第十二章實數(shù)第1講實數(shù)的概念【知識要點】1.無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù),也就是不能用兩整數(shù)比表示的數(shù).無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負無理數(shù).只有符號不同的兩個無理數(shù)是互為相反數(shù).2.實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).實數(shù)分類：【學習目標】理解無理數(shù)、實數(shù)的概念【典型例題】以下表述是否正確,并說明理由：〔1〕一個實數(shù),不是正數(shù),就是負數(shù).〔2〕有限小數(shù)都是有理數(shù),無限小數(shù)都是無理數(shù).〔3〕一個有理數(shù)不是整數(shù),就是負數(shù).〔4〕一個無理數(shù),不是正數(shù)就是負數(shù).〔5〕一個實數(shù)不是有理數(shù),就是無理數(shù).【分析】利用實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的概念.【解答】因為零是實數(shù),但它既不是正數(shù)也不是負數(shù),在〔1〕的實數(shù)分類中并沒有把零包括在內(nèi),所以〔1〕不正確.無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),所以〔2〕不正確.因為零是有理數(shù),它既不是正數(shù)也不是負數(shù),在〔3〕的有理數(shù)分類中沒有把零包括在內(nèi),所以〔3〕不正確.無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負無理數(shù),所以〔4〕正確.實數(shù)是有理數(shù)與無理數(shù)的統(tǒng)稱,所以〔5〕正確.【注】零在實數(shù)中仍是正、負數(shù)的分界點,不可無視.【例2】選擇題：在實數(shù)范圍內(nèi),有一個數(shù)不是正實數(shù),這個數(shù)一定是負實數(shù)〔B〕負有理數(shù)〔C〕非正實數(shù)〔D〕非負實數(shù)實數(shù)(兩個11之間依次多一個0)中,無理數(shù)的個數(shù)有〔〕〔A〕2個〔B〕3個〔C〕4個〔D〕5個【解答】〔1〕按實數(shù)可以分為正實數(shù),零,負實數(shù),非正實數(shù),即零或負實數(shù),選〔C〕.〔2〕判斷無理數(shù)應(yīng)根據(jù)無理數(shù)的概念“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”來斷定,應(yīng)選〔B〕.【例3】分別將以下各數(shù)填入相應(yīng)的橫線上：〔每兩個3之間1的個數(shù)依次多1〕有理數(shù)是無理數(shù)是【分析】有理數(shù)是能表示為形式的數(shù),無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),分別用這兩條標準去檢驗上面的數(shù)得出正確結(jié)果.【解答】有理數(shù)是：無理數(shù)是：〔每兩個3之間1的個數(shù)依次多1〕.【根底訓練】實數(shù)可以分為和兩類.有理數(shù)可以分為和;但按符號來分還可以分為、和.3．叫無理數(shù).4．,無理數(shù)有個,它們是5．寫出在2和3之間的一個無理數(shù).第2講數(shù)的開方〔1〕平方根和開平方【知識要點】如果一個數(shù)的平方根等于,那么這個數(shù)叫做的平方根,也可表達為：“如果,那么就叫做的平方根.”求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方,叫做被開方數(shù).3.平方根的性質(zhì)的兩個平方根可以用“”表示,其中表示的正平方根〔又叫算術(shù)平方根〕,讀作“根號”;表示的負平方根,讀作“負根號”.零的平方根記作,.因為任何一個正數(shù)、負數(shù)或零的平方都不是負數(shù),所以負數(shù)沒有平方根.開平方與平方互為逆運算,根據(jù)平方根的意義,“如果,那么叫做的平方根”,記作,我們得到：〔1〕一個正數(shù)的平方根的平方等于這個數(shù),即：當時,〔2〕一個正數(shù)的平方的正平方根等于這個數(shù),即：當時,一個負數(shù)的平方的正平方根等于這個數(shù)的相反數(shù),即：當時,【學習目標】1.理解平方根與開平方的概念;2.理解開平方與平方互為逆運算的關(guān)系;3.掌握平方根的性質(zhì),分清平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別,并知道它們之間的聯(lián)系.【典型例題】例1判斷以下說法是否正確：〔1〕1的平方根是1.〔2〕-16的平方根是.〔3〕的平方根是9.〔4〕.〔5〕-7是49的平方根〔6〕的平方根是【解答】〔1〕不正確.因為1是正數(shù),1的平方根有兩個,是.〔2〕不正確.因為-16是負數(shù),負數(shù)沒有平方根.的平方是9.〔4〕不正確.表示81的正的平方根.它是一個正數(shù),=9,而.根據(jù)平方根的概念,-7是49的平方根,但反過來說,49的平方根是-7就錯了.(6)不正確.,的平方根即為4的平方根,所以的平方根應(yīng)是.【點評】解答這道題目是對穩(wěn)固和掌握平方根的概念和性質(zhì)不可無視的根本訓練.【例2】求以下各式的值：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【分析】求的值就是求144的正的平方根〔即144的算術(shù)平方根〕;求的值就是求的負的平方根〔即的算術(shù)根的相反數(shù)〕;求的值就是求0.01的平方根;求的值就是求的算術(shù)平方根的相反數(shù).搞清各式的符號語言的意義,是得到正確解的關(guān)鍵.【解答】〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【例3】求以下各數(shù)的平方根：〔1〕0.64〔2〕〔3〕0〔4〕【解答】〔1〕的平方根是即：〔2〕〔3〕〔4〕【點評】運用平方運算求一個非負數(shù)的平方根是常用的方法.用符號語言表示一個非負數(shù)的平方根,應(yīng)由不習慣到習慣,這對加深平方根概念和性質(zhì)的理解有好處.【例4】的平方根是,的平方根是,求的平方根.【分析】由得：=,即：①,②,解由方程①和②組成的方程組得和的值,再求的平方根.【解答】由得解得的平方根是.【根底訓練】1.以下說法正確的選項是〔〕〔A〕因為3的平方是9,所以9的平方根是3〔B〕因為-3的平方是9,所以9的平方根是-3〔C〕因為的底數(shù)為-3,所以沒有平方根〔D〕因為-9是負數(shù),所以-9沒有平方根2.以下各數(shù)是否有平方根,如果有,有幾個？并說明理由.〔1〕〔2〕-8〔3〕0〔4〕與互為相反數(shù),求的值〔1〕0.0009〔2〕〔3〕5.求值.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕【提高訓練】,比這個數(shù)大2的數(shù)是()(A)〔B〕〔C〕〔D〕2.,那么的取值范圍為〔〕(A)〔B〕〔C〕〔D〕,那么,求的值.和,求的值.為實數(shù),求的最小值和取得最小值時的值.第2講數(shù)的開方〔2〕立方根和開立方【知識要點】與平方根類似,有：如果一個數(shù)的立方等于,那么這個數(shù)叫做的立方根,用“”表示,讀作“三次根號”,中的叫做被開方數(shù),“3”叫做根指數(shù);也可表達為“如果,那么就叫做的立方根”,記作.求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.開立方與立方互為逆運算.