2024成都中考數(shù)學一輪復習

新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題

一、單選題

1.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）皮克定理是格點幾何學中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多

邊形的面積S=N+-1,其中ML分別表示這個多邊形內部與邊界上的格點個數(shù).在平面直角坐標系中，

橫、縱坐標都是整數(shù)的點為格點.已知A（0,30）,￡（20,10）,0（0,0）,貝|內部的格點個數(shù)是（）

A.266B.270C.271D.285

2.（2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產中廣泛使用的一種圖

形.如圖，分別以等邊ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三

角形”.若等邊ABC的邊長為3,則該“萊洛三角形”的周長等于（）

A.reB.3萬C.2兀D.2兀-0

3.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）在多項式x-y-z-〃（其中尤>y>z>m>〃）中，對相鄰的兩個字母間任

意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”.例如：

x-y-\z-m\-n-x-y-z+m-n,|%-_v|-z-|m-77|-x—y—z-m+n,….下歹!J說法：

①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；

②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）若一個點的坐標滿足的2人），我們將這樣的點定義為“倍值點”.若關于x

的二次函數(shù)y=（r+l）x2+（t+2）x+s（取為常數(shù)，2-1）總有兩個不同的倍值點，貝心的取值范圍是（）

A.sv—1B.sv0C.OvsvlD.-l<5<0

5.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如:

A（L3）,B（-2,-6）,C（0,0）等都是三倍點”，在—3<x<l的范圍內，若二次函數(shù)y=-/-x+c的圖象上至少存

在一個“三倍點，，，則。的取值范圍是（）

A.—4c<1B.—4Vc<—3C.—<c<5D.—4Vc<5

44

6.（2023?福建?統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利

用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則

與圓周合體,而無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率"的近似值為3.1416.如

圖，。的半徑為1,運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計。的面積，可得萬的估計值為華叵，

2

若用圓內接正十二邊形作近似估計，可得萬的估計值為（）

B.20C.3D.26

二、填空題

7.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.1556年蘭州人段續(xù)的

第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐.而今，蘭州水車博覽

園是百里黃河風情線上的標志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征.如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的

輻條（圓的半徑）0A長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當水

流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點A處離開水面，逆時針旋轉150。上升至

輪子上方8處，斗口開始翻轉向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從A處（舀水）

轉動到8處（倒水）所經(jīng)過的路程是米.（結果保留萬）

圖1圖2

8.（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）某天老師給同學們出了一道趣味數(shù)學題:

設有編號為1-100的10。盞燈，分別對應著編號為1-100的100個開關，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每

按一次開關改變一次相對應編號的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”.現(xiàn)有100個人，第I個人把所有

編號是1的整數(shù)倍的開關按一次，第2個人把所有編號是2的整數(shù)倍的開關按一次，第3個人把所有編號

是3的整數(shù)倍的開關按一次,……，第100個人把所有編號是100的整數(shù)倍的開關按一次.問最終狀態(tài)為“亮”

的燈共有多少盞？

幾位同學對該問題展開了討論：

甲：應分析每個開關被按的次數(shù)找出規(guī)律：

乙：1號開關只被第1個人按了1次，2號開關被第1個人和第2個人共按了2次，3號開關被第1個人和

第3個人共按了2次，……

丙：只有按了奇數(shù)次的開關所對應的燈最終是“亮”的狀態(tài).

根據(jù)以上同學的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有__________盞.

9.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧

長度的“會圓術”，如圖.是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點，。在AB上，“會

圓術”給出48長/的近似值s計算公式：s=AB+^—,當。4=2,NAC?=90。時，.（結

OA.

果保留一位小數(shù)）

10.（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動.已知某木藝藝術品加工

完成共需A,B,C,D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。須在工序A完成后進行，工序E須在工序8,。都完成后進行，工序/須在工序C,。都完

成后進行；

②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；

③各道工序所需時間如下表所示：

工序ABCDEFG

所需時間/分鐘99797102

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，則需要分鐘；若由兩名

學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要分鐘.

11.（2023.重慶.統(tǒng)考中考真題）對于一個四位自然數(shù)若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6,百位數(shù)字比十位

數(shù)字多2,則稱M為“天真數(shù)”.如:四位數(shù)7311,：7-1=6,3-1=2,；.7311是“天真數(shù)”;四位數(shù)8421,

???8-1x6,；.8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a,百位

數(shù)字為6,十位數(shù)字為c,個位數(shù)字為d,記尸（M）=3（a+6）+c+d,e（M）=a-5,若方鬲能被10整除，

則滿足條件的M的最大值為.

