第08講弧長及扇形面積（7類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.弧長公式；2.扇形面積；理解弧長公式和扇形面積公式的推導(dǎo)過程，掌握公式并能正確、熟練的運(yùn)用兩個公式進(jìn)行相關(guān)計算。知識點01：弧長及扇形的面積設(shè)的半徑為，圓心角所對弧長為，（一）弧長的計算（1）弧長公式：（2）公式推導(dǎo)：在半徑為的圓中，因為的圓心角所對的弧長就是圓周長，所以的圓心角所對的弧長是即于是的圓心角所對的弧長為注意：（1）在弧長公式中，表示的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑，計算的圓心角所對弧長時，不要錯寫成（2）在弧長公式中，已知，中的任意兩個量，都可以求出第三個量?！炯磳W(xué)即練1】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：該扇形的弧長.故選：D．【點睛】本題考查了弧長的計算，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式：，n為弧所對的圓心角，r為弧所在圓的半徑．【即學(xué)即練2】2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，的半徑為，則劣弧的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得的度數(shù)，再由及三角形內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，由圓周角定理可得的度數(shù)，最后由弧長公式即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵的半徑為，∴，故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，弧長公式等知識，綜合運(yùn)用這些知識是解題的關(guān)鍵．（二）扇形面積的計算（1）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫作扇形。（2）扇形的面積：為扇形所在圓的半徑，為扇形的弧長。（3）公式推導(dǎo)：①在半徑為的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積，所以圓心角是的扇形面積是于是圓心角為的扇形面積是②即其中為扇形的弧長，為半徑。點撥：（1）扇形面積公式與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長看成底，半徑看成高即可。（2）在求扇形面積時，可根據(jù)已知條件來確定是使用公式還是（3）已知四個量中任意兩個，都可以求出另外兩個。（4）公式中的“”與弧長公式中的“”的意義是一樣的，表示“”的圓心角的倍數(shù)，計算時不帶單位?！炯磳W(xué)即練3】3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：B.【點睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，正六邊形的邊長為2，以A為圓心，的長為半徑畫弧，得，連接，，則圖中陰影部分的面積為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等六邊形的性質(zhì)計算出的長度，再根據(jù)扇形面積計算公式計算即可．【詳解】解：過B點作垂線，垂足為G根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知，∴∴，∴故選：A．【點睛】本題主要考查扇形面積的計算，含30度角的直角三角形等知識，根據(jù)正六邊形性質(zhì)計算出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵．題型01求弧長1．（2023春·湖南常德·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點A、B、C是半徑為6的上的三點．如果，那么的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可得出，再根據(jù)弧長公式計算即可；【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴的長是：，故選：C．【點睛】本題考查了弧長的計算以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）圓心角為的扇形面積為，則該扇形的弧長等于．【答案】2π【分析】設(shè)扇形的半徑是，先根據(jù)扇形面積計算公式求得，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑是，由題意得：，解得：，∴扇形的弧長＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，弧長的計算等知識點，掌握扇形面積計算公式，弧長的計算公式是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江溫州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，弦，相交于點E，連結(jié)，已知．(1)求證：；(2)連結(jié)、，若，的半徑為2，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系定理得到，進(jìn)而得出，根據(jù)圓周角定理證明即可；（2）根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．【詳解】（1）證：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵的半徑為2，∴．【點睛】本題考查的是弧長的計算、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、圓周角定理，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．題型02求扇形面積1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）一個扇形的面積為．弧長為．那么這個扇形的半徑是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】設(shè)扇形的半徑為r，根據(jù)扇形面積等于（為扇形弧長）進(jìn)行求解即可【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，由題意得，，解得，故選B．【點睛】本題主要考查了扇形面積公式和弧長公式，熟知扇形面積等于扇形弧長和半徑乘積的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，用一個圓心角為150°的扇形圍成一個無底的圓錐，如果這個圓錐底面圓的半徑為，則這個扇形的半徑是．【答案】【分析】利用底面周長=展開圖的弧長可得．【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖問題，解答本題的關(guān)鍵是確定“底面周長=展開圖的弧長”這個等量關(guān)系，然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值．