解三角形大題綜合-2024沖刺雙一流之大題精選（解析版）

解三角形大題綜合（新高考）

一、解答題

1.（2023?廣東深蚪?？家荒＃┮阎鰽BC的內(nèi)角4。的對(duì)邊分別為a,6,c,5.V3bcosA^B=

csinB.

⑴求。；

（2）若a+6=V3c,求sinA.

2.（2023?廣東汕頭?統(tǒng)考三模）在銳角△ABO中，內(nèi)角4氏。的對(duì)邊分別為a,b,c,且c—2bcosA=b.

（1）求證：A=2B；

（2）若4的角平分線交于。，且c=2,求△4BD面積的取值范圍.

?1?

3.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模)已知△48。為銳角三角形，且cos_A+sinB=V3(sinyl+cosB).

⑴若。，求4

o

(2)已知點(diǎn)。在邊4。上，且AD=BD=2,求。。的取值范圍.

4.(2023?廣東廣州?廣州市第二中學(xué)?？寄M頸測(cè))在中，a、b、c分別是角4B、C的對(duì)邊，向量抗

=(2sinB,2—cos2B),n=(^2sin2^-^-+旁),-1),抗_L亢.

(1)求角石的大??；

(2)若a6=1,求c的值.

?2?

5.(2023?廣東廣州?廣州六中?？既?記△ABC的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知＞1為鈍角，asimB

=bcosB.

⑴若。=",求4；

o

(2)求cosA+cosB+cos。的取值范圍.

6.(2023?廣東佛山??？寄M演測(cè))在△ABC中，角A8,。的對(duì)邊為。也c,c?sinA=a?cos。,設(shè)△ABC的

面積為SS—￡~~bc.

4

(1)求角石的大??；

(2)若a=3,過(guò)△AB。的重心點(diǎn)G的直線I與邊a,c的交點(diǎn)分別為E,F,互方=ABE,BA=〃而,請(qǐng)計(jì)算A

+〃的值.

?3?

7.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校才模擬fl（瀏）已知/（二）=sin/cos/+V3cos2a;-g（2）=f（x—3）,0<d

.，且g?的圖象關(guān)于點(diǎn)（。0）對(duì)稱.

⑴求心

⑵設(shè)△ABC的角43、。所對(duì)的邊依次為a、b、c,外接圓半徑為足且g（*）=-±,b=l,R=零.

若點(diǎn)D為BC邊上靠近B的三等分點(diǎn),求AD的長(zhǎng)度.

8.（2023?廣東佛山??？寄M演瀏）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB，BG4B=BC=2,PA=PC=V10,

PB=44,設(shè)點(diǎn)。為PB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求△QA。面積的最小值；

（2）求平面PAB與平面ABC的夾角的余弦值.

-4■

9.（2023?廣東惠州?統(tǒng)考模赧II測(cè)）條件①acosB=c+^b,

條件②sin4-sinC_sinB+sin。

、ba+c

條件③V36sin^y^-=asinB.

請(qǐng)從上述三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答.

已知△ABC的內(nèi)角A.B,。所對(duì)的邊分別為a、6、c,且滿足

⑴求4

（2）若AD是/R4C的角平分線，且AD=1,求2b+c的最小值.

10.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知3C為O。的直徑，點(diǎn)4P在。。上，⑷9，BC,垂足為口,

交4D于L且AE=BE.

(1)求證：AB=AF；

⑵如果sinZFBC=*,A3=人后,求AD的長(zhǎng).

5

?5?

IL（2023?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考模擬H測(cè)）在AABC中，1AB=BC=V^,點(diǎn)、P為44BC內(nèi)一點(diǎn).

（1）若PA==乎（圖1），求&PBC的面積；

（2）若/4?6=爭(zhēng)（圖2）,求PC的最小值.

