1剛體力學(xué)§3-1剛體運動的分析§3-2角速度矢量§3-3歐拉角§3-4剛體運動方程和平衡方程§3-5轉(zhuǎn)動慣量§3-6剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動§3-7剛體的平面平行運動§3-8剛體繞固定點的轉(zhuǎn)動2剛體：指在力的作用下，任意兩質(zhì)點之間的距離保持不變的質(zhì)點組。剛體是一個理想模型主要研究內(nèi)容：（1）剛體靜力學(xué)（2）剛體運動學(xué)（3）剛體動力學(xué)3一、描述剛體位置的獨立變量ox0y0z0cxyzcxyz§3-1剛體運動的分析3個約束9-3=6獨立變量，6個自由度A(x,y,z)(φ,,ψ)3個線坐標，3個角坐標（歐拉角）4二、剛體運動分類任何一點可描述剛體的平動cxyz自由度=3cxyz1、平動（在各時刻，剛體中任意一條直線始終保持平行）52.定軸轉(zhuǎn)動（剛體中有兩點是始終不動的，相應(yīng)直線不動）z0y0x0zyx自由度=163.平面平行運動（剛體任意一點始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運動）cxyzcxyz一定軸轉(zhuǎn)動+平面上基點運動自由度=1+2=374.定點運動（剛體中有一點始終不動的）z0y0x0z’y’x’z0y0x0zyx

y0z0y’x0x’’

z’’y’’qyzy0x0zy’’x’’

qx

歐拉角85.一般運動z0y0x0zyxx’y’z’oc3個平動坐標+3個轉(zhuǎn)動坐標=69三、剛體運動微分方程質(zhì)心運動定理質(zhì)心平動相對于質(zhì)心的動量矩定理繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動Cx'y'z'xyzo10一、有限轉(zhuǎn)動和無限小轉(zhuǎn)動§3.2角速度矢量11PM忽略二次小量

12二、角速度矢量PM13一、歐拉角ζηz’y’x’zyx

ηζy’ξx’’

z’’y’’qyzηξζy’’x’’

qx

歐拉角§3.3歐勒角（Eulerangle）：進動角：章動角：自轉(zhuǎn)角ξηζξ14yzηξζy’’x’’

qx

二、歐拉運動學(xué)方程在固連系上的投影式15在固定系上的投影式16①沿z軸，對x、y軸無分量。②沿ON軸，在x,y,z軸上的分量分別為③沿軸，在Oz、Oy’’上有分量，它在x,y,z軸上的分量分別為§3.3歐勒角（Eulerangle）第3章剛體力學(xué)

yxzηξζy’’x’’

qN17§3.4剛體運動方程與平衡方程一、力系簡化的依據(jù)第3章剛體力學(xué)公理1:二力平衡公理

作用在剛體上的二個力，使剛體處于平衡的充要條件：二力的大小相等、方向相反，且在同一直線上。公理2：加減平衡力公理。公理3：力的平行四邊形法則公理4：作用和反作用定律18§3.4剛體運動方程與平衡方程剛體在作用線相同、量值相同、但方向相反的兩個外力作用下，仍呈平衡狀態(tài)，其運動狀態(tài)不會發(fā)生任何改變。與抵消即作用在A點的力與作用在B點的力的效果相同。二、力系的性質(zhì)第3章剛體力學(xué)1、力的可傳遞性力為滑移矢量19注意作用點可移，但作用線不可移動，若作用線位置被移動，則力學(xué)的效果就會改變。力學(xué)的效果就會改變?！?.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)20力平移至O點后，必須加上一力矩2、力的平移定理§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)A點

o點的力學(xué)效果：+力偶矩213、力偶、力偶矩力偶：等大、反向、不共線的兩個力組成的力系。力偶矩（對任意一點O（矩心））：力偶臂方向:右手法則§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)22等效力偶:(1)力偶可在力偶面內(nèi)任意搬動，M不變時等效；(2)可使M不變，改變F、d,與原力偶等效?！?.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)力為自由矢量23三、力系的簡化（目的：找一簡單力系與原力系等效）1、平面力系的簡化§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)a.匯交力系(1).幾何法：平行四邊形法則(2).解析法：坐標投影計算b.平行力系o矢量和：(1).若R≠0，簡化為一合力，合力作用點：(2).若R=0,簡化為一力偶，力偶矩：簡化結(jié)果：要么一合力；要么一力偶24C.任意力系存在作用線相交的力，同時也存在作用線平行的力。只要同時使用匯交力系和平行力系簡化即能簡化。簡化的結(jié)果：一合力，或一力偶2、空間力系的簡化a.匯交力系--與平面情形類同b.平行力系矢量和：(1).若R≠0，簡化為一合力，合力作用線：25由此表明:

1)力偶矩與矩心無關(guān)，故M可畫在過力偶面任意點且與力偶面垂直的直線上，它是一自由矢量;2)M的唯一效果是引起轉(zhuǎn)動效應(yīng);

3)力偶不能與一力等效。(因為若等效，則可取其作用線上任意一點為矩心，則有M=0，發(fā)生矛盾)?！?.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)26c.任意力系的簡化§3.4剛體運動方程與平衡方程①設(shè)作用于剛體上的力系F1,F2,…..Fn，在剛體上任選一點O為簡化中心：第3章剛體力學(xué)(2).若R=0,簡化為一力偶，力偶矩27§3.4剛體運動方程與平衡方程將n個力分別平移至O，再加上n個對應(yīng)的力偶：第3章剛體力學(xué)28②將在O的n個力和力偶矩求矢量和，分別稱為力系的主矢和主矩。在實際問題中，通常選取剛體的質(zhì)心為簡化中心。主矢主矩§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)29d、改變簡化中心的影響不變?nèi)粝騉點簡化時,則簡化為O點的一合力合力R對O’點的力矩等于各力對同一點力矩的矢量和即：合力矩定理§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)30e、對簡化結(jié)果的討論①平衡力系②合成為力偶③簡化為過O點的合力④但

,可以進一步簡化為一合力在保證合力矩的等效力偶矩M大小不變的前提下，讓F與R相等?！?.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)31二、剛體的平衡方程1.剛體的平衡:剛體相對靜系保持靜止(既無平動，又無轉(zhuǎn)動)剛體平衡的充要條件是：§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)32在直角坐標系上的投影形式：§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)33平面一般力系力系在oxy平面，則有平衡方程：§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)（一矩式）34三矩式：平面上三點O1、O2、O3不共線二矩式：O1O2不與x軸垂直空間一般力系（靜定與超靜定問題）這里不討論?！?.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)35剛體在共面力系作用下平衡的另一種表述：①若一剛體在共面力系作用下處于平衡狀態(tài)，則此力系對任何三個不共線的點的主矩應(yīng)分別等于零（三矩式）。②共面力系可化為一力或一力偶，如對任一點的力矩為零，則力系就不可能簡化成一個力偶；如對任意三個不共線的點的力矩均等于零，則力系又不可能化為一個單力，因此剛體只能平衡。§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)36例一均質(zhì)的梯子,一端置于摩擦系數(shù)0.5的地板上，另一端則斜靠在摩擦系數(shù)為1/3的高墻上，一人的體重為梯子的三倍，爬到梯子的頂端時，梯尚未開始滑動，則梯與地面的傾角最小當為多少？（習(xí)題3.5）

解：設(shè)人爬到梯子頂端時梯子與地面傾角為α，梯重為P，人重為3P。選取平面直角坐標系oxy，以A為矩心，（如右圖）列平衡方程（平面力系）：§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)37（1）（2）（3）而（4）（5）由以上五個方程即可解得§3.4剛體運動方程與平衡方程第3章剛體力學(xué)38在《力學(xué)》中，我們學(xué)習(xí)過的轉(zhuǎn)動慣量定義為：§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)39一、剛體的動量矩剛體作定點運動時，某一質(zhì)點對o點的動量矩：對整個剛體§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)40動量矩J一般不與角速度ω共線而平動時，動量P與速度v總是共線的?！?.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)在定點轉(zhuǎn)動中，只有當，J與ω的方向才共線。41由§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)4243令：剛體對x軸、y軸、z軸的軸轉(zhuǎn)動慣量慣性積§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)44則得到寫成矩陣形式為轉(zhuǎn)動慣量矩陣§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)45二、剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體對定點O的轉(zhuǎn)動動能而因此§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)46三、轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動動能也可寫為剛體繞瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)47質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量分布不連續(xù)質(zhì)量分布連續(xù)質(zhì)心與轉(zhuǎn)動慣量計算的比較相似§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)48但二者的物理本質(zhì)不同！