12.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）定義：若滿足V=4y+t,y1=4x+r且石＞（f為常數(shù)），則稱點M（x,y）

為“和諧點”.

（1）若P（3,咽是“和諧點”，則a=.

k_

（2）若雙曲線y=—（-3＜尤＜-1）存在“和諧點”，則上的取值范圍為.

x

13.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系宜刀中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形

內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯(lián)矩形.例如:如圖，函數(shù)、2）2（04x43）

的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯(lián)矩形為矩形0ABC.若二次函數(shù)y=無+c（O4xw3）圖象的

關聯(lián)矩形恰好也是矩形。ABC,則%=.

14.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如果一個四位自然數(shù)標的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,滿足

靛-1=茴,那么稱這個四位數(shù)為“遞減數(shù)”.例如：四位數(shù)4129,；41-12=29,...4129是“遞減數(shù)”；又

如：四位數(shù)5324,V53-32=21^24,.*.5324不是“遞減數(shù)”.若一個“遞減數(shù)”為^312,則這個數(shù)為

若一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)而與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)嬴的和能被9整除，則滿足條

件的數(shù)的最大值是.

三、解答題

15.（2023?內蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：

材料1：關于X的一元二次方程62+樂+。=0（"0）的兩個實數(shù)根為％和系數(shù)。，6,C有如下關系：

bc

%+%2=--,X^2=—.

aa

材料2：已知一元二次方程V-尤-1=0的兩個實數(shù)根分別為相，n,求+加/的值.

解：：小，〃是一元二次方程尤2—尤_i=o的兩個實數(shù)根，

m+n=l,mn=-1.

貝Um2n+mn2=mn[m+ri）=—lx1=—1.

根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：

（1）應用：一元二次方程2/+3x-l=0的兩個實數(shù)根為孫X],則x,+x2=,尤]尤2=:

（2）類比：己知一元二次方程2元?+3尤-1=0的兩個實數(shù)根為相，n,求加2+/2的值；

（3）提升：已知實數(shù)s,t滿足2s2+3s-l=0,2產+3f-l=0且SX/,求工-1的值.

16.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉

壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好，謂之璧;

肉好若一，調之環(huán).”如圖1,“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩

種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系.

⑴若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為」

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若

一，，？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔.

17.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個相鄰的內角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為

鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

（1）如圖1,在四邊形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,對角線8。平分/ADC.求證：四邊形MCD為鄰等

四邊形.

（2）如圖2,在6x5的方格紙中，A,B,C三點均在格點上，若四邊形ASCD是鄰等四邊形，請畫出所有符

合條件的格點D.

（3汝口圖3,四邊形ABCD是鄰等四邊形，ZDAB=ZABC=90°,/BCN）為鄰等角，連接AC,過8作BE〃AC

交DA的延長線于點E.若AC=8,DE=10,求四邊形EBCD的周長.

18.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任

務.

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道,如圖1,在四邊形ABCD中，點E,￡G,”分別是邊AB,BC,8,ZM的中點，順次連接E,F,G,H,

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

（也”咐w〃,Re*1654—1722）是法國數(shù)學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交于點P,Q,過點￡）作于點交施于點N.

分別為AD,CD的中點，.?.HG〃&C,HG=《AC.（依據(jù)1）

2

DNDG1

：.——=——.?:DG=GC,：.DN=NM=-DM.

NMGC2

??,四邊形石FGH是瓦里尼翁平行四邊形，???HE〃G尸，即心〃GQ.

-：HG//AC,即〃G〃PQ,

四邊形HP0G是平行四邊形.（依據(jù)2）=

.同理，

SAADC=^ACDM=HGDM,SweG…

任務：

（1）填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形A3CD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFG8,使得四邊形EFGH

為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）

（3）在圖1中，分別連接AC,助得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,即長度

的關系，并證明你的結論.

19.(2023?河北?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中，設計了點的兩種移動方式：從點(無，y)移動到點

(x+2,y+l)稱為一次甲方式：從點(羽、)移動到點(x+l,y+2)稱為一次乙方式.