3．（2022秋·九年級單元測試）弧長為的弧所對的圓心角為，求弧所在的圓的半徑．【答案】18【分析】設(shè)弧所在的圓的半徑為，由弧長公式計算即可得到答案．【詳解】解：設(shè)弧所在的圓的半徑為，由弧長公式得：，解得：，弧所在的圓的半徑為18．【點睛】本題主要考查了弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．題型03求圓心角1．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以A為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A．． B．． C．． D．．【答案】D【分析】根據(jù)題意的長就是邊的長，由弧長公式即可求解．【詳解】解：設(shè)，，，解得：，圓心角的度數(shù)為：故選：D．【點睛】本題考查了弧長公式的應(yīng)用，掌握公式和理解圖形變化前后對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形．若其中一個扇形的弧長為5π，則另一個扇形的圓心角度數(shù)是．【答案】/210度【分析】用圓的周長減去已知扇形弧長，求出另一個扇形的弧長，設(shè)另一個扇形的圓心角為，利用弧長公式求解．【詳解】解：∵圓的周長為，∴另一個扇形的弧長為，設(shè)另一個扇形的圓心角為，根據(jù)弧長公式得，解得，即另一個扇形的圓心角度數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題考查扇形的圓心角、弧長，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長公式．3．（2022秋·廣東惠州·九年級校考階段練習(xí)）半徑為的圓，一圓心角所對的弧長為，這個圓心角多少度？【答案】【分析】根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】解：，，∴．∴這個圓心角為．【點睛】本題考查了弧長公式，靈活應(yīng)用弧長公式是解題的關(guān)鍵．題型04求某點的弧形運(yùn)動路徑長1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，一塊含有角的直角三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置．若的長為，那么頂點從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】頂點從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑是一段弧長是以點為圓心，為半徑的圓弧，旋轉(zhuǎn)的角度是，所以根據(jù)弧長公式可得．【詳解】解：在含有角的直角三角板中，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是弄準(zhǔn)弧長的半徑和圓心角的度數(shù)．2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次．若，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為．【答案】【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動的路線的長，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計算即可．【詳解】解：,,轉(zhuǎn)動一次的路線長是：轉(zhuǎn)動第二次的路線長是：轉(zhuǎn)動第三次的路線長是：轉(zhuǎn)動第四次的路線長是：0，以此類推，每四次循環(huán)，故頂點轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：,頂點轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：故答案為：【點睛】本題主要考查了探索規(guī)律問題和弧長公式的運(yùn)用，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運(yùn)用弧長的計算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖所示，扇形從圖①無滑動繞著點A旋轉(zhuǎn)到圖②（）的位置，再由圖②緊貼直線運(yùn)動到圖③，已知，．(1)求由圖①到圖②點O所運(yùn)動的路徑長；（結(jié)果保留）(2)點O所走過的路徑與直線l圍成的面積是多少？（結(jié)果保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）點的運(yùn)動路徑是以為圓心，為半徑，圓心角為的弧，根據(jù)弧長公式即可求解；（2）如圖，找出點的完整運(yùn)動路徑是由三段組成，分別求出面積即可求解．【詳解】（1）解：由圖①到圖②：．（2）解：如圖，，，．答：點O所走過的路徑與直線l圍成的面積是．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的點的路徑問題，重點考查了弧長公式，掌握弧長公式，并能找出點的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵．題型05求扇形面積1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若，，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及扇形的面積公式等知識，求出是解答的關(guān)鍵．2．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖所示，矩形的對角線，交于點，分別以點，為圓心，長為半徑畫弧，分別交，于點，．若，，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）【答案】【分析】由圖可知，陰影部分的面積是扇形和扇形的面積之和．【詳解】解：四邊形是矩形，圖中陰影部分的面積為：，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）一個圓被分成三個扇形，其中一個扇形的圓心角為，另外兩個扇形的圓心角度數(shù)的比為．(1)求另外兩個扇形的圓心角；(2)若圓的半徑是，求圓心角為的扇形的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)和(2)【分析】（1）設(shè)另外兩個扇形的圓心角度數(shù)分別為度與度，根據(jù)周角為，即可求得x的值，從而求得另外兩個扇形圓心角度數(shù)；（2）利用扇形面積公式計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)另外兩個扇形的圓心角度數(shù)分別為度與度，由題意得：，解得：，另外兩個扇形的圓心角分別為：答：另外兩個扇形的圓心角分別為和．（2）解：由扇形面積公式得：，答：圓心角為的扇形的面積．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、求扇形面積等知識，題目較簡單，是基礎(chǔ)題，掌握這些知識是關(guān)鍵．