第三節(jié)隨機事件的概率與古典概型1.結合具體實例,理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關系.2.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結合實例進行隨機事件的并、交運算.3.理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.4.理解概率的性質,掌握隨機事件概率的運算法則.5.會用頻率估計概率.1.有限樣本空間與隨機事件(1)樣本點:隨機試驗的每個可能的基本結果.(2)樣本空間:全體樣本點的集合,一般用Ω表示.(3)有限樣本空間:樣本空間Ω={w1,w2,…,wn}.(4)隨機事件(事件):樣本空間Ω的子集.(5)基本事件:只包含一個樣本點的事件.2.事件的關系與運算定義符號包含關系若事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?BA=B并事件(或和事件)事件A與事件B至少有一個發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中,或者在事件B中A∪B(或A+B)交事件(或積事件)事件A與事件B同時發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中,也在事件B中A∩B(或AB)互斥事件如果事件A與事件B不能同時發(fā)生,也就是說A∩B是一個不可能事件A∩B=?互為對立如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生,即A∪B=Ω,且A∩B=?P(A)+P(B)=13.基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基本事件__的和.

4.概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍:1≥P(A)≥0.(2)P(Ω)=1,P(?)=0.(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)如果事件A與事件B互為對立事件,則P(A)=1-P(B).(5)如果A?B,那么P(A)≤P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).5.頻率估計概率在任何確定次數(shù)的隨機試驗中,一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.可以用頻率fn(A)來估計概率P(A).

6.古典概型(1)古典概型及其特點①有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;②等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性相等.具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗,其數(shù)學模型稱為古典概型.(2)古典概型的概率公式P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).教材改編易錯易混1,4,52,3,61.(教材變式)下列說法錯誤的是 ()A.任一事件的概率總在[0,1]內B.不可能事件的概率一定為0C.必然事件的概率一定為1D.概率是隨機的,在試驗前不能確定解析：選D.任一事件的概率總在[0,1]內,不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1,概率是客觀存在的,是一個確定值.2.(樣本點理解錯誤)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個,現(xiàn)在有放回地隨機摸3次,每次摸取一個,觀察摸出球的顏色,則此隨機試驗的樣本點個數(shù)為()A.5 B.6 C.7 D.8解析：選D.因為是有放回地隨機摸3次,所以隨機試驗的樣本空間為Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,紅),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)}.共8個.3.(互斥、對立的理解)若干個人站成排,其中是互斥事件的是 ()A.“甲站排頭”與“乙站排頭”B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”C.“甲站排頭”與“乙站排尾”D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”解析：選A.排頭只能有一人,因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥,而B,C,D中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同時發(fā)生,因此它們都不互斥.4.(教材變式)甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體,他們分別在兩個網站查看這家健身房的評價.甲在網站A查到共有840人參與評價,其中好評率為95%,乙在網站B查到共有1260人參與評價,其中好評率為85%.綜合考慮這兩個網站的信息,則這家健身房的總好評率為 ()A.88% B.89% C.91% D.92%解析：選B.由已知可得這家健身房的總好評率為840×95%+15.(教材提升)有一副去掉了大小王的撲克牌(每副撲克牌有4種花色,每種花色13張牌),充分洗牌后,從中隨機抽取一張,則抽到的牌為“紅桃”或“A”的概率為()A.152 B.827 C.413 解析：選C.依題意,樣本空間包含樣本點為52,事件抽到的牌為“紅桃”或“A”包含的樣本點為16,所以抽到的牌為“紅桃”或“A”的概率為1652=46.(列舉結果有遺漏)將一枚骰子先后拋兩次,則向上的點數(shù)之積為12的概率為__________.(結果用最簡分數(shù)表示)

解析：由題意,將一枚骰子先后拋兩次,所有可能的情況有6×6=36種,其中向上的點數(shù)之積為12的情況有2×6,3×4,4×3,6×2共4種情況,故向上的點數(shù)之積為12的概率為436=1答案:1題型一隨機事件的頻率與概率[典例1](1)某班要選一名學生做代表,每個學生當選的概率是相同的,若“選出代表是男生”的概率是“選出代表是女生”的概率的13,則這個班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是__________解析：設“選出代表是女生”的概率為a,則“選出代表是男生”的概率為13a,因為a+13a=1,所以a=3答案:75%(2)(2022·重慶模擬)假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率:先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每兩個隨機數(shù)為一組,代表兩次的結果,經隨機模擬產生了20組隨機數(shù):9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計,該運動員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為__________.