質(zhì)心是物體作平動時的“質(zhì)量中心”（可看成質(zhì)量全集中于此），反應(yīng)物體平動的慣性。

轉(zhuǎn)動慣量與物體質(zhì)量分布與轉(zhuǎn)軸有關(guān)，反應(yīng)物體轉(zhuǎn)動的慣性。此時可將剛體按一定規(guī)律分布的質(zhì)量等效為集中于某一點。設(shè)該點離轉(zhuǎn)軸的垂直距離為k，則對同一軸等效前后的轉(zhuǎn)動慣量可表示為或?qū)υ撦S的回轉(zhuǎn)半徑§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)49平行軸定理垂直軸定理（僅適用于薄片且其中兩軸在其平面內(nèi)）§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)四、轉(zhuǎn)動慣量的具體計算定義：50剛體過定點o的任一軸線的轉(zhuǎn)動慣量由及得(α,β,γ)51例均勻長方形薄片的邊長為a與b，質(zhì)量為m，求此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。解法一：直接積分法如圖，設(shè)薄片厚度為t，密度為ρ，繞對角線轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為而即代入前式，得§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)52又所以，§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)53解法二：利用建立剛體坐標系，求Iij。因此§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)54又因此，§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)55解法三：選c為坐標原點對比以上三種方法，解法三最簡便！§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)56五、慣量橢球和慣量主軸§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)1.慣量橢球過固定點o的某軸的轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動瞬軸上選一點Q，且取，I為剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量，則Q點的坐標:因此，得慣量橢球方程57§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)58若以橢球主軸為坐標系，則慣量橢球方程簡化為（標準形式）：此時剛體的動量矩和轉(zhuǎn)動動能分別簡化為：§3.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)動量矩J一般不與角速度ω共線，當滿足以下條件時，才共線橢球主軸-慣量主軸；59②幾何法（適用于幾何對稱、質(zhì)量分布均勻剛體）Ⅰ.若剛體有一對稱軸，如oz軸，則該軸為慣量主軸,若有，必有其對稱點則此時z軸為慣量主軸?！?.5轉(zhuǎn)動慣量第3章剛體力學(xué)xyzoⅡ.如剛體有一對稱面，則此面的垂線為慣量主軸必有其對稱點則602.確定慣量主軸的方法①解析法利用“橢球與主軸交點的位矢與該點法線方向一致”。橢球方程：則在此交點處:或§3.5轉(zhuǎn)動慣量有非零解的條件，系數(shù)行列式=061例子：有一個均勻的立方體，密度為ρ，質(zhì)量為m，邊長為a,求立方體頂點o的慣量主軸。xyzo解：先求得0-xyz坐標下各軸的轉(zhuǎn)動慣量和慣量積同理有62此慣量橢球為旋轉(zhuǎn)橢球，先求I3軸線方向：有此主軸為對角線63今日箴言得意時應(yīng)善待他人，因為你失意時會需要他們。64§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)一、平動剛體運動時，如果在各個時刻，剛體中任意一條直線始終彼此平行，這種運動稱為平動。剛體上各點的速度、加速度均相同，因此通常以質(zhì)心的運動來代表剛體的整體運動。平動不一定是直線運動。1.運動學(xué)特征自由度為3。652.運動為微分方程①自由剛體：取質(zhì)心為代表（力系向質(zhì)心簡化）由三個獨立變量可以描述若已知，可解出不需用?？梢娮杂蓜傮w的平動和質(zhì)心運動無區(qū)別。§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)66二、定軸轉(zhuǎn)動1.運動學(xué)