題型06求弓形面積1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知內(nèi)接于，為直徑，的平分線交于點D，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，求得，得到，因為，根據(jù)，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】此題重點考查圓周角定理、扇形的面積公式、三角形的面積公式、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，點A，B，C，在半徑為6的圓上，∠ACB=45°，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．【答案】9π18/18+9π【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠BOA，根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】解：連接OA、OB，由圓周角定理得，∠BOA=2∠ACB=90°，∴△BOA為等腰直角三角形，則圖中陰影部分的面積=×6×6=9π18，故答案為：9π18．【點睛】本題考查的是扇形面積計算、圓周角定理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽淮南·九年級淮南實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，以平行四邊形的頂點A為圓心，為半徑作圓，分別交，于點，，延長交于點．(1)求證：；(2)若，，求陰影部分弓形的面積．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）要證明，則要證明，由平行四邊形的性質(zhì)以及半徑相等能夠證明之；（2）先證明是等邊三角形，利用，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接．∵A為圓心，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴是等邊三角形，過點A作于點H，則，∴，，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，圓周角定理，扇形面積公式等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．題型07求其他不規(guī)則圖形的面積1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，將含角的直角三角板繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，點經(jīng)過的路徑為弧，若，，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，則，，再根據(jù)進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，則，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積計算公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為2，對角線相交于點，以點為圓心，對角線的長為半徑畫弧，交的延長線于點，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形的面積，然后由勾股定理得出，再由扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：正方形，∴，，∴，∵正方形的邊長為2，∴∴陰影部分的面積為扇形的面積，即，故答案為：．【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖，將含角的直角三角板放入半圓中，三點恰好在半圓上，點是的中點，連結(jié)并延長交圓于點．(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理的推論，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圖示，可知是等邊三角形，根據(jù)扇形的面積公式計算出扇形的面積，的面積，由此即可求解陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，是半圓的直線，∵點是的中點，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖所示，連結(jié)，∵，，∴是等邊三角形，∵，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查扇形面積，垂徑定理，圓周角定理，掌握垂徑定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．A夯實基礎(chǔ)1．（2023秋·浙江·九年級?？奸_學(xué)考試）在半徑為3的圓中，90°的圓心角所對的弧長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弧長的公式進(jìn)行解答．【詳解】解：根據(jù)弧長的公式，得到：．故選：C．【點睛】本題考查弧長的計算，熟記弧長公式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知扇形半徑為6，弧長為，則扇形面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)扇形面積公式，計算即可．【詳解】解：故選：B．【點睛】本題考查扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式或是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山西·九年級專題練習(xí)）將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點與量角器的中心O重合，且兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A，B兩點．若厘米，則的長度為（

）A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米【答案】B【分析】直接根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】，，故選：B．【點睛】本題考查了弧長公式，即，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】解：弧的半徑，圓心角，∴，故選：B．【點睛】題目主要考查弧長公式，熟練掌握運(yùn)用弧長公式是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）一個扇形的圓心角為，弧長為3πcm，則此扇形的半徑是cm．【答案】4【分析】根據(jù)弧長計算公式，將其變形即可求出扇形半徑．【詳解】解：扇形的弧長為，解得，，故答案為：4．【點睛】本題考查扇形的弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長公式．6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）一扇形面積是，半徑為，則該扇形圓心角度數(shù)是．