12.（2023-r東佛山?統(tǒng)考一模）在銳角三角形4ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,無(wú)為耳在演

方向上的投影向量,且滿足2csinB=，^|①

（1）求cos。的值；

（2）若6=V3,a=3ccosB，求4ABe的周長(zhǎng).

,6,

13.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）已知△4B。的內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為Q,b,c,且a=b+2bcosC.

（1）求證：C—2B.

（2）求的取值范圍.

0

14.（2023-r東濠加?統(tǒng)考一模）記△ABC的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b+c=2asin（c+聿）.

⑴求4

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為D,若CD=a，且b—c=l,求△ABC的的面積.

?7?

15.(2023?廣東江門?第T一模)在銳角△ABC中，角ABC的對(duì)邊分別為“Ac,且三%,二三依

tanBsinAtanC

次組成等差數(shù)列.

⑴求9的值；

be

(2)若6>c,求“包的取值范圍.

a

16.(2023?廣東?校暇才模擬預(yù)測(cè))已知△ABC中，內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為&匕。且匕=4,4=?

(2—V3)tanB=V3.

(1)求AB;

(2)若4ABD與△A3。在同一個(gè)平面內(nèi)，且Z.ADB=],求CD的最大值.

?8?

17.（2023?廣東廣州?穌考■一模）記△ABC的內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為a、6、c.己知acos2g+ccos2y

3,

~2b-

（1）證明：sinA+sinC=2sinB；

（2）若b=2,荏酉=3,求△ABC的面積.

18.（2023-r賽茂名?《1考二模）在AABC中，角43,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足tanB=

sin（C+專）

⑴求4

（2）若D為邊B。上一點(diǎn),且2CD=4D=BD,試判斷4ABC的形狀.

-9-

19.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考二模）如圖,在平面四邊形ABCD中，ZADC=90°,AB=遍，2,設(shè)

ACAD=e.

⑴當(dāng)。=45°時(shí)，求BD的長(zhǎng);

（2）求的最大值.

20.（2023-r東注江?統(tǒng)考1二M）在4ABC中，角的對(duì)邊分別為a,6,c,且/+°2=&2—be.

⑴求4

（2）若bsinA=4sinB,且Igb+Ige1-2cos（B+。），求△ABC面積的取值范圍.

?10?

21.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）記△ABC的內(nèi)角A>。的對(duì)邊分別為a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c.

⑴求4

（2）若點(diǎn)D在B。邊上，且CD=2BD,cosB=乎，求tan/A4D

o

22.（2023?廣東深圳??？级?）記4ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知sinBsinCcos2^=

2sin2A.

（1）證明：b+c=3a；

⑵若角B的平分線交AC于點(diǎn)D,且加=呼，嘿■=得,求△⑷的面積.

3i-zC/N

?11?

23.(2023-r東佛山?華南舜大席中青海實(shí)驗(yàn)擊中?？寄M預(yù)測(cè))在AABC中，角4B,。所對(duì)的邊分別為,

b,c.已知2sinB=sinA+cosA,tanC.

(1)求。的值；

(2)若△ABC的內(nèi)切圓半徑為1,求a—c.

24.(2023-r東廣州總考模板fit測(cè))記4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“Ac,已知cos幺/=2siny.

(1)證明：a+。=2b；

(2)若△AB。的面積為S,求的最大值.

-12?

25.(2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模)已知△ABC中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且ccosA=b+].

(1)求角。的大??；

⑵若4C=BC=2,點(diǎn)2W、N在邊上，求△CMV面積的最小值.

O

26.(2023?廣東注江?統(tǒng)考一模)在△48。中，內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知?=2cos管—

⑴求4

(2)若△ABC的面積為考L6=2,求a.

?13?

27.(2023?廣東珠海??摩?海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既?已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊，B

=紅，且a+csinA=ccos%

3cos。sin。

(1)求角。的大小；

(2)若△ABC的外接圓面積為3兀，求BC邊上的中線長(zhǎng).

