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2024屆高三第二次五校聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前、考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)

應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1設(shè)全集U=R,&=｛小+1<°｝,集合3=｛刈1限芯<1｝,則集合@4）c5=（）

A[—1,2]B.(0,2)C.[—l,+oo)D.[—1,1)

2.已知z為復(fù)數(shù)且z-（l—i）=l+3i（i為虛數(shù)單位），則共軌復(fù)數(shù)三的虛部為（）

A.2B.2iC.-2D.-2i

3.已知等差數(shù)列｛4｝的公差d/0,且%,%，%成等比數(shù)列，則5=（）

d

A.2B.4C.5D.6

4."。=2"是"直線融+2y+2=0與直線x+（a-l）y+l=O平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

角的對(duì)邊分別為"c,若5：1”1=，3,0=3,432。=3，則

5.在銳角ABC中,

2

b+c

-----------=（）

sinB+sinC

A.這

n2而R2A/7n4721

333

6.甲、乙等6名高三同學(xué)計(jì)劃今年暑假在A5C,。，四個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)打卡游玩，若每個(gè)景點(diǎn)至少有

一個(gè)同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會(huì)選擇一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，且甲、乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游

玩，則不同游玩方法有（）

A.96種B.132種C.168種D.204種

7.已知不等式ow、+x>l—Inx有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.cD."1

?=i,則

8.已知實(shí)數(shù)X,y滿足工忖+-我+丁-4的取值范圍是（)

跖）)

A.4-2B.4,4C.D.

]2J

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.一組數(shù)據(jù)看,％2,…，不。是公差為-2的等差數(shù)列，若去掉首末兩項(xiàng)，則（）

A.平均數(shù)變大B.中位數(shù)沒(méi)變C.方差變小D.極差沒(méi)變

10.已知一ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若acosA=bcos5,貝U_ABC一定是等腰三角形

B.若cos（A-5）<05（3—0=1,貝UABC一定是等邊三角形

C.若acosC+ccosA=c,則一ABC一定是等腰三角形

D.若cos（2B+C）+cosC>0,則一ABC一定是鈍角三角形

11.已知正四面體O-A5C的棱長(zhǎng)為3,下列說(shuō)法正確的是（）

A.平面。與平面ABC夾角的余弦值為工

3

B.若點(diǎn)尸滿足OP=xQ4+yO3+（l—x—?jiǎng)t的最小值為的

C.在正四面體O-A5c內(nèi)部有一個(gè)可任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則它的體積可能為也

12

D.點(diǎn)。在一ABC內(nèi)，且|OQ|=2|QA|,則點(diǎn)。軌跡的長(zhǎng)度為馬魯兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若九為一組從小到大排列的數(shù)1,2,4,8,9,10的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式(也+｝］的展開(kāi)式的常數(shù)

項(xiàng)是.

13.已知拋物線。：丁=2°尤(0>0)的焦點(diǎn)為尸，拋物線。的準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物

線。相切于點(diǎn)尸，連接尸尸，在，AP尸中，設(shè)sin/R4/=2sinNAEP,則2的值為.

14.對(duì)于函數(shù)〃力=|8閡-陽(yáng)％當(dāng)該函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)中最大值為―當(dāng)該函

數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)這四個(gè)零點(diǎn)中最大值為夕，求(1+。卜in"。.".2"=_________.

a1_/

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=^+辦2+法+5,曲線y=/(x)在點(diǎn)尸處的切線方程為y=3x+l

(1)求a,b的值；

出求丁=/(力在［-2,2］上最大值和最小值.

16.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=\,BC=2,ZABC=60°,四邊形ACEF為正方形，且平面A8CZ)_L

平面ACEF.

(1)證明：ABLCF-,

(2)求點(diǎn)C到平面的距離；

(3)求平面BEP與平面尸夾角的正弦值.