【答案】/120度【分析】設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為，然后根據(jù)扇形的面積公式得到，解關(guān)于的方程即可得到的值．【詳解】解：設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為，，．即扇形圓心角度數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題考查了扇形的面積公式：為圓心角的度數(shù)，為半徑）．7．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，用一個半徑為10cm的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點P旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了cm．【答案】【分析】利用弧長公式計算即可．【詳解】解：重物上升的高度為：，故答案為：．【點睛】本題考查的是弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·寧夏石嘴山·九年級?？计谀┤鐖D，圓的半徑是6，空白部分的圓心角分別是與，則陰影部分的面積是（結(jié)果保留）．【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】解：扇形半徑為6，圓心角為，則扇形面積為，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是掌握扇形面積公式：．9．（2023秋·湖南永州·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖是一個半圓，已如，陰影部分的面積是，求圖中三角形的高．（?。敬鸢浮俊痉治觥坷每傻萌切蔚拿娣e，在利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：圓的半徑為：，，，，解得：，三角形的高為．【點睛】本題考查了三角形的面積及扇形的面積，熟練掌握其公式是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，的頂點都在格點上．(1)將向右平移個單位長度得到，請畫出；(2)畫出與關(guān)于點對稱的；(3)若將繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中點到點所經(jīng)過的路徑長度．【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)圖示，可知各點的坐標(biāo)，向右平移個單位長度，則各點的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)加，由此得到對應(yīng)點的坐標(biāo)，連接各點即為所有圖形；（2）由（1）可知各點的坐標(biāo)，關(guān)于原點對稱的點，則對稱圖形的坐標(biāo)變?yōu)樵瓉碜鴺?biāo)的相反數(shù)，由此得到對應(yīng)圖形點的坐標(biāo)，連接各點即為所求圖形；（3）根據(jù)各點坐標(biāo)的特點與各點的特點，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求出對應(yīng)點的弧長．【詳解】（1）解：根據(jù)圖示可知，，，，向右平移個單位長度得，∴，，，如圖所示，連接點，∴即為所求圖形．（2）解：∵中點，，，關(guān)于原點對稱得，∴，，，如圖所示，連接，∴即為所求圖形．（3）解：∵中，，，中點，，，如圖所示，連接對應(yīng)點，交于點，如圖所示，當(dāng)繞點順時針旋轉(zhuǎn)時，點到點所經(jīng)過的路徑長為半圓，且半徑為；當(dāng)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，點到點所經(jīng)過的路徑長為半圓，且半徑為，∴，∴點到點所經(jīng)過的路徑長．【點睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的變換，圖形結(jié)合，理解并掌握平移，對稱，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵．B能力提升1．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”注釋：宛田是指扇形狀的田，下周是指弧長，徑是指扇形所在圓的直徑．那么，這口宛田的面積是多少平方步？計算可知，這塊田的面積是（

）A．60平方步 B．90平方步 C．120平方步 D．240平方步【答案】C【分析】根據(jù)扇形面積公式，即進(jìn)行計算即可．【詳解】由題意可知，扇形的弧長為30步，扇形所在的圓直徑為16步，所以扇形的面積為（平方步），故選：C．【點睛】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算公式是正確解答的前提．2．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由所對的圓周角，可求得所對的圓心角，再根據(jù)弧長公式計算即可得出答案．【詳解】解：，又，由弧長公式得的長，故選：A．【點睛】本題考查了求弧的長度，熟練掌握弧長的計算公式是解題關(guān)鍵．3．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將直徑為4的半圓形分別沿，折疊使得直徑兩端點，的對應(yīng)點都與圓心重合，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，可推出是邊長為2的等邊三角形，進(jìn)一步可得，即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：由折疊可知：∵∴是邊長為2的等邊三角形∴∴∴也是邊長為2的等邊三角形∵∴∵∴∴∵∴故選：A【點睛】本題考查了圓中不規(guī)則圖形面積的求解．得出是解題關(guān)鍵．4．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）圖是型號為24英寸（車輪的直徑為24英寸，約）的自行車，現(xiàn)要在自行車兩輪的陰影部分（分別以，為圓心的兩個扇形）裝上擋水的鐵皮，量出四邊形中，，那么安裝單側(cè)（陰影部分）需要的鐵皮面積約是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓心角，再運(yùn)用扇形的面積公式計算即可．【詳解】∵四邊形中，，，∴，∵車輪的直徑為24英寸，約，∴需要的鐵皮面積約是，故選A．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，平行線的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·北京海淀·九年級?？茧A段練習(xí)）已知點C在以為直徑的半圓上，連接，，陰影部分的面積為．【答案】【分析】要求陰影部分的面積即是半圓的面積減去直角三角形的面積，根據(jù)，，可以求得，的長，再根據(jù)半圓的面積公式和直角三角形的面積公式進(jìn)行計算．【詳解】解：為直徑，，，設(shè)，，即，解得：，，．故答案為：．【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．