我們已學過正數(shù)的立方是一個正數(shù),負數(shù)的立方是一個負數(shù),零的立方等于零,由立方運算可知正數(shù)有一個正立方根,負數(shù)有一個負立方根,零的立方根是零,也就是說任意一個數(shù)都有立方根,而且只有一個立方根.類似于平方與開平方之間的關(guān)系,根據(jù)立方根的意義,可以得到.〔以上是實數(shù)〕方法與技能：一個數(shù)的立方根記作“”,根指數(shù)3不能忽略.由于,有,,有,可見.一般地,如果>0那么,,如果把非負數(shù)的立方根叫做算術(shù)立方根,那么負數(shù)的立方根可以由它的相反數(shù)的算術(shù)立方根的相反數(shù)來表示,也就是把“—”號提到根號外面來.典型剖析【學習目標】1.理解立方根與開立方的概念;2.理解開立方與立方互為逆運算的關(guān)系;【典型例題】【例1】求以下各式的值：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【分析】由立方根的意義,如果,那么就叫做的立方根,記作,可知的立方根的立方：.【解答】〔1〕〔2〕也可以這樣求：〔3〕〔4〕【例2】判斷題〔對的打“√”,錯的打“×”〕〔1〕1的立方根是.〔2〕任何數(shù)都有立方根.〔3〕如果,那么.〔4〕兩個互為相反數(shù)的立方根也是互為相反數(shù).〔5〕一個數(shù)的立方根和平方根都是它本身,這個數(shù)是0或1.〔6〕的平方根是.【解答】〔1〕〔×〕.1的立方根是1.〔2〕〔√〕.任何實數(shù)都有唯一的立方根,記作.〔3〕〔√〕.因為是的立方根,那么;同理,.由可推出,即..〔4〕〔√〕.,兩個互為相反數(shù)的立方根也互為相反數(shù).(5)(×)如果一個數(shù)的立方根是它本身,那么或.如果一個數(shù)的平方根是它本身,那么,那么,所以或1.〔6〕〔√〕.,它的平方根為.【例3】假設(shè)<0,那么______________.【解答】<0,.【例4】求以下各數(shù)的立方根〔1〕0.216〔2〕〔3〕這個性質(zhì)有,但對于平方根來說不能適用,因為復數(shù)沒有平方根.【解答】〔1〕的立方根是0.6,即.〔2〕,而的立方根是,即.〔3〕的立方根是,即;的立方根是,即.【根底訓練】判斷〔1〕的立方根是和〔〕〔2〕的的立方根是沒有意義的〔〕〔3〕的立方根是〔〕〔4〕的立方根是4〔〕〔5〕是的立方根〔〕2.以下說法正確的選項是〔〕〔A〕一個數(shù)的立方根有兩個,且它們互為相反數(shù)〔B〕任何一個數(shù)必有立方根和平方根〔C〕一個數(shù)的立方根必與這個數(shù)同號〔D〕負數(shù)沒有立方根3.求以下各數(shù)的立方根：4.求以下各式的值：5.計算：【能力提高】,那么的立方根=.求的值.是的算術(shù)平方根,是的立方根,求的立方根.4.解方程：5.立方根有如下性質(zhì)：(1)計算：的值.(2)設(shè)用含的代數(shù)式表示.第2講數(shù)的開方〔3〕次方根【知識要點】1.次方根如果一個數(shù)的次方(是大于1的整數(shù))等于,那么這個數(shù)叫做的次方根,也可表達為“如果(是大于1的整數(shù)),那么就叫做的次方根”,記作.平方根和立方根是次方根的特例.次方求一個數(shù)的次方根的運算叫做開次方,叫做被開方數(shù),叫做根指數(shù).次方根簡稱為“方根”;開次方簡稱“開方”.3.次方根的性質(zhì)由于次方根包含平方根和立方根在內(nèi),而平方根和立方根有不同的性質(zhì),這使得研究次方根的性質(zhì)時,必然要把指數(shù)按奇數(shù)或偶數(shù)分別進行研究.與立方根類比：實數(shù)的奇次方根有且只有一個,用“”表示,其中被開方數(shù)是任意一個實數(shù),根指數(shù)是大于1的奇數(shù).與平方根類比：正數(shù)的偶次方根有兩個,它們互為相反數(shù),正次根用“”表示,讀作“次根號”,負次根用“”表示,其中被開方數(shù),根指數(shù)是正偶數(shù)〔當時,在中省略〕,負數(shù)的偶次方根不存在.因為零的次方等于零,所以零的次方根等于零,表示為方法與技能：研究次方根,必須用分類思想把指數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)來考慮,學習奇次根式時與立方根類比,學習偶次根式時與平方根類比,這種類比方法是數(shù)學思維重要方法之一.綜上,無論為奇數(shù)還是偶數(shù),對于正數(shù)的正次方根都記作,稱為正數(shù)的次算術(shù)根.〔的次算術(shù)根為零〕正數(shù)的次算術(shù)根,有以下重要性質(zhì)：〔為大于或等于2的整數(shù)〕即根指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)如果有公因數(shù)那么可以約去,這一公式可以順用,即將化為反過來,也可以將化為.【學習目標】次方根的概念;次方與次乘方互為逆運算的關(guān)系;【典型例題】【例1】求值：〔1〕32的五次方根〔2〕-32的五次方根〔3〕16的四次方根〔4〕64的六次方根〔4〕0.000064的六次方根〔6〕的五次方根【分析】運用乘方運算求方根的值是常用的方法,對于正數(shù)的偶次方根有兩個,它們互為相反數(shù)要充分理解,求次方根的值必須考慮指數(shù)的奇、偶性,增強分類的意識,學會正確的語言表述是很重要的,給書寫也帶來簡便.【解答】〔1〕32的五次方根〔2〕-32的五次方根〔3〕16的四次方根〔4〕64的六次方根〔5〕〔6〕的五次方根【例2】選擇題：1.以下語句中,正確的選項是〔〕〔A〕正數(shù)的次方根記作〔B〕如果是偶數(shù),當且僅當是非負實數(shù)時,那么有意義〔C〕零的次方根無意義〔D〕任何實數(shù)都能開方2.在實數(shù)范圍內(nèi)能開偶次方根的條件是〔〕〔A〕為任意實數(shù)〔B〕〔C〕〔D〕【分析】理解立方根和開立方的概念【解答】1.〔B〕當是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根記作“”,當是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根記作“”,故〔A〕錯.當為非負實數(shù)時,有偶次方根,所以〔次方為零,故〔C〕錯.負數(shù)沒有偶次方根,任何實數(shù)不一定都能開方,故〔D〕錯.2.〔C〕由被開方數(shù)解得,應(yīng)選〔C〕.【例3】求適合以下等式中的.〔1〕〔2〕【分析】理解開次方與次乘方互為逆運算的關(guān)系【解答】〔1〕是的立方根,因為,所以是的立方根,因此,即.〔2〕由可知,是的四次方根,由于,所以是的四次方根,因此,即.【根底訓練】1.的五次方根是〔〕2.81的四次方根是〔〕3.的四次方根是〔〕4.的五次方根是〔〕,那么6.以下式子中,正確的選項是7.用符號表示以下各方根,并求出各方根的值.(1)的三次方的三次方根〔2〕的六次方根〔3〕—8平方的六次方根8.計算：【能力提高】2.3.計算：是自然數(shù),是實數(shù)且及的取值范圍.第3講實數(shù)的運算〔1〕用數(shù)軸上的點表示實數(shù)【知識要點】知識點1用數(shù)軸上的點表示無理數(shù)方法一：用畫圖的方法找到數(shù)軸上的一個點來表示它.例如：邊長為的正方形,對角線長為〔這在學習了直角三角形中勾股定理后很容易知道,現(xiàn)在暫不作介紹〕,我們可以在數(shù)軸上以一個單位長為邊長作一個正方形,以原點為圓心,正方形對角線為半徑作弧,與數(shù)軸正半軸交于點就表示無理數(shù),與數(shù)軸負半軸交于點就表示圖1無理數(shù).方法二：用無限不循環(huán)小數(shù)點的近似值來確定這個點的位置.例如：可以精確到百分位的近似數(shù)來確定數(shù)軸上表示這個點的位置.知識點2數(shù)軸上的點和實數(shù)成一一對應(yīng)每一個有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示,反過來數(shù)軸上的每一個點都可以用一個有理數(shù)或無理數(shù)表示.