2023-2024學年上海市高一年級下學期

5月月考數學試卷

2024.5

一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個

空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.

1.已知集合A=[—3,4],6=(0,5),則AB=.

2.己知扇形的半徑為2,圓心角為2弧度，則該扇形的面積為.

3.不等式立2..0的解集為.

2-x

4.函數y=tan的最小正周期為.

5.在平行四邊形ABCD中，石為3C邊上靠近點3的三等分點，AE=AAB+pAD,則的值為.

(1+(3—z)-

6.己知復數z=-----1:乙，為虛數單位，若z的模為20,實數”的值為______.

(1-2/)

7.方程log?(9'-4)=x+1的解x=.

8.已知復數z滿足|z-1+2“=1,i為虛數單位，則|z|的最小值為.

9.若函數y=慟一3|-加-1有且僅有2個零點，則實數m的取值范圍是.

10.已知點4(3,4),將。4繞坐標原點。逆時針方向旋轉;至。8,再將。8延長至OC,使OC=2O8,

則點C的坐標為.

11.已知正AABC的邊長為2,ZVLBC所在平面內有一動點尸，滿足同=1,則AP-BP的最小值為.

12.函數y=6sin2%+2$皿尤+4&?05》的最大值為.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分)每題有且只有一

個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.方程V—6x+a=0的一個根為x=3+i,其中i為虛數單位，則實數”的值為()

A.-10B.10C.6D.8

14.已知y=/(x)是定義在R上的偶函數，且當xw(-oo,0)時，"x)=f—/+1,則當xe(0,+8)時，

小)=()

A.x2—e*+1B.x2+e"+1C.—e"+1D.—x~+e'—1

1

15.已知0>0,順次連接函數=J^sin69x(G>0)與g(x)=J^cos3r的任意三個相鄰的交點都構成一

個等腰直角三角形，則切=()

717T一7T冗

A.—B.—C.—D.—

8642

---___---TT-2

16.己知a,。,e是平面向量，且e是單位向量，若非零向量。與e的夾角為一，向量b滿足》-4e2+3=0,

4

則,一目+,一’的最小值是()

A.y/s—2B.—1C.2D.y[5

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必

要的步驟

17.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

已知向量。與6的夾角為?，且W=2，W=3

(1)求囚―2@的值

(2)若(a+Z〃)_La,求實數k的值

18.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

已知復數4=a+4i,Z2=4+3i,i為虛數單位，其中。是實數

(1)若五是實數，求。的值

Z2

(2)若復數4云在復平面內對應的點在第二象限，求。的取值范圍。

2

19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

設AA8C三個內角A、B＞。所對的邊分別為a、b、c,已知。=工，acosA=bcosB.

3

（1）求角3的大??；

（2）如圖，在AABC內取一點P,使得依=2,過點P分別作直線B4、3C的垂線BW、PN,垂足分別是

M、N.設NPB4=a,求四邊形的面積的最大值及此時a的值.

20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題8分，第3小題6分）

在平面直角坐標系xQy中，以天軸的正半軸為始邊作銳角a和鈍角/，它們的終邊分別與單位圓交于

4（%,兇）,3（%2，%）兩點

3

(1)當％二W時’求cos2a的值

(2)當y=,y2=時，求角。+尸的值

(3)當y=Q時，記角e=求滿足等式

sin0sin0sin0sin0

-----------------4---------------------------+------------------------+-----------=6的所有1的值

cos4。cos3。cos3。cos28cos2。cos8cos。

3

21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

已知函數y=若對于任意的實數/(a),/(。),/(。)都能構成三角形的三條邊長，

則稱函數y=/(x)為。上的“完美三角形函數”

(1)記y=/(x)在。上的最大值、最小值分別為〃％)皿，/(%".，試判斷是

“y=/(x)為。上的“完美三角形函數"”的什么條件？不需要證明

(2)設向量利=(2后sinx,2cos=(J5cosx,Acosx),若函數g(x)=，〃?“一k+l為0,y上的''完美

三角形函數”，求實數％的取值范圍；

(3)已知函數〃(x)=cosx為[0,。](。為正的實常數)上的“完美三角形函數”。函數〃(x)=cosx,xe[0,。]