17.現(xiàn)需要抽取甲、乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)正品和1個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)

正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再?gòu)脑撓渲械瓤赡艹槌鲆粋€(gè)商品，稱為首次檢驗(yàn).將

首次檢驗(yàn)的商品放回原來(lái)的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品，則通過(guò)檢驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲

箱或乙箱的概率均為g.

(1)求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率;

(2)在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；

(3)將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來(lái)的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首

次檢驗(yàn)選到的箱子中抽?。环桨付?，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過(guò)的概率大.

18.設(shè)圓f+y2+2x—15=0的圓心為A,直線/過(guò)點(diǎn)3(1,0)且與x軸不重合，/交圓A于CD兩點(diǎn)，

過(guò)8作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)E軌跡為曲線C,求曲線。的方程；

(2)曲線。與無(wú)軸交于A，4.點(diǎn)4在點(diǎn)人的右側(cè)，直線加交曲線。于點(diǎn)兩點(diǎn)(加不過(guò)點(diǎn)4),直

9

線與直線N%的斜率分別是匕,融且k&直線A.M和直線%N交于點(diǎn)P(x0,y0).

①探究直線〃z是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由；

②證明：%為定值，并求出該定值.

19.在數(shù)學(xué)中，把只能被自己和1整除的大于1自然數(shù)叫做素?cái)?shù)(質(zhì)數(shù)).歷史上研究素?cái)?shù)在自然數(shù)中分布

規(guī)律的公式有“費(fèi)馬數(shù)"22"+1(“WN)；還有“歐拉質(zhì)數(shù)多項(xiàng)式"：/+〃+41(〃eN).但經(jīng)后人研

究，這兩個(gè)公式也有局限性.現(xiàn)有一項(xiàng)利用素?cái)?shù)的數(shù)據(jù)加密技術(shù)一DZB數(shù)據(jù)加密協(xié)議：將一個(gè)既約分?jǐn)?shù)的分

子分母分別乘以同一個(gè)素?cái)?shù)，比如分?jǐn)?shù);的分子分母分別乘以同一個(gè)素?cái)?shù)19,就會(huì)得到加密數(shù)據(jù)一.這個(gè)

357

過(guò)程叫加密，逆過(guò)程叫解密.

511285458759

⑴數(shù)列｛4｝中a”,,久經(jīng)OZB數(shù)據(jù)加密協(xié)議加密后依次變?yōu)?一,——,---------.求經(jīng)解密還原的

I"341542786444

數(shù)據(jù)6,生,%的數(shù)值；

(2)依據(jù)％,。2，。3的數(shù)值寫(xiě)出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式(不用嚴(yán)格證明但要檢驗(yàn)符合).并求數(shù)列｛4｝前幾項(xiàng)

的和S”；

(3)為研究“歐拉質(zhì)數(shù)多項(xiàng)式”的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)〃x)=Y+x—1,。,力是方程/(x)=0的兩個(gè)根

/(4)

(。＞0,/'(同是/(力的導(dǎo)數(shù).設(shè)%=1,?！?15=1,2,).證明：對(duì)任意的正整數(shù)“，都有

f'M

生〉u?(本小題數(shù)列｛4｝不同于第(1)(2)小題)

參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1,設(shè)全集U=R,A={小+1<0},集合3=卜噂2]<1},則集合國(guó)A)c5=()

A.[-1,2]B.(0,2)C.[-l,+oo)D.[-1,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合A,3,再利用補(bǔ)集運(yùn)算求電A,最后求交集即可.

【詳解】由4=卜|%+1<0},

得4={尤|尤<_”,

由3={%|log?x<l},

得5={x|0<x<2},

故&力「5=（0,2）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)求值.屬于較易題.

2.已知z為復(fù)數(shù)且z-（l-i）=l+3i（i為虛數(shù)單位），則共物復(fù)數(shù)三的虛部為（）

A.2B.2iD.-2i

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,即可得到其共輾復(fù)數(shù)，從而得到其虛部.

