模型介紹模型介紹全等三角形的模型種類多，其中有關(guān)中點(diǎn)的模型與垂直模型在前面的專題已經(jīng)很詳細(xì)的講解，這里就不在重復(fù).模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型①截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段。如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②補(bǔ)短：選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng)，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。如圖所示，延長(zhǎng)GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、對(duì)稱全等模型模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型模型五、手拉手全等模型例題精講例題精講模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型【例1】.如圖，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，則∠C＝．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，點(diǎn)P是△ABC三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，連接AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且CA+AP＝BC，則∠CAB的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．90°【變式1-2】．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．【變式1-3】．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，過(guò)C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面積；（2）證明：DF+CF＝EF．模型二、平移全等模型【例2】．如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求證：△AED≌△EBC．（2）當(dāng)AB＝6時(shí)，求CD的長(zhǎng)．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動(dòng)，如圖2，3時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2-2】．如圖，AD，BF相交于點(diǎn)O，AB∥DF，AB＝DF，點(diǎn)E與點(diǎn)C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)．【變式2-3】．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的長(zhǎng)．模型三、對(duì)稱全等模型【例3】．如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點(diǎn)P，且D，P，C在同一條直線上．（1）求∠PAD的度數(shù)；（2）求證：P是線段CD的中點(diǎn)．變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求證：AM＝AN．【變式3-2】．如圖，已知點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD中邊AB、BC上的點(diǎn)，且AB＝12，AE＝6，將正方形分別沿DE、DF向內(nèi)折疊，此時(shí)DA與DC重合為DG，求CF的長(zhǎng)度．【變式3-3】．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，問(wèn)PC與PD相等嗎？試說(shuō)明理由．模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型【例4】．如圖，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想線段CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想．變式訓(xùn)練【變式4-1】．已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如圖1，點(diǎn)E在BC上，求證：BC＝BD+BE；（2）如圖2，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，求證：BC＝BD﹣BE．【變式4-2】．如圖所示，已知P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，則PC的最大值是3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如圖，△ABC與△ADE是以點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且線段BD、CE交于F．（1）求證：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE與DB之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式訓(xùn)練【變式5-1】．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的結(jié)論有幾個(gè)（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-2】．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【變式5-3】．（1）如圖1，等腰△ABC與等腰△DEC有公共點(diǎn)C，且∠BCA＝∠ECD，連接BE、AD，若BC＝AC，EC＝DC，求證：BE＝AD．（2）若將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3、圖4情形時(shí)，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1.如圖，已知，，且，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AP+BP+CP的最小值為4，則BC2＝．4．正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，CE＝2DE，將△ADE沿AE折疊至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG，CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②S△FGC＝6；③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正確的有（填序號(hào)）．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在D′處．（1）求證：AF＝CF（2）求AF的長(zhǎng)度．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，則BE＝cm．（3）BE與AD有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)B作BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)A作AF⊥AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝AF；（2）求證：CD＝2BE+DE．8．如圖：在等腰直角三角形中，AB＝AC，點(diǎn)D是斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF．（1）若設(shè)BE＝a，CF＝b，滿足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的長(zhǎng)．（2）求證：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．9．如圖1，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，連接AE交CD于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，AE與BD交于點(diǎn)P，連接CP．（1）線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系為；請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APD＝；（2）將△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；求出此時(shí)∠APD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下求證：∠APC＝∠BPC．

10．閱讀與理解：折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖），怎樣證明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分線AD翻折，因?yàn)锳B＞AC，所以點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C'處，即AC＝AC'，據(jù)以上操作，易證明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因?yàn)椤螦C'D＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟與應(yīng)用：（1）如圖（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，試判斷AC和AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖（b），在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求證：∠B+∠D＝180°；②求AB的長(zhǎng)．

11．如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．（1）李明同學(xué)作了如圖乙的輔助線，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP'，可說(shuō)明△APP'是直角三角形從而問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你說(shuō)明其中理由并完成問(wèn)題解答．（2）如圖丙，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且AP＝，BP＝，PC＝1：類比第一小題的方法求∠BPC的度數(shù)，并直接寫(xiě)出正方形ABCD的面積．

12．在△ABC中，AB＝A