為有理數(shù)和無聊隸屬統(tǒng)稱為實數(shù),因此,全體實數(shù)所對應(yīng)的點布滿了整個數(shù)軸,數(shù)軸上的點和實數(shù)成一一對應(yīng).知識點3實數(shù)的相反數(shù)和絕對值一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點到原點的距離,叫做這個數(shù)的絕對值,實數(shù)的絕對值記作,當時當時當時絕對值相等,符號相反的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù),零的相反數(shù)是零,非零實數(shù)的相反數(shù)是.知識點4兩個實數(shù)大小的比擬兩個實數(shù)可以比擬大小,其大小順序的規(guī)定同有理數(shù)一樣,負數(shù)小于零,零小于正數(shù),兩個正數(shù),絕對值大的數(shù)較大;兩個負數(shù),絕對值大的反而小,從數(shù)軸上看,右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點索表示的數(shù)大.知識點5同一數(shù)軸上,兩點間的距離在數(shù)軸上,如果點、點索對應(yīng)的數(shù)分別是,那么兩點的距離.方法與技能：當有理數(shù)系擴展到實數(shù)后,有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)、大小比擬法那么都自然延伸到實數(shù)系.有關(guān)概念、性質(zhì)仍然正確,特別是數(shù)形結(jié)合思想仍然是研究的重要方法.了解了數(shù)學系擴大的原那么,大大的提高了學習的效率.【學習目標】1.會用數(shù)軸上的點表示實數(shù);2.理解在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值、相反數(shù)的概念,會比擬實數(shù)的大小;【典型例題】【例1】寫出以下各數(shù)的相反數(shù)與絕對值：,,,,,【分析】與有理數(shù)一樣,實數(shù)的相反數(shù)是;實數(shù)的絕對值的為或.【解答】的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是【例2】比擬與的大小.【分析】可以先將無理數(shù)用近似的有限小數(shù)表示,轉(zhuǎn)化為有理數(shù)后再進行比擬.【解答】【例3】如圖2,在數(shù)軸上,如果點、點所對應(yīng)的數(shù)分別為和,求兩點間的距離.圖2【解答】【注】也可以這樣計算：【例4】在數(shù)軸上的位置如圖3所示,那么的值等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕圖3【解答】如圖12-5所示,知.原式.選〔C〕.【例5】當是,〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解答】原式,選〔B〕.【例6】當?shù)闹底畲髸r,的值是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解答】.當且僅當時,的值最大,為,此時,選〔D〕.【分析】由于二次根式表示的算術(shù)平方根,隱含條件是,,結(jié)合不等式的性質(zhì),獲得如上.對于的幾何意義是表示數(shù)軸兩點間的距離,也是數(shù)形結(jié)合重要知識點,首先,其次與實數(shù)絕對值概念結(jié)合,當時,.這是有廣泛應(yīng)用的知識點.【例7】如果,求的取值范圍.【解答】,表示點到點的距離;表示點到點的距離,從圖4上觀察,圖4當點在點到點之間時,恒有..【根底訓練】1.無理數(shù)可以用〔〕點來表示.2.數(shù)軸上的點都表示〔〕數(shù).的點離開原點的距離是〔〕.4．的相反數(shù)、絕對值依次是〔〕、〔〕.所對應(yīng)的點的大致位置.在數(shù)軸上對應(yīng)的點是,在數(shù)軸上對應(yīng)的點是,那么、兩點間的距離是〔〕7.比擬以下各組數(shù)的大小.【能力提高】試化簡:,試在與之間求一個無理數(shù);在與之間求兩個無理數(shù).為實數(shù),化簡:與,求與這個正實數(shù).第3講實數(shù)的運算〔2〕實數(shù)的運算【知識要點】知識點1算術(shù)平方根的積和商注意：公式都是雙向的,既可從左到右,也可從右到左,這里的都是算術(shù)平方根,非算數(shù)平方根,公式不一定成立.當且僅當,就不能直接應(yīng)用,應(yīng)將化為再進行.另一方面,對于上節(jié)已提到的算術(shù)根的根本性質(zhì),更要仔細對待.對于,如下的應(yīng)用十分頻繁：(根號內(nèi)的數(shù)可以移到根號外;反過來,也可把根號外的數(shù)移到根號內(nèi)),這里要特別注意的正負,如那么知識點2近似數(shù)的精確度近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精確度.近似數(shù)的精確度有以下兩種表達方式：一種是精確到哪一個數(shù)位,例如精確到千分位〔即保存3位小數(shù)〕,那么準確數(shù)與近似數(shù)的誤差不大于0.0005〔即萬分之五〕,這是因為近似數(shù)是經(jīng)過四舍五入截取得到的.另一種是指定保存幾個有效數(shù)字.對于一個近似數(shù),從左邊第一個不是零的數(shù)字起,往右到末尾數(shù)字為止的所有數(shù)字,叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字.如果保存五個有效數(shù)字,πππ代表圓周率的準確值,那么利用無理數(shù)的近似數(shù)作計算時,中間過程中,應(yīng)比最后要求精確度多保存一位數(shù)字,到最后再按四舍五入法,按最后要求取近似值.知識點1和2都是難點,應(yīng)結(jié)合典例剖析仔細理解.【學習目標】1.掌握實數(shù)的加減乘除運算;2.會運用算術(shù)平方根的積和商進行計算,理解近似數(shù)的精確度.【典型例題】【例1】不用計算器,計算：【分析】掌握實數(shù)的加減乘除運算,通過合并同類項以及算術(shù)平方根的積和商來計算.【例2】化簡：〔使分母不含根號〕.【分析】運用算數(shù)平方根的積和商來計算【解答】【例3】化簡,再用計算器求值,要求保存兩位小數(shù).【分析】運用算數(shù)平方根的商運算【例4】計算：【解答】,【例5】當時,化成分母不含根式的式子.【解答】【例6】化簡的結(jié)果是〔〕【根底訓練】1．計算的結(jié)果是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔C〕2．以下式子中,正確的選項是〔〕〔A〕〔B〕〔B〕〔D〕3．以下各式中,正確的選項是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．要使有意義,那么的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕且〔D〕且5．把跟號外的因式移到根號內(nèi),得〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕填空題：6.如果,那么,.7．如果,那么.8．計算.9．計算.10．假設(shè),那么.【能力提高】1．為實數(shù),,求的值.2．,求〔1〕〔2〕3．計算.4．等式求的值5．且,試求的值.第4講分數(shù)指數(shù)冪【知識要點】知識點1〔1〕分數(shù)指數(shù)冪概念.把指數(shù)的取值范圍擴大到分數(shù),我們規(guī)定：其中為正整數(shù),.在這規(guī)定中的與叫做分數(shù)指數(shù)冪,是底數(shù).(2)有理數(shù)指數(shù)冪概念整數(shù)指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱為有理數(shù)指數(shù)冪.