2

l+3i_(l+3i)(l+i)_i+j+3i+3i

【詳解】解：因?yàn)閦-（l—i）=l+3i,所以=-l+2i,

1-i-(l-i)(l+i)2

所以I=_l_2i，則共輾復(fù)數(shù)［的虛部為—2.

故選：C

3.已知等差數(shù)列{4}的公差dwO,且%,%，%成等比數(shù)列，則5=（）

d

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)列方程，化簡(jiǎn)求得正確答案.

【詳解】依題意，｛4｝是等差數(shù)列，且％,。3，%成等比數(shù)列，

所以a；=q?%,(%+2d1=q(q+6d),

*2

a；+4qd+4J=a；+6/d,2d?=axd,

由于dwO,所以q=2d,色=2.

d

故選：A

4.“a=2”是“直線改+2y+2=0與直線x+(a—l)y+l=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】代入。=2,可得兩直線為同一直線，可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)4=2時(shí)，

直線ar+2y+2=0即直線2x+2y+2-0=>x+y+l-0,

直線x+(a-l)y+l=0即直線直線x+y+l=0,

所以兩直線重合，

故選：D.

5.在銳角ABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為a,dc,若sinA==3,A5-AC=3，則

2

sinB+sinC

右

A3R2向R2A/7n4721

2333

【答案】B

【解析】

h-\-ca

【分析】由已知條件結(jié)合向量數(shù)量積的定義、余弦定理求出〃，由正弦定理可得1--------；—=「，化簡(jiǎn)

siiiB+sinCsinA

即可得到答案.

【詳解】因?yàn)橐籄5c為銳角三角形，sinA=—，所以A=60，由AC=McosA=3，則〃=2,

2

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=7?即a=J7，

由正弦定理可得：———=q=及1=2應(yīng).

sinB+sinCsinAsin603

故選：B.

6.甲、乙等6名高三同學(xué)計(jì)劃今年暑假在ABC,。，四個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)打卡游玩，若每個(gè)景點(diǎn)至少有

一個(gè)同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會(huì)選擇一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，且甲、乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游

玩，則不同游玩方法有（）

A.96種B.132種C.168種D.204種

【答案】C

【解析】

【分析】各級(jí)題意，剩下4人去其他兩個(gè)景點(diǎn)游戲，由此按旅游的人數(shù)2種情況討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原

理，即可求解.

【詳解】由題意，甲、乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游戲，

則剩下的4人去其他兩個(gè)景點(diǎn)游戲，則其余4為主播有兩種情況：

①若3為主播去一個(gè)景點(diǎn)，1為主播去另一個(gè)景點(diǎn)，有A；C：A；=96種不同游戲方法；

C2c2

②分別都是2為主播去一個(gè)景點(diǎn)，有A；=72種不同游戲方法,

由分類計(jì)數(shù)原理得，共有96+72=168種.

故選：C.

7.已知不等式—lux有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.T，+oo]BJ-.+S]cl/]DJV]

【答案】A

【解析】

【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為a〉1—,構(gòu)造函數(shù)〃x)=f二利用導(dǎo)數(shù)法求出/(切加」

即為所求.

1_y_]nx(1—x—Inx?

詳解】不等式axe'+x>l—Inx有解，即a>---------,%>0,只需要?！?-----;—,

A

xeIxeJmin

令〃X)=E^,

"⑺=(川)(停+晨),”，

xe

令g(x)=x-2+lnx,x>0,

,

.-..g(x)=l+->0,所以函數(shù)g(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增，

又g(l)=T<。，g(2)=ln2>0,所以存在尤oe(l,2),使得且小”。,即/—2+lnx()=。,

/.xe(0,x0),g(x)<0,即/'(x)v0；XG(如+"),g(x)>0,即/'(x)>0,

所以函數(shù)/(%)在(o,%)上單調(diào)遞減，在(%,-卜8)上單調(diào)遞增，

??/(%0)=而，又由Xo-2+lnXo==0,可得Xoe"=e2,

xoe

.f(YIfTn/_1一玉)+/_2__L

…八"—*。"e2e

1

ci>——.

e

故選：A.