28.(2023?廣東廣州?廣州市培正中學(xué)校才模擬預(yù)測(cè))在銳角44BC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

2c2=(a2+c2-62)(tanA+tanB).

(1)求角y1的大??；

(2)若邊a=2,邊的中點(diǎn)為。，求中線4。長(zhǎng)的取值范圍.

?14.

29.（2023?廣東?統(tǒng)考模擬fl測(cè)）如圖，A4BC的面積為8,記內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為a",c,已知6=8,

8cosc+ccosB=V2acosZBAC.

C

⑴求c的值；

⑵已知點(diǎn)Al在線段AC上，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，若/ANM=1，求sinZAAW.

?15?

解三角形大題綜合（新高考）

一、解答題

1.（2023?廣東深圳??？家荒＃┮阎鰽BC的內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊分別為a,6,c,5.V3bcosA^B=

csinB.

⑴求。；

（2）若a+6=c,求sin4

【答案】⑴。=三

⑵或1.

【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；

（2）方法一:根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；方法二：利用余弦定理解三

角形，分析運(yùn)算.

【詳解】⑴由正弦定理b口=.0「，得，^sinBcos，+，=sinCsinB,

smnsmC2

因?yàn)锽G（0,兀）,則sinBW0,所以cos"''—sin。，

因?yàn)橄?6+0=兀，所以cos（，,。）=cos（￡■—亨）=sin1?.

所以V3sin-^-=2sin-^-cos-^-.

因?yàn)?。e（0,兀），則今e（04），可得sin9W0,所以cos冬二

則考■=[■,所以。二卷.

263

⑵方法一：因?yàn)閍+6=V3c,由正弦定理.°_=b=..得siii24+siii8=A/^siiiC=",

smAsmBsmC2

因?yàn)?4+6=兀一看=?,

oo

所以sinA+sinB=sinA+sinIQ

cosA+-^-sinA=-1-sinA+-^-cosA=V3sinfA+咚）=3

=sinA+

22216，2

V3

耳7sin

2,

因?yàn)锳?（0,兀），則4+￡e（譚-，/），所以么+看或?qū)＃?/p>

6v667633

所以4=個(gè)或白，故sinA=，■或1.

622

方法二：因?yàn)?。二S，由余弦定理得（?=a2+b2—ab^）,

O

將c—（Q+6）代入（*）式得；（Q+b）2=—ab,整理得2Q?—5ab+2b2=0,

oo

因式分解得（2a—b）（a—2b）=0,解得a=2b或b=2Q,

①當(dāng)a=2b時(shí)，c=V3b,

b2+3b2-4b2

所以cosA0,

2bc2V3b2

?1?

因?yàn)锳C（0,兀），所以4=

②當(dāng)b=2a時(shí)，c=V3a,

fe2+c2-a2_4a2+32-2

所以，cos＞l=Qa

2bc~4V3a2一2，

因?yàn)锳“，所以A.

所以sinj4的值為：-或1.

2.(2023?廣東汕頭?統(tǒng)考三模)在銳角△ABC中，內(nèi)角4R,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且c—2fecosA=b.

⑴求證:A=2B；

(2)若4的角平分線交BC于。，且c=2,求面積的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)正弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)椤?2bcosA=b,由正弦定理得sin。一2sinBcosA=sinB

又_4+_8+。=兀，所以sin(A+B)—2sinBcosA=sinAcosB—cosAsinB=sin(A—B)=sinB

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以AC(0,^),Be（o4,A-BE兀兀

P-2

又g=sina;上單調(diào)遞增，所以A—B=即4=2B;

（2）由⑴可知，4=28,所以在△ABO中，ZABC=ABAD,

ADAB2

由正弦定理得：，所以AD=BD=,

sm±＞sin（?！?8）sin2Bcos±>

sinB

所以S^ABD=xABxADxsinB=tanB.

cosB

又因?yàn)椤魅弧笧殇J角三角形，所以。＜口＜生。＜28＜生。＜兀一3口＜多解得］＜6＜?

