山西省晉中市2024屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)訓(xùn)練考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.復(fù)數(shù)上乜在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合A={0,L2,3},5={xeN|V—5x+420}則AB=（）

A.{1}B.{1,2}C.{0,l}D.{1,2,3}

3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A./(X)=2HB./(x)=V

lux,x>0,

C.f(x)=xD"(x)=<

-In(-%),%<0

4.已知圓+4x+2y+l=0,過圓C外一點(diǎn)尸作兩條夾角為g的直線分別與圓

C相交，當(dāng)所得的弦長均為2時，|CP|=（）

A.2B.273C.4D.3V2

5.如圖，16顆黑色圍棋子構(gòu)成4x4的正方形網(wǎng)格，從其中任選3顆互相連線，可以

圍成不同的三角形的個數(shù)為（兩個三角形中至少有一個頂點(diǎn)不同即認(rèn)為是不同的三角

A.576B.528C.520D.516

兀兀..c3

6.已知,sina+sinp=--,cosa-cos/?=5-則5111(0+0=()

B小

A.BC.-D.--

2222

JT

7.已知三棱錐尸—ABC中，PA=PB=4,PC=1,/APB=ZAPC=/BPC=—,M,

3

N,T分別為棱A3,AC,P3的中點(diǎn)，則直線PM與NT所成角的正切值為()

A.472B.4百C.5拒D.2V13

22

8.已知雙曲線C:/方=1(?！?力〉0)的左焦點(diǎn)為R過點(diǎn)R且斜率為g的直線與C

的兩條漸近線分別交于點(diǎn)“，N且M,N分別位于第二、三象限，若嗎=!，則C

\NF\2

的離心率為()

A.逅B.正C.叵D.V3

233

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有()

A.在樣本數(shù)據(jù)a，y)(i=L2,3,.,10)中，根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程為

y=3x-l,去除一個樣本點(diǎn)(為乂)后，得到的新線性回歸方程一定會發(fā)生改變

B.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x,y的相關(guān)系數(shù)為「那么「越大，x,y之間的線性相關(guān)程

度越強(qiáng)

C.若散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則決定系數(shù)R2=1

D.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高

10.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽滿足/(x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y),且

〃0)w—1,/(1)>-1,則下列說法正確的是()

A./(0)=0為非奇非偶函數(shù)

C.若/(1)=1,則”4)=15口./(九)>—1對任意.?4*恒成立

11.在正四棱臺ABC。-46Gq中，43=24月=4則下列說法正確的是()

A.若正四棱臺內(nèi)部存在一個與棱臺各面均相切的球，則該棱臺的側(cè)棱長為加

B.若正四棱臺的各頂點(diǎn)均在一個半徑為M的球面上，則該棱臺的體積為28a

C.若側(cè)棱長為百，M為棱與G的中點(diǎn)，P為線段上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則

不可能成立

D.若側(cè)棱長為百，。為棱5用的中點(diǎn)，過直線C|Q且與直線與。平行的平面將棱臺分

割成體積不等的兩部分，則其中較小部分的體積為4

三、填空題

22

12.已知橢圓C:芯+/=1(?！等恕?)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，C上一點(diǎn)P滿足

\PF]=\PF2\=\PFi+PF2\=2,則4月/戶=.

13.下面給出一個“三角形數(shù)陣”：

X

2

12

136

24816

該數(shù)陣滿足每一列成等差數(shù)列，每一行的項(xiàng)數(shù)由上至下構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，從

第3行起，每一行的數(shù)由左至右均構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，記第1行的數(shù)為％,第2

行的數(shù)由左至右依次為的，%依次類推，則400=______..

14.已知函數(shù)f⑻=|acose+Z?sinq+|asin。-/2cos的最大值為4四,則滿足條件b>e"

的整數(shù)。的個數(shù)為.

四、解答題

15.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c已知b?+c?+60=".