例、點尸從原點。出發(fā)連續(xù)移動2次；若都按甲方式，最終移動到點加(4,2)；若都按乙方式，最終移動到

點N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點E(3,3).

ny

33??:??丁??廠?：??丁■?廠?：??丫??廠?：??；

jA??????-???*??????*???*,?????????*

27

24?十?；十?}??；??丁?：

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isv….imv

6??；??〈???)??；??,???>??；??：???1??；??：

~~36912151?2124273033*t

⑴設直線人經(jīng)過上例中的點機N,求乙的解析式；并度談寫出將lt向上平移9個單位長度得到的直線12的解

析式；

(2)點尸從原點。出發(fā)連續(xù)移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點Q(x,y).其中，按甲方式

移動了機次.

①用含根的式子分別表示羽心

②請說明：無論相怎樣變化，點。都在一條確定的直線上.設這條直線為4,在圖中直接畫出4的圖象；

(3)在(1)和(2)中的直線4，，上分別有一個動點AH,橫坐標依次為。，瓦c,若A,B,C三點始終在

一條直線上，直接寫出此時a,b,c之間的關系式.

20.(2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題)閱讀下面材料:

將邊長分別為a,a+Jb,a+2sfb,a+3揚的正方形面積分別記為工，邑，S3,S4.

貝凡-Si=3+揚2-/

=[(a+A/F)++揚)—a]

=(2a+s[b)-y/b

=b+2as[b

例如：當a=l,%=3時，邑一&=3+2后

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)當a=l,6=3時，-S2=,S4—S3=；

(2)當a=l,6=3時，把邊長為a+〃揚的正方形面積記作S角，其中”是正整數(shù)，從(1)中的計算結果，

你能猜出S聞-S“等于多少嗎？并證明你的猜想；

(3)當。=1,6=3時,令￡=S「S、,t2=S3-S?,t3=S4—S3,tn=Sn+l-Sn,=tY+t2+t3++tx,

求T的值.

21.(2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題)如圖1,點P是線段A3上與點A,點8不重合的任意一點，在A3的同

側分別以A,P,B為頂點作N1=N2=N3,其中N1與23的一邊分別是射線AB和射線54,/2的兩邊不

在直線48上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點P為等聯(lián)點，線段A3為等聯(lián)線.

圖1圖2圖3

（1）如圖2,在5x3個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1,A3為端點在格點的已知線段.請

用三種不同連接格點的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點尸為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標出等聯(lián)角，保留

作圖痕跡；

（2汝口圖3,在Rt"PC中，ZA=90,AOAP,延長AP至點8,使AB=AC,作/A的等聯(lián)角/CPD和

NPBD.將沿PC折疊，使點A落在點M處，得到MPC,再延長尸河交8。的延長線于E,連接CE

并延長交尸。的延長線于尸，連接

①確定二PCF的形狀，并說明理由；

②若AP:PB=1:2,BFfk，求等聯(lián)線AB和線段PE的長（用含左的式子表示）.

22.（2023?內蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）定義：在平面直角坐標系中，當點N在圖形M的內部，或在圖

形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”.

4

3

O12

-2

-3

-4

圖①圖②

⑴如圖①，矩形ABC。的頂點坐標分別是人（一1,2）,C（3,-l）,D（3,2）,在點必（1,1）,M?（2,2）,

M（3,3）中，是矩形ABCD“夢之點”的是；

（2）點G（2,2）是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”"的坐標是

,直線G”的解析式是必=-當％＞當時，x的取值范圍是.

1o

（3）如圖②，已知點A,B是拋物線＞尤2+尤+/上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接AC,AB,

BC,判斷ABC的形狀，并說明理由.

23.（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系xOy中，「O的半徑為1.對于。的弦48和。外一

點C給出如下定義：

若直線C4,CB中一條經(jīng)過點O,另一條是。的切線，則稱點C是弦AB的“關聯(lián)點”.

31_克）

⑴如圖，點A（T。），B1-今，去—二~，-

①在點G（-M）,G（-3，。），C3（o,⑹中，弦的的“關聯(lián)點”是

②若點C是弦A層的“關聯(lián)點”，直接寫出0C的長；

（2）已知點“（0,3）,N.對于線段政V上一點S,存在）0的弦尸。，使得點S是弦PQ的“關聯(lián)點”,

記尸。的長為3當點S在線段MN上運動時，直接寫出f的取值范圍.