所以tanBE即AABD面積的取值范圍為

3.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考二M)已知△4BC為銳角三角形，且cosA+sinB=(sinZ+cosB).

⑴若。，求_A；

o

(2)己知點(diǎn)D在邊上，且4D=BD=2,求CD的取值范圍.

【答案】(1)4=1；

⑵(1⑵.

【分析】)利用三甭恒等變換可得cos(4+4H=cos(B+寧，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即

得；

(2)利用正弦定理結(jié)合條件可得CD=然后根據(jù)條件及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得其范圍.

smC

【詳解】D因?yàn)閏osA+sinB=V3(sinA+cosB),

?2?

所以cosA—VSsinA=V3cosB—sinB,即cos^A+=cos(B+

又/eBe(0,y),

所以《<普，亳〈B+3〈普，

33oo63

所以A+等=8+2即B=4+為又力+8+。=兀，。=看，

3663

所以A+4+1+1=兀,即4=彳；

634

(2)因?yàn)?。=6。=2,所以/。及4=乙4,又/4瓦7=71+咚，

6

可得/DBC=磊,

O

CD=BD

在△DBC中,

sinZDBCsin。

=BDsin/DBC1

所以⑵

sin(7sin。

在/\ABC中，sinC=sin(A+B)=sin(2_A+,

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，

0<A<f

所以。<8=4+1V]，得看<y1VM

0<CC=7T—A—A-<C

所以與<24+春〈小，[<sin(24+￡)<l

2oo2\67

所以.—G(l,2),gp)的取值范圍為J.

smO

4.(2023?廣東廣州?廣州市第二中學(xué)?？寄M很測(cè))在△48。中，a、b、c分別是角46、。的對(duì)邊，向量關(guān)

=(2sinB,2—cos2B),n=(^2sin2^-^-+旁),-1),m_Ln.

(1)求角R的大??；

⑵若a=V^,6=1,求。的值.

【答案】⑴?；蚱?/p>

66

(2)2或1

【分析】：1由題中條件可得出關(guān),元=0,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得sinB的值，結(jié)合角8的取值范

國(guó)可得出角8的值；

?3?

(2)分析可知8為銳角，利用余弦定理可得出關(guān)于。的等式，解之即可.

【詳解】⑴解：因?yàn)橄蛄裤?(2sinB,2—cos2B),n=(Zsir?%+§_),_]),且抗_L五，

所以，沆?荷=2sinBX2sin2(^-^-+—2+cos2B=2sinB^l—cos(]+B)]—2+cos2B

=2sinB(l+sinB)—2+(1—2sin2B)=2sinB—1=0,

所以,sinB=:,

又因?yàn)锽e(0,冗)，所以，B="或

(2)解：因?yàn)閍b=1,則BV4,故/；為銳角，即3二

6

由余弦定理可得匕2=a2+c2-2accosB=3+c2—3c=1,即c2—3c+2=0,解得。=1或2

5.(2023?廣東廣州?廣州六中校考三模)記△4G。的內(nèi)角48。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知行為鈍角，asinB

=bcosB.

(1)若。=：，求4；

(2)求cosA+cos石+cos。的取值范圍.

【答案】⑴弓

O

⑵(1?

【分析】⑴由題意及正弦定理得到sinA=cosB,即sinA=sin(y+B),結(jié)合角的范圍可得在=，

+B,C=^—28，又。=1,4+6+。=兀，即可求得4;

乙o

(2)cosA+cosB+cos。=cosB—sinB+2sinBcosB,令t—cosB—sin8,化簡(jiǎn)得到cosA+cosB+

cosC=,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】⑴由asin_B=bcosB,根據(jù)正弦定理得：sinAsinB=sinBcosB,

由于sinBW0,可知sinA=cosB,即sinA=sin(]+B),

因?yàn)?為鈍角，則8為銳角，即8e(o,y),

則1+BC管，兀)，則41+B,C=1—2B.