(I)求tanA；

(II)若)=(8+l)c,在邊BC上(不含端點(diǎn))存在點(diǎn)。使得AD=1,求。的取值范

圍.

16.已知函數(shù)/(X)=；三+ax,?eR.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)g(x)=/(x)+21nx存在兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

17.如圖，在六面體ABCDE中，BC=BD=瓜,ECLED且EC=ED=6,ABH

平面CDE,AEH平面BCD,AE±CD.

(I)證明：平面ABE_L平面CDE；

(H)若點(diǎn)A到直線CD的距離為2a,R為棱AE的中點(diǎn)，求平面與平面BCD

夾角的余弦值.

18.甲、乙兩名同學(xué)玩擲骰子積分游戲，規(guī)則如下：每人的初始積分均為0分，擲1

枚骰子1次為一輪，在每輪游戲中，從甲、乙兩人中隨機(jī)選一人擲骰子，且兩人被選

中的概率均為上當(dāng)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)不小于3時，擲骰子的人積2分，否則此人積1

2

分，未擲骰子的人本輪積0分，然后進(jìn)行下一輪游戲.已知每輪擲骰子的結(jié)果相互獨(dú)立.

(I)求經(jīng)過4輪游戲，甲的累計(jì)積分為4分的概率；

(II)經(jīng)商議，甲、乙決定修改游戲規(guī)則，具體如下：甲、乙輪流擲骰子，誰擲誰積

分，第一次由甲擲.當(dāng)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)不小于3時，積2分，否則積1分.甲、乙分別在

5~25分之間選一個整數(shù)分?jǐn)?shù)(含5分和25分)，且兩人所選的分?jǐn)?shù)不同，當(dāng)兩人累

計(jì)積分之和首先等于其中一人所選分?jǐn)?shù)時，此人贏得游戲.記兩人累計(jì)積分之和為n的

概率為P(〃).

(i)證明：｛P(”+l)—P(")｝為等比數(shù)列.

(ii)甲選哪個分?jǐn)?shù)對自己最有利？請說明理由

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P為動點(diǎn),以線段為直徑的圓與

y軸相切.

(I)求動點(diǎn)P的軌跡r的方程.

(II)已知點(diǎn)A(L2),問：在r上是否存在點(diǎn)3,C,使得△ABC為等邊三角形？若

不存在，請說明理由；若存在，請說明這樣的點(diǎn)3,C有幾組(不必說明點(diǎn)3,C的坐

標(biāo)).

參考答案

1.答案：A

解析：l±i=2+3i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（士」位于第一象限.

2-i55（55）

2.答案：C

解析：因?yàn)?=5%+420}={xwN|或x24},所以AB={O,1}.

3.答案：C

解析：根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象，可知C正確

4.答案：B

解析：由題可知，圓C的半徑為2.當(dāng)直線被圓截得的弦長為2時，弦心距為6,結(jié)合

對稱性，可得|CP|=2g.

5.答案：D

解析：可以圖成Cl-IOC：-4C；=516個不同的三角形

6.答案：B

解析：兩式平方后再相加，2+2（sin6Zsin/?-coscrcos/?）=3,所以

cos（a+/）=一；,由％,得a+^金［一兀兀］,所以°+/=一日或g又

3

sma+smj3=-—<-1,所以a,，€—-^-,0所以a+,=,sin(c)f+/?)=~~~~

7.答案：C

解析：t己PA=〃，PB=b,PC=c,貝lJPM=；(a+b),

77V=5(a+c)-g/?=g(a+c—6),a?b=8,a-c=29/7?c=2則

PMTN=；(a+Z?)?；(a+c-Z?)=；(Q2-/?2+^.c+Z?-cj=l,|PM|=g'(a+.J-?+,

網(wǎng)=；J（“+j）2后+C1+1}1+2a-c—2a-b—2c-b=

乙乙2

PMTN1回

設(shè)直線PM與NT所成的角為6,則cos。二

717~51~

I網(wǎng)?同一2逝X---------

2

sin，="1。2,所以tand=5V^.

