江西省贛縣三中2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知圓：及直線(xiàn)：，當(dāng)直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，則等于（）A． B． C． D．2．等差數(shù)列滿(mǎn)足，則其前10項(xiàng)之和為（）A．－9 B．－15 C．15 D．3．已知在等差數(shù)列中，的等差中項(xiàng)為，的等差中項(xiàng)為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式（）A． B．-1 C．+1 D．-34．長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)相鄰面面積分別為，這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．5．如圖是函數(shù)一個(gè)周期的圖象，則的值等于A． B． C． D．6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位7．已知是不同的直線(xiàn)，是不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，在他所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法，求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入的值分別為4和2，則輸出的值為（）A．32 B．64 C．65 D．1309．已知β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），sin（α+β）＝，則cosβ＝（）A． B． C． D．或10．如圖，中，分別是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若、是方程的兩根，則__________.12．不等式的解集為_(kāi)____________________。13．直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)____________14．把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列，若，則________________．15．設(shè)，向量，，若，則__________．16．設(shè)直線(xiàn)與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，若，則圓C的面積為_(kāi)_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知對(duì)任意，恒成立（其中），求的最大值.18．如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面;（2）設(shè)，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．19．已知在直角三角形ABC中，，（如右圖所示）（Ⅰ）若以AC為軸，直角三角形ABC旋轉(zhuǎn)一周，試說(shuō)明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征并求所得幾何體的表面積.（Ⅱ）一只螞蟻在問(wèn)題（Ⅰ）形成的幾何體上從點(diǎn)B繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)B，求螞蟻爬行的最短距離.20．從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為萬(wàn)元，寫(xiě)出的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？21．某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；（3）若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50，90）之外的人數(shù)．分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：5

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

求出圓心到直線(xiàn)的距離，由垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)可解得．【詳解】由題意，圓心為，半徑為2，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以，解得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，解題方法由垂徑定理得垂直，由勾股定理列式計(jì)算．2、D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，從而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故選D.3、D【解析】試題分析：由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以的等差中項(xiàng)是，故有，又有的等差中項(xiàng)是，所以，從而等差數(shù)列的公差，因此其通項(xiàng)公式為，故選Ｄ．考點(diǎn)：等差數(shù)列．4、A【解析】

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，根據(jù)題意有，再根據(jù)球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)求解.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，根據(jù)題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的組合體問(wèn)題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用圖象得到振幅，周期，所以，再由圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，把原式等價(jià)于求的值.【詳解】由圖象得：振幅，周期，所以，所以，因?yàn)閳D象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，所以，，所以原式，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)，如果算出每個(gè)值再相加，會(huì)浪費(fèi)較多時(shí)間，且容易出錯(cuò)，采用對(duì)稱(chēng)性求解，能使問(wèn)題的求解過(guò)程變得更簡(jiǎn)潔.6、D【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可直接得到圖象變換的過(guò)程.【詳解】因?yàn)?，所以向右平移個(gè)單位即可得到的圖象.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移變換，難度較易.注意左右平移時(shí)對(duì)應(yīng)的規(guī)律：左加右減.7、D【解析】

由線(xiàn)面平行的判定定理即可判斷A；由線(xiàn)面垂直的判定定理可判斷B；由面面垂直的性質(zhì)可判斷C；由空間中垂直于同一條直線(xiàn)的兩平面平行可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，加上條件“”結(jié)論才成立；對(duì)于B選項(xiàng)，加上條件“直線(xiàn)和相交”結(jié)論才成立；對(duì)于C選項(xiàng)，加上條件“”結(jié)論才成立.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，涉及線(xiàn)面平行的判定、線(xiàn)面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】程序運(yùn)行循環(huán)時(shí)變量值為：；；；，退出循環(huán)，輸出，故選C．9、B【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【詳解】β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β為鈍角，∴cos（α+β），則cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα??，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

利用向量的加減法的法則，利用是的重心，進(jìn)而得出，再利用向量的加減法的法則，即可得出答案．【詳解】由題意，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，所以是的重心，則，又因?yàn)?，所以故答案為C【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，以及三角形重心的性質(zhì)，其中解答中熟記三角形重心的性質(zhì)，以及向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意利用韋達(dá)定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．12、或【解析】

