2022-2023學(xué)年山東省泰安市新泰市八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷

（五四學(xué)制）

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正

確的選項(xiàng)選出來，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分）

1.下列計(jì)算正確的是（）

A.V16=±4B.V(-2)2X3=-2>/3

CV-8=2D.-V64=-8

2.已知典=g,則』-的值為（）

n3m+n

3口2

AA-TB-5

3.如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A,在近岸取8,c,D三點(diǎn),使得

AB±BC,COLBC,點(diǎn)E在3C上，并且點(diǎn)A,E,。在同一條直線上，若測(cè)得8E=20%,

CE=10m,CD=20m,則河的寬度為（)

二A二

—4-\-

—N一一1

BE^-c

D

A.20mB.30mC.40mD.60m

4.方程12-2x-1=0根的情況是（

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

5.如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線AC、8?；ハ啻怪?，則下列條件能判定四邊形A8C。為菱

形的是（）

A.BA=BCB.AC、8。互相平分

C.AC=BDD.AB//CD

6.如圖，已知△">￡與AABC的相似比為1：2,則△AOE與四邊形8CE。的面積比為()

7.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.書中

有一題“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高，廣各幾何？”其大意是:

“已知長(zhǎng)方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，那么門的高和寬各是多少？”

若設(shè)寬為了尺，則可列方程為()

A.N+(x-6.8)2=100B.x(x+6.8)=100

C.x2+(x+6.8)2=100D.尤(x-6.8)2=100

8.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊A3、BC、CD、ZM的中點(diǎn).則下列說法:

①若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形；

②若ACLBD,則四邊形EFGH為菱形；

③若四邊形EPG8是平行四邊形，則AC與互相平分；

④若四邊形EFGH是正方形，則AC與8?；ハ啻怪鼻蚁嗟?

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

9.寬與長(zhǎng)的比是專工的矩形叫做黃金矩形.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正

方形ABCD,分別取4。，BC的中點(diǎn)E,F,連接EP；以點(diǎn)尸為圓心，以ED為半徑畫

弧，交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.則下列矩形是黃金矩

形的是()

A.矩形ABFEB.矩形EEC。C.矩形EFGHD.矩形。CGH

10.一元二次方程尤2-6x-5=0配方后可變形為（）

A.（尤+3）2—4B.（%-3）2—4C.（x+3）2=14D.（x-3）2—14

11.直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為遙-聲和遙為應(yīng)，則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)

為（）

A.yB.V2c.1D.2

12.四邊形不具有穩(wěn)定性.四條邊長(zhǎng)都確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角的大小發(fā)生變化時(shí)，其形狀也

隨之改變.如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，使正方形ABC。變?yōu)榱庑蜛BC'D',如

果=30",那么菱形ABC'D'與正方形ABC。的面積之比是（）

4年^卒C.隼

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）

14.如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是.（填序號(hào)）

15.將一條長(zhǎng)28a〃的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，使這兩個(gè)正方形的

面積之和等于25c/,則其中較大正方形的邊長(zhǎng)為cm.

16.教學(xué)樓前有一棵樹，小明想利用樹影測(cè)量樹高.在陽光下他測(cè)得一根長(zhǎng)為1"?的竹竿的

影長(zhǎng)是09%，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全在地面上，有一部分影子落在

教學(xué)樓的墻壁上(如圖)，經(jīng)過思考，他認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以求出樹高.他測(cè)得，落在

地面上的影長(zhǎng)是2.7m,落在墻壁上的影長(zhǎng)是0.6利，則這棵樹實(shí)際高度為m.

17.由12個(gè)有公共頂點(diǎn)。的直角三角形拼成如圖所示的圖形，N8OC=

=/LOM=30°.若。4=1,則圖中與△Q4B位似的三角形中，邊04對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)

為.

ED

18.如圖，正方形A3CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在A3上，且BE=1,尸為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),

則周長(zhǎng)的最小值為.

三、解答題(本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演

步驟)

19.計(jì)算：(1)(V3-2)2+712+6^-；

(2)?-3)2-(V5+1)義(V5-1),

20.解下列方程:

(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0；

(2)x2-4x-8=0.

21.己知關(guān)于尤的一元二次方程爐-3x+機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xi、X2.

(1)求機(jī)的取值范圍；

(2)當(dāng)尤1=1時(shí)，求另一個(gè)根X2的值.