知識點2運用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計算有理數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)：設(shè)為有理數(shù),那么①②③利用冪的性質(zhì)計算.冪的指數(shù)取值范圍擴大到有理數(shù)后,冪的運算性質(zhì)仍舊適用.【學習目標】1.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念以及會運用指數(shù)冪的性質(zhì)進行計算;2.理解分數(shù)指數(shù)冪的意義與表示方式以及它與算術(shù)根的內(nèi)在聯(lián)系.【典型例題】把以下方根轉(zhuǎn)化為冪的形式,冪的形式轉(zhuǎn)化為方根形式.【分析】分數(shù)指數(shù)冪與方根互化時,方根的根指數(shù)作為分數(shù)指數(shù)的分母,被開方數(shù)的指數(shù)作為分數(shù)指數(shù)的分子.【解答】計算：〔結(jié)果用冪的形式表示〕【分析】運用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算【解答】利用冪的運算性質(zhì)運算：【分析】利用方根形式轉(zhuǎn)化為冪的形式,通過冪的性質(zhì)來解決.【解答】化簡：【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪化簡求值.【解答】【例5】說明成立.【分析】引用輔助字母,利用冪的運算性質(zhì)找出的關(guān)系.【解答】設(shè)當時,等式顯然成立.假設(shè)那么所以因為,所以兩邊同乘以得所以【根底訓練】寫成冪的形式.寫成方根的形式.3.以下各式中錯誤的選項是〔〕那么可化為那么〔〕6.=..8.計算：9.計算：10.計算：【能力提高】1.2.3.計算：4.化簡：5.解答題：求的值.《實數(shù)》章節(jié)測試〔全卷共三個大題,總分值150分,考試時間90分鐘〕一、選擇題〔本大題共6個小題,每題4分,共24分〕1.以下說法正確的選項是〔〕2.－27的立方根與的平方根之和為〔〕3.以下式子中,正確的選項是〔〕A．B.C.D.4.有以下說法：①有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng);②不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù);③負數(shù)沒有立方根;④無理數(shù)包括正無理數(shù)、負無理數(shù)和零.其中正確的有〔〕有意義,那么得取值范圍是〔〕A．B.C.6.以下說法正確的有〔〕①一個數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個數(shù)的相反數(shù)的立方根;②64的平方根是±8,立方根是±4;③表示的平方根,表示的立方根;④一定是負數(shù)A.①③B.①③④C.②④D.①④二、填空題〔本大題12個小題,每題4分,共48分〕7.的算術(shù)平方根是,的平方根是.=8.比擬大?。?.7;;29.假設(shè),那么;假設(shè),那么;假設(shè),;10.的相反數(shù)是,絕對值等于的數(shù)是11.假設(shè),那么;,且,那么.12.如果正方體的體積擴大為原來的27倍,那么邊長擴大為原來的倍;假設(shè)體積擴大為原來的2n倍,那么邊長擴大為原來的倍.13.如果,都是有理數(shù),且,那么=,=14.,那么15.假設(shè),那么化簡的結(jié)果是,都是無理數(shù),且,那么,的值可以是.〔填一組〕17．假設(shè)n為自然數(shù),那么＝．18．在兩個連續(xù)整數(shù)和之間,,那么,的值分別是．三、解答題〔本大題7個小題,共78分〕19.將以下各數(shù)的序號填在相應(yīng)的集合里.〔10分〕①,②,③3.1415926,④,⑤……〔每相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐漸多1〕,⑥0,⑦,⑧－,⑨,⑩有理數(shù)集合：{……};無理數(shù)集合：{……};正實數(shù)集合：{……};整數(shù)集合：{……};20.計算〔10分〕⑴〔精確到〕⑵21.〔10分〕的平方根是,的算術(shù)平方根是4,求的平方根.22.〔10分〕,為實數(shù),且滿足,那么的值是多少？23.〔12分〕,滿足,求的平方根.24.〔12分〕閱讀下面的文字,解答問題.大家知道是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)局部我們不可能全部地寫出來,于是小明用來表示的小數(shù)局部,你同意小明的表示方法嗎？事實上,小明的表示方法是有道理,因為的整數(shù)局部是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)局部,差就是小數(shù)局部.請解答：：,其中是整數(shù),且,求的相反數(shù).25.〔14分〕觀察以下各式：請寫下你猜測的規(guī)律,用自然數(shù)的代數(shù)式表示,并證明你的猜測.三角形第一講三角形的有關(guān)概念與性質(zhì)【知識要點】1．三角形的概念：由不在同一直線上的三點順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形叫做三角形。由三角形的概念可知，三角形三邊有以下關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。2.三角形的三邊與三內(nèi)角是三角形的六要素。3.三角形的特殊線段：三角形的高、中線、角平分線?！?〕三角形的三條高的交點在銳角三角形內(nèi)、在直角三角形直角頂點、在鈍角三角形外；〔2〕三角形的三條中線的交點在三角形內(nèi)；〔3〕三角形的三條角平分線的交點在三角形內(nèi)。4.三角形的分類〔1〕按角分〔2〕按邊分【注意】在做三角形分類的題目時，要注意重合的局部，比方等邊三角形也屬于等腰三角形和銳角三角形。5.三角形的內(nèi)角和等于180°.【注意】〔1〕直角三角形兩銳角互余?！?〕n邊形內(nèi)角和等于〔n－2〕180°.6.三角形的外角：三角形內(nèi)角的鄰補角。由5和6我們可以推出:三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。進而可知，三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。7.三角形的外角和等于360°.【注意】n邊形的外角和都等于360°.【學習目標】理解三角形的概念，理解三角線的邊、角、高、中線、角平分線等有關(guān)概念以及三角形的分類；理解三角形的構(gòu)成條件，在解題中牢記要檢驗兩邊之和是否大于第三邊；3．熟練使用三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)。【典型例題】1．判定能否構(gòu)成三角形【例1】以下長度的三條線段中，不能組成三角形的是〔〕〔A〕6cm，8cm，12cm〔B〕8cm，12cm，15cm〔C〕4cm，8cm，12cm〔D〕【分析】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”判定。小技巧：最大邊的情況下，只需用最大邊與其余兩邊之和比擬?！窘獯稹俊睠〕.較小兩邊之和＝4+8＝12cm，最大邊＝12cm，不符合“兩邊之和大于第三邊”，所以選〔C〕?！纠?】假設(shè)ABC的三邊長分別為整數(shù)，周長為11，有一邊長為4，那么這個三角形的最大邊長為________.【分析】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”得出最長邊可取值的范圍，然后取其中的最大值。【解答】設(shè)最長邊長為x，那么第三邊為11－4－x，所以11－4－x+4>x，x<5.5;x為最長邊，所以x>4且x>11－4－x，x>4;所以4<x<5.5，整數(shù)x＝5.