8.答案：B

解析：設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn).由”=工，得巨皿=L又兩漸近線關(guān)于x軸對稱，所以

|而|2SOFN2

出4=工.令=則NM0O=空—e,NFN。=巴—4由正弦定理得即

|NO|233

解得tan，=#,,bA/3

\MO\|NO|+故_=J,

a3

所以C的離心率e=

a

9.答案：CD

解析：對于A若去除的點(diǎn)恰好在原回歸直線上，則去除該點(diǎn)后，回歸方程不會發(fā)生改

變，故A錯誤；

對于B,H越接近于1,則x,y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B錯誤；

對于C,若散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非的直線上，則變量與變量之間滿足線性

函數(shù)關(guān)系，決定系數(shù)收=1,故C正確；

對于D,在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明波動越小，即模型的擬

合精度越高，故D正確.

10.答案：ACD

解析：對于A,令尤=y=o,W/(0)+[/(0)]2=0,解得/(0)=0或/(0)=-1,

又“0)0—1,所以"0)=0,故A正確；

對于B,令/(司=0,滿足題意，顯然/("=0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故B錯

誤；

對于C,令x=y=l,M/(2)=[/(l)]2+2/(l)=3,令x=y=2,得

/(4)=[/(2)]2+2/(2)=32+2x3=15,故C正確;

對于D,由〃x+y)=〃x)/(y)+〃x)+〃y)，得

/(x+y)+l=[f(x)+l][/(y)+l],令y=l,得4%+1)+1=[/(力+1]"(1)+1],因

為了⑴>—1,所以/⑴+1>0,累乘得〃x)+l=[/⑴+邛，xeN*所以

/(x)+l>0,/(X)>-1故D正確.

11.答案：ACD

解析：對于A,如圖(1),設(shè)H,G,I,K分別為棱用G，A。，AD,的中點(diǎn)，

當(dāng)正四棱臺存在內(nèi)切球時，球的大圓。為等腰梯形HG/K的內(nèi)切圓，根據(jù)切線長定

理，可知G/=里+至=3,此時，正四棱臺側(cè)面的高為3,側(cè)棱長為M，故A正

22

確；

圖⑴

對于B當(dāng)正四棱臺的外接球半徑為加時，其上、下底面均為球的截面圓對應(yīng)的內(nèi)接

正方形，截面圓的半徑分別為0,2夜因?yàn)?<麗，20〈碗故截面圓均為外接

球的小圓，因此符合要求的樓臺有2個，故B錯誤；

對于C當(dāng)側(cè)棱長為g,正四棱臺的高為1,取棱G2的中點(diǎn)連N接MN,DN設(shè)MN

與AC交于點(diǎn)。一則P為線段3M上的動點(diǎn)時，直線。尸在平面3DNM內(nèi)，根據(jù)正四

棱臺的性質(zhì)，可知ACL8。，假設(shè)DPLAC(P與3不重合)，則必有A。，平面

(歷、

BDNM,建立如圖(2)所示的空間直角坐標(biāo)系，則Q(0,0,0),0]-—,0,1,

12,

/rr\

A(后,0,1)，C(-2A/2,0,0),AC=(-3^,0,-1),。2。1=—苧，°」則

4。。2。；=2/0,即4。與QO]不垂直，故AC_L平面3DW不成立，故假設(shè)不成

立，故C正確;

圖（2）

對于D,當(dāng)側(cè)棱長為由時，正四棱臺的高為1,根據(jù)條件可作出符合題意的截面

QQSTP,如圖（3）所示，截面下方的多面體體積V=%_CEF-%.BES-匕3"根據(jù)截面

性質(zhì)，可以得出S,T,P分別為樓A3,AD,的中點(diǎn)，且BE=DF=2,故

%m=Hx6x6xl=6,同理可得％西人36,所以丫言，根據(jù)棱臺的體

積公式，可得正四棱臺的體積為生，所以截面上方多面體的體積為4,故較小部分的

3

體積為4,故D正確.