1-三步，x>0,構(gòu)造函數(shù)/(x)=l—：；lnx,利用導(dǎo)數(shù)

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Q>—

求出了(九)的最小值，即只要a〉/(?..

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足蟲(chóng)+?=1,則G

x+y—4的取值范圍是()

r76jrV6j

A.14-V^,2)B,14-

L2JL2J

【答案】B

【解析】

【分析】

將實(shí)數(shù)x,y滿足X忖+望=1通過(guò)討論x,y得到其圖像是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖

像分析可得|氐+V-4|的取值就是圖像上一點(diǎn)到直線6x+y-4=0距離范圍的2倍，求出切線方程根

據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)x,y滿足X忖+半=1,

2

所以當(dāng)時(shí)，上+》2=1其圖像位于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓第一象限，

3

2

當(dāng)%>0,yv0時(shí)，/—匕=i其圖像位于焦點(diǎn)在工軸上的雙曲線第四象限，

3

2

當(dāng)x<0,y>0時(shí)，2__X2=1其圖像位于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線第二象限，

3

2

當(dāng)x<0,y<0時(shí)，—匕一必=1其圖像不存在，

3

作出圓錐曲線和雙曲線的圖像如下，其中可乂+?=1圖像如下:

任意一點(diǎn)(x,y)到直線Jir+y—4=0的距離d=

所以|6x+y-]=2d

結(jié)合圖像可得4的范圍就是圖像上一點(diǎn)到直線gr+y—4=0距離范圍的2倍,

雙曲線三_=1,三―V=1其中一條漸近線氐+y=0與直線顯+y—4=0平行

通過(guò)圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于P時(shí)，2d取得最小值

當(dāng)曲線上一點(diǎn)靠近雙曲線的漸近線JL+y=0時(shí)2d取得最大值，不能取等號(hào)

2

設(shè)后+>+。=0(。<0)與、+爐=1其圖像在第一象限相切于點(diǎn)p

-J3x+y+c=0

22

由<,,2n6x+26cx+c-3=0

匕+1

I3

因?yàn)锳=(2瓜?了x-4x6x卜?-3）=0=>c=-或c=?（舍去）

所以直線出x+y—、笈=0與直線6+y—4=0的距離為卜4+，可

2

此時(shí)+y-41二2d=4-a

直線百x+y=0與直線"c+y—4=0的距離為卜；°=2

此時(shí)+y—4=2d=4

所以?+y-4的取值范圍是［4-訪4)

故選：B

【點(diǎn)睛】三種距離公式：

(1)兩點(diǎn)間的距離公式：

平面上任意兩點(diǎn)I?,%),￡(%，必),間的距離公式為|《巴|=-%)?+(%-%)2；

(2)點(diǎn)到直線的距離公式：

7|Ax,+By,+CI

點(diǎn)耳（X1,%）到直線l:Ax+By+C^Q的距離d=—［履產(chǎn)一

(3)兩平行直線間的距離公式:

IC-CJ

兩條平行直線Ac+3y+G=0與不+3>+。2=0間的距離1=

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.一組數(shù)據(jù)看,馬，-，X1O是公差為-2的等差數(shù)列，若去掉首末兩項(xiàng)，則()

A.平均數(shù)變大B.中位數(shù)沒(méi)變C.方差變小D.極差沒(méi)變

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的定義，判斷作答.