【例3】三角形的三邊長分別為a，b，c，那么代數(shù)式c2+2ab-b2-a2是〔〕〔A〕小于零〔B〕等于零〔C〕大于零〔D〕與零的大小關(guān)系不能確定【分析】因式分解后，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”判斷因式符號?！窘獯稹縞2+2ab-b2-a2＝c2-(a-b)2=(c+a-b)(c+b-a)，因為兩邊之和大于第三邊，c+a-b>0,c+b-a>0,所以原式>0，選C2．內(nèi)角的計算【例1】如圖，1＝20°，2＝25°，A＝35°，求BDC的度數(shù)?！痉治觥坷谩叭切蝺?nèi)角和等于180°”計算?！窘獯稹克浴纠?】在不等邊三角形，它的最小內(nèi)角的取值范圍是________.【分析】利用內(nèi)角和定理，并注意到是最小內(nèi)角。【解答】設(shè)三內(nèi)角為，且，那么，且三角形內(nèi)角.所以.【點評】在討論取值范圍是不要忘了內(nèi)角大于零度，并且不要遺漏“°”.【例3】ABC中，如果那么ABC是〔〕〔A〕銳角三角形〔B〕直角三角形〔C〕鈍角三角形〔D〕等腰三角形【分析】用內(nèi)角和定理結(jié)合提干信息，得到每個內(nèi)角的取值范圍?！窘獯稹客砀鶕?jù)三角形的分類，三個內(nèi)角都是銳角的三角形是銳角三角形，選〔A〕?！纠?】ABC中，,D、E為垂足，BD、CE交于點H，如圖，，求的度數(shù)?！痉治觥坑脙?nèi)角和定理以及“直角三角形兩銳角互余”，加上一個量再減去這個量保持原數(shù)量不變。【解答】【點評】此題涉及了4個三角形的內(nèi)角和關(guān)系，處理這樣看似復雜的題目，只要理清關(guān)系就迎刃而解。3．內(nèi)角與外角的聯(lián)系【例1】ABC中，的外角平分線交于點O，如果，求的度數(shù)。【分析】利用內(nèi)角和定理以及“三角形外角等于其不相鄰兩內(nèi)角的和”計算?！窘獯稹?【根底訓練】三條線段a，b，c如能組成三角形，那么它們的長度比可能是〔〕〔A〕1：2：4〔B〕1：3：4〔C〕3：4：7〔D〕2：3：4三角形的三邊分別為1，x，5，且x為整數(shù)，求x.對于ABC，以下命題中不正確的選項是〔〕〔A〕如果，那么ABC是直角三角形〔B〕如果，那么ABC是銳角三角形〔C〕如果，那么ABC是鈍角三角形〔D〕如果，那么ABC是直角三角形ABC的三個內(nèi)角滿足關(guān)系式，那么此三角形〔〕一定有一內(nèi)角為45°一定有一內(nèi)角為60°一定是直角三角形一定是鈍角三角形如果以4cm長的線段為底組成一個等腰三角形,腰長x應(yīng)在的范圍是()〔A〕x>4cm〔B〕x>2cm〔C〕x≥4cm〔D〕x≥2cm在△ABC中,∠A=2∠B=75°,那么∠C等于()〔A〕30°〔B〕67°30′〔C〕105°〔D〕135°假設(shè)三角形兩邊長分別為6cm和2cm,第三邊長為偶數(shù),那么第三邊長為()〔A〕2cm〔B〕4cm〔C〕6cm〔D〕8cm一個三角形有_____條角平分線,______條中線,_____條高.三角形兩邊分別為5cm和6cm,那么第三邊c的范圍為_____.假設(shè)等腰三角形兩邊長分別為3和4,那么它的周長為______.在ABC中,∠A=∠B=∠C,那么∠A=_____.在ABC中,,那么∠B=______.在ABC中,的平分線交于點O,那么___.【能力提高】a，b，c是三角形的三邊長，那么代數(shù)式的值是〔〕小于零〔B〕等于零〔C〕大于零〔D〕不能確定△ABC是等腰三角形如果AB＝8cm，BC＝16cm，求AC之長；如果AB＝8cm，BC＝12cm，求AC之長.中，AB＝AC，AC邊上的中線BD，把分成兩個三角形，其周長之差為4cm，如果的周長為16cm，求此三角形三邊之長。如圖,在△ABC中,AF、CE、BD都是中線,且交于點H,在圖中找出△ABH、△AHC、△BHC的三邊AB、AC、BC邊上的中線.兩根木棒的長分別是7cm和10cm,要選擇第三根木棒,將它們釘成一個三角形,第三根木棒的長有什么限制?說明理由.一個零件的形狀如圖,按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°,∠B與∠C應(yīng)分別是32°和21°,檢驗工人量得∠BDC=148°,就判斷這個零件不合格,試用三角形有關(guān)知識說明理由.如圖,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,BD、CE分別是邊AC、AB上的高,并相交于H,求∠BHC的度數(shù).

第二講全等三角形【知識要點】1．全等三角形的概念：經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)能夠重合的兩個三角形叫做全等三角形?！咀⒁狻炕ハ嘀睾系捻旤c叫做對應(yīng)頂點；互相重合的邊叫做對應(yīng)邊；互相重合的角叫做對應(yīng)角。2.兩個全等三角形的表示：ABC≌DEF【注意】把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。4.全等三角形的判定兩邊夾一角對應(yīng)相等：S.A.S；兩角夾一邊對應(yīng)相等：A.S.A；兩角一對邊對應(yīng)相等：A.A.S；三邊對應(yīng)相等：S.S.S；【學習目標】理解全等形的概念；理解全等三角形的性質(zhì)；熟練使用全等三角形的4條判定法那么，并利用全等三角形的性質(zhì)證明邊或者角的關(guān)系?！镜湫屠}】1．全等三角形的性質(zhì)【例1】如圖，AB=AD,AC=AE,如果ABE≌ACD全等，BAD＝90°,BE=10,CAE＝_______,CD=____.【分析】利用全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等?！窘獯稹緼BE≌ACD，那么BAD＝CAE＝90°,.2．全等三角形的判定【例1】如圖，,求證：【分析】只要證明ABD≌ACE，就可證明。,，如果能再找出一對角相等就可判定全等。由，那么，即【解答】【點評】從條件中獲取足夠信息證明兩個三角形全等，進而證明對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，是重點考察的內(nèi)容。而利用角和邊的等量加減等量其和差相等，也是常用技巧?！纠?】如圖，A在OC上,B在OD上,OA=OB,OC=OD,BC與AD相交于T，求證：OT平分.【分析】只要證明，就是OT平分,可尋求證明,為此要證CT=DT，這樣又要證，那么可從判定入手。【解答】【點評】證明全等三角形并利用其性質(zhì)和其他信息證明另一對三角形全等，是一個難點，只要我們耐心就可以解決?！纠?】水管沿公路直線鋪設(shè)，A、B是公路同側(cè)的兩個居民點，為了給這兩點供水需在總水管上選一點P，使自P到A、B所鋪設(shè)水管的總長最短，問P應(yīng)設(shè)在總水管上哪一點？【分析】自點A向總水管所在直線l引垂線，垂足為D，延長AD到A',使AD=A'D，這樣l就是AA'的中垂線，聯(lián)結(jié)A'B交l于P，點P即為所求點?！窘獯稹吭趌上取異于點P的點P1，那么AP1=A'P1'(中垂線定理〕【點評】這個取對稱點利用中垂線定理的解法叫做“軸對稱變換法”，是解決此類問題的典型解法，需要體會掌握?！靖子柧殹咳鐖DAB=AC,AD=AE,CD與BE交于點F，那么①ABE≌ACD;②BDF≌CEF;③F在〔A〕只有①〔B〕只有②〔C〕只有①②〔D〕①②③以下命題中正確的選項是〔〕〔A〕全等三角形的高相等〔B〕全等三角形的中線相等〔C〕全等三角形的角平分線相等〔D〕全等三角形對應(yīng)角的平分線相等ABC是不等邊三角形,DE=BC,以D、E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作的三角形與ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出〔A〕2個〔B〕4個〔C〕6個〔D〕8個兩三角形有以下元素對應(yīng)相等，不能判定全等的是〔〕〔A〕兩角和一邊〔B〕兩邊及夾角〔C〕三個角〔D〕三條邊如果兩個三角形兩邊對應(yīng)相等，且其中一邊所對的角也相等，那么這兩個三角形〔〕〔A〕一定全等〔B〕一定不全等〔C〕不一定全等〔D〕面積相等如果兩個三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是〔〕〔A〕相等〔B〕不相等〔C〕互余或相等〔D〕互補或相等如圖，求證：AB=DE,AB∥DE.