圖（3）

12.答案:6

解析：設(shè)C的半焦距為c（c>0）.由===可知尸是C的短軸端

點(diǎn)，所以，制=。=2,|四+班卜2人=2得。=百，所以

2

FlF^F1P=F1F^FlO=2c=6（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

13.答案：1792

解析：由題意，每一行的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成通項(xiàng)公式為2=〃的等差數(shù)列，則前〃行的項(xiàng)數(shù)和

為華D,由當(dāng)tDwioo,“eN*得“W13.前13行共91項(xiàng)，所以為。為第14行的

第9項(xiàng).由題可知第14行第1項(xiàng)為7,所以q0o=7x2'=1792.

14.答案：5

解析：

|(2cos0+Z?sin+1asm0-Z?cos0\=y]a2+b2|cos(8—0)+《a2+/卜in(8—0)

=J/+/.(icos(g—o)|+lsin(8_,其中tan夕，而

Ra2+廿[cos(e—°)+sin(e—e)]=^2a2+2b2.sin<yj2a2+2b2當(dāng)且僅當(dāng)

夕一0+：=]+2左兀，左EZ時等號成立，故

(|tzcos^+Z?sin^|+|asin0-Z?cos^1)^=q2a2+2b?=4^2,得片+/?2=16,點(diǎn)(〃,b)落在

以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓周上，若b〉e。，則點(diǎn)(〃力)落在函數(shù)丁=^圖象的上

方，驗(yàn)證可知，滿足條件的整數(shù)。有5個.

15.答案：⑴tanA=-73；(II)]乎,3+6

序q2_211

解析：(I)由已知及余弦定理，得cosA=g°Jz￡￡=」,又Ae(O,兀)，

2bc2bc2

所以A=女，所以tanA=-6.

3

(II)因?yàn)閎=(6+l)c,由正弦定理得sinB=(百+1卜inC,

(I)知3+C=巴，故。=二—5代入上式，

33

得sinB=(也+1卜in葭-“，化簡得(6+3)sinB=(百+3)cosB,

所以tanB=l,又3為銳角，所以3=巴，C=—,

412

當(dāng)AD=1時，在△ACD中，設(shè)NA￡>C=6>,則二，生]

(412)

由正弦定理得-吆，故6=網(wǎng)電

sinC.71

ADsin——

12

因?yàn)閟inC=sin《=”&，所以b=（痛+虛卜in。.

.2K

在△A5C中，由正弦定理得巴=sm''AC=:上=如,

sinB.兀2

bsin—

4

故。=手6=（3+逐卜in。，因?yàn)樗詓inge&,1

所以。的取值范圍為（逅,3+6.

16.答案：（I）答案見解析；（II）（^o,-3）

解析：⑴/（%）=三十〃.若"20,則r（x"o恒成立/（%）在R上單調(diào)遞增

右由〃<o,r（x）=o得x--j-〃或j-〃.

當(dāng)（—00,—時/'（X）>O,當(dāng)尤W（—時yr（x）<o,

當(dāng)X￡（V^,+00）時故/（X）在卜8,和+oo）上單調(diào)遞增,

12

(II)由題意知且(％)=/(%)+21皿=—兀3+以+2111￥(%>0),g'(x)=%2+a+—.

3x

7

根據(jù)題意知g'（x）=V+a+3=0在（0,+8）上有2個不等的變號根.

X

由%2+〃+2=0,得一〃=12+2.令力（％）=X2+—,貝Ij//（%）=Ix--^--―—---.

XX-JCJCJC

當(dāng)（0,1）時，力⑺單調(diào)遞減,當(dāng)工?1,+00）時力（X）單調(diào)遞增,

所以/1（%）喻”=M1）=3，又當(dāng)1>0且uO時，/z（x）f+8,當(dāng)尤f卡x）時，

人（力3+8,所以一a43,+oo）,得-3）.故〃的取值范圍是（-8,-3）.