【詳解】數(shù)據(jù)看,乙，，內(nèi)0是公差為—2的等差數(shù)列，

56

對(duì)于A,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=高2%=—X5(X5+X6)=9>

1Uj=i102

去掉首末兩項(xiàng)后的平均數(shù)兀=：￡%=：x4(X5+X6)=石/，即平均數(shù)不變，A不正確；

8i=232

對(duì)于B,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為玉土氣,去掉首末兩項(xiàng)后的中位數(shù)為玉旦，即中位數(shù)不變，B正確；

22

對(duì)于C,原數(shù)據(jù)的方差

s；=^[92+72+52+32+12+(-1)2+(-3)2+(-5)2+(-7)2+(-9)2]=33，

去掉首末兩項(xiàng)后的方差

s2-^1)2=1[72+52+32+12+(-1)2+(-3)2+(-5)2+(-7)2]=21,即方差變小，C正

8i=22o

確；

對(duì)于D,原數(shù)據(jù)的極差占-苞0=18,去掉首末兩項(xiàng)后的極差%=14,即極差變小，D不正確.

故選：BC

10.已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列說(shuō)法中正確的是()

A.若acosA=bcos3,則ABC一定是等腰三角形

B.若cosQl-BAcosCB—C)=l,則一ABC一定是等邊三角形

C.若acosC+ccosA=c,則1ABe一定是等腰三角形

D.若cos(2B+C)+cosC>0,貝U-ABC一定是鈍角三角形

【答案】BCD

【解析】

7T

【分析】對(duì)于A：利用正弦定理得到A=B或A+3=—,即可判斷；對(duì)于B：由余弦函數(shù)的有界性求出

2

TT

A=B=C=-,即可判斷；對(duì)于C：由余弦定理求出人二C,即可判斷；對(duì)于D：利用三角公式判斷出

3

cos5Vo或cosA<0,即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閍cosA=bcos5,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,

所以sin2A=sin2B.

因?yàn)锳,5為.ABC的內(nèi)角，所以2A=25或2A+25=兀，

jr

所以A=5或A+3=—.所以,ABC是等腰三角形或直角三角形.錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B：由余弦函數(shù)有界性可知：若-"cos（A-5）Wl,TWcos（5-C）WL

因?yàn)閏os（A—5）?1（B-C）=,所以<305（74—5）=1,<205（8—。）=1或

cos（A-B）=-1,cos（B-C）=-1.

當(dāng)cos（A_5）=l,cos（5—C）=W也有A=§且3=c,所以A=3=C=],

所以.ABC是等邊三角形.

當(dāng)cos（A—5）=—l,cos（_B—C）=—1時(shí)，有A—3=兀且3—C=兀，不符合題意.

所以.ABC一定是等邊三角形.正確；

對(duì)于C：因?yàn)閍cosC+ccosA=c,由余弦定理得：々”.一一+，+入』一二一,

2ab2bc

所以2。2=2"，所以b=c,貝UABC一定是等腰三角形.正確；

對(duì)于D：在ABC中，A+B+C=n,所以cos（25+C）=COS（6+TI-A）=-cos（5—A）

cosC=cos（7i-A-B）=-COS（A+B）.

所以85（25+。）+<?5。=一85（5-4）-85（5+4）>0,

所以coslB-Aj+coslB+AjvO,ip2cosBcosA<0,所以cos3<0或cosA<0.

所以.ABC一定是鈍角三角形，正確.

故選：BCD

11.已知正四面體O-A5c的棱長(zhǎng)為3,下列說(shuō)法正確的是（）

A.平面。45與平面ABC夾角的余弦值為工

3

B.若點(diǎn)P滿足QP=xQ4+yO5+(l—x—y)OC,則|。網(wǎng)的最小值為布

在正四面體O-A5C內(nèi)部有一個(gè)可任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則它的體積可能為《2

C.

