專題03等式與不等式的性質(zhì)

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解用作差法比較兩個實數(shù)大小的理論依據(jù).

2.理解不等式的概念.

3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應用.

【考點預測】

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

a——力>00遜6,

(1)作差法<a—b=2a=b,

產(chǎn)一伙00電6.

Ca

->1(a￡R,6>0)<^a>b(屆R,力0),

(2)作商法<三6(a，6W0)，

a

-<1(〃￡R,力0)=笆6(a￡R,力0).

2.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：3>6=6Va；

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

(3)同向可加性：a>c>_b~\~c；a>b,c>d=^a~\~c>_b+d；

(4)可乘性：a>b,c>0=ac>6c；a>b,cVOnacVSc；a>Z?>0,c>d>Onac>bd；

(5)可乘方性：a>b>^=>a>If(TJ^N,刀21)；

(6)可開方性：乃>6>0今狙之赤(_z?WN,〃22).

【常用結(jié)論】

1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.

2.有關分式的性質(zhì)

/、4，b-\~mbb—m.、

(1)右3>8>0,勿>0,貝！)一〈-;-；一〉---(6—%>0).

aa-vmaa~m

(2)若乃6>0,且少次^一<二

ab

【方法技巧】

1.作差法一般步驟：

⑴作差；(2)變形；(3)定號；(4)結(jié)論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化

等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數(shù)時,有時也可以先平方再作差.

2.作商法一般步驟：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商與1的大小；（4）結(jié)論.

3.函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大

小關系.

4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.

5.利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應注意兩點：

一是必須嚴格運用不等式的性質(zhì)；

二是在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范

圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.

二、【題型歸類】

【題型一】比較兩個數(shù)（式）的大小

,22

【典例1］若a<0,伙0,則0=一+年與尸a+6的大小關系為（）

ab

A.p^qB.pWqC.p>qD.夕Nq

【典例2】已知ab,c￡（0,3）,且3=5、64=，，下列不等式正確的是（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>t）>aD.a>c>b

2021I2022I

e十1e十1

【典例3】已知420224,N=2023」,則憶N的大小關系為

e十1e十1

【題型二】不等式的性質(zhì)

【典例1］若a>6>0,c<d<0,則一定有（）

【典例2】下列命題為真命題的是（）

A.若〃>6,貝!jacybc

B.若水僅0,則才〈己從斤

ab

C.若c>a>b>Q,則，

c-ac-b

D.若a>b>d>0,貝?；;

【典例3］（多選用之0,則下列不等式正確的是（

B.\a\+b>0

a-\~bab

1122

C.a'>b-;D.Ina>lnH

ab

【題型三】應用性質(zhì)判斷不等式是否成立

【典例11已知a>6>0,給出下列四個不等式：

①）>氏②2"〉2”T；a-byyfa—\[b；@aIjylab.

其中一定成立的不等式為（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

【典例2】已知a"為正數(shù)，a#6,A為正整數(shù)，則a7+a6〃―a+—的正負情況為（）

A.恒為正

B.恒為負

C.與〃的奇偶性有關

D.與a,6的大小有關

【典例3】如果0</<6<a,則（）

b+mbb-m

A.cos-;-Vcos-Vcos---

a-vmaa-m

bb-mb+m

B.cos-<cos---<cos-;-

aa-ma-rm

b—mbb-\~m

C.cos---<cos-<cos-;-

a—maa-\~m

b-\~mb—mb

D.cos-;-<cos---<cos-

a十ma-ma

【題型四】求代數(shù)式的取值范圍

【典例1】若—4〈￡〈2,則券一￡的取值范圍是.

JIJI

【典例2】若角￡滿足一萬〈?！础?lt;’則2。一￡的取值范圍是.

【典例3]已知a>6>c,2a+6+c=0,則，的取值范圍是（）

a

c1

<z

B-\-

aa3

cc1

-D--

32

4a

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】已知實數(shù)a,b,c滿足力+c=6—4a+3aMc-Z）=4—4a+a2,則a,b,c的大

小關系為（）

A.a〈bWcB.6Wc<a

C.b<c<aD.b<a<c

【訓練二】已知函數(shù)f(x)=ax2+6x+c滿足Z(l)=0,且a>b>c,貝?。菀坏娜≈捣秶?/p>

a一

【訓練三】某學習小組由學生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：

(1)男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；

(2)女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4,則女學生人數(shù)的最大值為.

