比例線段與相似性質(zhì)和判定考綱要求考綱要求內(nèi)容根本要求略高要求相似三角形了解兩個(gè)三角形相似的概念會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算；會(huì)利用三角形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題知識(shí)講解知識(shí)講解一、比例的性質(zhì)1．這一性質(zhì)稱為比例的根本性質(zhì),由它可推出許多比例形式;2．(反比定理);3．(或)(更比定理);4．(合比定理);5．(分比定理);6．(合分比定理);7．(等比定理).二、成比例線段1．比例線段對(duì)于四條線段，如果其中兩條線段的比〔即它們的長(zhǎng)度比〕與另兩條線段的比相等，如〔即〕，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．2．比例的項(xiàng)在比例式〔〕中，稱為比例外項(xiàng)，稱為比例內(nèi)項(xiàng)，叫做的第四比例項(xiàng)．三條線段〔〕中，叫做和的比例中項(xiàng)．3．黃金分割如圖，假設(shè)線段上一點(diǎn)把線段分成兩條線段和〔〕，且使是和的比例中項(xiàng)〔即〕那么稱線段被點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)叫線段的黃金分割點(diǎn)，其中，，與的比叫做黃金比．三、平行線分線段成比例定理1．定理兩條直線被三條平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．2．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線〕，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．3．推論的逆定理如果一條直線截三角形的兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線〕所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．4．三角形一邊的平行線性質(zhì)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．如圖，，那么．假設(shè)將稱為上，稱為下，稱為全，上述比例式可以形象地表示為．當(dāng)三條平行線退化成兩條的情形時(shí)，就成了“”字型，“”字型．那么有．學(xué)案提升學(xué)案提升考點(diǎn)一：比例的性質(zhì)?考點(diǎn)說(shuō)明：如果要考查多以選擇和填空為主，重點(diǎn)掌握等比性質(zhì)假設(shè)，那么的值為________【答案【穩(wěn)固】設(shè)，那么_______【解析】由及比例的性質(zhì)可知：．也可用“過(guò)渡量”來(lái)求！【答案【拓展】假設(shè)，那么的值為_________【答案或[提示：等比性質(zhì)，假設(shè)時(shí)，，假設(shè)，那么]，求的值【解析】解法一：設(shè)，那么．∴．解法二：由得．∴．【答案．【穩(wěn)固】：．求.【解析】設(shè)，代入中得原式【答案考點(diǎn)二：黃金分割?考點(diǎn)說(shuō)明：如果要考查可能出現(xiàn)在22題之中，需要掌握黃金分割的定義如下圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)〔即是與的比例中項(xiàng)〕，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，那么________，________．【解析】點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，∴，即，又∵點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，∴，∴【答案如下圖，在黃金分割矩形中，分出一個(gè)正方形，求．【解析】∵，∴．．∵，∴．【答案．考點(diǎn)三：平行線分線段成比例定理?考點(diǎn)說(shuō)明：平行線分線段成比例定理的考查多數(shù)以選擇或填空的形式展開如圖，，且，假設(shè)，求的長(zhǎng)．【解析】【答案如圖，，，那么以下比例式中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，故正確．由，可得，故正確．由，可得，而，∴錯(cuò)誤．【拓展】如圖，中，為邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．假設(shè)，求證:．【答案】過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)．老師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作如下輔助線來(lái)證此題：，如圖邊長(zhǎng)為的等邊，，，那么的長(zhǎng)為_____【答案如圖，在中，、，假設(shè)，，那么的長(zhǎng)為________【答案[提示：設(shè)，那么，，，代入即可求得]，如圖在平行四邊形，為上任一點(diǎn)，連接交的延長(zhǎng)線于求證：【答案】證明過(guò)程略。[提示：，]考點(diǎn)四：梅涅勞斯定理?考點(diǎn)說(shuō)明：梅涅勞斯型在選擇和填空中考察較多，需要熟練掌握該定理以提高解題速度梅涅勞斯定理：如果一條直線與的三邊、、或其延長(zhǎng)線交于、、點(diǎn)，那么．