12

點(diǎn)。在ABC內(nèi)，且|OQ|=2|QA|,則點(diǎn)。軌跡的長(zhǎng)度為名裂兀

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】于A,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，結(jié)合法向量夾角余弦公式即可驗(yàn)算；對(duì)

于B,可得RAB,。，故只需求出。到面ABC的距離驗(yàn)算即可；對(duì)于C,用大正四面體內(nèi)切球半徑與小

四面體外接球半徑(含參)比較大小，得出參數(shù)(體積)范圍即可判斷；對(duì)于D,用幾何法得出點(diǎn)。的軌跡

不是一個(gè)完整的圓即可判斷.

【詳解】將正四面體補(bǔ)全為正方體，并如圖建系,

f3A/23后］(3723^23。

,B

(22J4。￥筆。I222J

AC

OBABM

設(shè)面Q4B的一個(gè)法向量4=(石,Ni，zJ,面ABC的一個(gè)法向量%=(x2,y2,z2),

%+X=0一必+z?=0

所以《,取X=-1,%2=1，解得X=4=%=Z2=1，

再+4=0—%2+Z2=0

所以面Q43的一個(gè)法向量弭=(-1,1,1),面ABC的一個(gè)法向量々=(1,1,1),

設(shè)平面Q43與平面ABC夾角為a,cosa=卜05々,%|=＞不凸=；1時(shí)，A對(duì).

3

OP=xOA+yOB+(l-x-y)OC,則P,A,5c共面，正四面體棱長(zhǎng)為3,則正方體棱長(zhǎng)為手,

所以引乎”1叫『"\OA=-n^正\3J2=技1-B對(duì).

大正四面體內(nèi)切球半徑逅.3=直，小正四面體棱長(zhǎng)為。，此外接球半徑逅〃,

1244

C對(duì).

412哈

分別在Q4上取2使Q】A=1,延長(zhǎng)Q4至。2使02A=3,

0。=2。A,&。=2Q2A,取Qi,Q2的中點(diǎn)”，。在以“為球心，

；。。2=2為半徑的球面上，且。在」RC內(nèi)，作M在平面ABC上的射影

，MM'=*xl=豐,.?.M'Q=T|=等，。為圖中RS,顯然不是一個(gè)完整的圓,

，Q的軌跡長(zhǎng)度不為2兀?畫(huà)=拽。兀，D錯(cuò).

33

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是得到四點(diǎn)共面，轉(zhuǎn)換為驗(yàn)算點(diǎn)面距離即可順利得解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若〃為一組從小到大排列的數(shù)1,2,4,8,9,10的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)

項(xiàng)是.

【答案】7

【解析】

【分析】首先算出第六十百分位數(shù)，然后寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，再;(8-r)+(-r)=0nr=2,最后得到常

數(shù)項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)?x60%=3.6,

所以第六十百分位數(shù)為8,

又二項(xiàng)式的通項(xiàng)為爐xgjx—y,

令:(8-r)+(-r)=0=>r=2,

所以常數(shù)項(xiàng)為=7,

故答案為：7.

13.已知拋物線C：V=2px(〃>0)的焦點(diǎn)為尸，拋物線C的準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物

線。相切于點(diǎn)尸，連接PR,在11Ap產(chǎn)中，設(shè)sin/R4尸=2sin/AEP,則X的值為.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)尸在準(zhǔn)線上的射影為Q,貝“班1=|PQ|，設(shè)Q4的方程為y=4+9,聯(lián)立方程組，結(jié)合

A=0,求得左=±1,得到sin/P4Q=正，在，AP產(chǎn)中，利用正弦定理，即可求解.

2

【詳解】由拋物線C：V=2px(p>0),可得焦點(diǎn)歹(g,0),準(zhǔn)線方程為》=-5,則A(—々,0),

設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為Q,則歸目=|尸。，

因?yàn)橹本€AP與拋物線C相切，設(shè)E4的方程為y=k(x+g)(k豐0),

7/

y=k(xH—P、)n

聯(lián)立方程組12,整理得上2/+(左2一2)內(nèi)+—1°2左2=0,

P2=2Opx4

所以△=(左2—2)202—°2左4=0,解得左=±1,所以sin/PAQ=*，

在APF中，由正弦定理可知2=半緇=萼=黑=5布/巳4。=坐.

sinZAFP\PA\|PA|2

故答案為：—.