24.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）閱讀理解題:

閱讀材料:

如圖1,四邊形A3CD是矩形，△但是等腰直角三角形，記-B4E為a、/FAD為P,若tana=；,則

HI

證明：設BE=k,Vtma=-：.AB=2k,

2f

易證Z^AEB注△EFC(AAS)

EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k

?°DFk\

??tan力=---二——=一,

AD3k3

i1

若a+4=45。時，當tana=],則tan/?=§.

同理：若a+/=45°時，當tana=；,貝！Jtan/?=).

根據(jù)上述材料，完成下列問題：

如圖2,直線>=3x-9與反比例函數(shù)y='(x>0)的圖象交于點A,與x軸交于點3.將直線42繞點A順

x

時針旋轉45。后的直線與y軸交于點E,過點人作4以，彳軸于點過點A作軸于點N,已知

04=5.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

⑵直接寫出tan/朋M、tan454E的值;

(3)求直線AE的解析式.

25.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）【問題背景】

“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具.綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一

根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱喴子嫊r裝置.

【實驗操作】

綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm,開始放水后每隔lOmin觀

察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表:

流水時間〃min010203040

水面高度/z/cm（觀察值）302928.12725.8

任務1分別計算表中每隔lOmin水面高度觀察值的變化量.

【建立模型】

小組討論發(fā)現(xiàn)：“f=0,〃=30”是初始狀態(tài)下的準確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近

似地刻畫水面高度h與流水時間t的關系.

任務2利用7=0時，//=30；f=10時，/i=29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度丸與流水時間f的函數(shù)解析式.

【反思優(yōu)化】

經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差.小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，

減少偏差.通過查閱資料后知道：r為表中數(shù)據(jù)時，根據(jù)解析式求出所對應的函數(shù)值，計算這些函數(shù)值與對

應〃的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小.

任務3（1）計算任務2得到的函數(shù)解析式的卬值.

（2）請確定經(jīng)過（0,30）的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小.

【設計刻度】

得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度直接讀取時間.

任務4請你簡要寫出時間刻度的設計方案.

26.(2023?山西?統(tǒng)考中考真題)問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿

對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為ABC和△DEE,其中ZAC3=NDEF=90o,ZA=ZD.將

ABC和△。芯按圖2所示方式擺放，其中點8與點尸重合(標記為點B).當"E=NA時，延長DE交

AC于點G.試判斷四邊形3CGE的形狀，并說明理由.

(1)數(shù)學思考：談你解答老師提出的問題；

(2)深入探究：老師將圖2中的一DBE繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在?ABC內部，并讓同學們提出新的

圖2

①“善思小組''提出問題：如圖3,當=時，過點A作川0J.BE交BE的延長線于點與AC

交于點N.試猜想線段AM和BE的數(shù)量關系，并加以證明.請你解答此問題；

圖3

②“智慧小組''提出問題：如圖4,當NCBE=44C時，過點A作AH_LDE于點H,若BC=9,AC=12,求

AH的長.請你思考此問題，直接寫出結果.

圖4

27.（2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點A.8P均在O上，ZAOB=90°,則銳角NAP3的

大小為__________度.

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，。是等邊三角形ABC的外接圓，點P在AC上（點尸不與點

AC重合），連結上4、PB、PC.求證：PB=R4+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長上4至點E,使AE=PC,連結BE,

通過證明△尸3c絲△EBA,可推得P8E是等邊三角形，進而得證.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長E4至點E,使AE=PC,連結BE,

四邊形ABCP是。的內接四邊形，

:.ZBAP+ZBCP=180°.

ZBAP+ZBAE=1SO°,

:.ZBCP=ZBAE.

ABC是等邊三角形.

/.BA=BC,

.;PBgEBA（SAS）

請你補全余下的證明過程.

【應用】如圖③，。是ABC的外接圓，ZABC=90°,=點尸在。上，且點尸與點B在AC的

兩側，連結以、PB、PC.若PB=29A,則登的值為.

28.(2023?廣西?統(tǒng)考中考真題)【探究與證明】

折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘.

【動手操作】如圖1,將矩形紙片9CD對折，使AO與重合，展平紙片，得到折痕所；折疊紙片，使

點B落在E尸上，并使折痕經(jīng)過點A,得到折痕AM,點B,E的對應點分別為,E',展平紙片，連接AB',

（圖1）

請完成：

⑴觀察圖1中N1,/2和/3,試猜想這三個角的木個關系；

(2)證明(1)中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片ABCD的邊AO上的一點，連接BN,在48上取一點P,折疊紙片，使

B,尸兩點重合，展平紙片，得到折痕灰；折疊紙片，使點3,尸分別落在麻，BN上,得到折痕/,點2,

產的對應點分別為8',P',展平紙片，連接，P'B'.