解析：兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數(shù)中有且只有一個數(shù)為1,2,3,4中的之一.它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10個,因此所求的概率為1020=1答案:1(3)經統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下:排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:①至多2人排隊等候的概率;②至少3人排隊等候的概率.解析：記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.①記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.②方法一:記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.1.隨機事件的頻率與概率問題的常見類型及解題策略(1)補全或列出頻率分布表:可直接依據(jù)已知條件,逐一計數(shù),寫出頻率.(2)由頻率估計概率:可以根據(jù)頻率與概率的關系,由頻率直接估計概率.(3)由頻率估計某部分的數(shù)值:可由頻率估計概率,再由概率估算某部分的數(shù)值.2.隨機模擬試驗估計概率三點注意(1)當試驗的樣本點等可能時,樣本點總數(shù)即為產生隨機數(shù)的范圍,每個隨機數(shù)代表一個樣本點;(2)研究等可能事件的概率時,用按比例分配的方法確定表示各個結果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù);(3)當每次試驗結果需要n個隨機數(shù)表示時,要把n個隨機數(shù)作為一組來處理,此時一定要注意每組中的隨機數(shù)字能否重復.1.(多選題)下列說法不正確的是 ()A.甲、乙二人比賽,甲勝的概率為35B.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈,則第10個病人一定治愈C.隨機試驗的頻率與概率相等D.用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療,結果有380人有明顯療效,現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥,則估計其會有明顯療效的可能性為76%解析：選ABC.概率只是說明事件發(fā)生的可能性大小,其發(fā)生具有隨機性,則A,B是錯的.頻率受試驗次數(shù)的影響,不穩(wěn)定,與概率的值不一定相等,則C錯誤,D正確.2.已知某運動員每次投籃命中的概率低于40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了20組隨機數(shù):907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為 ()A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15解析：選B.由題意知模擬三次投籃的結果,經隨機模擬產生了20組隨機數(shù),在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有191,271,932,812,393,共5組隨機數(shù),所以所求概率為520=14=0.3.我國高鐵發(fā)展迅速,技術先進.經統(tǒng)計,在經停某站的高鐵列車中,有5個車次正點率為0.97,有10個車次的正點率為0.98,有5個車次正點率為0.99,則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為__________.

解析：因為總車次:5+10+5=20,所以平均正點率:5×0.97+10×0.則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.98.答案:0.98題型二互斥事件、對立事件[典例2](1)(多選題)下面結論正確的是 ()A.若P(A)+P(B)=1,則事件A與B互為對立事件B.若P(AB)=P(A)P(B),則事件A與B是相互獨立事件C.若事件A與B是互斥事件,則A與B也是互斥事件D.若事件A與B是相互獨立事件,則A與B也是相互獨立事件解析：選BD.對于A選項,要使A,B為對立事件,除P(A)+P(B)=1還需滿足P(AB)=0,即A,B不能同時發(fā)生,所以錯誤.對于B選項,根據(jù)相互獨立事件的知識可知,正確.對于C選項,A包含于B,所以A與B不是互斥事件,所以錯誤.對于D選項,根據(jù)相互獨立事件的知識可知,正確.(2)設A,B,C為三個隨機事件,其中A與B是互斥事件,B與C互為對立事件,P(A)=14,P(C)=23,則P(A∪B)=解析：因為B與C互為對立事件,P(C)=23,所以P(B)=1-P(C)=13,又因為A與B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=14+1答案:7(3)一只袋子中裝有7個紅玻璃球,3個綠玻璃球,從中不放回地任意抽取兩次,每次只取一個,取得兩個紅球的概率為715,取得兩個綠球的概率為115,則取得兩個同顏色的球的概率為________;至少取得一個紅球的概率為解析：由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件,取得兩個同色球,只需兩個互斥事件有一個發(fā)生即可,因而取得兩個同色球的概率為P=715+115=815.由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件,則至少取得一個紅球的概率為P(A)=1-P(B)=1-1答案:8151.求簡單的互斥事件、對立事件的概率的方法解此類問題,首先應根據(jù)互斥事件和對立事件的定義分析出所給的兩個事件是互斥事件還是對立事件,再選擇相應的概率公式進行計算.2.求復雜的互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運用互斥事件概率的加法公式計算.(2)間接求法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式求得,即運用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會較簡便.1.(2023·廈門模擬)若A,B是隨機事件,則下列說法正確的是 ()A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(A∩B)=P(A)P(B)C.若A,B是對立事件,則A,B互斥D.若A,B是互斥事件,則A,B對立解析：選C.因為P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以選項A錯誤;因為當A,B互斥時,P(A∩B)=0,而P(A)P(B)不一定為0,所以選項B錯誤;因為兩個對立事件一定互斥,但兩個互斥事件不一定對立,所以選項C正確,選項D錯誤.2.某城市2022年的空氣質量狀況如表所示:污染指數(shù)T3060100概率111污染指數(shù)T110130140概率721其中污染指數(shù)T≤50時,空氣質量狀況為優(yōu);50<T≤100時,空氣質量狀況為良;100<T≤150時,空氣質量狀況為輕微污染.該城市2022年空氣質量狀況達到良或優(yōu)的概率為__________.