2

14.對(duì)于函數(shù)〃力=卜0閡-丘(x?0),當(dāng)該函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)中最大值為％當(dāng)該函

(l+a)sin2a(^1+)32^cos2j3

數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)這四個(gè)零點(diǎn)中最大值為夕，求

a1—加

【答案】-3

【解析】

【分析】函數(shù)/(%)=|cosx|-kx[x>0)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=|cos%|與直線y=kx(x>0)有且只有兩個(gè)

交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：y=|cosx|與直線y=Ax(xNO)在點(diǎn)A相切，函數(shù)/(%)="。對(duì)一陽(yáng)xNO)恰有四

個(gè)個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于丁=k。對(duì)與直線y=Ax(xNO)有且只有四個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：y=|cosx|與直線

y=kx(X20)在3點(diǎn)相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及三角恒等變換化簡(jiǎn)可得答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=|cosx|-kx(x>0)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=|cosx|與直線y=依(x20)有且只有兩

個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)"X)=|cosx|-"0)恰有四個(gè)個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=|co&x|與直線y=kx{x>0)有且只有

四個(gè)交點(diǎn)，y=kosx|與直線y=Ax(x?0)的圖象如下:

根據(jù)圖象可知，y=|cosx|與直線y=Ax(xNO)有且只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則y=|cosx|與y=履在點(diǎn)A處

相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=rx>5,所以y'=sinx,則左=sina,又

（2

c1cosa、

2l+——sinacosa

1+tz2|sin2tz[sina）

-cosa=ka,所以-cosa=asina,則-----=-2

acosa

sin。

同理，y=|coW與直線'=依(x'O)有且只有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則丁=卜0朗|與丁=近在點(diǎn)8處相切，且切

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為夕，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=co歌，所以y'=_sinx,則左=-sin/7,又

］（852夕—sin?夕）

cos/3=k/3,所以cos/7=-/?sin〃，則?、藕効?/p>

\一Bco//3

1一女

所以（1+42卜in2a（1+尸2）cos2萬(wàn)

a\一01

故答案為：-3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(%)=依2+法+5,曲線y=/(x)在點(diǎn)夕(1］⑴)處的切線方程為y=3%+1

（1）求a,b的值;

(2)求y="可在［-2,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1)a=23=-4

95

(2)最大值為13,最小值為一.

27

【解析】

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組求解

(2)由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性后求解

【小問(wèn)1詳解】

依題意可知點(diǎn)尸(L/(l))為切點(diǎn)，代入切線方程y=3x+l可得/(l)=3xl+l=4.

〃l)=l+a+b+5=4,即a+Z?=-2,

又由/(%)=d+ax1+bx+5得，/r(x)=3x2+2or+Z?,

而由切線丁=3x+1的斜率可知/'(1)=3

3+2a+Z?=3,即2a+/?=0,

。+Z?=—2

由＜c7c，解得a=21=-4

2a+b=Q

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知/(x)=x3+2x2-4x+5,

/f(x)=3x2+4%-4=(3x-2)(%+2),

2

令廣(x)=0,得x=§或x=_2,

當(dāng)x變化時(shí)，/?,/'(九)的變化情況如下表:

(-2$2

X-22

3G⑵

/’(%)0—0+

95

fM13單調(diào)遞減單調(diào)遞增13

27

295

/(尤)最大值為13,最小值為f

27

16.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=1,BC=1,ZABC=60°,四邊形ACE尸為正方形，且平面A8CD_L

平面ACEF.

(1)證明：ABVCF-,

(2)求點(diǎn)C到平面8所的距離；

(3)求平面8跖與平面F夾角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵烏

2

⑶叵

4

【解析】

【分析】⑴利用余弦定理計(jì)算AC,再證明AC即可推理作答.