由4=備+8,。=專,4+8+。=乃,得4=幻.

263

(2)cosA+cosB+cosC=cos(^+B)+cosB+cos("|■—28)

=-sinB+cosB+sin2B=cosB—sinB+2sinBcosB.

因?yàn)椤?5一2B為銳角，所以0V5—2BV5,即OVBV第，則B+,5)，

設(shè)t=cosB—sinB=V2cos(^B+G(0,1),則2sinBcosB=1—t2,

cosA+cosB+cosC=t+1—t2=—(t—+與?

因?yàn)?e(0,1),則(t-y)e[。])，從而_(力_1)十1右(11],

?4?

由此可知,cosA+cosB+cosC的取值范圍是［1彳］.

6.（2023?廣東佛山?校才模擬演瀏）在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊為a,b,c,c-sinA=a-cosC,設(shè)AABC的

面積為S,S=~^-bc.

（1）求角B的大??；

⑵若a=3,過(guò)△ABC的重心點(diǎn)G的直線/與邊a,c的交點(diǎn)分別為E,F,豆百=1而，。X=〃彷，請(qǐng)計(jì)算』

+〃的值.

【答案】（1）B=］

⑵4+〃=3

【分析】（1）根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及面積公式和三角形的內(nèi)角和即可求解；（2）

根據(jù)重心性質(zhì)和向量的共線關(guān)系即可求解.

【詳解】（1）在AABC中，根據(jù)正弦定理

smAsmBsmC

結(jié)合條件c,sinA=a-cos。，

可得:sinC-sinA=sinA-cos。.

因?yàn)?G（0,兀），

所以sinAW0,

可得sinC=cost7,

即有tanC=1,

又ce（0,兀），

故。=與

4

又因?yàn)镾=?sinC==^-bc^

可得a=c,

即可得力=C—j

根據(jù)/I++。=兀，

由此即可得口=1.

（2）解法一:

以點(diǎn)口為原點(diǎn)，A4為7軸，為沙軸建立平面直角坐標(biāo)系.則可得點(diǎn)為（3,0）,。（0,3）.

根據(jù)重心的坐標(biāo)公式可得：點(diǎn)G（l,l）.

可設(shè)過(guò)點(diǎn)（；的直線/的方程為：y=k（x—1）+1,

由此可得點(diǎn)匚;'的坐標(biāo)為：（0,1—k）,（1—0）.

'K7

----?----?>---?QQ'工L

根據(jù)BC=仄BE,BA="BF可得入=7A丁，〃二二產(chǎn)T.

1—fci_Xk—1

k

由此即可得1+〃=3.

解法二:設(shè)49的中點(diǎn)為。，連接B。,利用“重心”的性質(zhì)可得阮=,萬(wàn)苕

?5?

根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)可得：BD=^BA+^BC,

根據(jù)條件BC=ABE,BA=pBF

可得:-|BG=^BE+^-BF,

等價(jià)于7=卷通+!說(shuō)，

OO

又因?yàn)辄c(diǎn)G,石，尸在一條直線上，

從而可得：3+：二1,即可得〃=3成立.

OO

7.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校考模邪（洪I）已知/（力）=sinicos力+/cos%..-,g[x）—f{x—0）,0<0

吟，且g（"）的圖象關(guān)于點(diǎn)（：0）對(duì)稱.

⑴求公

儂歿A4BC的角4B、。所對(duì)的邊依次為a、6、c,外接圓半徑為E,且。（空）=-g,b=LR=邙.

若點(diǎn)D為BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，求力。的長(zhǎng)度.

