第01講集合目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：集合的基本概念 4高頻考點二：元素與集合的關(guān)系 6高頻考點三：集合中元素的特性 8高頻考點四：集合的表示方法 10高頻考點五：集合的基本關(guān)系 13高頻考點六：集合的運算 16高頻考點七：圖的應(yīng)用 19高頻考點八：集合新定義問題 23第四部分：典型易錯題型 29第五部分：新定義題（解答題） 29第一部分：基礎(chǔ)知識1、元素與集合（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或說明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．4、集合的運算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．5、高頻考點結(jié)論（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·（乙卷文））設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.2．（2023·全國（甲卷理））設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出．【詳解】因為整數(shù)集，，所以，．故選：A．3．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.4．（2023·全國（新課標(biāo)Ⅱ））已知集合，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：集合的基本概念典型例題例題1．（多選）（2024上·河南安陽·高一安陽一中校聯(lián)考期末）下列說法中不正確的是（）A．0與表示同一個集合；B．集合與是兩個相同的集合；C．方程的所有解組成的集合可表示為；D．集合可以用列舉法表示．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系及集合的表示一一判斷即可得結(jié)論.【詳解】0是元素不是集合，表示以0為元素的一個集合，故A錯誤；集合與的構(gòu)成元素完全相同，所以是兩個相同的集合，故B正確；方程的所有解組成的集合可表示為，集合中的元素是不同的，故C錯誤；集合表示大于小于的全體實數(shù)，有無數(shù)個且無法一一列舉出來，故不可以用列舉法表示，故D錯誤．故選：ACD.例題2．（多選）（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．；B．某中學(xué)新高一全體學(xué)生可以構(gòu)成一個集合；C．集合有兩個元素；D．小于10的自然數(shù)按從大到小的順序排列和按從小到大的順序排列分別得到不同的兩個集合.【答案】BC【分析】區(qū)分0，的含義判斷A；根據(jù)集合的定義判斷B；根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根判斷C；根據(jù)集合元素的無序性判斷D．【詳解】對于A，0是一個數(shù)，是一個集合，二者不相等，A錯誤；對于B，根據(jù)集合定義知，某中學(xué)新高一全體學(xué)生可以構(gòu)成一個集合，B正確；對于C，由于方程的判別式，故方程有兩個不相等的實數(shù)根，故集合有兩個元素，C正確；對于D，集合的元素具有無序性，故小于10的自然數(shù)按從大到小的順序排列和按從小到大的順序排列分別得到的兩個集合是同一個集合，D錯誤，故選：BC．練透核心考點1．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．0與的意義相同B．某市文明市民可以組成一個集合C．集合是無限集D．方程的解集有二個元素【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的定義逐一判斷即可.【詳解】A：0是集合的一個元素，因此本選項不正確；B：因為文明市民的標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以組成不了集合，因此本選項不正確；C：由，顯然給一個自然數(shù)的值，都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)，而自然數(shù)集是無限集，因此集合是無限集，因此本選項正確；D：，方程的解集有一個元素，因此本選項不正確，故選：C2．（多選）（2024上·全國·高一專題練習(xí)）(多選題)下列各組對象能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù)B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù)D．函數(shù)圖象上所有的點【答案】ACD【分析】根據(jù)集合中元素的確定性逐項判斷即可得解.【詳解】選項A、C、D中的元素符合集合中元素的確定性；而選項B中，“難題”沒有標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合．故選：ACD高頻考點二：元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（2024上·河南省直轄縣級單位·高一統(tǒng)考期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)集合元素之間的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系一一判斷即可.【詳解】①錯誤，中包括0；②錯誤，中沒有任何元素；③錯誤，與之間為包含關(guān)系，不應(yīng)該用屬于符號；由③可知，④正確；⑤錯誤，中有兩個元素，中只有一個元素；⑥正確，有理數(shù)中包括整數(shù).故選：B例題2．（2024上·四川德陽·高一統(tǒng)考期末）若，則．【答案】2【分析】分類討論結(jié)合互異性即可得出答案.【詳解】因為，所以或，若，，不滿足互異性；若或2，又，所以，故答案為：2.例題3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，其中.(1)若集合中有且僅有一個元素，求實數(shù)組成的集合.(2)若集合中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）分類討論當(dāng)、時方程根的個數(shù)，即可求解；（2）由（1）可得或，再討論當(dāng)時的情況即可.【詳解】（1）若，方程化為，此時方程有且僅有一個根；若，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式，即時，方程有兩個相等的實根，此時集合A中有且僅有一個元素，∴所求集合；（2）集合A中至多有一個元素包括有兩種情況，①A中有且僅有一個元素，由（1）可知此時或，②A中一個元素也沒有，即，此時，且，解得，綜合①②知的取值范圍為或.練透核心考點1．