（圖2）

請完成：

(3)證明BB'是2NBC的一條三等分線.

29.(2023?河南?統(tǒng)考中考真題)李老師善于通過合適的主題整合教學內容，幫助同學們用整體的、聯(lián)系的、

發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣.下面是李老師在“圖形的變化”主題下設計的問題，請你解答.

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1,在平面直角坐標系中，過點“(4,0)的直線/|y軸，作ABC關于〉軸對稱的圖形

△4月儲，再分別作△Aga關于無軸和直線/對稱的圖形△Age。和△A&G，則△4鳥Q可以看作是ABC

繞點。順時針旋轉得到的，旋轉角的度數(shù)為；△46G可以看作是向右平移得到的，平移距離

為個單位長度.

(2)探究遷移：如圖2,YABCD中，ZBAD=a(0°<a<90°),P為直線48下方一點，作點尸關于直線

的對稱點4,再分別作點片關于直線AD和直線CD的對稱點八和乙，連接AP,AP2,請僅就圖2的情形解

決以下問題：

①若/巳45="，請判斷尸與。的數(shù)量關系，并說明理由；

②若AD=m,求尸，鳥兩點間的距離.

(3)拓展應用：在(2)的條件下，若。=60。，AD=2有,ZPAB=15°,連接￡片.當￡鳥與YABCD的邊平

行時，請直接寫出AP的長.

30.(2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，如果

點尸到直線EF的距離等于圖形加上任意兩點距離的最大值時，那么點P稱為直線EF的“伴隨點”.

例如：如圖1,己知點A。,2),8(3,2),尸(2,2)在線段A8上，則點尸是直線EG尤軸的“伴隨點

直線EF的“伴隨點”時，求點尸的坐標；

(2)如圖3,x軸上方有一等邊三角形ABC,BCLy軸，頂點A在y軸上且在3c上方，OC=6,點尸是ABC

上一點，且點P是直線環(huán)：無軸的“伴隨點”.當點尸到x軸的距離最小時，求等邊三角形ABC的邊長；

⑶如圖4,以4(1,0),3(2,0),C(2,l)為頂點的正方形A5CD上始終存在點P,使得點P是直線EF：y=-x+b

的“伴隨點”.請直接寫出6的取值范圍.

31.(2023?云南?統(tǒng)考中考真題)數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)(代數(shù))側重研究物體數(shù)量方

面，具有精確性、形(幾何)側重研究物體形的方面，具有直觀性.數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間

形式，也可用形來說明數(shù)量關系.數(shù)形結合就是把兩者結合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)

勢，數(shù)形互化，共同解決問題.

同學們，請你結合所學的數(shù)學解決下列問題.

在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點.設函數(shù)

y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4(實數(shù)。為常數(shù))的圖象為圖象T.

(1)求證：無論。取什么實數(shù)，圖象T與*軸總有公共點；

(2)是否存在整數(shù)。，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)。的值；若不存在，請說明理

由.

參考答案

一、單選題

1.【答案】c

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出的面積和邊界上的格點個數(shù)，然后代入求解即可.

VA(0,30),5(20,10),0(0,0),

**.SVAB0=；x30x20=300,

上有3個格點，

。3上的格點有(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5),(12,6),(14,7),(16,8),(18,9),(20,10),共10

個格點，

48上的格點有(1,29),(2,28),(3,27),(4,26),(5,25),(6,24),(7,23),(8,22),(9,21),(10,20),(11,19),

(12,18),(13,17),(16,14),(15,15),(16,14),(17,13),(18,12),(19,11),共19個格點，

邊界上的格點個數(shù)L=31+10+19=60,

VS=Af+-L-l,

2

300=?/+-x60-l,

2

解得N=271.

ABO內部的格點個數(shù)是271.

故選：C.

【點撥】本題主要考查了坐標與圖形的性質，解決問題的關鍵是掌握數(shù)形結合的數(shù)學思想.

2.【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質及弧長公式/=黑求解即可.

【詳解】解：：等邊三角形ABC的邊長為3,ZABC=ZACB=ABAC=60°,

...AB=BC=AC=嚅",

.?.該“萊洛三角形”的周長=3xl=3%,

故選：B.