②該小組人數(shù)的最小值為.

【訓練四】設a>6>l,c<0,給出下列三個結(jié)論：

①|(zhì)>木@a<bc；③迎儲一。)〉!^^一。).

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①B.①②

C.②③D.①②③

【訓練五】(多選)設a,b,c,，為實數(shù)，且a>6>0>c>d,則下列不等式正確的是(

A.c<cdB.a~c<b~d

cd

C.ac>bdD.―—">0

ab

【訓練六】若a>6>0,c〈d<0,必>|c|.

(1)求證：Z)+c>0.

g1F6+c一-a+d

⑵求證：(a-c)?(6-d)2-

A-Lro-L-d

(3)在(2)的不等式中，能否找到一個代數(shù)式，滿足2〈所求式〈2?若能,

<，a~c)、Qb-d)

請直接寫出該代數(shù)式；若不能，請說明理由.

四、【強化測試】

【單選題】

1.若/'(x)=3x?—x+l,g(x)=2f+x—1,則/1(X),g(x)的大小關系是()

A./'(x)=g(x)B.f(x)>g(x)

C.f(x)〈g(x)D.隨x的值變化而變化

2.若成0,〃〉0且⑷+水0,則下列不等式中成立的是()

A.一n〈水水一mB.一〃〈欣一水〃

C.冰一水一水AD.冰一水水一7

3.已知a,6為非零實數(shù)，且a〈6,則下列不等式一定成立的是()

A.a2<Z?2B.al}yab

11ba

C.-72<-F7D.-<7

ababab

4.設為6￡R,貝lj“a>2且"1”是“a+6>3且2力2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.已知下列四個條件：①b〉U〉a,②0>a>6,③a>0>6,?a>b>0,能推出成立的有（）

ab

A.1個B.2個

C.3個D.4個

6.下列命題中，正確的是（）

A.若a>b,c>d,貝！Jac>bd

B.若ac>bc,則a>b

C.若工&0,則㈤+伙0

ab

D.若〃>6,c>d,貝！Ja—

7.已知2￡（0,1）,勿￡（0,1）,記〃=為/，"=&+/—1,則〃與N的大小關系是（）

A.帳NB.M）N

C.M=ND.不確定

8.已知實數(shù)a,b,。滿足6+c=6—4a+3才，c—8=4—4己+才，則乃，b,c的大小關系為

（）

A.a^bWcB.bWc<a

C.欣c<aD.Xa<c

【多選題】

9.已知c〈伙a且ac<0,那么下列不等式中，一定成立的是（）

A.ab>acB.c^b—a）>0

C.cBVaBD.ac（a-c）<0

10.有外表一樣，重量不同的六個小球，它們的重量分別是&b,c,d,e,f,已知a+6

+c=d+e+￡a~\-b+e>c+d+f,a-\-b-\-f\c+d+e,a+.則下列判斷正確的有（）

A.b>c>fB.b>e>f

C.c>e>fD.b>e>c

11.若0<水1,b>c>l,則（

C.D.log,水log也

12.下列命題為真命題的是（）

A.若a>b>Q,則acybc

B.若水僅0,則3>助>4

QC

C.若a>b>0且c<0,則^>至

ab

D.若石>6且->7,則H/KO

ab

【填空題】

13.若b〈b.,貝Ua6i+功坊與4益+&61的大小關系是.

14.若—4<￡<2,則。一|￡|的取值范圍是.

15.設打〉6,有下列不等式：@4>4；②③?>1引；④乃|。|三引c|,其中一定成立的

有.（填序號）

16.已知存在實數(shù)乃滿足3方>於助，則實數(shù)6的取值范圍是.

【解答題】

17.已知女+6>0,試比較與，+［的大小.

baab

a，-1—bcId

18.(1)若Ac—3后0,bd>0,求證：-T-；