角平分線與垂直平分線的性質(zhì)一、角平分線定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角平分成兩個相等的小角的一條射線，稱為這個角的角平分線。（1）一個角只有一條角平分線；（2）角平分線上的任意一點，到這個角的兩邊的距離相等；（3）角的角平分線與這個角的兩邊構成等腰三角形；（4）角的角平分線與這個角的對邊平行。二、線段的垂直平分線定義：在線段的中點垂直于線段的一條直線，稱為線段的垂直平分線。（1）線段的垂直平分線唯一；（2）線段的垂直平分線垂直于線段；（3）線段的垂直平分線將線段平分成兩個相等的部分；（4）線段的垂直平分線上的任意一點，到線段的兩個端點的距離相等。三、角平分線與垂直平分線的聯(lián)系圓的角平分線和垂直平分線都是圓的半徑；圓的直徑的垂直平分線也是圓的角平分線；線段的垂直平分線是線段的角平分線的垂直平分線。求角的度數(shù)：利用角的角平分線和已知角的度數(shù)，可以求解未知角的度數(shù)；證明線段相等：利用線段的垂直平分線，可以證明線段相等；證明三角形全等：利用三角形的角平分線和垂直平分線，可以證明三角形全等；求解幾何圖形的面積：利用角平分線和垂直平分線的性質(zhì)，可以求解幾何圖形的面積。以上是關于角平分線與垂直平分線的性質(zhì)的詳細介紹，希望對您有所幫助。習題及方法：習題：求證：在一個等腰三角形中，底角的角平分線與頂角的角平分線相等。（1）畫出等腰三角形ABC，其中AB=AC，BC為底邊；（2）分別畫出底角B和頂角A的角平分線，交于點D；（3）連接BD和AD；（4）利用等腰三角形的性質(zhì)，得到∠ABC=∠ACB；（5）利用角平分線的性質(zhì)，得到∠ABD=∠CBD和∠ADB=∠ADC；（6）根據(jù)∠ABC=∠ACB和∠ABD=∠CBD，得到∠ADB=∠ADC；（7）因此，底角的角平分線與頂角的角平分線相等。習題：求證：一個三角形的角平分線與這個三角形的外接圓相切。（1）畫出三角形ABC；（2）畫出三角形ABC的外接圓，圓心為O；（3）分別畫出三角形ABC的三個角的角平分線，交于點D、E、F；（4）連接OD、OE、OF；（5）利用角平分線的性質(zhì)，得到OD=OE=OF；（6）利用圓的性質(zhì)，得到OD垂直于AC，OE垂直于AB，OF垂直于BC；（7）因此，三角形的角平分線與這個三角形的外接圓相切。習題：已知：線段AB=6cm，點C在線段AB的垂直平分線上，求點C到線段AB兩端點A和B的距離。（1）畫出線段AB和它的垂直平分線，交于點C；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到AC=BC；（3）因為AC和BC都是點C到線段AB兩端點的距離，所以點C到線段AB兩端點A和B的距離都是3cm。習題：已知：圓的直徑為10cm，求圓的半徑。（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，得到圓的半徑等于直徑的一半；（2）所以圓的半徑為10cm÷2=5cm。習題：求證：在一個等邊三角形中，每個角的角平分線都是這個三角形的中線。（1）畫出等邊三角形ABC；（2）分別畫出三個角的角平分線，交于點D；（3）連接AD、BD、CD；（4）利用等邊三角形的性質(zhì)，得到AB=BC=AC；（5）利用角平分線的性質(zhì)，得到∠ABD=∠BDC=∠ACD；（6）根據(jù)AB=BC=AC和∠ABD=∠BDC=∠ACD，得到AD=BD=CD；（7）因此，每個角的角平分線都是這個三角形的中線。習題：求證：如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行。（1）畫出兩條直線l1和l2，它們都垂直于直線l0；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到l1和l2的斜率相等；（3）因為斜率相等且一條直線的斜率不存在（即直線垂直于x軸），所以這兩條直線互相平行。習題：已知：線段AB=8cm，點C在線段AB的垂直平分線上，求證：三角形ABC是等腰三角形。（1）畫出線段AB和它的垂直平分線，交于點C；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到AC=BC；（3）因為AC=BC，所以三角形ABC的兩邊相等，根據(jù)等腰三角形的定義，得到三角形ABC是等腰三角形。習題：求解：一個等腰三角形的底邊長為10cm，腰長為13cm，求這個三角形的面積。（1）畫出等腰三角形ABC，其中AB=AC，BC為底邊，BC=10cm，AB=AC=13cm；（2）畫出底角B和頂角A的角平分線，交其他相關知識及習題：習題：已知一個等邊三角形的邊長為a，求這個三角形的面積。（1）畫出等邊三角形ABC，其中AB=BC=CA=a；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)，得到每個角的度數(shù)為60°；（3）利用三角形的內(nèi)切圓半徑r與邊長a的關系，得到r=a√3/6；（4）利用三角形的面積公式S=1/2×底×高，得到S=1/2×a×r；（5）代入r的值，得到S=a√3/12×a；（6）化簡得到S=√3/4×a2。答案：√3/4×a2。習題：已知一個等腰三角形的底邊長為a，腰長為b，求這個三角形的面積。（1）畫出等腰三角形ABC，其中AB=AC，BC為底邊，BC=a，AB=AC=b；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，得到底角B和頂角A的度數(shù)相等；（3）利用三角形的面積公式S=1/2×底×高，得到S=1/2×a×b÷2；（4）化簡得到S=1/4×a×b。答案：1/4×a×b。習題：已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，求這個三角形的面積。（1）畫出直角三角形ABC，其中∠C為直角，AC=a，BC=b；（2）利用直角三角形的性質(zhì)，得到斜邊AB的長度為√(a2+b2)；（3）利用三角形的面積公式S=1/2×底×高，得到S=1/2×a×b；（4）代入斜邊AB的長度，得到S=1/2×a×b÷2；（5）化簡得到S=1/2×a×b。答案：1/2×a×b。習題：已知一個等腰梯形的上底長為a，下底長為b，高為h，求這個梯形的面積。（1）畫出等腰梯形ABCD，其中AB=CD，AD=BC，AD//BC；（2）利用等腰梯形的性質(zhì)，得到梯形的面積為S=(a+b)×h÷2；（3）代入已知數(shù)值，得到S=(a+b)×h÷2。答案：(a+b)×h÷2。習題：已知一個圓的直徑為a，求這個圓的周長和面積。（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，得到圓的半徑為a÷2；（2）利用圓的周長公式C=π×d，得到C=π×a；（3）利用圓的面積公式S=π×r2，得到S=π×(a÷2)2；（4）化簡得到S=π×a2÷4。答案：C=π×a，S=π×a2÷4。習題：已知一個圓的半徑為a，求這個圓的直徑、周長和面積。（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，得到圓的直徑為2a；（2）利用圓的周長公式C=2π×r，得到C=2π×a；（3）利用圓的面積公式S=π×r2，得到S=π×a2；（4）化簡得到S=π×a2。答案：直徑為2