【答案】⑴昨卷

O

（2）AD=^-

【分析】：1）根據(jù)三角恒等變換可得/（力）=sin（2%+三；,從而得g（力）=sin（23；—20+^，根據(jù)正弦

OO

函數(shù)的對(duì)稱性即可求得結(jié)果；

⑵由9（4）=可得4=與兀,根據(jù)正弦定理可求a,從而可求在△ABC中利用余弦定理可

vo7zo

求。與cosB,在△ABD中利用余弦定理即可求AD.

【詳解】⑴???/（%）=-^-sin2rc+-^-cos2a;=sin（2c+,

g[x）=f（x-0）=sin（2rr—20+1）.

因?yàn)間（z）的圖象關(guān)于（柴0）對(duì)稱,所以日—26+看=上，8=—等+看,keZ,

OzOO/J

又0V夕〈三，所以。=；.

（2）由⑴知9（2）=sin（2z-y）.

因?yàn)?。?）=/，即sE?-f）=-f*

所以J一卷=2卜兀一/或乎一日=2力兀—■兀，

436436

9

得/?=8kn+Q?；?=8上兀-2兀，kGZ.

O

9

因?yàn)锳e（0,兀），所以4=下兀，

O

,6,

A

在△ABC中，由正弦定理得a=2RsinA=V7,

因?yàn)辄c(diǎn)。為8。邊靠近8的三等分點(diǎn)，所以BD

由余弦定理得（1—b2-\-c2—2bccosA，即7=1+c2+c,解得。=2（負(fù)值舍去）

a2+c2-fe27+4-15V7

所以cosB

2ac14，

在△48。中，由余弦定理得AD2=B^+BD2-2BAXBDXCOSB=4+，一2X2X空X

9314

13

g，

所以AD=

8.（2023?廣東佛山?校考模擬頸測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB，BC,AB=2,PA=PC=VW,

PB=44,設(shè)點(diǎn)。為PB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求△QAC面積的最小值；

（2）求平面PAB與平面ABC的夾角的余弦值.

【答案】（1）義，

⑵平

【分析】（1）先證4C±平面然后分析可知當(dāng)。QLOB時(shí)，△Q4C的面積最小，結(jié)合已知可

解；

⑵以點(diǎn)。為原點(diǎn)，ZZ4為立軸，DB為沙軸，過(guò)點(diǎn)。作平面ABCD的垂線，該直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，然后利用向量法可解.

【詳解】（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為。,連接PD,BD.

因?yàn)锳B=8C=2,AB_LBC,所以4C=_L=方；

又因?yàn)镻4=PC=可得PD_LAC,PD=2V2.

又因?yàn)镻D。BD=。，PD,BDu平面PDB,所以AC_L平面PDB,

因?yàn)?。Qu平面PDB,

所以，DQ,即可得DQ為△Q4C的高.

△Q」面積S=；xACxDQ=V2DQ.

在△PDB中，當(dāng)DQ，PB時(shí)，DQ取到最小值，結(jié)合PR=利用余弦定理可得：cos/PDB=

?7?

口噬得產(chǎn)=—］，又NPDBC（0,兀），所以NPDB=彳，

根據(jù)等面積法可得^BD-PDsin粵=三PB-DQ,解得DQ=理2.

所以△QAC面積的最小值為^

⑵以點(diǎn)。為原點(diǎn)，D4為二軸，。口為夕軸，過(guò)點(diǎn)。作平面XBCD的垂線，該直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳PDB=等，所以P（0,2v^cos警,2，^sin等）,即P（0,—V6）

O'ooz

其中人（，^0,0）,8（0,，^0）,。（一2,0,0）

設(shè)平面PAB的法向量為m=（c,g,z）

則有亦=°n/?方.

，據(jù)此可令z=2可得

\m-AB=0l-V2^+V2y=0

m=（V3,V3,2）

結(jié)合圖象可知平面ABC的一個(gè)法向量為元=（0,0,1）.

m->?n->

由此可得cos〈抗，云）Vio

|m|,|n|~5~

所以平面,AB與平面ABC的夾角的余弦值為.