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則a的值可能為（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，8【答案】D【分析】由集合與元素的關(guān)系分類討論即可求解.【詳解】由題意若，解得或，若，解得，當(dāng)時，滿足題意，當(dāng)時，違背了集合中元素間的互異性，當(dāng)時，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.2．（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）集合，若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是．【答案】或【分析】二次項系數(shù)進行分類討論，結(jié)合方程的根的性質(zhì)計算即可得.【詳解】當(dāng)時，，解得，故A中元素只有1個，符合要求；當(dāng)時，對，需，即；故答案為：或.3．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知集合.(1)當(dāng)時，求集合；(2)若集合只有2個子集，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)0或【分析】（1）代入求解出方程的解，則可知；（2）根據(jù)進行分類討論：當(dāng)時，根據(jù)（1）的結(jié)果分析即可，當(dāng)時，考慮的情況，由此可求結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，由解得，所以.（2）因為集合只有個子集，所以集合中只有個元素，當(dāng)時，，顯然滿足；當(dāng)時，若中只有個元素，只需滿足方程僅有個解，所以，解得，解方程可得，此時，滿足條件；綜上所述，的取值為0或高頻考點三：集合中元素的特性典型例題例題1．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）若集合中的三個元素分別為,則元素應(yīng)滿足的條件是．【答案】且且【分析】根據(jù)元素的互異性，列出不等式組，求解即可.【詳解】解：由元素的互異性，可知，解得:且且.故答案為：且且例題2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知集合若，則.【答案】【分析】先通過集合相等以及集合中元素的互異性求出，然后計算即可.【詳解】，，，且，得..故答案為：.例題3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，，則.【答案】【分析】首先利用集合與元素的關(guān)系和集合元素的特征得到或，即可得到答案.【詳解】解：因為，所以或或，解得或或，因為，所以或或，解得或或，又因為，所以或，即.故答案為：練透核心考點1．（多選）（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，且，則x的值可以為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】BC【詳解】∵，則有：若，則，此時，不符合題意，故舍去；若，則或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；綜上所述：或.故選：BC.2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）集合，若，則【答案】【分析】分和，并結(jié)合集合元素的互異性求解即可.【詳解】解：因為，所以，若，則可得或2，當(dāng)時，，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時，，滿足題意;若，則，此時，不滿足互異性，舍去；綜上故答案為：3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合}中各元素之和等于3，求實數(shù)的值，并用列舉法表示集合.【答案】答案見解析【分析】化簡方程為，分、和且，三種情況討論，結(jié)合元素的互異性和題設(shè)條件，即可求解.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性知，當(dāng)方程有重根時，重根只能算作集合的一個元素，由，當(dāng)時，可得，不符合題意；當(dāng)時，即時，可得，符合題意；當(dāng)且時，此時，可得，解得，此時，符合題意，綜上可得，實數(shù)的值為或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.高頻考點四：集合的表示方法典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合的元素個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．4 D．5【答案】A【分析】將的所有可能取值逐個代入計算即可得出集合，即可得集合的元素個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，共三個元素.故選：A.例題2．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)集合的定義求得，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可求得.【詳解】，又，，故集合為包含元素和，且為的子集，故集合可以為：，則集合的個數(shù)是個.故選：B.例題3．（2024下·上?！じ咭婚_學(xué)考試）用列舉法表示集合為：.【答案】【分析】對、的符號進行分類討論，求出的值，即可得出所求集合.【詳解】分以下幾種情況討論：①當(dāng)，時，；②當(dāng)，時，；③當(dāng)，時，；④當(dāng)，時，.綜上所述，.故答案為：.練透核心考點1．（2024上·四川雅安·高一?？计谀┘嫌昧信e法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出不等式后，由即可得.【詳解】由可得，又，故該集合為.故選：D.2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）集合的元素個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用，討論，可得答案.【詳解】因為，，，所以時；時；時；時；時，共有5個元素，故選：C.3．（2024上·上海嘉定·高三校考期中）已知集合，則集合用列舉法表示為.【答案】【分析】根據(jù)描述法表示的集合的意義，列舉集合中的元素.【詳解】，為單調(diào)遞減函數(shù)，值域為，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故答案為：高頻考點五：集合的基本關(guān)系典型例題例題1．（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學(xué)?？