【點撥】本題考查了等邊三角形的性質，弧長公式，熟練掌握等邊三角形的性質和弧長公式是解題的關鍵.

3.【答案】C

【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②.說法③需要對絕對操作分析添加一個和兩個絕對

值的情況，并將結果進行比較排除相等的結果，匯總得出答案.

［詳解］解：\x-y\-z-m-n=x-y-z-m-n,故說法①正確.

若使其運算結果與原多項式之和為0,必須出現(xiàn)-x,顯然無論怎么添加絕對值，都無法使尤的符號為負,

故說法②正確.

當添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是=

x-\y-z\-m-n=x-y+z-m-n；尤z-ml-,ujr-y-z+m—w；x-y-z-\m-r^=x—y—z-m+n.當

添加兩個絕對值時，共有3種情況，分另I」是-制-”=x-y-z+m—"；

=x-y-z-m+n；x-|y-z|=x-y+z-m+n.共有7種情況；

有兩對運算結果相同，故共有5種不同運算結果，故說法③不符合題意.

故選：C.

【點撥】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進行情況討論；

需要注意去絕對值時的符號，和所有結果可能的比較.主要考查絕對值計算和分類討論思想的應用.

4.【答案】D

【分析】利用“倍值點”的定義得到方程。+1)必+比+S=0,則方程的A>0,可得d一4窗-4s>0,利用對于

任意的實數(shù)s總成立，可得不等式的判別式小于0,解不等式可得出$的取值范圍.

【詳解】解：由“倍值點”的定義可得：2x=(f+l)，+(r+2)x+s,

整理得，(r+l)x2+zx+5=0

?..關于x的二次函數(shù)y=U+l)x2+(f+2)x+s(取為常數(shù)，f#-l)總有兩個不同的倍值點,

?*.A—Z-2—4(/+l)s=產—4/s—4s>0,

??,對于任意實數(shù)s總成立，

???(―4s)2—4x(』)<0,

整理得，16?+16^<0,

??一+$V0,

/.s(s+l)vO,

.卜<0p>0

+或[s+l<0，

[s<0,

當i八時，解得—l<s<0,

[5+1>0

(s>0

當1八時，此不等式組無解，

[s+l<0

-1<5<0,

故選：D.

【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一元二次方程根的判別式以及二次函數(shù)與不等式

的關系，理解新定義并能熟練運用是解答本題的關鍵.

5.【答案】D

【分析】由題意可得：三倍點所在的直線為y=3x,根據(jù)二次函數(shù)y=-——x+c的圖象上至少存在一個“三

倍點“轉化為y=-x2-x+c^y=3x至少有一個交點，求△之0,再根據(jù)％=-3和x=1時兩個函數(shù)值大小即可

求出.

【詳解】解：由題意可得：三倍點所在的直線為y=3%,

在-3Vx<1的范圍內，二次函數(shù)丁=-/一%+。的圖象上至少存在一個“三倍點”，

即在一3<%<1的范圍內，y=-%2一%+。和y=3x至少有一個交點，

令3%=-%2-x+c,整理得：-x2-4x+c=0,

貝！JA=Z?2—4〃c=(T)2-4X(-1)XC=16+4C>0,解得Y,

-(-4)±J(-4)2-4X(-1)C4±J16+4C

x=-----------；~；--------=------------'

2x(-1)2

??%=-2+d4+c,X2——2—j4+c

??—3<-2+J4+c<1-3<-2-J4+c<1

當-3<-2+j4+c<1時,-1<j4+c<3,即03，4+c<3,解得-44c<5,

當-3<-2-j4+c<l時,一3<j4+c<1,即03j4+c<l,解得TWc<-3,

綜上，c的取值范圍是TVc<5,

故選：D.

【點撥】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，熟練掌握相關性質是關鍵.

6.【答案】C

【分析】根據(jù)圓內接正多邊形的性質可得ZAOB=30。，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得BC=g,

根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解.

【詳解】解:圓的內接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為30。,

設圓的半徑為1,如圖為其中一個等腰三角形。鉆，過點8作交。4于點于點C,

NAOS=30。，

BC=-OB^-,

22

則SOAB=_xlx2=4'

故正十二邊形的面積為12s0AB=12x；=3,

圓的面積為％xlxl=3,

用圓內接正十二邊形面積近似估計。的面積可得萬=3,

故選：C.

【點撥】本題考查了圓內接正多邊形的性質，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓

的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關鍵.