⑵以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB,AC,AF分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算

點(diǎn)C到平面2跖的距離.

(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.

【小問(wèn)1詳解】

在YABCD中，AB=1,BC=2,ZABC=60°,由余弦定理AC?=AB?+5。？一^CcosNABC得，

AC2=l2+22-2xlx2cos60=3,即AC=6，<AC2+AB2=4=BC2>則/胡。=90，即

ABJ.AC,

因平面ABC。，平面ACER平面ABCDc平面ACEF=AC,ABu平面ABC。，

于是得AB工平面ACEF,又CFu平面ACEF,

所以ABLCF

【小問(wèn)2詳解】

因四邊形AC所為正方形，即AFLAC,由(1)知AB,AC,AF兩兩垂直,

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB,AC,A尸分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

A(0,0,0),B(1,O,O),C(O,百,0),F(0,0,5D(-l,省,0),E(0,0,6),

FE=(0,瓜0),BF=(-1,0,而,設(shè)平面5跖的一個(gè)法向量zj,

n-FE=y/3y,=0「

則,令4=1,得〃=(6,0,l),

n?BF--玉+<3z\-0

l_,\n-BC\|-lxV3|6

而3C=(-1,V3,0),于是得點(diǎn)C到平面BEF的距曷d=―——=J(若產(chǎn)?=~2

所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為B

2

【小問(wèn)3詳解】

由(2)知，AF=(0,0,73),AD=(-1,A0),設(shè)平面AD尸的一個(gè)法向量加=(%,%，z2)，

m?AF=A^Z2=0

則廠，令%=1，得加=(6,1,0),

m,AD=—x2+，3y2=0

m-n73x733JI

cos(m,ri)=W，設(shè)平面5石方與平面A/夾角為e,0G(O,—],

I向〃I/局+儼x7(V3)2+12。

則有cos6=|cos(m,n)h-,sin0=71-cos26*=—,

44

所以平面3所與平面AD尸夾角的正弦值為巨

4

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用

方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.

17.現(xiàn)需要抽取甲、乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)正品和1個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)

正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再?gòu)脑撓渲械瓤赡艹槌鲆粋€(gè)商品，稱為首次檢驗(yàn).將

首次檢驗(yàn)的商品放回原來(lái)的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品，則通過(guò)檢驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲

箱或乙箱的概率均為3.

(1)求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率；

(2)在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；

(3)將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來(lái)的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首

次檢驗(yàn)選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過(guò)的概率大.

17

【答案】(1)—

20

⑵—

17

(3)方案一

【解析】

【分析】(1)按照條件概率的計(jì)算公式即可得出答案；

(2)按照貝葉斯逆向概率公式代入即可求解；

(3)由前面的小問(wèn)得出的結(jié)論分別計(jì)算兩種方案在二次檢驗(yàn)抽到合格品的概率，比較大小，從而選擇決策

方案.

【小問(wèn)1詳解】

將首次檢驗(yàn)選到甲箱記為事件4,選到乙箱記為事件4,首次檢驗(yàn)抽到合格品記為事件B.

則首次檢驗(yàn)抽到合格品的概率

p(B)=p(A)P(B|A)+m)^lA)=|x-1)+|xA=1I.

乙J.\j乙J.\JZJxJ

【小問(wèn)2詳解】

在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率

19

⑷)-P⑻-P⑻-17-17-

20

小問(wèn)3詳解】

將二次檢驗(yàn)抽到合格品記為事件C.

由上一小問(wèn)可知，在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率「(4忸)=蔣,

nQ

則在首次抽到合格品的條件下，首次抽到乙箱的概率p（4|5）=i--=—.

。（。忸）=P（CA⑻+網(wǎng)超忸）=筆黑+勺^

_P（A§）P（CAB）P（AB）P（C42JB）

=