第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(類比導(dǎo)入)我們?cè)谘芯恳粋€(gè)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),往往通過它們的圖象來研究.先讓學(xué)生畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,從學(xué)生畫圖象、觀察圖象入手,由此展開正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的探究.思路2.(直接導(dǎo)入)研究函數(shù)就是要討論函數(shù)的一些性質(zhì),y=sinx,y=cosx是函數(shù),我們當(dāng)然也要探討它們的一些性質(zhì).本節(jié)課,我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì).請(qǐng)同學(xué)們回想一下,一般來說,我們是從哪些方面去研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的呢(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值)?然后逐一進(jìn)行探究.推進(jìn)新課新知探究提出問題①回憶并畫出正弦曲線和余弦曲線,觀察它們的形狀及在坐標(biāo)系中的位置;②觀察正弦曲線和余弦曲線,說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么;③觀察正弦曲線和余弦曲線,說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么;由值域又能得到什么;④觀察正弦曲線和余弦曲線,函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)?⑤觀察正弦曲線和余弦曲線,它們都有哪些對(duì)稱?(1)(2)圖2活動(dòng):先讓學(xué)生充分思考、討論后再回答.對(duì)回答正確的學(xué)生,教師可鼓勵(lì)他們按自己的思路繼續(xù)探究,對(duì)找不到思考方向的學(xué)生,教師可參與到他們中去,并適時(shí)的給予點(diǎn)撥、指導(dǎo).在上一節(jié)中,要求學(xué)生不僅會(huì)畫圖,還要識(shí)圖,這也是學(xué)生必須熟練掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘正弦、余弦函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線,當(dāng)然用多媒體課件來研究三角函數(shù)性質(zhì)是最理想的,因?yàn)閱挝粓A中的三角函數(shù)線更直觀地表現(xiàn)了三角函數(shù)中的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系,是研究三角函數(shù)性質(zhì)的好工具.用三角函數(shù)線研究三角函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于我們從整體上把握有關(guān)性質(zhì).對(duì)問題①,學(xué)生不一定畫準(zhǔn)確,教師要求學(xué)生盡量畫準(zhǔn)確,能畫出它們的變化趨勢(shì).對(duì)問題②,學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R〔或(-∞,+∞)〕.對(duì)問題③,學(xué)生很容易觀察出正弦曲線和余弦曲線上、下都有界,得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[-1,1].教師要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度思考并給出證明.∵正弦線、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度,∴｜sinx｜≤1,｜c(diǎn)osx｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.也就是說,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［-1,1］.對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx(x∈R),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=+2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1.(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=-+2kπ,k∈Z時(shí),取得最小值-1.對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx(x∈R),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1.(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1)π,k∈Z時(shí),取得最小值-1.對(duì)問題④,教師可引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生先截取一段來看,選哪一段呢?如圖3,通過學(xué)生充分討論后確定,選圖象上的［-,］(如圖4)這段.教師還要強(qiáng)調(diào)為什么選這段,而不選[0,2π]的道理,其他類似.圖3圖4這個(gè)變化情況也可從下表中顯示出來:x-…0……π…sinx-1↗0↗1↘0↘-1就是說,函數(shù)y=sinx,x∈［-,］.當(dāng)x∈［-,］時(shí),曲線逐漸上升,是增函數(shù),sinx的值由-1增大到1;當(dāng)x∈［,］時(shí),曲線逐漸下降,是減函數(shù),sinx的值由1減小到-1.類似地,同樣可得y=cosx,x∈[-π,π]的單調(diào)變化情況.教師要適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生先如何恰當(dāng)?shù)剡x取余弦曲線的一段來研究,如圖5,為什么選[-π,π],而不是選[0,2π].圖5引導(dǎo)學(xué)生列出下表:x-π…-…0……πcosx-1↗0↗1↘0↘-1結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知:正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1.余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù),其值從-1增加到1;在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1.對(duì)問題⑤,學(xué)生能直觀地得出:正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱.在R上,y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù).教師要恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo),怎樣用學(xué)過的知識(shí)方法給予證明?