這條直線叫的.梅氏線，叫梅氏三角形．證法一：如左圖，過(guò)作∵，∴．證法二：如中圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于∴，，三式相乘即得：．證法三：如右圖，分別過(guò)作的垂線，分別交于．那么有，所以．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于，那么_______.【答案】2【解析】以上這些解法均屬于常規(guī)解法，下面介紹特殊的解法：看為直線所截，由梅涅勞斯定理可知，又，，故上述圖形是一個(gè)經(jīng)典的梅氏定理的根本圖形，解類似的題時(shí)，梅氏定理的運(yùn)用能夠帶來(lái)立竿見影的效果，很快得出答案，梅氏定理的證明見變式1，先講變式1再介紹本解法.如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，交于點(diǎn).〔1〕當(dāng)時(shí)，求的值；〔2〕當(dāng)時(shí)，求的值；〔3〕試猜測(cè)時(shí)的值，并證明你的猜測(cè).【答案〔1〕；〔2〕當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，〔3〕當(dāng)時(shí)，【解析】梅氏定理，看被直線所截可知，而，，故.【穩(wěn)固】如圖，是的中線，點(diǎn)在上，是延長(zhǎng)線與的交點(diǎn).〔1〕如果是的中點(diǎn)，求證：；〔2〕由〔1〕知，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，成立，假設(shè)是上任意一點(diǎn)〔與、不重合〕，上述結(jié)論是否仍然成立，假設(shè)成立請(qǐng)寫出證明，假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案〔1〕見解析；〔2〕結(jié)論依然成立【拓展】在中，底邊上的兩點(diǎn)、把三等分，是上的中線，、分別交于、兩點(diǎn)，求證：【解析】利用梅涅勞斯定理，得①把看成梅式三角形，看成梅氏線，故②把看成梅氏三角形，看成梅氏線，故，所以考點(diǎn)五：相似三角形的性質(zhì)?考點(diǎn)說(shuō)明：利用相似三角形的性質(zhì)如對(duì)應(yīng)邊成比例，求線段的長(zhǎng)，或者轉(zhuǎn)化角度。如圖，四邊形是平行四邊形，為上一點(diǎn)，交于。假設(shè)，那么()A. B.C. D.【答案】B為梯形一腰上一點(diǎn)，且，交于，，，那么長(zhǎng)為() A. B. C. D.【答案】A[提示：方法一，分別取、中點(diǎn)，連接，那么，方法二：過(guò)點(diǎn)作交于，那么，，∴，∴]如圖，在梯形中，，，，為邊上的任意一點(diǎn)，，且交于點(diǎn)．⑴假設(shè)為邊上的中點(diǎn)，那么〔用含有，的式子表示〕；⑵假設(shè)為邊上距點(diǎn)最近的等分點(diǎn)〔，且為整數(shù)〕，那么〔用含有，，的式子表示〕．【答案，[提示：參考例7方法二]如圖，個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)的面積為，的面積為，…，的面積為，那么=_______；=____________〔用含的式子表示〕．【答案】[提示：，…]如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)，假設(shè)以、、為頂點(diǎn)的三角形和以、、為頂點(diǎn)的三角形相似，那么的長(zhǎng)為〔〕A. B.或 C.3或 D.【答案】B考點(diǎn)四：相似三角形的判定?考點(diǎn)說(shuō)明:熟練掌握相似三角形的判定方法，如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為，那么以下圖形中的三角形(陰影局部)與相似的是()【答案】A在中，，是邊上的高，且，那么的度數(shù)為_______【答案或[注意分類討論，如圖有兩種可能]如圖，，假設(shè)再增加一個(gè)條件就能使結(jié)論成立，那么這個(gè)條件可以是_______________【答案】答案不唯一，如等：如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)一點(diǎn)，,于點(diǎn)，試在射線上找一點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，作圖并指出相似比的值．【答案[提示：，．欲使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，只要使及的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．]學(xué)案提升學(xué)案提升等腰直角中，、分別為直角邊、上的點(diǎn)，且，過(guò)、分別作的垂線，交斜邊于，．求證：．【答案】延長(zhǎng)至，使那么，于是可證，于是，∵，∴∴，∴，∴，∴．假設(shè)為內(nèi)任一點(diǎn)，分別與相交于．求證：．【答案】證明：過(guò)做的平行線，交于，交于．過(guò)做的平行線，交于點(diǎn)．因?yàn)椋?，又因?yàn)椋裕M(jìn)而．，在中，、、為其三條高線，為此三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，、