29.1.2正投影

基礎(chǔ)訓(xùn)練

知識點(diǎn)1正投影的定義

1.球的正投影是（）

2.如圖，水杯的杯口與投影面平行，投影線的方向如箭頭所示,它的正

投影是（）

3.把一個正五棱柱如圖擺放，當(dāng)投影線由正前方射到后方時,它的正投

影是（）

ABCD

4.下列投影中，正投影有（）

5.如圖所示的圓臺的上、下底面與投影線平行，此圓臺的正投影是

6.如圖,箭頭表示投影線的方向，則圖中圓柱體的正投影是（）

7.小樂用一塊長方形硬紙板在陽光下做投影實(shí)驗(yàn),通過觀察,發(fā)現(xiàn)這塊

長方形硬紙板在平整的地面上不可能出現(xiàn)的投影是（）

知識點(diǎn)2正投影的性質(zhì)

8.幾何體在平面P的正投影,取決于（）

①幾何體形狀；②幾何體與投影面的位置關(guān)系；③投影面P的大小.

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

9.當(dāng)棱長為20cm的正方體的某個面平行于投影面時,這個面的正投影

的面積為（）

A.20cm2B.300cm2

C.400cm2D.600cm2

10.一根筆直的小木棒（記為線段AB）,它的正投影為線段CD,則下列各

式中一定成立的是（）

A.AB=CDB.ABWCD

C.AB>CDD.AB2CD

11.如圖所示是一個圓錐在某平面上的正投影，則該圓錐的側(cè)面積

是.

12.如圖,請用平行投影的方法畫出圓柱的正投影.

提升訓(xùn)練

考查角度1利用正投影的性質(zhì)求影長（轉(zhuǎn)化思想）

13.已知一根長為8cm的木棒AB與投影面平行,投影線垂直于投影面.

（1）求此時的影子AB的長度；

⑵如圖是將木棒繞其端點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30。后的示意圖（此時平面

ABB2A2垂直于投影面），求旋轉(zhuǎn)后木棒的影長A2B2.

考查角度2利用解直角三角形求正投影的面積

形ABCD,且邊長為10cm.如圖，四邊形ARCD是正方形ABCD在面B

上的正投影,AD,BC與投影面B平行，且AB,CD與投影面B成30°角,

求正方形ABCD的正投影的面積.

探究培優(yōu)

拔尖角度1利用投影的定義探究幾何中的投影問題

15.操作與研究：

如圖，AABC被平行光線照射,CD±AB于D,AB在投影面上.

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---->

⑴指出圖中AC的投影是什么，CD與BC的投影呢？

(2)探究：當(dāng)4ABC為直角三角形(NACB=90°)時，易得AC?=AD?AB,此

時有如下結(jié)論：直角三角形一直角邊的平方等于它在斜邊射影與斜邊

的乘積,這一結(jié)論我們稱為射影定理.

通過上述結(jié)論的推理,請證明以下兩個結(jié)論：

①BC?=BD?AB;②CD?=AD?BD.

拔尖角度2利用投影的定義進(jìn)行方案設(shè)計(jì)

16.如圖，某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱?該居民樓的一樓

是高6m的小區(qū)超市,超市以上是居民住房.在該樓的前面15m處要蓋

一棟高20m的新樓，當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時，

(1)問：超市以上的居民住房的采光是否有影響？

⑵若要使超市采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距多少米？

（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°弋言,cos320弋黑,tan32°七,

1UU1ZDo

參考答案

1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】B

5.【答案】C

解：根據(jù)正投影的性質(zhì)可知,該幾何體的正投影應(yīng)為等腰梯形.

6.【答案】D

解：當(dāng)投影線與圓柱的底面平行時,它的正投影為矩形.

7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】C

1q

10.【答案】D11?【答案】［耳

q

12.錯解:如圖①所示.

剖析:錯解的原因是沒有正確理解正投影的含義.圓柱的正投影是平行

光線下的投影,投影線與投影面是垂直的，所以投影后是矩形（最大截

面）.由于上、下底面與投影面垂直,故其正投影為兩條線段,不可能是

圓.

正解:如圖②所示.

13.分析：⑴當(dāng)木棒平行于投影面時，其正投影的長度與木棒的長度一

致；⑵當(dāng)木棒傾斜于投影面時一,可轉(zhuǎn)化為解直角三角形來求解.

解：（1）因?yàn)槟景羝叫杏谕队懊妫?/p>

所以AiBi=AB=8cm,

即此時的影子AE的長度為8cm.

（2）如圖，過點(diǎn)A作AH_LBBz于點(diǎn)H.

因?yàn)锳AzLAzBz,BB2±A2B2,

所以四邊形AA2B2H為矩形,

所以AH=A2B2.

在RtAABH中，ZBAH=30°,AB=8cm,

所以A2B2=AH=AB?cos30°=8X^=4、/3(cm).

即旋轉(zhuǎn)后木棒的影長A2B2為4j5cm.

14.解:如圖，過點(diǎn)A作AHLBBi于點(diǎn)H.依題意，得NBAH=30°,四邊形

ABCD是矩形，其中A,D,=AD=B1C1=BC,A3尸CD=AH.

VAH±BB?ZBAH=30°,

.?.AH=AB?cos30°=10Xy=5^/3(cm),

.?.A3尸AH=54cm.

VAiD1=AD=10cm,

...S四邊形A】B】CiDkAB?AID!=5V3X10=5073(cm2).

則正方形ABCD的正投影的面積是504cm匚

規(guī)律總結(jié):求投影的面積,先確定投影的形狀,再根據(jù)相應(yīng)的面積公式,

有針對性地求出相關(guān)線段的長.

15.(1)解:AC的投影是AD,CD的投影是點(diǎn)D,BC的投影是BD.

⑵證明：易證得△BCDs/\BAC,可得BC2=BD?AB;易證得△ACDSACBD,

可得CD2=AD?BD.

16.解：(1)如圖，設(shè)CE=xm,則AF=(20x)m.

D

Vtan32°=—Er,即2