由誘導(dǎo)公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,∴y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù).至此,一部分學(xué)生已經(jīng)看出來了,在正弦曲線、余弦曲線上還有其他的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸,如正弦曲線還關(guān)于直線x=對(duì)稱,余弦曲線還關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,等等,這是由它的周期性而來的.教師可就此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討,為今后的學(xué)習(xí)打下伏筆.討論結(jié)果:①略.②定義域?yàn)镽.③值域?yàn)閇-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.④單調(diào)性(略).⑤奇偶性(略).當(dāng)我們仔細(xì)對(duì)比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有很多共同之處.我們不妨把兩個(gè)圖象中的直角坐標(biāo)系都去掉,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)都是同樣形狀的曲線,所以它們的定義域相同,都為R,值域也相同,都是［-1,1］,最大值都是1,最小值都是-1,只不過由于y軸放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的時(shí)刻不同;它們的周期相同,最小正周期都是2π;它們的圖象都是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形,且都是以圖象上函數(shù)值為零所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為對(duì)稱中心,以過最值點(diǎn)且垂直于x軸的直線為對(duì)稱軸.但是由于y軸的位置不同,對(duì)稱中心及對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也不同.它們都不具備單調(diào)性,但都有單調(diào)區(qū)間,且都是增、減區(qū)間間隔出現(xiàn),也是由于y軸的位置改變,使增減區(qū)間的位置有所不同,也使奇偶性發(fā)生了改變.應(yīng)用示例思路1例1數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有,請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合,并說出最大值、最小值分別是什么.(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.活動(dòng):通過這道例題直接鞏固所學(xué)的正弦、余弦的性質(zhì).容易知道,這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.課堂上可放手讓學(xué)生自己去探究,教師適時(shí)的指導(dǎo)、點(diǎn)撥、糾錯(cuò),并體會(huì)對(duì)應(yīng)取得最大(小)值的自變量為什么會(huì)有無窮多個(gè).解:(1)使函數(shù)y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z};使函數(shù)y=cosx+1,x∈R取得最小值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z}.函數(shù)y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z=2x,使函數(shù)y=-3sinZ,Z∈R取得最大值的Z的集合是{Z|Z=-+2kπ,k∈Z},由2x=Z=-+2kπ,得x=-+kπ.因此使函數(shù)y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=-+kπ,k∈Z}.同理,使函數(shù)y=-3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}.函數(shù)y=-3sin2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.點(diǎn)評(píng):以前我們求過最值,本例也是求最值,但對(duì)應(yīng)的自變量x的值卻不唯一,這從正弦函數(shù)的周期性容易得到解釋.求解本例的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大(小)值的性質(zhì),對(duì)于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函數(shù),一般通過變量代換(如設(shè)Z=ωx+φ化歸為y=AsinZ+B的形式),然后進(jìn)行求解.這種思想對(duì)于利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其他性質(zhì)解決問題時(shí)也適用.例2函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin(-)與sin(-);(2)cos()與cos().活動(dòng):學(xué)生很容易回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行大小比較,充分利用學(xué)生的知識(shí)遷移,有利于學(xué)生能力的快速提高.本例的兩組都是正弦或余弦,只需將角化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.課堂上教師要讓學(xué)生自己獨(dú)立地去操作,教師適時(shí)地點(diǎn)撥、糾錯(cuò),對(duì)思考方法不對(duì)的學(xué)生給予幫助指導(dǎo).解:(1)因?yàn)?lt;<<0,正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間[,0]上是增函數(shù),所以sin()>sin().(2)cos()=cos=cos,cos()=cos=cos.因?yàn)?<<<π,且函數(shù)y=cosx,x∈[0,π]是減函數(shù),所以cos>cos,即cos()<cos().點(diǎn)評(píng):推進(jìn)本例時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生注意,在今后遇到的三角函數(shù)值大小比較時(shí),必須將已知角化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),其次要注意首先大致地判斷一下有沒有符號(hào)不同的情況,以便快速解題,如本例中,cos>0,cos<0,顯然大小立判.例3函數(shù)y=sin(x+),x∈[-2π,2π]的單調(diào)遞增區(qū)間.活動(dòng):可以利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教師要引導(dǎo)學(xué)生的思考方向:把x+看成Z,這樣問題就轉(zhuǎn)化為求y=sinZ的單調(diào)區(qū)間問題,而這就簡(jiǎn)單多了.