在ABC中，B=60o，A和C的平分線相交于點O，求證：AE+CD=AC.【能力提高】在ABC中，AB>BC>CA,那么在①C60o,②B<60o,③A=60o中正確的選項是〔〕〔A〕①②〔B〕②③〔C〕①③〔D〕①②③如圖，AB=DE，直線AE、BD相交于C，B與C互補，求證：AC=EC.如圖,設(shè)ABC在邊AC、AB上的高分別為BE、CF，在BE上截取BP=AC，在直線CF上截取CQ=AB，求證：AP=AQ,AP⊥AQ.ABC為等腰直角三角形，A=90o，D為BC的中點，P是線段BD上任意一點，PE⊥AB，PF⊥AC,E、F是垂足，求證：DE=DF，且DE⊥DF.如圖和均為等邊三角形，求證：DC=BE。如圖∠ABC＝90°AB＝BC，D為AC上一點分別過A.C作BD的垂線，垂足分別為E.F,求證：EF＝CF－AE.如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三個中的兩個為條件，另一個為結(jié)論，可構(gòu)成三個命題，即：①②③，①③②，②③①．〔1〕試判斷上述三個命題是否正確〔直接作答〕；〔2〕請證明你認為正確的命題．如圖，為等邊三角形，D.E.F分別在邊BC.CA.AB上，且也是等邊三角形．除相等的邊以外，請你猜測還有哪些相等線段，并證明你的猜測是正確的；你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程．

第三講等腰三角形【知識要點】1．等腰三角形的概念：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。【注意】相等的兩邊稱為腰；另一邊稱為底邊。2.等腰三角形的構(gòu)成條件：2倍腰長大于底邊長?！咀⒁狻坑扇切蝺蛇呏痛笥诘谌呁频?。做題時必須用此條件驗證計算所得等腰三角形是否成立。3.等腰三角形的性質(zhì)：等腰對等角?！咀⒁狻考囱鶎Φ膬蓚€角相等。等腰三角形的判定：等角對等腰。5.等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。等邊三角形的性質(zhì)：三個內(nèi)角相等，且為60°.等邊三角形的判定：〔1〕一般三角形三邊相等；〔2〕一般三角形兩內(nèi)角等于60°；〔3〕等腰三角形底邊與腰相等；〔4〕等腰三角形有一個內(nèi)角等于60°.【學習目標】1.理解等腰三角形的概念和構(gòu)成條件；2.熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定方法；3.理解等邊三角形的概念，理解等邊三角形是特殊的等腰三角形；4.熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和4種判定方法?！镜湫屠}】1．等腰三角形的性質(zhì)CDBAE【例1】如圖，ABC中，D、E兩點分別在AC、BC上，那么AB=AC，CD=DE。假設(shè)A=40，ABD：CDBAE(A)25(B)30(C)35(D)40【分析】兩次利用等腰三角形的兩腰相等和三角形的內(nèi)角和為180【解答】B。由AB=AC，得到ABD=70和DEB=110，ABD：DBC=3：4可以得到DBE=40，所以DBE=30【點評】從條件中獲取足夠信息證明得到其他的兩個內(nèi)角，進而得到所求角。【例2】如圖，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC.(1)求∠EDB的度數(shù)；ABABCDE【分析】〔1〕先求出其他的兩個內(nèi)角〔2〕利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)【解答】〔1〕∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝〔2〕∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分線，∴D為AC的中點∵DE∥BC，∴E為AB的中點，∴DE＝【點評】利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，是解決此類問題的典型解法，需要體會掌握。等腰三角形的判定【例1】如圖，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC交AB于E，求證：△BED是等腰三角形．【解答】∵BD是∠ABC的角平分線∴∠ABD＝∠CBD∵DE∥BC∴∠CBD＝∠BDE∴∠ABD＝∠BDE∴BE＝DE∴△BED是等腰三角形【點評】通過條件得到兩個內(nèi)角相等，從而判定等腰三角形。等邊三角形的性質(zhì)【例1】以下命題不正確的選項是〔〕〔A〕等邊三角形的角不能是鈍角〔B〕等邊三角形不能是直角三角形〔C〕假設(shè)一個三角形有三條對稱軸，那么它一定是等邊三角形〔D〕兩個全等的且有一個銳角為30°的直角三角形可以拼成一個等邊三角形【分析】根據(jù)題目的說法進行舉例?！窘獯稹俊睟〕?！睞〕等邊三角形的角都為60°；〔B〕同〔A〕解答；〔C〕等邊三角形的性質(zhì)之一；〔D〕等邊三角形可以分解得到兩個全等的且有一個銳角為30°的直角三角形?！军c評】熟悉三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【例2】△ABC和△BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD.【分析】要證AE=CD，需證△ABE和△CBD,利用△ABC和△BDE都是等邊三角形可證【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABE=60°又∵△BDE是等邊三角形，∴BE=BD，∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE∴在△ABE和△CBD中，∴△ABE≌△CBD〔SAS〕，∴AE=CD【點評】從結(jié)果反推到條件即可。等邊三角形的判定如圖，C為線段AB上一點，△ACD，△CBE是等邊三角形，AE與CD交于點M，BD與CE交于點N，AE交BD于點O．求證：〔1〕AE＝BD〔2〕∠AOB＝120°〔3〕△CMN是等邊三角形【分析】〔1〕根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可用SAS證明△ACE≌△DCB，那么得AE＝BD同時可得∠CEA＝∠CBD；〔2〕因此可由三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和得∠AOB＝∠AEB＋∠EBO＝∠AEC＋∠CEB＋∠EBO＝∠OBC＋∠CEB＋∠EBO＝∠BEC＋∠CBE＝60°＋60°＝120°；〔3〕易知∠DCE＝60°，故只需證△MCE≌△NCB即可.【解答】【點評】利用等邊三角形的性質(zhì)獲取等量關(guān)系?！靖子柧殹咳鐖D，在等腰三角形中，，點是底邊上一個動點，分別是的中點，假設(shè)的最小值為2，那么的周長是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕ABCPMABCPMN在中，，，點為的中點，于點，那么等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，那么它的周長為〔〕〔A〕9cm 〔B〕12cm 〔C〕15cm 〔D〕12cm或15cm如圖，C為線段AE上一動點〔不與點A，E重合〕，在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下五個結(jié)論：AD=BE；PQ∥AE；AP=BQ；DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的有______________〔把你認為正確的序號都填上〕．