17.答案：（I）答案見解析；（H）叵

解析：（I）設(shè)平面ABE直線CD=M,連接ME,M3則平面ABE，平面

CDE=ME,平面AB?平面5CD=MB,因?yàn)锳B〃平面CDE,ABu平面ABE,平

面ABE,平面CDE=ME,所以AB//ME.同理，AEUMB,所以四邊形ABWE是平行

四邊形.

因?yàn)镃DLAE,AE〃四B所以CD_LM3,又BC=BD—,所以航為棱CD的中點(diǎn)

在△（?￡>￡中，EC=ED,MC=MD所以C￡）J_ME,CD±AB.

因?yàn)锳BAE=A,AB,AEu平面ABE,所以CD,平面ABE,

又CDu平面CDE,所以平面ABE，平面CDE.

（II）由（I）可知，CD,平面A3ME,又AMu平面ABWE,所以CDL40,

所以AM=2后.在等腰直角三角形CDE中，由EC=ED=O,得CD=2,

MC=MD=ME=1.

在等腰三角形BCD中，由MC=MD=1,BC=BD=^^BM=非,

在平行四邊形ABME中，AE=BM=亞,AB=EM=1,川0=2血由余弦定理得

cosNMEA=—與,所以cosN3ME=半，所以3E=2.因?yàn)?/p>

叱+叱=2?+/=（可=5“，所以BE,ME,

因?yàn)槠矫嫫矫鍯DE,平面ABME平面CDE=VE,

所以BE,平面CDE,以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線EC,ED,EB分別為x軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

E（0,0,0）,C（V2,0,0）,D（0,V2,0）,B（0,0,2）,A一與一與,2

（

卜_________

4'4

7

所以CD=b""0),DB=(0,-V2,2),

rD—1-4-,---4---,1J.

mCD=0口口—A/2%1+-0

設(shè)平面BCD的法向量為〃z=a，x，zj,則＜即《

m?DB=0—+22]=0

則即取玉=2,則m=(2,2,0卜設(shè)平面AD廠的法向量為〃=(%,%,Z2),

工+也

n-FB=0口口4々+4%+Z2=-n°^Z=1,則〃=卜3&,四,1).

則即《2

ri-DB-0

—\/2y2+2Z2=0

m-n\-372A/W5

設(shè)平面BDF與平面BCD的夾角為夕，則cos?=-~--

同蟲V10xV2135

即平而回與平面脆夾角的余弦值為繆.

18.答案：(I)上也；(II)答案見解析

1296

解析：(I)甲每輪游戲的積分可能為0分、1分、2分，記其每輪積分為0分、1分、

2分的概率分別為尸⑼，P(l),P(2)則尸⑼=LP(l)=lx-=-,

2236

「⑵

故經(jīng)過4輪游戲，甲的累計(jì)積分為4分的所有可能情況如下：4輪中甲擲2輪，且每輪

積分均為2分；4輪中甲擲3輪，每輪積分分別為2,1,1；甲擲4輪，每輪積分均為

1分.所以經(jīng)過4輪游戲，甲的累計(jì)積分為4分的概率

289

1296

(ID(i)記“累計(jì)積分之和為〃+2”為事件A.，“累計(jì)積分之和為〃+1”為事件

An”累計(jì)積分之和為九”為事件4,則

21

P(H+2)=P(A,)P(A,+2IA,)+^(A+I)^(AI+2IA+1)=^)x-+P(?+i)x-,

2

KP(?+2)-P(n+l)=-j[P(H+l)-P(H)].

又p（i）=gp（2）=f+|xri,網(wǎng)2）一汽1）=/°，

所以｛p（"+l）-尸⑺｝是首項(xiàng)為：，公比為-|的等比數(shù)歹U.

42n—22

（ii）由（i）可得，當(dāng)〃之2時，尸（"）一尸（〃-1）=§x

2

2

累加可得p（〃）-P（1）=

32n+\

所以1-