解:令Z=x+.函數(shù)y=sinZ的單調(diào)遞增區(qū)間是［+2kπ,+2kπ］.由-+2kπ≤x+≤+2kπ,得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤+4kπ且+4kπ≤2π,于是≤k≤,由于k∈Z,所以k=0,即≤x≤,而［,］［-2π,2π］,因此,函數(shù)y=sin(+),x∈[-2π,2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是［,］.點(diǎn)評(píng):本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用,即利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式問題.然后通過解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間,要讓學(xué)生熟悉并靈活運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法,善于將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.思路2例1求下列函數(shù)的定義域:(1)y=;(2)y=.活動(dòng):學(xué)生思考操作,教師提醒學(xué)生充分利用函數(shù)圖象,根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)點(diǎn)撥,糾正出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤或書寫不規(guī)范等.解:(1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠+2kπ(k∈Z).∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x≠+2kπ,k∈Z}.(2)由cosx≥0,得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋?2kπ,+2kπ］(k∈Z).點(diǎn)評(píng):本例實(shí)際上是解三角不等式,可根據(jù)正弦曲線、余弦曲線直接寫出結(jié)果.本例分作兩步,第一步轉(zhuǎn)化,第二步利用三角函數(shù)曲線寫出解集.例2在下列區(qū)間中,函數(shù)y=sin(x+)的單調(diào)增區(qū)間是()A.［,π］B.［0,］C.［-π,0］D.［,］活動(dòng):函數(shù)y=sin(x+)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),即y=sin[φ(x)],φ(x)=x+,欲求y=sin(x+)的單調(diào)增區(qū)間,因φ(x)=x+在實(shí)數(shù)集上恒遞增,故應(yīng)求使y隨φ(x)遞增而遞增的區(qū)間.也可從轉(zhuǎn)化與化歸思想的角度考慮,即把x+看成一個(gè)整體,其道理是一樣的.解:∵φ(x)=x+在實(shí)數(shù)集上恒遞增,又y=sinx在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上是遞增的,故令2kπ-≤x+≤2kπ+.∴2kπ-≤x≤2kπ+.∴y=sin(x+)的遞增區(qū)間是[2kπ-,2kπ+].取k=-1、0、1分別得[,]、[,]、[,],對(duì)照選擇肢,可知應(yīng)選B.答案:B點(diǎn)評(píng):像這類題型,上述解法屬常規(guī)解法,而運(yùn)用y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)增區(qū)間的一般結(jié)論,由一般到特殊求解,既快又準(zhǔn)確,若本題運(yùn)用對(duì)稱軸方程求單調(diào)區(qū)間,則是一種頗具新意的簡(jiǎn)明而又準(zhǔn)確、可靠的方法.當(dāng)然作為選擇題還可利用特殊值、圖象變換等手段更快地解出.解題規(guī)律:求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般思路是:(1)求定義域;(2)確定復(fù)合過程,y=f(t),t=φ(x);(3)根據(jù)函數(shù)f(t)的單調(diào)性確定φ(x)的單調(diào)性;(4)寫出滿足φ(x)的單調(diào)性的含有x的式子,并求出x的范圍;(5)得到x的范圍,與其定義域求交集,即是原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.結(jié)論:對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可以直接根據(jù)構(gòu)成函數(shù)的單調(diào)性來判斷.變式訓(xùn)練1.如果函數(shù)f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且當(dāng)x=2時(shí)取得最大值,那么()A.T=2,θ=B.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,θ=解:T==2,又當(dāng)x=2時(shí),sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使上式取得最大值,可取θ=.答案:A2.求函數(shù)y=sin(-)的單調(diào)遞減區(qū)間及單調(diào)遞增區(qū)間.解:y=sin(-)=-sin(-).由2kπ-≤-≤2kπ+,可得3kπ≤x≤3kπ+(k∈Z),為單調(diào)減區(qū)間;由2kπ+≤-≤2kπ+,可得3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),為單調(diào)增區(qū)間.所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為［3kπ,3kπ+］(k∈Z);原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［3kπ+,3kπ+］(k∈Z).知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答:1.(1)(2kπ,(2k+1)π),k∈Z;(2)((2k-1)π,2kπ),k∈Z;(3)(-+2kπ,+2kπ),k∈Z;(4)(+2kπ,+2kπ),k∈Z.點(diǎn)評(píng):只需根據(jù)正弦曲線、余弦曲線寫出結(jié)果,不要求解三角不等式,要注意結(jié)果的規(guī)范及體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用.2.(1)不成立.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的最大值是1,而cosx=>1.(2)成立.因?yàn)閟in2x=0.5,即sinx=±,而正弦函數(shù)的值域是[-1,1],±∈[-1,1].點(diǎn)評(píng):比較是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,反例能加深概念的深刻理解.通過本題準(zhǔn)確理解正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值性質(zhì).3.(1)當(dāng)x∈{x|x=+2kπ