二、填空題

7.【答案】5兀

【分析】把半徑和圓心角代入弧長公式即可;

故填：57r.

【點撥】本題考查弧長公式的應用，準確記憶公式，并正確代入公式是解題的關鍵.

8.【答案】10

【分析】燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”，確定1-100中,

各個數(shù)因數(shù)的個數(shù)，完全平方數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個，從而求解.

【詳解】所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”；

因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，1-100中，完全平方數(shù)為1,4,9,16,25,36,49,64,81,

100；有10個數(shù)，故有10盞燈被按奇數(shù)次，為“亮”的狀態(tài)；

故答案為：10.

【點撥】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關鍵.

9.【答案】0.1

2

【分析】由已知求得AB與CD的值，代入s=A8+&CDL得弧長的近似值，利用弧長公式可求弧長的值，進

而即可得解.

【詳解】：OA=O3=2,ZAOB=90。,

AB=2近,

是弦AB的中點，。在42上，CD1AB,

延長。C可得。在。C上，OC=^AB=j2

CD=OD-OC=2-血,

90x2x2〃

\l-s\=|^-3|?0.1.

故答案為：0.1.

【點撥】本題考查扇形的弧長，掌握垂徑定理?；￠L公式是關鍵.

10.【答案】53；28

【分析】將所有工序需要的時間相加即可得出由一名學生單獨完成需要的時間；假設這兩名學生為甲、乙，

根據(jù)加工要求可知甲學生做工序4乙學生同時做工序8；然后甲學生做工序乙學生同時做工序C,乙

學生工序C完成后接著做工序G；最后甲學生做工序E,乙學生同時做工序R然后可得答案.

【詳解】解：由題意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分鐘），

即由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，需要53分鐘；

假設這兩名學生為甲、乙，

;工序C,。須在工序A完成后進行，工序E須在工序3,。都完成后進行，且工序A,B都需要9分鐘完

成，

二甲學生做工序A,乙學生同時做工序2,需要9分鐘，

然后甲學生做工序。，乙學生同時做工序C,乙學生工序C完成后接著做工序G,需要9分鐘，

最后甲學生做工序E,乙學生同時做工序R需要10分鐘，

若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，最少需要9+9+10=28（分鐘），

故答案為：53,28；

【點撥】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關鍵.

11.【答案】6200；9313

【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到c+d=（a+b）-8,進而

P（M}4（a+b）-8P（M}

7777^=--一，若M最大，只需千位數(shù)字。取最大，即a=9,再根據(jù)甘目能被10整除求得6=3,

e（M）a-5Q（M）

進而可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的“天真數(shù)”為6200；

根據(jù)題意，a-d=6,b-c=2,6<a<9,2<b<9,貝!]c+d=（a+6）-8,

尸（A/）=3（a+Z?）+c+d=4（a+6）-8,

.P（M）_4（a+&）-8

"2（M）--^5'

若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即a=9,

P（M）_4（9+/?）-8

=7+6

e（M）--9^5-

P（M}

渦能被10整除，

??b=3,

滿足條件的M的最大值為9313,

故答案為:6200,9313.

【點撥】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運算、整式的加減、數(shù)的整除等知識，理解新定義是解答的

關鍵.

12.【答案】—7；3〈左<4

【分析】（1）根據(jù)“和諧點”的定義得至1]32=4帆+/,%2=4><3+/,整理得至1]相2+4"?-21=0,解得見=-7,%=3

（不合題意，舍去），即可得到答案；

（2）設點（。,6）為雙曲線>=勺-3<彳<-1）上的“和諧點”,根據(jù)“和諧點”的定義整理得到（0-6）（0+6+4）=0,

k,s

由a】Z?得至lja+b+4=0,則b=-a-4,由b=—（—3<a<—1）進一步得至左=一（。+2）+4,且一3<4<—1,

a

根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質即可得到k的取值范圍.

【詳解】解：（1）若尸（3,㈤是“和諧點”，則32=4帆+人療=4x3+%,

22

則3—4m=t9m-12=t,

**?32—4m=m2—12，

即4+4帆-21=0,解得肛=-7,帆2=3（不合題意，舍去），

m=—7,

故答案為：-7

（2）設點（4力）為雙曲線>=1（-3<尤<-1）上的“和諧點”，

k

a2=4b+t,b2=4a+t,b=—（—3<a<—1）,

a

即a2-4b=b2-4a,

（a+Z?）（a—Z?）+4（a—>）