5

9.（2023?廣東怠州?統(tǒng)考模擬fit測(cè)）條件①acosB=c+,

條件②sin——sin。_sinB+sin。

、ba+c

條件③V^bsiii-3:°，=asinB.

請(qǐng)從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答.

已知△4B。的內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊分別為a、6、c,且滿足

⑴求A;

（2）若AD是ABAC的角平分線，且AD=1,求2b+c的最小值.

【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，4=§

O

（2）3+2V2

【分析】（1）選①，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得出cos/的值，結(jié)合角A的取值范圍可得

出角4的值；

?8?

選②，利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得出cosA的值，結(jié)合角/的取值范圍可得出角4的值；

選③，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出sin1的值，結(jié)合角4的取值范圍可得出角4的

值；

⑵由已知見(jiàn)"=,m+59結(jié)合三角形的面積公式可得出—1,將2"。與—*目

乘，展開后利用基本不等式可求得2b+c的最小值.

【詳解】（1：解：選①：因?yàn)閍cosB=c+-^-6,由正弦定理可得sinylcosB=sinC+-^-sinB,

艮）7sinAcosB=sin（A+8）+-^-sinB=sinAcosB+cosAsinB+-^-sinB,

所以cos力sin_B=--^-sinB,

,1977

而B￡（0,兀）,/.sinBW0,故cos_A二——,因?yàn)?G（0,兀），所以;

/o

選②：因?yàn)閟inA—sinCsinB+sinC,由正弦定理丁b+c

ba+ca+c

——+，—/—be__1

即b2+c2—a2=—bc,由余弦定理cos?l

26c2bc2

因?yàn)?G（0,兀），所以4=；；

o

選③：因?yàn)閂^bsin笈；。—asinB,

正弦定理及三角形內(nèi)角和定理可得v/3sinBsin7r—sinAsinB,

LAAA

即V3sinBcos-=2sin—cos—sinB,

因?yàn)?8G（0,兀），則*e（。，，所以，sinBW0,cos"W0,

2'2/2i

所以sm5，；，所以一=「即

⑵解：由題意可知，SAABC=S^ABD+S^ACD,

由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得［besin譽(yù)X1Xsin^+^-cX1Xsin柴

ZD/DZO

化簡(jiǎn)得be=b+c,即1-=1,

bc

因此2b+c=（2b++［）=3+：+§>3+2../=3+272,

當(dāng)且僅當(dāng)c=mb=2十〕時(shí)取等號(hào)，所以2b+c的最小值為3+2方.

10.（2023?廣東深刻?統(tǒng)考模根預(yù)測(cè)）如圖，已知3。為0。的直徑，點(diǎn)4p在。。上，4。，B。,垂足為口

BF交AD于E,且AE=BE.

-9-

（1）求證：AB=AF；

⑵如果sin乙AB=4/;求AD的長(zhǎng).

5

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）8

【分析】⑴連接AC,由已知條件推導(dǎo)出^BAD=ABCA=ABFA,ZABF=/BAD,從而得到

AABF=ABFA,由此能證明AB=AF.

（2）由已知條件推導(dǎo)出AFCB=2Z.ACB,BF±CF,sin/FBC=cos/尸CB=cos2乙4cB=之，從

而得到cosZAGB,由⑴得cos/84D=cos/ZCB,在此△AB7?中，由cosABAD即可得出AD.

【詳解】（1）證明：連接力。，

???AD±BC,

??.ABDA=90°,

：.ADBA+ABAD=90°,

又???BC是。。的直徑，

??.ZBAC=90°,

??.ZCBA+ZBCA=90°,

??.ABAD=ABCA,

又???/ACB=/AFB,

???ABAD=AAFB,

,：AE=BE,

???ZABF=ABAD,

：./ABF=NAFB,

??.AB=AF.

