幾何最值之阿氏圓知識精講在平面上，到線段兩端距離相等的點，在線段的垂直平分線上，即對于平面內的定點A、B，若平面內有一動點P滿足PA:PB＝1，則P點軌跡為一條直線（即線段AB的垂直平分線），如果這個比例不為1，P點的軌跡又會是什么呢？兩千多年前的阿波羅尼斯在其著作《平面軌跡》一書中，便已經(jīng)回答了這個問題。接下來，讓我們站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）時P點的軌跡。 對于平面內的定點A、B，若在平面內有一動點P且P滿足PA：PB＝k（k≠1），則動點P的軌跡就是一個圓，這個圓被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”，如圖所示： 借助畫板工具我們發(fā)現(xiàn)，動點P在運動過程中，PA、PB的長度都在變化，但是PA：PB的比值始終保持不變，接下來我們在深入研究一下！若，設，如圖所示：由圖可以發(fā)現(xiàn)在AB上存在點C使得，在AB延長線上存在點D使得，也就是說，當點P與點C、D重合時，符合條件；當點P不與點C、D重合時，對于任意一點P，連接PA、PB、PC，可得，所以PC為△PAB一條內角平分線，再連接PD，可得，所以PD為△PAB一條外角平分線，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90o，所以點P的軌跡是以CD為直徑的一個圓.當我們遇到平面內一動點到兩定點之比為定值且不為1的情況時，可以在過兩定點的直線上按定比確定內分點和外分點，并以之為直徑做圓從而確定動點的軌跡.如何具體證明P點的軌跡就是一個完整的圓呢？ 分別取線段AB的內外分點C、D，再取CD中點O，可得，設，則，由線段位置關系可得AC＋BC＋BD＝AD，則，解得，.又，即，整理得，即，當點P在一個以O為圓心，r為半徑的圓上運動時，如圖所示：易證：△BOP∽△POA，，∴對于圓上任意一點P都有. 對于任意一個圓，任意一個k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側適當?shù)奈恢眠x取A、B點，則需，就可以構造出上述的A字型相似例1、如圖，正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上一動點，則的最小值為，的最大值為.【解答】最小值為5，最大值為5【解析】在BC上取一點G，使得BG＝1，連接PG、DG，如圖所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為；當點P在DG的延長線時，的值最大，如圖所示：此時最大值也是DG，最大值為5.例2、如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC＝1，BD＝2，點P為弧AB上一動點，求的最小值.【解答】【解析】當A、P、D三點共線時，的值最小.連接PB、CO，AD與CO相交于點M，如圖所示：∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切線,∴∠ABD＝90o,∠BAD＝∠D＝45o,∵AB是⊙O直徑,∴∠APB＝90o,∴∠PAB＝∠PBA＝45o,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切線,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90o∵AC＝PO＝1,∴四邊形AOPC是平行四邊形,而OA＝OP,∠CAO＝90o,∴四邊形AOPC是正方形,，∴PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,∴由"垂線段最短"可知此時PC＋PD的值最小，最小值為.幾何最值之阿氏圓鞏固練習（基礎）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，P為圓C上一動點，連接AP、BP，則的最小值是.2. 如圖，的半徑為，，MO＝2，∠POM＝90o，Q為上一動點，則的最小值為.3. 如圖，在平面直角坐標系中，點A（4，0），B（4，4），點P在半徑為2的圓O上運動，則的最小值是.4.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C為圓心，4為半徑作⊙C．（1）試判斷⊙C與AB的位置關系，并說明理由；（2）點F是⊙C上一動點，點D在AC上且CD＝2，試說明△FCD∽△ACF；（3）點E是AB邊上任意一點，在（2）的情況下，試求出EF＋FA的最小值.5.如圖，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y＝﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．（1）求拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的表達式；（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；（3）在（2）的前提下，y軸上是否存在一點H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此時點H的坐標，如果不存在，請說明理由．6. 問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝12，⊙C半徑為6，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP＋BP的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD＝3，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP＋BP的最小值為．（2）自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝7，