(自由度為1)①剛體上各點均在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運動，平行于z軸的直線上的各點的運動情況相同，故可用垂直于軸的任一截面代表剛體，僅有一變量θ。②§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)672.動力學(xué)方程因或由（對固定點O）取z分量：§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)68若已知Mz、Izz，可解得θ=θ(t)。對固定點O的，在靜坐標系中投影，Iyz、Izx均變化。注意§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)693.轉(zhuǎn)動動能若外力是保守力則（可代替前面的力矩方程）§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)70例設(shè)質(zhì)量為m的復(fù)擺繞通過某點o的水平軸作微小振動，試求其運動方程及振動周期，并加以討論。解：設(shè)C為質(zhì)心，，剛體繞O點的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為I0，回轉(zhuǎn)半徑為k0，則剛體的重力矩為－mglsinθ。運動微分方程為§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)71由平行軸定理：即

因為振動是作微小的，故sinθ≈θ，方程的解為§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)72周期：§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)討論①周期形式與單擺類似，復(fù)擺相當于是擺長為單擺的振動，即73

②稱為等值單擺長，即將全部質(zhì)量集中在O’上的單擺，與復(fù)擺等效（周期相同），稱O’為振動中心?！?.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)復(fù)擺對O’的轉(zhuǎn)動慣量為：其振動周期為74三、軸上的附加壓力軸是一種約束，對剛體的作用力為約束反力。一般情況下，剛體為非對稱剛體，且轉(zhuǎn)軸并非是慣量主軸，質(zhì)心也不一定在轉(zhuǎn)軸上，剛體對軸承則有反作用力，或者說軸承對剛體有一作用力。剛體定軸轉(zhuǎn)動時，受到來自軸承的約束力，可用剛體的平動動力學(xué)方程（質(zhì)心運動方程）和轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程求解?！?.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)75當轉(zhuǎn)軸豎直時，A點：B點：主動力：由質(zhì)心運動定理和對A點的動量矩定理，得§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)76§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)77將求出的代入前面的方程，得§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)78可求出NAx、NAy、NAz、NBx和NBy、（剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程）§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)79討論1.軸上附加壓力為零的條件(與的受力情況比較）（1）剛體質(zhì)心在軸上（xc=0,yc=0）（2）轉(zhuǎn)軸是慣量主軸（設(shè)z為轉(zhuǎn)軸，對稱軸，則:Izx=0,Iyz=0）（3）（軸向外力為零）要不產(chǎn)生附加壓力，必須在時，各式左邊均為零。而其系數(shù)行列式不為零，因此變量必須均取零?！?.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)此時轉(zhuǎn)軸為中心慣量主軸

80

3.附加壓力為零時，剛體達到動平衡，此時即使消去約束，剛體將一直轉(zhuǎn)下去。此時轉(zhuǎn)軸稱為自由轉(zhuǎn)動軸。

4.附加壓力是由于剛體轉(zhuǎn)動時所產(chǎn)生的慣性力引起的，其主要部分。高速運轉(zhuǎn)的機器，制造與安裝質(zhì)量非常重要?。▌悠胶猓?.時的NA、NB稱為靜力反作用力。時的NA、NB稱為動力反作用力。例題P.142§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動第3章剛體力學(xué)81例2渦輪可以看作是一個均質(zhì)圓盤,由于安裝不善,渦輪轉(zhuǎn)動軸與盤面法線成交角

＝1o.渦輪圓盤質(zhì)量為20千克,半徑0.2米,重心O在轉(zhuǎn)軸上,O至兩軸承A與B的距離均為0.6米.設(shè)軸以12000轉(zhuǎn)／分的角速度勻速轉(zhuǎn)動,試求軸承上的壓力解：選取坐標軸如圖.圖中x,y,z是固定的坐標軸,而x’,y’,z’為幾何對稱軸.設(shè)在圖示瞬間,y和y’正好重合.顯然又如以O(shè)為參考點,則(1)首先要求出Izx,由坐標變換得這樣,求解式(1),得

在NAx與NBx式中第一項代表靜力反作用,第二項代表動力反作用,亦即軸上的附加壓力.把題給的數(shù)據(jù)代入得附加壓力而靜力反作用之和只有20×9.8=196N,可見動力反作用對軸承的危害更大.84SCIENCE公布125個科學(xué)前沿問題

1宇宙由什么構(gòu)成?2意識的生物學(xué)基礎(chǔ)是什么?3為什么人類基因會如此之少?4遺傳變異與人類健康的相關(guān)程度如何?