级＃┮阎?，，．（1）求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）分別求出集合與,然后將和集合取交集即可;（2）先求出,再由,可分和兩種情況討論,可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意,,解得,即集合,則或,又,所以;（2）,,若,則,解得;若,則,解得.故的取值范圍是或.【點睛】本題考查了集合間的交集、并集和補集的運算,考查了不等式的解法,考查了集合間的包含關(guān)系,考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于中檔題.例題2．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）當(dāng)時，按照并集定義，求出，再利用補集的定義，即可求解；（2）當(dāng)時，對集合是否為空集分類討論，確定集合的端點位置，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）時，集合，則；又，所以或.（2）若，當(dāng)，即，即；當(dāng)時，應(yīng)滿足，解得；綜上知，實數(shù)a的取值范圍是.例題3．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域為，的定義域為．(1)求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在上的最大值和最小值，即可得出集合；（2）求出集合，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可.【詳解】（1）解：因為在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時有最大值，且最大值為，當(dāng)時，有最小值，最小值為，所以．（2）解：由，得，解得，所以，，因為，所以，解得．故實數(shù)的取值范圍．練透核心考點1．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，．(1)求；(2)記關(guān)于的不等式的解集為，若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根據(jù)補集、交集的知識求得正確答案.（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）由解得，所以.由得或，解得或，所以，，所以.（2）由，解得，所以，要使，則需或，解得或.2．（2024上·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）已知集合或．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由補集、并集的概念即可求解.（2）由包含關(guān)系分類討論即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，或，所以，因此，.（2）當(dāng)時，則時，即當(dāng)時，成立，當(dāng)時，即當(dāng)時，即當(dāng)時，由，可得，解得，此時．綜上，，即實數(shù)的取值范圍是.3．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合．(1)求集合；(2)記或，若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先解一元二次不等式再應(yīng)用交集計算即可；（2）根據(jù)必要不充分得出集合間關(guān)系再列不等式組求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，可得或，，所以．（2）因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，又或，可得（等號不同時取到），解得，即實數(shù)的取值范圍是．高頻考點六：集合的運算典型例題例題1．（2024上·陜西西安·高一西安市西光中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一個非空集合，實數(shù)a的取值范圍.【答案】或且【分析】先考慮A，B為空集得出a的范圍，再利用補集思想求得結(jié)果.【詳解】對于集合A，由，解得;對于集合B，由，解得.因為A,B兩個集合中至少有一個集合不為空集,所以a的取值范圍是或，且故答案為：或且例題2．（2024上·山東菏澤·高一菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若滿足，則實數(shù)a的值為．【答案】－3【分析】根據(jù)交集定義，若，則且，從而討論集合的情況，確定實數(shù)a的值.【詳解】由題意可得，且，當(dāng)時，解得，此時，，，不符合題意，舍去；當(dāng)時，解得，當(dāng)時，，，中元素不滿足互異性，不符合題意，舍去，當(dāng)時，，，，符合題意，綜上所述，，故答案為：－3.例題3．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎?，，，其中(1)若；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出集合，，，利用交集定義能求出；（2）由，，得，由此能求出的取值范圍．【詳解】（1）集合或，，，；（2），，其中，解得，的取值范圍是練透核心考點1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，則，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】由題意可以先將所給集合化簡，若滿足，則，故只需根據(jù)包含關(guān)系列出不等式組求出參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意，或，若滿足，則，又因為，所以，解得.故答案為：.2．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若集合，，，則的最小值為.【答案】6【分析】先求出集合，然后由，從而求解.【詳解】由，解得，所以，因為，，所以，所以的最小值為.故答案為：.3．（2024上·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知全集為，，．(1)求；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)補集與交集的定義，計算即可；（2）根據(jù)得，由此列出不等式組求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因為，，所以或，所以；（2）因為，所以，又因為，時，，解得；時，，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是．高頻考點七：圖的應(yīng)用典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某小學(xué)對小學(xué)生的課外活動進行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動的有15人.問接受調(diào)查的小學(xué)生共有多少人？（