的圖像上，是否存在不同的三個點A,民C,它們在以x軸為實軸，y軸為虛軸的復平面上所對應的復數分別

為zi,z2,z3,滿足ReZ]+Rez3=2Rez2,且Imz〕+Imz3=V3Imz,?若存在，請求出相應的復數zx,z2,z3,

若不存在，請說明理由。

2023-2024學年上海市高一年級下學期

5月月考數學試卷參考答案

一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個

空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.

1.已知集合A=|-3,4],8=(0,5),則AB=.

【答案】(0,4]

【解析】An6=(0,4]

2.已知扇形的半徑為2,圓心角為2弧度，則該扇形的面積為.

【答案】4

【解析】根據扇形的弧長公式可得/=ar=2x2=4,

根據扇形的面積公式可得S='x2*4=4.

2

3.不等式上2..0的解集為.

2-x

4

【答案】[—3,2)

【解析】S..0,即言“。,

2-x

則(x+3)(x—2),,0且x-2/0,解得T,x<2，

故不等式的解集為[—3,2)

4.函數y=tan](■-的最小正周期為.

7T

【答案】-

2

TT7T

【解析】T=LF=—

-22

5.在平行四邊形A8CD中，E為8c邊上靠近點B的三等分點，AE=AAB+^AD,則初的值為.

【答案】-

3

【解析】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊上靠近點8的三等分點,

AE=AB+BE=AB+^BC=AB+^AD,S.AE=AAB+pAD,

根據平面向量基本定理得，2=l，〃=g

(l+miV(3-z)-

6.已知復數z=^----為虛數單位,若z的模為20,實數機的值為________________.

(1-2/)-

【答案】±3

|z|=20,.'.|z|=20

(1+〃”)3(3-i)1-3m2+3mi-m3

【解析】.?."]=207.方程

(1-202。-2爐

=>;?=±3

v

log3(9-4)=%+l^^x=.

【答案】logs4

5

【解析】log,(9'-4)=x+l.

.-.9v-4=3'+,

.,.(3*)2—”-4=0,

3V=4x=log,4,或3*=-l（舍）

8.已知復數z滿足|z-l+2i|=l,i為虛數單位，則|z|的最小值為.

【答案】V5-1

【解析】復數z滿足|z-l+2i|=l,則復平面內，復數z對應的點在以（1,-2）為圓心，以1為半徑的圓上,

如圖：

則|z|的最小值為b-1

9.若函數y=2'—3]一加一1有且僅有2個零點，則實數m的取值范圍是.

【答案】（一1,2）

【解析】由題意知有|2'—3|=m+1兩個交點

函數的圖像如圖所示

則0v〃2+1<3=>—1v機v2

10.已知點A（3,4）,將Q4繞坐標原點。逆時針方向旋轉;至OB,再將OB延長至OC,使OC=2OB,

則點C的坐標為.

【答案】（3-46,4+3百）

43

【解析】設。4的終邊對應的角為a,sina=—,cosa=—，則的終邊對應的角為

55

6

cr+—B=5cosa+—,5sina+—=

3II3；I3jJ

℃=208=（3-40,4+3百）

11.己知正AA6C的邊長為2,A46c所在平面內有一動點P,滿足「尸卜1,則ARBP的最小值為

【答案】[3-273,0]

【解析】以C為坐標原點，C4為x軸，過C與C4垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，

C（0,0）,A（2,0）,5（l,6）,P（cosa,sina）（aG冗

0,

3

/.AP-BP=(cosa-2,sina).(cosa-1,sina-G)

=cos2a-3cosa+2+sin2a-Gsina

=3-2Gsin(a+3

八)]乃「42乃].(乃、<3,

a￡0,一，.\aH—G-,—,sinccH—G—,1

L3j3133」I3JL2

3一2&sin(a+?)e[3—2百,o]

12.函數y=Gsin2x+2sinx+4百cosx的最大值為.

