)首先提取公因式3a,再利用完全平方公式分解因式即可.

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用公式是解題關(guān)鍵.

18.【答案】(1)證明:AZOB和ADOC中，

(Z.AOB=乙DOC

\z.A=Z-D，

(48=CD

???△4O8W2\DOC(44S)；

(2)VAAOB=^DOC,

.??OB=OC9

???Z.OBC=乙OCB,

vZ-BOC=120°,

乙OBC=1(180°-ZBOC)=30°.

【解析】⑴根據(jù)/MS證明即可；

(2)根據(jù)(1)全等三角形的性質(zhì)得到OB=OC,推出4OBC=NOCB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

4OBC的大小.

此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，熟記

各知識點并應用是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：如圖，過點8作直線I的對稱點B',連接AB',與直線，的交點即為點C,此時所走

的路程最短，

即AC+BC=AC+B'C=AB',

取直線1上另一點C',

根據(jù)軸對稱得到AC'+BC=AC+B'C>AB1,

???牧馬人到河邊的點C處飲馬，可以使所走的路程最短.

【解析】過點B作直線/的對稱點B',連接AB',與直線/的交點即為點C,此時所走的路程最短，取

直線［上另一點C',根據(jù)三角形三邊關(guān)系證明得到牧馬人到河邊的點C處飲馬，可以使所走的路程

最短.

此題考查了最短路徑問題，軸對稱作圖，三角形三邊關(guān)系的應用，正確理解最短路徑問題作圖方

法是解題的關(guān)鍵.

20.【答案］解：(l)(D(x-8y)(x-y)

=x2—8xy—xy+8y2

=x2—9xy+8y2；

2

②(2x)3.(-5xy)

=8x3-(—5xy2)

=-40x4y2；

③"Q

_4ac2

c34a2

1

一

(2)(2%+3y7一(2x+y)(2x-y)

=4x2+12xy+9y2—4%2+y2

=12xy+10y2,

當％=g，y=-1時.，

原式=12xgx(-1)+10x(-1)2=4.

【解析】(1)①利用多項式乘以多項式法則計算，即可求解；②先計算乘方，再計算乘法，即可

求解；③先計算乘方，再計算乘法，即可求解；

(2)先利用完全平方公式和平方差公式計算，再合并，然后把x=g,y=-1代入化簡后的結(jié)果，

即可求解.

本題主要考查了整式的混合運算，分式的乘法運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】(1)證明：ABCE都是等邊三角形，

■?■AC=DC,CE=BC,AACD=/.BCE=60°,

???Z-ACD+乙ACB=乙BCE+乙4CB,

即乙4CE=乙BCD,

在OCB中，

AC=DC

Z-ACE=乙BCD,

CE=CB

???BD=AE；

(2)解：?「△4C0是等邊三角形，

???Z.CAD=AADC=60°,

,**△ACDCB,

：?Z-CAE=乙CDB,

???Z.ADM+/.DAM=/.ADM+Z.CAD+LCAM=Z.ADM+/.CAD+乙CDB=/.ADC+/.CAD=

120°,

???乙AMN=180°-(乙ADM+ZD4M)=60°.

【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得4c=DC,CE=BC,乙4CD=NBCE=60。，從而得到

Z.ACE=/.BCD,可證得△ACE三ADCB,即可求證；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得“力。=/-ADC=60°,再由△ACE^LDCB,可得NC4E=乙CDB,

從而得到4W"+ZZMM=/.ADC+/.CAD=120°,即可求解.

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證得△ACEWA

DCB是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：(1)三=工，

去分母得：5%=%+3,

解得：x=p

檢驗：當％='時，x(x+3)W0,

所以原方程的解為％=三

4

⑵①H=(11):。2-2附+>=a-b2ab=2

(%a，2abab(a-b)2a—b'

②???數(shù)軸上點4、B表示的數(shù)分別為a,b,且4B=2,

a—b——2或2,

7

當a—b=—2時，H=—=-1；

當a-b=2時，H=j=1；

的值為±1.

【解析】(1)先去分母，把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解；

(2)①先計算括號內(nèi)的，再計算除法，即可求解；②根據(jù)題意可得a-b=-2或2,再分別代入化

簡后的結(jié)果，即可求解.

本題主要考查了解分式方程，分式的化簡求值，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】⑴證明：:AD是NB4C的平分線,

:.Z-CAD=乙BAD,

???的垂直平分線交AB于點F,

：.AF=DF,

???Z.FDA=乙BAD,

:.Z-FDA=Z.CAD,

AC//FD；

（2）48=4。4￡,理由如下：

???4。的垂直平分線交AB于點F,交的延長線于點E.

:.AE=DE,

???Z.ADE=/LEAD,

vZ.ADE=Z-B+Z.BAD,Z.EAD=乙CAD+Z-CAE,Z-CAD=乙BAD,

:.Z.B=Z-CAE.

【解析】（1）根據(jù)角平分線定義得到4C4D=4B4D,根據(jù)線段垂直平分線定義得到4F=DF,推

出=ACAD,即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到4E=0E,推出乙4DE=Z_E4D,再根據(jù)乙4DE=乙B+Z.BAD,

/.EAD=Z.C/1D+4cAE推出4B=MAE.

此題考查了角平分線的定義，平行線的判定定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)定

理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】解：（I）設(shè)乙隊的工作效率是工,

依題意得方程：

（l+x）4=1-r

解得x=l,

???乙隊單獨施工1個月可以完成總工程，

答：乙隊的施工速度快；

（口）應用題：甲、乙兩人送外賣，甲比乙平均每小時多送2份，甲送30份外賣與乙送20份外賣所用

時間相同，求甲平均每小時送外賣的份數(shù).

設(shè)甲平均每小時送外賣y份，由題意得，

3020

yy-2

解得y=6,

檢驗：當y=6時，，y(y-2)H0,

??.y=6是分式方程的解，且符合題意，

答：甲平均每小時送外賣6份.

【解析】(