等腰三角形的一個角為70°，那么它的頂角為度.如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上〔端點A、C除外〕，設(shè)甲蟲P到另外兩邊距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，那么d與h的大小關(guān)系是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕無法確定【能力提高】1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30o，腰長為4cm，那么其腰上的高為cm.2.如圖，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，假設(shè)OA＝OB＝1，那么第n個等腰直角三角形的面積Sn＝________。3.如圖，有一底角為35°的等腰三角形紙片，現(xiàn)過底邊上一點，沿與底邊垂直的方向?qū)⑵浼糸_，分成三角形和四邊形兩局部，那么四邊形中，最大角的度數(shù)是．3535°4.如圖，AB=AC，，AB的垂直平分線交BC于點D，那么。5.:等邊△ABC中，DB是AC邊上的高，E是BC延長線上一點，且DB=DE，求∠E的度數(shù)6.如圖，等邊△ABC中，D是AB上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連結(jié)AE．求證：AE//BC．7.，如圖1，是等邊三角形，過AB邊上的點D作DGBC，交AC于點G，在GD的廷長線上取點E，使DE＝DB，連接AE、CD．〔1〕求證：≌．〔2〕過點E作EF//DC，交BC于點F，請你連接AF，并判斷是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論．8.如圖，P是∠AOB的角平分線上的一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，寫出圖中一對相等的線段〔只需寫出一對即可〕.BBACDFE9.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點E、F是AD的三等分點，假設(shè)△ABC的面積為12cm2，那么圖中陰影局部的面積是_______cm2.10.如圖，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點E，連結(jié)BC．求∠AEB的大??；CCBODA《三角形》章節(jié)測試〔全卷共三個大題，總分值150分，考試時間90分鐘〕一、選擇題〔本大題共14個小題，每題3分，共42分〕在以下長度的四根木棒中，能與4cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是〔〕．〔A〕4cm〔B〕5cm〔C〕9cm〔D〕13cm在以下圖中，正確畫出AC邊上高的是〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD＝PE，那么△APD與△APE全等的理由是〔〕．〔A〕SAS〔B〕AAS〔C〕SSS〔D〕HL如果在△ABC中，∠A＝70°－∠B，那么∠C等于〔〕．〔A〕35°〔B〕70°〔C〕110°〔D〕140°以下說法錯誤的選項是〔〕．〔A〕三角形三條中線交于一點〔B〕三角形三條角平分線交于一點〔C〕三角形三條高交于一點〔D〕三角形中線、角平分線、高都是線段在以下條件中，不能說明△ABC≌△A’B’C的是〔〕．〔A〕∠A＝∠A’，∠C＝∠C’，AC＝A’C’〔B〕∠A＝∠A’，AB＝A’B’，BC＝B’C’〔C〕∠B＝∠B’，∠C＝∠C’，AB＝A’B’〔D〕AB＝A’B’，BC＝B’C，AC＝A’C’在以下說法中，正確的有〔〕．①三角對應(yīng)相等的兩個三角形全等②三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等③兩角、一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等④兩邊、一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔A〕1條〔B〕2條〔C〕3條〔D〕4條以下說法正確的選項是〔〕〔A〕兩個周長相等的長方形全等〔B〕兩個周長相等的三角形全等〔C〕兩個面積相等的長方形全等〔D〕兩個周長相等的圓全等判定兩個三角形全等，給出如下四組條件：①兩邊和一角對應(yīng)相等；②兩角和一邊對應(yīng)相等；③兩個直角三角形中斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等；④三個角對應(yīng)相等；其中能判定這兩個三角形全等的條件是〔〕①和②〔B〕①和④〔C〕②和③〔D〕③和④三角形的三個內(nèi)角中，銳角的個數(shù)不少于〔〕〔A〕1個〔B〕2個〔C〕3個〔D〕不確定適合條件∠A=∠B=∠C的三角形一定是〔〕銳角三角形〔B〕鈍角三角形〔C〕直角三角形〔D〕任意三角形有兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形〔〕必定全等〔B〕必定不全等〔C〕不一定全等〔D〕以上都不對面積相等的兩個三角形〔〕〔A〕必定全等〔B〕必定不全等〔C〕不一定全等〔D〕以上都不對如圖，AB∥CD，AD∥BC，AC與BD相交于點O，那么圖中全等的三角形有〔〕．〔A〕1對〔B〕2對〔C〕3對〔D〕4對二、填空題〔本大題共10個小題，每題3分，共30分〕一個三角形的三條邊長為2、7、x，那么x的取值范圍是。等腰三角形一邊的長是4，另一邊的長是8，那么它的周長是。三角形的兩邊長分別是2cm和5cm,第三邊長是奇數(shù)，那么第三邊的長是。如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，與∠A相等的角是，理由是。如圖，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為100cm2，那么△ABD的面積是cm2。如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，假設(shè)∠A=70°，∠BCE=30°，那么∠EBF的度數(shù)是，∠FBC的度數(shù)是。如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點O，假設(shè)∠BOC=116°，那么∠A的度數(shù)是。為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的反面加釘了一根木條，這樣做的道理是。．直角三角形中，兩銳角之比為1：2，那么兩銳角的度數(shù)分別為。完成下面的推理：如圖，〔1〕在△ABC與△A’B’C’中，∴△ABC≌△A’B’C’(SAS)．〔2〕在△ABC與△A’B’C’中，∴△ABC≌△A’B’C’(AAS)．三、解答題〔本大題共6個小題，共78分〕如圖，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，那么△ABC≌△ADE，請說明理由。如圖，AB=CD，AD=CB；試證明AD∥BC。如圖，E是AB上一點。假設(shè)AC=AD，BC=BD，那么CE=DE嗎？請說明理由。如圖，△ABD≌△ABC，∠C＝100°，∠CBD＝30°，求∠DAB的度數(shù).如圖，A、B、C、D在同一直線上，AC=BD，DE∥AF，且DE=AF，求證：⊿AFC≌⊿DEB：如圖，AC，BD互相平分于點O，求證：△AOB≌△COD第十五章平面直角坐標系第一節(jié)平面直角坐標系【知識要點】知識點1平面直角坐標系在直角坐標平面上，任意一點，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為、，點在軸上對應(yīng)的實數(shù)，叫做點的橫坐標；點在軸上對應(yīng)的實數(shù)叫做點的縱坐標，點的坐標記作.