利用一元二次函數(shù)的圖象或轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組解一元二次不等式.【詳解】由，或，所以或，不等式的解集為或.【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，考查計(jì)算能力，屬于基本題.13、【解析】

先求得直線(xiàn)的斜率，由此求得對(duì)應(yīng)的傾斜角.【詳解】依題意可知，直線(xiàn)的斜率為，故傾斜角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)斜率和傾斜角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由圖乙可得：第行有個(gè)數(shù)，且第行最后的一個(gè)數(shù)為，從第三行開(kāi)始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，注意到，，據(jù)此確定n的值即可.【詳解】分析圖乙，可得①第行有個(gè)數(shù)，則前行共有個(gè)數(shù)，②第行最后的一個(gè)數(shù)為，③從第三行開(kāi)始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，又由，，則，則出現(xiàn)在第行，第行第一個(gè)數(shù)為，這行中第個(gè)數(shù)為，前行共有個(gè)數(shù)，則為第個(gè)數(shù)．故填．【點(diǎn)睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．15、【解析】從題設(shè)可得，即，應(yīng)填答案．16、【解析】因?yàn)閳A心坐標(biāo)與半徑分別為，所以圓心到直線(xiàn)的距離，則，解之得，所以圓的面積，應(yīng)填答案．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、的最大值為.【解析】試題分析：利用二倍角公式，利用換元法，將原不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在區(qū)間上恒成立，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布進(jìn)行討論，從而得出的最大值，但是在對(duì)時(shí)的情況下，主要對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是否在區(qū)間進(jìn)行分類(lèi)討論，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，試題解析：由題意知，令，，則當(dāng)，恒成立，開(kāi)口向上，①當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足，恒成立，②當(dāng)時(shí)，則必有（1）當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，即，也即時(shí)，有，則，，則，當(dāng)，時(shí)，.當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，即，也即時(shí)，則必有，即，又由（1）知，則由于，故只需成立即可，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，然后利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或從題干中的式子出發(fā)，分別利用三角換元法、導(dǎo)數(shù)法以及柯西不等式法來(lái)求的最大值.法一：（三角換元）把條件配方得：，，所以，；法二：（導(dǎo)數(shù)）令則即求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),橢圓的上半部分；法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng),即及時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，最大值為2.綜上可知.考點(diǎn)：1.二倍角；2.換元法；3.二次不等式的恒成立問(wèn)題；4.導(dǎo)數(shù)；5.柯西不等式18、（1）證明見(jiàn)解析（2）到平面的距離為【解析】

試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O，連結(jié)OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由題設(shè)易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設(shè)易知,得BC假設(shè)到平面的距離為d，又因?yàn)镻B=所以又因?yàn)?或)，，所以考點(diǎn)：線(xiàn)面平行的判定及點(diǎn)到面的距離19、（Ⅰ）幾何體為以為半徑，高的圓錐，（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結(jié)果．（Ⅱ）利用側(cè)面展開(kāi)圖，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點(diǎn)B的母線(xiàn)把圓錐側(cè)面展開(kāi)為平面圖形（如圖）最短距離就是點(diǎn)B到點(diǎn)的距離，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．【詳解】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由即，得，若以為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，則，其表面積為.（Ⅱ）由問(wèn)題（Ⅰ）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點(diǎn)B的母線(xiàn)把圓錐側(cè)面展開(kāi)為平面圖形（如圖）最短距離就是點(diǎn)B到點(diǎn)的距離，，在中，由余弦定理得：【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的表面積以及側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)，；(2)至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.【解析】

(1)利用等比數(shù)列求和公式可求出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入與n年內(nèi)的總投入；（2）設(shè)至少經(jīng)過(guò)年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，可得－＞0，結(jié)合（1）可得，解得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800×(1－)萬(wàn)元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入為=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬(wàn)元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此－＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.21、（1）0.005；（2）平均分為73，眾數(shù)為65，中位數(shù)為；（3）10【解析】

（1）根據(jù)頻率之和為1，直接列式計(jì)算即可；（2）平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率，再求和；眾數(shù)指頻率