22.已知，如圖，在△ABC中，。是AC上的一點(diǎn)，/C8O的平分線交AC于點(diǎn)E,AE=

9

AB=6,AD=—.

2

(1)求"的長(zhǎng)；

(2)若。/〃8C交AB于點(diǎn)/，求的長(zhǎng).

23.如圖，在四邊形A8C。中，AB//CD,AB=AD,對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)O,AC平分/

BAD.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),過點(diǎn)尸作PELAC,PFLBD,垂足分別

為E,F,求證：OP=EF.

24.某商城在2021年端午節(jié)期間促銷海爾冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，標(biāo)價(jià)為3000元.

(1)商城舉行了“新老用戶粽是情”摸獎(jiǎng)活動(dòng)，中獎(jiǎng)?wù)呱坛菍⒈溥B續(xù)兩次降價(jià)，每次

降價(jià)的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價(jià)的百分率；

(2)市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)每臺(tái)售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)，當(dāng)每臺(tái)售價(jià)每降

50元時(shí),平均每天就能多售出4臺(tái),若商城要想使海爾冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000

元，則每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？

25.如圖，在矩形ABC。中，E是CD邊的中點(diǎn)，且3ELAC于點(diǎn)尸，連接。咒

求證：(1)AD=DF；

(2)DF=BE?BF.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正

確的選項(xiàng)選出來，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分）

1.下列計(jì)算正確的是（）

A.-/16=±4B.（-2）2X3=-273

C.=2D.-764=-8

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

解：A、J正=4,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、7（-2）2X3=V12=273＞原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、牛耳=-2,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、-764=-8,正確，符合題意?

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)及立方根，熟知二次根式的被開方數(shù)是非

負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.已知叫=春，則』-的值為（）

n6mtn

,3口2?7?2

'7'?'7'~3

【分析】根據(jù)已知條件設(shè)機(jī)=2鼠w=3A,再代入求出答案即可.

解：設(shè)m=2左，n—3k,

則3

m+n

2k

-2k+3k

=2k

-5k

_2

一于

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：如果金

=—,那么ad=bc.

d

3.如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A,在近岸取8,C,。三點(diǎn)，使得

AB1BC,CZJLBC,點(diǎn)E在8c上，并且點(diǎn)A,E,。在同一條直線上，若測(cè)得BE=20m,

CE=10m,CD=20m,則河的寬度為()

D

A.20mB.30mC.40mD.60m

【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAEs△□)￡,利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距

離AB.

解：'：AB±BC,CD1BC,

:.ABAESACDE,

.ABBE

"CD"CE)

；BE=20m,CE=10m,CD=20m,

.AB_20

'"20"10，

解得：AB=40,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相

似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

4.方程尤2-2x-1=0根的情況是()

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

解：VA=(-2)2-4X(-1)=8>0,

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程辦2+b尤+c=0QW0)的根與A=爐-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)AVO時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

5.如圖，四邊形A8CQ的對(duì)角線AC、8D互相垂直，則下列條件能判定四邊形A8C。為菱

形的是（）

A.BA=BCB.AC、8?；ハ嗥椒?/p>

C.AC=BDD.AB//CD

【分析】已知四邊形的對(duì)角線互相垂直，可依據(jù)“對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱

形”的判定方法，來選擇條件.

解：四邊形中，AC,89互相垂直，

若四邊形ABC。是菱形，需添加的條件是：

AC、8。互相平分；（對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形）

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是菱形的判定方法：對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.

6.如圖，已知△?!￡）￡與Z\ABC的相似比為1：2,則△AOE與四邊形BCED的面積比為（）

【分析】由三角形ADE與三角形A3C相似，利用相似三角形面積之比等于相似比，求

出兩三角形面積之比，即可求出△ADE與四邊形的面積比.

解：,/AADE^AABC,且相似比為1：2,

S^ADE:S^ABC=1:4,

?SAABC=S四邊彩BCE?+SAAZ）E,

S^ADE:S四邊形BCED=1:3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解

本題的關(guān)鍵.

7.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.書中

有一題“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高，廣各幾何？”其大意是:

“已知長(zhǎng)方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，那么門的高和寬各是多少？”

若設(shè)寬為x尺，則可列方程為（）

A.x2+（尤-6.8）2—100B.x（x+6.8）=100

22

C.N+（x+6.8）=100D.x（%-6.8）=100

【分析】設(shè)長(zhǎng)方形門的寬了尺，則高是（龍+6.8）尺，根據(jù)勾股定理即可列方程.