從此，可知點的直角坐標為，點的直角坐標為，知識點2象限、軸將直角坐標平面劃分為四局部：軸的正半軸和軸的正半軸所形成的角的內(nèi)部，叫做第一象限；軸的負半軸和軸的正半軸所形成的角的內(nèi)部，叫做第二象限；軸的負半軸和軸的負半軸所形成的角的內(nèi)部，叫做第三象限；軸的正半軸和軸的負半軸所形成的角的內(nèi)部，叫做第四象限。從此，第一象限內(nèi)的點；第二象限內(nèi)的點；第三象限內(nèi)的點；第四象限內(nèi)的點。第二象限第一象限第三象限第四象限圖15-7圖15-8知識點3與坐標平行的直線方程過點與軸平行的直線上的一切點的坐標都滿足方程：；過點與軸平行的直線上的一切點的坐標都滿足方程：。知識點4有向線段的數(shù)量設(shè)的直線坐標分別為，分別過引軸的垂線，垂足分別滿足；引軸的垂線，垂足分別為，那么：【學習目標】平面直角坐標系及有關(guān)概念，根據(jù)坐標確定點和由點確定坐標.坐標平面內(nèi)特殊位置的點的坐標特征.【典型例題】【例1】將正方形的一個頂點放在直角平面的原點上，過此頂點的兩條邊分別在軸上，如圖15-12所示，假設(shè)正方形的邊長為，試寫出各頂點的坐標.【解答】?！菊f明】如果把正方形的中心放在直角坐標平面的原點上，正方形的邊長分別與坐標軸平行，如圖15-13所示，正方形邊長為，那么四頂點的坐標分別為、、、圖15-12圖15-13【例2】點P(x，y+1)在第二象限，那么點Q(-x+2，2y+3)在第______象限．【解答】因為點P(x，y+1)在第二象限，所以x＜0且y+1＞0，因此-x+2＞0且2y+3=2(y+1)+1＞0．從而知Q(-x+2，2y+3)在第一象限．【例3】設(shè)P(m，m+2)是坐標平面內(nèi)某一象限的整點(橫縱坐標皆為整數(shù)的點)，點P到x軸的距離與它到y(tǒng)軸的距離之差為2m+2，求點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標．【解答】根據(jù)題意知|m+2|-|m|=2m+2當m＞0時，(1)式變?yōu)閙+2-m=2m+2，得m=0與m＞0矛盾，無解．當m＜-2時，(1)式變?yōu)?m-2-(-m)=2m+2得m=-2與m＜-2矛盾，無解．當-2＜m＜0時(1)式變?yōu)閙+2-(-m)=2m+2，即2m+2=2m+2成立．因為m為整數(shù)得m=-1．所以P(-1，1)關(guān)于y軸對稱的點的坐標為Q(1，1)．【根底訓練】在平面直角坐標系中，點P所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對〔a,b〕，叫做點P的________,記作P〔a,b〕，其中a叫做_________,b叫做_________,原點O的坐標是__________.x軸上的點的坐標的特點是，y軸上的點的坐標的特點是；那么點M〔a，0〕在軸上.直線a平行于x軸，且過點〔-2，3〕和〔5，y〕，那么y=.用1，2，3可以組成有序數(shù)對______對.假設(shè)點M〔a-2，2a+3〕是x軸上的點，那么a的值是.6.假設(shè)P〔x，y〕是第四象限內(nèi)的點，且，那么點P的坐標是.7.平行于x軸的直線上的任意兩點的坐標之間的關(guān)系是()8.假設(shè)點P〔a，b〕在第三象限，那么點P1〔－a，－b〕在〔〕9.如果點A〔m，n〕的坐標滿足0，那么點A在〔〕，且點M〔a，b〕在第二象限，那么點M的坐標是〔〕A、〔5，4〕B、〔－5，4〕C、〔－5，－4〕D、〔5，－4〕11.如果點P〔x，5〕在第二象限，那么x的取值范圍是〔〕≤≥012.假設(shè)點P〔x,y〕的坐標滿足xy=0(x≠y)，那么點P在〔〕A．原點上B．x軸上C．y軸上D．x軸上或y軸上13.點P〔a,b〕，ab＞0,a＋b＜0,那么點P在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限14.一個點的橫、縱坐標都是整數(shù)，并且他們的乘積為6，滿足條件的點共有〔〕A．2個B．4個C．8個D．10個【能力提高】1.在平面直角坐標系內(nèi)，點〔1-2a，a-2〕在第三象限的角平分線上，求a的值及點的坐標？2.如圖，在所給的坐標系中描出以下各點的位置yyA〔3，0〕，B〔0，3〕，C〔0，－1〕，D〔1，－1〕，E〔2，－2〕，F(xiàn)〔1，0〕3G〔2，2〕，H〔1，1〕，I〔0，1〕3－33－3x－2－1－22－1211O－33－3x－2－1－22－1211O－3－3直角坐標平面內(nèi)的運動【知識要點】知識點1點沿坐標軸方向的平移如果點沿著或軸平行方向平移個單位，那么向右平移所對應(yīng)的點的坐標為；向左平移所對應(yīng)的點的坐標為；向上平移所對應(yīng)的點的坐標為；向下平移所對應(yīng)的點的坐標為.知識點2點關(guān)于坐標軸、原定的對稱變換在直角坐標平面內(nèi)，與點關(guān)于軸對稱點的坐標為；與點關(guān)于軸對稱點的坐標為；與點關(guān)于原定對稱點的坐標為.知識點3點的簡單旋轉(zhuǎn)變換點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到達點，那么知識點4坐標軸上兩點間的距離從知識點4有圖15-9圖15-10知識點5中點坐標設(shè)的直角坐標分別為，是的中點，那么【典例例題】【例1】如圖15-19的三頂點的坐標分別為、、，求的面積.【解答】過點作軸的垂線，垂足為。〔面積單位〕。BCBC【例2】將例1中的先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，到達，求的坐標.【解答】的坐標分別為、、，平移變換是全等變換，【例3】的三頂點分別為、、，將繞按順時針旋轉(zhuǎn)，到達，求的直角坐標.【解答】如圖15-20，分別過與作軸的垂線，垂足為、，那么，圖15-20,,從而，有，，點的坐標為【說明】這仍是簡單的旋轉(zhuǎn)，解決的防護還是與全等三角形相結(jié)合的方法.【例4】如圖15-21三頂點的坐標分別為、、，以軸為對稱軸，將此三角形最對稱變換得,求、、的坐標.【解答】、、，顯然是全等變換CBCB【根底訓練】1.點A〔－3，5〕在第_____象限，到x軸的距離為______，到y(tǒng)軸的距離為_______.關(guān)于原點的對稱點坐標為_________，關(guān)于y軸的對稱點坐標為_________.2.x軸上點P到y(tǒng)軸的距離是3，那么點P坐標是________________.3.一只螞蟻由〔0，0〕先向上爬4個單位長度，再向右爬3個單位長度，再向下爬2個單位長度后，它所在位置的坐標是_________.4.長方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x軸，假設(shè)點A的坐標為〔－2，4〕，那么點C的坐標為__________________________.5.點P的坐標〔2-a，3a+6〕，且點P到兩坐標軸的距離相等，那么點P的坐標是.6.將點P〔-3，2〕沿x軸的負方向平移3個單位長度，得到點Q的坐標是______.在將Q沿y軸正方向平移5個單位長度，得到點R的坐標是________.7.點P的橫坐標是-3，且到x軸的距離為5，那么P點的坐標是〔〕A.〔5，-3〕或〔-5，-3〕B.〔-3，5〕或〔-3，-5〕C.〔-3，5〕D.〔-3，-5〕8.三角形ABC中，A〔-1，0〕，B〔5，0〕，C〔2，5〕，那么三角形ABC的面積為〔〕A.30B.15C.20D.109.在平面直角坐標系中，假設(shè)一圖形各點的橫坐標不變，縱坐標分別減3，那么圖形與原圖形相比〔〕A.向右平移了3個單位長度B.向左平移了3個單位長度C.向上平移了3個單位長度D.向下平移了3個單位長度10.點P位于x軸下方，y軸左側(cè)，距離x軸4個單位長度，距離y軸2個單位長度，那么點P的坐標是〔〕A．〔4，2〕B．〔－2，－4〕C．〔－4，－2〕D．〔2