）A．120 B．144 C．177 D．192【答案】A【分析】用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，結(jié)合三個集合的容斥原理，即得解【詳解】如圖所示，用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學(xué)生分別用集合表示，則不妨設(shè)總?cè)藬?shù)為，韋恩圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為即由容斥原理：解得：故選：A例題2．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ行兄袑W(xué)?？计谀┒x集合運算且稱為集合A與集合B的差集；定義集合運算稱為集合A與集合B的對稱差，有以下4個等式：①；②；③；④，則4個等式中恒成立的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用題設(shè)中的新定義，可判定①正確；利用集合運算的韋恩圖法，可判定②正確、④錯誤；利用題設(shè)中的定義與集合的運算方法，可判定③正確.【詳解】對于①中，由，所以①正確；對于②中，由且，同理可得：,則，所以，所以表示的集合為圖（1）中陰影部分所表示的集合，如圖所示，同理，也表示圖（1）中陰影部分所表示的集合，所以，所以②正確；對于③中，由，所以③正確；對于④中，如圖（2）所示，可得，所以④錯誤.故選：B.例題3．（2024上·山東濱州·高一?？计谀┠嘲嗯e行數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學(xué)競賽的有27人，參加物理競賽的有25人，參加化學(xué)競賽的有27人，其中同時只參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，同時只參加物理、化學(xué)兩科的有7人，同時只參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科的有4人，則全班共有人．【答案】43【分析】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽的同學(xué)組成的集合分別為A、B、C，根據(jù)題意畫出維恩圖求解.【詳解】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽的同學(xué)組成的集合分別為A、B、C，由題意畫出維恩圖，如圖所示：

全班人數(shù)為（人）.故答案為：43練透核心考點1．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┮阎癁閁，集合M，N滿足，則下列運算結(jié)果為U的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，結(jié)合交并補的運算即可判斷選項【詳解】如圖，因為，所以，故A錯誤；因為，故B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確.故選：D2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開課，開設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂.已知秋季班課程共有90人報名，其中有45人報名舞蹈，有26人報名太極，有33人報名聲樂，同時報名舞蹈和報名聲樂的有8人，同時報名聲樂和報名太極的有5人，沒有人同時報名三門課程，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①同時報名舞蹈和報名太極的有3人；②只報名舞蹈的有36人；③只報名聲樂的有20人；④報名兩門課程的有14人.其中，所有正確結(jié)論的序號是.【答案】②③④【分析】畫出圖，結(jié)合圖形求出同時報名舞蹈和報名太極的人數(shù)，再逐一分析即可得解.【詳解】如圖，設(shè)同時報名舞蹈和報名太極的有x人，則，解得，所以同時報名舞蹈和報名太極的有1人，只報名舞蹈的有人，只報名聲樂的有人，報名兩門課程的有人.故答案為：②③④.

3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.【答案】3【分析】把大學(xué)社團50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合計算即得.【詳解】把大學(xué)社團50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有(人)，因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有(人)，因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有(人)，因此，至少看了一支短視頻的有(人)，所以沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.故答案為：3高頻考點八：集合新定義問題典型例題例題1．（2024上·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）記為非空集合A中的元素個數(shù)，定義.若，，且，設(shè)實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件可得或，再根據(jù)集合中的方程的根的個數(shù)，對參數(shù)進行分類討論即可求得實數(shù)的所有可能取值，即可得出結(jié)果.【詳解】由定義得，又，則或，由方程，得或，當(dāng)時，方程只有一個實數(shù)根，而方程有一根為0，則另一根必為0，，此時無實根，因此；當(dāng)時，必有，方程有兩個不相等的實數(shù)根，并且都不是方程的根，顯然方程有兩個相等的實數(shù)根，且異于，于是，解得或，當(dāng)時，方程的根為，滿足題意，當(dāng)時，方程的根為，滿足題意，因此或，所以，.故選：C例題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）大數(shù)據(jù)時代，需要對數(shù)據(jù)庫進行檢索，檢索過程中有時會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計算資源都會產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱直積，記為．即且．關(guān)于任意非空集合，下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】舉例說明判斷ABC；利用給定的定義結(jié)合集合運算的意義推理判斷D.