解：設(shè)長(zhǎng)方形門的寬x尺，則高是（x+6.8）尺，

根據(jù)題意得N+（x+6.8）2=1。2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，根據(jù)勾

股定理列方程是解題關(guān)鍵.

8.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形A8C。邊A3、BC、CD、D4的中點(diǎn).則下列說法:

①若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形；

②若AC±BD,則四邊形EFGH為菱形；

③若四邊形斯GW是平行四邊形，則AC與8?；ハ嗥椒?；

④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對(duì)角線時(shí)，中點(diǎn)四邊

形是菱形，當(dāng)對(duì)角線時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對(duì)角線AC=B￡>,MACLBD

時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形，

解：因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形，

當(dāng)對(duì)角線時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對(duì)角線時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，

當(dāng)對(duì)角線AC=2。，且ACLBD時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形，

故④選項(xiàng)正確，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查中點(diǎn)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

記住一般四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對(duì)角線BD=AC時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形,

當(dāng)對(duì)角線AC,8。時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對(duì)角線AC=8。，且ACLBD時(shí)，中點(diǎn)四

邊形是正方形.

9.寬與長(zhǎng)的比是返工的矩形叫做黃金矩形.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正

方形A8C。，分別取A。，8C的中點(diǎn)E,F,連接EF；以點(diǎn)尸為圓心，以陽為半徑畫

弧，交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作G”，A。，交AQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)則下列矩形是黃金矩

形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形斯C￡>C.矩形EFGHD.矩形。CG8

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)DF=GF求得CG

的長(zhǎng)，最后根據(jù)CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形。CGH為黃金矩形.

解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則0=2,CF=\

在直角三角形。b中，DF=yJ+22,

:.FG=?

--.CG=V5-I

.CGV5-1

??—，

CD2

矩形。CGH為黃金矩形

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了黃金分割，解決問題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念.解題時(shí)注

意，寬與長(zhǎng)的比是叁工的矩形叫做黃金矩形，圖中的矩形ABG8也為黃金矩形

10.一元二次方程/-6x-5=0配方后可變形為（）

A.（x+3）2=4B.（x-3）2=4C.（尤+3）2=14D.（尤-3）2=14

【分析】先移項(xiàng)，再根據(jù)完全平方公式配方，即可得出選項(xiàng).

解：N-6x-5=0,

x2-6x—5,

x2-6x+9=5+9,

（x-3）占14,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵.

11.直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為y一/百和遙第，則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)

為（）

A.-j-B.V2C.1D.2

【分析】先根據(jù)勾股定理列式求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半解答即可.

解：???兩條直角邊的長(zhǎng)分別是為代-4和遙儀區(qū)，

斜邊正點(diǎn)）2+（遙_如產(chǎn)=4,

斜邊上的中線=2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，是基

礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.四邊形不具有穩(wěn)定性.四條邊長(zhǎng)都確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角的大小發(fā)生變化時(shí)，其形狀也

隨之改變.如圖，改變正方形ABC。的內(nèi)角，使正方形42。變?yōu)榱庑蜛BC'D',如

果=30°,那么菱形48C'D'與正方形ABC。的面積之比是（）

A.近B.叵3

242

【分析】過。作D'M，AB于求出正方形ABC。的面積=A￥,再由含30°角的直角

三角形的性質(zhì)得D'M=y/3AM=^-AD',然后求出菱形ABCD的面積=A8

XD'M=-^-AB2,即可求解.

2

解：過。作D'A/_LAB于M,如圖所示：

則NZm4=90°,

,/四邊形ABCD是正方形，

正方形ABC。的面積=45，AB=AD,ZBAD=90°,

'：ZDAD'=30°,

：.ZD'AM=90°-30°=60°,

/.ZA￡)'M=30°,

：.AM=^-AD',D'M^y/3AM=^-AD',

?.?四邊形ABC'D'是菱形，

：.AB=AD'=AD,菱形A3C￡＞的面積=42義。知=返

-AB2,

，菱形ABC，D'與正方形ABC。的面積之比=

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí);

熟練掌握菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證出警4。是解題的關(guān)鍵.

2

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）

13.計(jì)算：點(diǎn)壺&

【分析】先分母有理化，然后根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果.

_V2+572

=啦，

故答案為：372.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

14.如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是①③.(填序號(hào))

【分析】先求出所有三角形的邊長(zhǎng)，由相似三角形的判定可求解.