5物理定律能否統(tǒng)一?6人類壽命到底可以延長多久?7是什么控制著器官再生?8皮膚細胞如何成為神經(jīng)細胞?9單個體細胞怎樣成為整株植物?

10地球內(nèi)部如何運行?11地球人類在宇宙中是否獨一無二?12地球生命在何處產(chǎn)生、如何產(chǎn)生?13什么決定了物種的多樣性?14什么基因的改變造就了獨特的人類?15記憶如何存儲和恢復(fù)?16人類合作行為如何發(fā)展?17怎樣從海量生物數(shù)據(jù)中產(chǎn)生大的可視圖片?

18化學(xué)自組織的發(fā)展程度如何?19什么是傳統(tǒng)計算的極限?20我們能否有選擇地切斷某些免疫反應(yīng)?

21量子不確定性和非局部性背后是否有更深刻的原理?22能否研制出有效的HIV疫苗?23溫室效應(yīng)會使地球溫度達到多高?

24什么時間用什么能源可以替代石油?25地球到底能負擔多少人口?

26宇宙是否唯一?

27是什么驅(qū)動宇宙膨脹?28第一顆恒星與星系何時產(chǎn)生、怎樣產(chǎn)生?29超高能宇宙射線來自何處?30是什么給類星體提供動力?31黑洞的本質(zhì)是什么?32物質(zhì)為何多于反物質(zhì)?33質(zhì)子會衰減嗎?34重力的本質(zhì)是什么?35時間為何不同于其他維度?36是否存在比夸克更小的基本粒子?37中微子是其自己的反粒子嗎?38是否有解釋所有相關(guān)電子系統(tǒng)的統(tǒng)一理

論?39人類能夠制造最強的激光嗎?40能否制造完美的光學(xué)透鏡?41是否可能制造出室溫下的磁性半導(dǎo)體?42什么是高溫超導(dǎo)性之后的成對機制?85

43能否發(fā)展關(guān)于湍流動力學(xué)和顆粒材料運動學(xué)的綜

合理論?44是否存在穩(wěn)定的高原子量元素?

45固體中是否有超流動性?如果有，如何解釋?

46水的結(jié)構(gòu)如何?47玻璃態(tài)物質(zhì)的本質(zhì)是什么?48是否存在合理化學(xué)合成的極限?

49光電電池的最終效率如何?50核聚變將最終成為未來的能源嗎?51驅(qū)動太陽磁周期的原因是什么?52行星怎樣形成?53是什么引發(fā)了冰期?54使地球磁場逆轉(zhuǎn)的原因是什么?55是否存在有助于預(yù)報的地震先兆?56太陽系的其他星球上現(xiàn)在和過去是否存在生命?57自然界中手性原則的起源是什么?58能否預(yù)測蛋白質(zhì)折疊?59人體中的蛋白質(zhì)有多少存在方式?60蛋白質(zhì)如何發(fā)現(xiàn)其作用對象?61細胞死亡有多少種形式?62是什么保持了細胞內(nèi)的通行順暢?63為什么細胞的成分可以獨立于DNA而自行復(fù)制?64基因組中功能不同于RNA的角色是什么?65基因組中端粒和絲粒的作用是什么?66為什么一些基因組很大，另一些又相當緊湊?67基因組中的“垃圾”(“junk”)有何作用?68新技術(shù)能使DNA測序的成本降低多少?69器官和整個有機體如何了解停止生長的時間?70除了繼承突變，基因組如何改變?

71在胚胎期，不對稱現(xiàn)象是如何確定的?72翼、鰭和面孔如何發(fā)育進化?73是什么引發(fā)了青春期?74干細胞是否位于所有腫瘤的中心?75腫瘤更容易通過免疫進行控制嗎?76腫瘤的控制比治愈是否更容易?77炎癥是所有慢性疾病的主要原因嗎?78瘋牛病會怎樣發(fā)展?79脊椎動物在多大程度上依賴先天免疫系統(tǒng)來抵抗傳染病?80對抗原而言，免疫記憶需要延長暴露嗎?81為什么孕婦