17

【答案】—

2

【解析】

7

y=百sin2%+2sinx+473cosx

=2>/3sinxcosx+25/3cosx+2sinx+2\/3cosx

=26cosx(1+sinx)+2&inx+百cosx)

/岳2+sinx[+4s

I2JmI3)

=_21s、i?nf^x+吟jif+4)si?n[rx+§吟

17

+4

T

當x=2版■+工(AwZ)時上式等號成立

6

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分)每題有且只有一

個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.方程/-6彳+。=0的一個根為x=3+i,其中i為虛數單位，則實數。的值為()

A.-10B.10C.6D.8

【答案】B

【解析】方程f-6x+“=0的一個根為x=3+i,

程d_6x+a=0的另一個根為3-Z,

故選：B.

14.已知y=/(x)是定義在R上的偶函數，且當x?—8,0)時，/(x)=f_e*+l,則當xw(0,+8)時，

〃x)=()

A.x2—e*+1B.+e，+1C.x?—e'+1D.—x-+e'—1

【答案】C

【解析】設x〉0,則T<0,則/(x)=/(—x)=x2-e-'+l

故選C

15.已知0>0,順次連接函數/(x)=與g(x)=J^cosmr的任意三個相鄰的交點都構成一

個等腰直角三角形，則。=()

717171ir

A.—B.—C.—D.一

8642

【答案】D

【解析】如圖所示，在函數/(%)=遙sins(G>0)與g(x)=J^coss的交點中，

8

\AC\=T=—,

co

令&sin力工=遍coscox,即tanmx=1,

不妨取0X1=,cox2=?，

^\AC\=X-X,=—,

2CD

因為三個相鄰的交點構成一個等腰直角三角形,

101rr

則上|AC|=2,即|AC|===4,

2a)

所以。=工.

2

故選：D.

---TT-2

16.已知a,0,e是平面向量，且e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為工，向量b滿足。-4e2+3=0,

4

則,一目+,一4的最小值是()

A.y/s-2B.5/5-1C.2D.,^5

【答案】B

【解析】b-4e-b+3=0=Z/-4e-b+3e2=0n(b-e)-(b-3e)=0,；.(b-e)_L(0-3e)

設OA=e,O8=b,OC=a,以。為原點，。4的方向為x軸正方向，建立如圖所示的坐標系

由伍一@_1_0_3a,得點6在以0(2,0)為圓心，以1為半徑的圓上

又非零向量。與e的夾角為7，設a的起點為原點，則a的終點在不含端點0的兩條射線y=±x(x>0)±,

設C(x,-x)

9

卜—囚+卜―e卜的最小值為i

|cZ)|+1Ac|=J(尤-'1)-+『+-2)~+x~=-2x+1+，2x「-4x+4

表示點(x,0)到和(1,1)的距離之和的最小值的0倍

則最小值為&+(g+l)=也

故選B

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必

要的步驟

17.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

己知向量。與B的夾角為三，且忖=2,什=3

(1)求加一2H的值

(2)若(。+攵求實數女的值

_4

【答案】(1)6；(2)一一

3

【解析】

(2)^a+kb^La,：.[a+kb^-a=0=>|a|+ka-b-0=>22+^x2x3xcosy=0

4

:.k=—

3

io

18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

已知復數4=a+4i,Z2=4+3i,i為虛數單位，其中。是實數

7

（1）若二?是實數，求4的值

Z2

（2）若復數4公在復平面內對應的點在第二象限，求a的取值范圍。

【答案】⑴y:(2)(-00,-3)

【解析】

Z]a+4/(a+4i)(4—3i)4a+12+(16—3a)i

z24+3/(4+3/)(4-3z)25

因為與7是實數，則16—3。=0,，a=1廿6

z23

(2)Z0=(a+4i)(4—3i)=4a—3ai+16i+12=(4a+12)+(16—3a)i

a<—3

—4a+12<0

因為復數Z1Z2在復平面內對應的點在第二象限，則j]6_3a〉0=><16na<—3

a<——

I3

19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

設AABC三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知C=工，acosA=bcosB.