解：圖形①的三邊為：2,?io,J5；

圖形②的三邊為：3,-^5>J5；

圖形③的三邊為：2,2衣，275；

圖形④的三邊為：3,V2>V17>

..2V2V10V2

.WTF弱丁’

...①與③相似，

故答案為：①③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

15.將一條長(zhǎng)28cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，使這兩個(gè)正方形的

面積之和等于250層，則其中較大正方形的邊長(zhǎng)為4cm.

【分析】設(shè)其中較大正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則較小正方形的邊長(zhǎng)為(7-尤)根據(jù)兩

個(gè)正方形的面積之和等于25cm2,可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值,

即可得出結(jié)論.

解：設(shè)其中較大正方形的邊長(zhǎng)為我相，則較小正方形的邊長(zhǎng)為空獸=(7-x)cm,

4

根據(jù)題意得：N+(7-x)2=25,

整理得：x2-7x+12=0,

解得：為=3,%2=4,

當(dāng)％=3時(shí)，7-x=7-3=4>3,不符合題意，舍去；

當(dāng)x=4時(shí)，7-尤=7-4=3<4,符合題意，

其中較大正方形的邊長(zhǎng)為4cm.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

16.教學(xué)樓前有一棵樹，小明想利用樹影測(cè)量樹高.在陽光下他測(cè)得一根長(zhǎng)為L(zhǎng)”的竹竿的

影長(zhǎng)是09小但當(dāng)他馬上測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全在地面上，有一部分影子落在

教學(xué)樓的墻壁上（如圖），經(jīng)過思考，他認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以求出樹高.他測(cè)得，落在

地面上的影長(zhǎng)是2.7:〃，落在墻壁上的影長(zhǎng)是06%，則這棵樹實(shí)際高度為3.6m.

【分析】先根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例求出落在地上的影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹的高度，再加

上落在墻上的影長(zhǎng)就是樹的高度.

解：???同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，

,測(cè)竿高度一落在地上的影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹的高度

,.測(cè)竿影長(zhǎng)一落在地上的影長(zhǎng)'

即1—落在地上的影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹的高度

即:■=---------------r?---------------'

解得落在地上的影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹的高度=3?7,

樹的高度為:3+0.6=36”，

故答案為：3.6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求解，明確把影長(zhǎng)分為兩部分計(jì)

算，然后再求和就是樹的高度是解題的關(guān)鍵.

17.由12個(gè)有公共頂點(diǎn)。的直角三角形拼成如圖所示的圖形，ZBOC=ZCOD=-

=ZLOM=30°.若。4=1,則圖中與△OA8位似的三角形中，邊OA對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)為

64

ED

【分析】先根據(jù)余弦的定義求出0G的長(zhǎng)，再根據(jù)位似圖形的概念解答.

解：在RtZVlOB中，OA=1,ZAOB=30°,

則吁人治=^=君

同理可得：0C=（-^）2,

心（君『春

VAOAB與△GOH位似，0G與OA是對(duì)應(yīng)邊，

.,.邊04對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)為舞，

故答案為:

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換、解直角二角形，根據(jù)余弦的定義求出0G的長(zhǎng)是解題

的關(guān)鍵.

18.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在A3上，且3￡=1,尸為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),

則周長(zhǎng)的最小值為6

【分析】連接網(wǎng)》交AC于一點(diǎn)F,連接BF,根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)△3莊的周

長(zhǎng)最小，利用勾股定理求出。E即可.

解：如圖，連接應(yīng)>交AC于一點(diǎn)/，連接8凡

:四邊形ABC。是正方形，

，點(diǎn)8與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，

：.BF=DF,

：.ABFE=BF+EF+BE=DE+BE,此時(shí)的周長(zhǎng)最小,

,/正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,

：.AD=AB=4,ZDAB=9Q°,

:點(diǎn)E在AB上且BE=1,

：.AE=3),

?■?￡)￡=VAD2+AE2=5>

.?.△3尸E的周長(zhǎng)=5+1=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角以及正方形的對(duì)稱性

質(zhì)，還考查了勾股定理的計(jì)算.依據(jù)正方形的對(duì)稱性，連接DE交AC于點(diǎn)廠時(shí)△3PE

的周長(zhǎng)有最小值，這是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演

步驟)

19.計(jì)算：(1)(V3-2)2+712+6^1；

⑵V(V5-3)2-(V5+1)x(V5-1)-

【分析】(1)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減

法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行

計(jì)算即可.