（2）解：,.,4B=4F,

??.AACB=ZACF=；/FCB,

：.AFCB=2AACB,

???BC是。O的直徑，

：,BF_LCF,

???sinZFBC=cosZFCB=cos2ZACB=4,

5

2（cosZACB）2-l=，且/AC?為銳角，

5

?10?

9

cosZACB=—,

由（1）得/4CB=N8AD,

/.cosABAD=cosAACB=

在Rt/\ABD中，

11.（2023?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中,ZABC=^,AB=BC=?點(diǎn)、P為△ABC內(nèi)一點(diǎn).

【答案】⑴子

（2）75-1

【分析】⑴在AAPB中，由余弦定理得cos/P氏4,從而可得sinZPBC=/，利用面積公式SAPBC=

±PB'BCsinZPBC即可求解；

（2）設(shè)APAB=仇。6（0,1）,由正弦定理可得PB=2sind,在ACPB中，由余弦定理可得PC2=6

—2/sin（28+卬）,利用。C（0,j）即可求解.

【詳解】（1）在△APB中，R4=PB=Y，48=加，

22

由人能…訶/自/PR4-AB+PB—P^LA/6

由余弦正理付cos/p氏4-2AB-PB丁,

又AABC=~,：.sinZPBC=立,

/O

.11-

故S^BC=^PB-BCsinAPBC=j->=y.

（2）設(shè)=因?yàn)?4?口=與，則NPK4=7t—爭(zhēng)一夕=￡一仇則PC（0,1）,

在AAPB中，由正弦定理可得.丁丁=.北二,即已=1，故=2sin仇

smZFABsmZAPBsm6/sin]

在△CRB中，ZPBC=y-（j-0）=j+^,

由余弦定理可得PgPB2+BC2-2PB-BC-COS（J+e）

=4sin20+2—2X2sindXV2cos（^-+8）

=2-2cos2。+2—4sin9（cos夕—sin。）

=6—2（sin2。+2cos29）

=6-2-\/5sin（2^+cp）,

其中sin<p=--,cos0=—（pG

V5V5'2/

因?yàn)橄（o,￡）,則28+0C（0,1+0）,

即當(dāng)26+0="|■時(shí)，（PC）m",=V6—2V5=V5—1.

12.（2023-r東佛山?統(tǒng)考一模）在銳角三角形△ABC中，角48,C的對(duì)邊分別為a,6,c,也為國(guó)在演

方向上的投影向量,且滿足2csinB=V5|CD|.

（1）求cosC的值；

（2）若b=V3,a=3ccosB,求AABC的周長(zhǎng).

【答案】（1），

（2）V2+2V3

【分析】利用正弦定理，邊化角，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方式，建立方程，可得答案.

【詳解】⑴由CD為④彳在已名方向上的投影向量，則|乙方|=ftcosC,即2csinB=V56cosC,

根據(jù)正弦定理，2sinCsinB=V5sinBcosC,

在銳角叢ABC中，8G（°，1），則sinB>0,即2sinC=V5cosG,

由CC（0,兀,則cos?。+sin2C=1,整理可得cos?。+-ycos2C=1,解得cos。=

24rO

（2）由a=3ccosB,根據(jù)正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在△ABC中，T4+_B+C=兀，則sin（8+C）=3sinCcosB,sin8cosc+cosBsinC=3sinCcosB,

sinBcosG=2sinGcosB,

由⑴可知cos（7=sinC=V1—cos2C=^~,則sinB=V5cosB,

oo

由sin2B+COS2B=1,則5cos2B+cos2B=1,解得cosB=,sinB=,

6o

b

根據(jù)正弦定理，可得C，則一翁％a瓜

sinBsin。

故△ABC的周長(zhǎng)C^8c=a+5+c=2V3+V2.

?12?

13.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）已知△ABC的內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=b+26cosC.

（1）求證：C=2B.

（2）求“產(chǎn)的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵（1,5）

【分析】）結(jié)合正弦定理及正弦和角公式得sin（。一/?）