解析：從題表中可以看出,空氣質量為優(yōu)的概率為110,空氣質量為良的概率為16+13=12.所以空氣質量狀況達到良或優(yōu)的概率為110答案:33.某河流A與河流B是水庫C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水庫C就不缺水.根據(jù)經驗知道河流A,B不缺水的概率分別是0.7和0.9,同時不缺水的概率是0.65.則水庫C不缺水的概率為__________.

解析：記“河流A不缺水”為事件A,記“河流B不缺水”為事件B,記“水庫C不缺水”為事件C,則P(A)=0.7,P(B)=0.9,P(AB)=0.65,故P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.9-0.65=0.95.即水庫C不缺水的概率為0.95.答案:0.95【加練備選】若隨機事件A,B互斥,A,B發(fā)生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,則實數(shù)a的取值范圍是__________.

解析：由題意0<P即0<2-a<10<4a-5<1答案:(54,4題型三古典概型[典例3](1)在一個長度為n(n∈N*)的數(shù)字序列中,當且僅當相鄰元素差的絕對值經過排序后正好是從1到(n-1),則認定該數(shù)字序列存在“有趣的跳躍”,如果一組數(shù)經過排序后存在“有趣的跳躍”,則稱這組數(shù)為“有趣的跳躍數(shù)組”.例如,因為1,3,2差的絕對值分別為2,1,所以1,3,2存在“有趣的跳躍”,1,3,2這組數(shù)為“有趣的跳躍數(shù)組”.現(xiàn)從1,2,3,…,6這六個數(shù)中一次任取3個數(shù),則這3個數(shù)是“有趣的跳躍數(shù)組”的概率為 ()A.15 B.1120 C.12 【解題指南】首先求出基本事件總數(shù),然后列出“有趣的跳躍數(shù)組”,最后利用古典概型的概率公式計算可得.解析：選C.從6個數(shù)中任取3個共有C63=20組,這3個數(shù)是“有趣的跳躍數(shù)組”有132,243,354,465,124,235,346,134,245,356,共10組,所以概率P=1020(2)從正方體的頂點及其中心共9個點中任選4個點,則這4個點在同一個平面的概率為__________.

解析：如圖,選正方體6個側面上的頂點,共有6種共面的情況;過中心O的平面共有6個平面,每個平面含9個點中的5個,則共有6C5所有可能情況有C9所以這4個點在同一個平面的概率為6+6C54C9答案:2(3)(2023·東營模擬)五聲音階是中國古樂的基本音階,故有成語“五音不全”,中國古樂中的五聲音階依次為宮、商、角、徵、羽.如果從這五個音階中任取兩個音階,排成一個兩個音階的音序,則這個音序中宮和羽至少有一個的概率為 ()A.12 B.710 C.920 解析：選B.設從這五個音階中任取兩個音階,排成一個兩個音階的音序,這個音序中宮和羽至少有一個為事件A,則A表示這個音序中不含宮和羽這兩個音序,所以P(A)=1-P(A)=1-A32A521.確定基本事件數(shù)的方法(1)列舉法:適用于包含基本事件數(shù)較少的古典概型問題,解題時按照某一標準將所有的基本事件一一列舉出來,做到不重不漏;(2)列表法(坐標法):適用于從多個元素中選定2個元素的試驗;(3)樹狀圖:適用于有順序的問題或復雜問題中對基本事件的探求;(4)排列組合法:適用于基本事件數(shù)較多,且可以用排列組合數(shù)表示的問題.2.古典概型的概率求解步驟(1)仔細閱讀題目,弄清題目的背景材料,加深對題意的理解;(2)判斷本試驗的結果中,每個樣本點發(fā)生是否等可能,設出事件A;(3)分別求出事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù),代入公式求解.1.(2022·茂名模擬)甲、乙、丙三人是某商場的安保人員,根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作2天后休息一天,乙連續(xù)工作3天后休息一天,丙連續(xù)工作4天后休息一天,已知3月31日這一天三人均休息,則4月份