解：(1)(V3-2)2+712+6^-

=3-4A/3+4+2*\/3V3

=7；

⑵V(V5-3)2-(V5+1)X(V5-1)

=3-75-(5-1)

=3-遙-4

=-1-V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是

解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序.

20.解下列方程:

(1)4(x+2)2-9(尤-3)2=0；

(2)x2-4x-8=0.

【分析】(1)先移項(xiàng)，再利用直接開平方法求解即可；

(2)將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，

再開方即可得.

解：(1)4(x+2)2-9(x-3)占0,

4(x+2)2=9(x-3)2,

貝！)2(x+2)=3(x-3)或2(x+2)=-3(x-3),

解得用=13,X2=l；

(2)x2-4x-8=0,

.*.x2-4x=8,

「?N-4x+4=8+4,即(x-2)』12,

；?x-2=±,

.'.xi=2+2^3,X2=2-2y/2-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的

方法是解題的關(guān)鍵.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-31+機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為、%2.

(1)求相的取值范圍；

(2)當(dāng)Xl=l時(shí)，求另一個(gè)根X2的值.

【分析】(1)根據(jù)題意可得根的判別式△>(),再代入可得9-4加>0,再解即可;

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得Xl+X2=-2,再代入可得答案.

a

解：(1)由題意得：A=(-3)2-4XlXm=9-4m>0,

q

解得：m<—；

4

(2)"."xi+x2=--=3,xi=1,

a

；.X2=2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程

ax2+bx+c—0(aWO)的根與△=爐-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)

實(shí)數(shù)根；③當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.上面的結(jié)論反過來也成立.

22.已知，如圖，在△ABC中，。是AC上的一點(diǎn)，/CBZ)的平分線交AC于點(diǎn)E,AE=

9

AB=6,AD~.

(1)求CE的長(zhǎng)；

(2)若。尸〃BC交A3于點(diǎn)尸，求3尸的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得即，再根據(jù)三角形外角定理及角平

分線的定義可得出據(jù)此可判定△ABD和△AC2相似，然后根據(jù)相似三角

形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出AC=8,進(jìn)而可求得CE的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)。尸〃BC可得△&￡)尸和△ACB相似，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可

求出AE進(jìn)而可求得的長(zhǎng).

解：(1)-：AE=AB^6,AD=9/2,

ZABE=ZAEB,

又/AEB=ZC+ZCBE,

：.ZC+ZCBE=ZDBE+ZABD,

???5七平分/。5。，

：.ZCBE=ZDBEf

：.ZC=ZABD,

在△A3。和△AC5中，

/C=/ABD,ZBAD=ZCAB,

：.△ABDS^ACB,

：.AB：AC=AD：AB,

Q.

即：6：AC=—：6,

???AC=8,

：.CE=AC-AE=2,

(2)9：DF//BC,

：.AADF^AACB,

：.AF：AB=AD：AC,

Q

即：AF：6=y：8,

AF

普4

135

BF=AB-AF=6-^105

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)

鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，在利用相似三

角形對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí)，一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊.

23.如圖，在四邊形ABCZ3中，AB//CD,AB=AD,對(duì)角線AC,2。交于點(diǎn)。，AC平分/

BAD.

（1）求證：四邊形A8CD是菱形;

（2）點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過點(diǎn)尸作尸ELAC,PF±BD,垂足分別

為E,F,求證：OP=EF.

【分析】（1）先證四邊形A8C。是平行四邊形，再證NDCA=/D4C,貝|CZ）=A。，然

后由菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得AC_LB。則/3OC=90°,再由PE_LAC,PF±BD,得NPEO=

ZPFO=90°,然后證四邊形OFPE是矩形，即可得出結(jié)論.

【解答】證明：（1）--,AB//CD,AB=AD,

...四邊形ABC。是平行四邊形，ZCAB=ZDCA,

平分NA4D

：.ZCAB=ZDAC,

：.ZDCA^ZDAC,

：.CD=AD,

平行四邊形A3。是菱形.

（2）由（1）可知，四邊形A8C。是菱形，

：.AC±BD,

：.ZBOC=90°,

,：PELAC,PFLBD,

：.ZPEO=ZPFO=90°,

...四邊形。"E是矩形，

：.OP=EF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰

三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.某商城在2021年端午節(jié)期間促銷海爾冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，標(biāo)價(jià)為3000元.

（1）商城舉行了“新老用戶粽是