3

（1）求角3的大小:

（2）如圖，在AABC內取一點P,使得P3=2,過點P分別作直線54、的垂線PM、PN,垂足分別是

M.N.設“R4=a,求四邊形的面積的最大值及此時a的值.

【答案】（1）（2）a=工時，四邊形RM&V的面積取得最大值百.

36

【解析】

(1)由acosA=〃cos3及正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

又Aw(0,7r),Bw(0/),

11

.?.有A=B或A+8=C,

2

又:C/，得A+3=紅，與4+8=工矛盾，

332

A=8,

3

(2)由題設，得在RtAPMB中，PM=PBsinZPBM=2sina,

在RtAPNB中，PN=PBsmZPBN=PB-sin(y-NPBA)=2sin(^-a),ae(0,。)，

^VWtiPMBN=S&WBP+S"BN

=-BMMP+-BNPN

22

1__1_.7L、_7T、

=-x2cosax2sina+—x2cos(----a)x2sin(-----a)

2233

=sin2a+sin2(y-a)

/7zl①G?O'

=V3(—cos2a+—sin2a)

二石sin(2a+為，

6

a￡(0,-)?

/.2a+-e(—,—),從而有sin(2a+K)￡(［，1］,

66662

即Gsin(2a+—)e(—，x/3］，

62

20.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題8分，第3小題6分)

在平面直角坐標系中，以無軸的正半軸為始邊作銳角a和鈍角夕，它們的終邊分別與單位圓交于

兩點

3

(1)當X]=g時，求cos"的值

12

（2）當弘=￥，%=常。時，求角a+夕的值

（3）當時，記角夕=，。。€/?）,求滿足等式

―.里+一」嘰+」in"卡包應=G的所有，的值

cos4。cos3。cos3。cos28cos2。cos8cos。

rdI

【答案】(I)—--；(2)—：(3)/=3%+上或r=6Z+2(ZeZ)

2542''

【解析】

7

(1)由題意知%=-,^=y,sina=—,cosa=cos2a=cos2a-sin2a=

25

3>/io275Vio

⑵-y=—,y------x,=---------

210,5IF

???sin”更sin加還,:心"氈,c°s￡=一巫

510510

/.sin(a+^)=sin<7cos/?+sin/?cosa------X

5

0va<—,—<夕<7i、—<</+/?<—

力3兀

:.a+/3=-j

1]JI

(3)當y=一時、sina=—,故a=—

1226

sin0sin0sin0sin6

------------------------1--------------------------1------------------------1-----------

cos4。cos3。cos36cos26cos2。cos6cos。

sin(4。-3。)sin(3。一2。)sin(26-6)sin6

cos46cos3。cos36cos2。cos26cos6cos。

=(tan40-tan3。)+(tan30-tan28)+(tan2。-tan6)+tan0

=tan40

LL74mFT

所以tan----=y/3

6

故F=Z?+?(AGZ),從而f=?Z+g(A€Z)

由tan46=由，知cos26wO,cos。wO

由cos36w0,得---。根乃+一即，工2帆+1（帆￡2）

62

31

故/=/%+耳且/02加+1Z)

13

即f=3左+g或f=6Z+2（keZ）

21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

已知函數y=/(x),xe。，若對于任意的實數伍ceD,/(?),f(b),f(c)都能構成三角形的三條邊長，

則稱函數y=/(x)為。上的“完美三角形函數”

⑴記"在。上的最大值、最小值分別為〃%),/(%).,試判斷“2f(x).>f(x)”是

“y=/(x)為。上的“完美三角形函數"”的什么條件？不需要證明

(2)設向量/〃=(2ksinx,2cosx),”=(Gcosx,kcosx),若函數g(x)=〃??〃一女+1為0,y上的''完美

三角形函數”，求實數人的取值范圍；

⑶已知函數〃(x)=cosx為[0,句(。為正的實常數)上的“完美三角形函數二函數〃(x)=