【詳解】對于A，若，則，A錯誤；對于B，若，則，而，B錯誤；對于C，若，則，，，，C錯誤；對于D，任取元素，則且，則且，于是且，即，反之若任取元素，則且，因此且，即且，所以，即，D正確.故選：D例題3．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合中含有三個元素，同時滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，對于集合的非空子集，若中存在三個互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.【答案】(1)不具有，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）分取到的三個元素都是奇數(shù)和有偶數(shù)2，兩種情況比較三個條件，即可判斷；（2）首先根據(jù)性質(zhì)，確定集合，再根據(jù)“期待子集”的定義，確定集合是集合的“期待子集”；（3）首先證明充分性，存在三個互不相同的，使得均屬于證明滿足性質(zhì)的三個條件；再證明必要性，首先設(shè)滿足條件的，再證明均屬于，即可證明.【詳解】（1）集合不具有性質(zhì)，理由如下：（i）從集合中任取三個元素均為奇數(shù)時，為奇數(shù)，不滿足條件③（ii）從集合中任取三個元素有一個為，另外兩個為奇數(shù)時，不妨設(shè)，，則有，即，不滿足條件②，綜上所述，可得集合不具有性質(zhì).（2）證明：由是偶數(shù)，得實數(shù)是奇數(shù)，當(dāng)時，由，得，即，不合題意，當(dāng)時，由，得，即，或（舍），因為是偶數(shù)，所以集合，令，解得，顯然，所以集合是集合的“期待子集”得證.（3）證明：先證充分性：當(dāng)集合是集合的“期待子集”時，存在三個互不相同的，使得均屬于，不妨設(shè)，令，，，則，即滿足條件①，因為，所以，即滿足條件②，因為，所以為偶數(shù)，即滿足條件③，所以當(dāng)集合是集合的“期待子集”時，集合具有性質(zhì).再證必要性：當(dāng)集合具有性質(zhì)，則存在，同時滿足①；②；③為偶數(shù)，令，，，則由條件①得，由條件②得，由條件③得均為整數(shù)，因為，所以，且均為整數(shù)，所以，因為，所以均屬于，所以當(dāng)集合具有性質(zhì)時，集合是集合的“期待子集”.綜上所述，集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì).【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用“性質(zhì)”和“期待子集”的定義.練透核心考點1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合為實數(shù)集的非空子集，若對任意，，都有，，，則稱集合S為“完美集合”，給出下列命題：①若為“完美集合”，則一定有；②“完美集合”一定是無限集；③集合為“完美集合”；④若為“完美集合”，則滿足的任意集合也是“完美集合”.其中真命題是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】對于①③，可以利用完美集合的定義分析判斷，對于②④可以舉反例分析判斷.【詳解】對于①，若為“完美集合”，對任意的，，①對；對于②，完美集合不一定是無限集，例如，②錯；對于③，集合，在集合中任意取兩個元素，，，其中、、、為整數(shù)，則，，，集合為“完美集合”，③對；對于④，，，也滿足④，但是集合不是一個完美集合，④錯.故選：A.2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素且互不為對方的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】討論和，求得集合，再由新定義，得到的方程，即可解得的值．【詳解】解：集合，，，，若，則，即有；若，可得，，不滿足；若，兩個集合有公共元素，但互不為對方子集，可得或，解得或．綜上可得，或或2.故選：A.3．（2024上·北京通州·高一統(tǒng)考期末）已知有個連續(xù)正整數(shù)元素的有限集合（，），記有序數(shù)對，若對任意，，，且，A同時滿足下列條件，則稱為元完備數(shù)對.條件①：；條件②：.(1)試判斷是否存在3元完備數(shù)對和4元完備數(shù)對，并說明理由；(2)試證明不存在8元完備數(shù)對.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用元完備數(shù)對的定義推理判斷即得.（2）令，根據(jù)元完備數(shù)對的定義確定的所有可能情況，再導(dǎo)出矛盾即可.【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，不符合題意，所以不存在3元完備數(shù)對；當(dāng)時，當(dāng)，，，時，滿足且，符合題意，所以為4元完備數(shù)對.（2）假設(shè)存在8元完備數(shù)對，當(dāng)時，令，則，且，則有以下三種可能：①；②；③當(dāng)時，于是，即，由，得或，而，則有，因此，，…，，分別為1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，由得或，與已知矛盾，則當(dāng)時，不存在8元完備數(shù)對；當(dāng)或時，同理不存在8元完備數(shù)對，所以不存在8元完備數(shù)對.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及集合新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結(jié)合相關(guān)的其它知識，分類討論，進行推理判斷解決.第四部分：典型易錯題型1．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，若集合A中至多有一個元素，則實數(shù)a應(yīng)滿足（

）A． B． C．或 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分類求解即得.【詳解】因為集合中至多有一個元素，則：①當(dāng)時，只有一個元素，符合題意；②當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，于是，即，解得，所以實數(shù)a應(yīng)滿足或．故選：C2．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合的元素只有一個，則實數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無解【答案】C【分析】集合有一個元素，即方程有一解，分，兩種情況討論，即可得解.【詳解】集合有一個元素，即方程有一解，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，有一解，