6．（2023·河南周口·淮陽第一高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，扇形的圓心角，將扇形沿射線平移得到扇形，已知線段經(jīng)過的中點，若，則陰影部分的周長為．【答案】【分析】連接，根據(jù)為的中點，扇形的圓心角，得出，求出，證明，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵為的中點，扇形的圓心角，∴，∵，∴，∴，根據(jù)平移可知，，∴，∴，∴，∴陰影部分的周長為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形截去同心扇形所得圖形，已知，，，則該扇環(huán)形磚雕的面積為【答案】【分析】根據(jù)扇形的面積公式可知，，進(jìn)而可得扇環(huán)形的面積．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點A，B，C，D在半徑為5的上，連接，，，．若，則劣弧的長為．【答案】【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)求出的度數(shù)，再利用圓周角定理求出的度數(shù)，最后利用弧長公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴，∴，∴劣弧的長為．故答案為：．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式，熟練運(yùn)用這些知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是等邊內(nèi)的一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段和扇形，連接、、．(1)若，求陰影部分的面積；（結(jié)果保留根號和）(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用扇形面積公式和三角形面積公式求得即可；（2）由證可得，證為等邊三角形，則，繼而得出答案．【詳解】（1）解：，，是等邊三角形，，；（2）是等邊三角形，，，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，在和中，，，，，，為等邊三角形，，．【點睛】本題主要考查扇形面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·山西·九年級專題練習(xí)）閱讀與思考如圖是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．×年×月×日星期日作三角形的高線已知：如圖1，．求作：的高線．今天，我們組的小明和小紅的作法和我不同．小明：如圖2，①作線段的垂直平分線找到線段的中點O；②以點O為圓心，的長為半徑作圓；③延長交于點D；③連接．則線段就是的高線。小紅：如圖3，①以點B為圓心，的長為半徑作弧；②以點C為圓心，的長為半徑作弧，兩弧交于點E；③作射線，延長與相交于點D．則線段就是的高線．我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是什么呢？任務(wù)：(1)填空：小明的作法依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是______；(2)根據(jù)小紅的操作過程，求證：是的高線；(3)在圖2中，若延長線段交于點E，，，，請你直接寫出的長．【答案】(1)直徑所對的圓周角是直角；(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)作圖，結(jié)合直徑所對的圓周角是直角即可作答；（2）根據(jù)作圖，證明是線段的垂直平分線即可作答；（3）連接、，先求出，，即有，即可得半徑，根據(jù)弧長公式，問題得解．【詳解】（1）解：根據(jù)作圖可知：線段是的直徑，即，即有，則是的高線，故作法依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是直徑所對的圓周角是直角；（2）連接，，如圖由作圖過程可知：，，∴點B，點C都在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線，即，∴是的高線；（3）連接、，如圖，∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴半徑，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，求解弧長以及垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識，掌握圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，三角形的內(nèi)角和為，弧長．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，D為的中點，連接，以點D為圓心，長為半徑作弧，若于點E，于點F．則圖中陰影部分的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，，得，又D為的中點，有，根據(jù)，，，得到四邊形是矩形，從而可得，，然后得到，即得陰影部分的周長．【詳解】解：在中，，，∴，∵D為的中點，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，，，∵，∴陰影部分的周長為，故選：C．【點睛】本題考查陰影周長，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式，證明四邊形是矩形．3．（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，點是的中點，分別以點、、為圓心，的長為半徑畫弧，交線段、于點、、、，若點、是線段的三等分點時，圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由題意可得，由勾股定理可得，再由代入進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，連接，

，，，點是的中點，，，分別以點、、為圓心，的長為半徑畫弧，交線段、于點、、、，點、是線段的三等分點，，，，，故選：A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積的計算，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點C為上一點，將沿翻折得到的弧恰好經(jīng)過圓心O，連接，若，則圖中陰影部分的面積為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和圖形，可知陰影部分的面積扇形的面積，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，計算出的面積即可．【詳解】解：連接，作于點D，根據(jù)對稱性可知，弓形與弓形面積相等，∴陰影部分的面積的面積，根據(jù)垂徑定理，∴∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴∵點O是的中點，∴的面積是的面積一半，∴的面積是：，即陰影部分的面積是，故選：C．

【點睛】本題考查求不規(guī)則圖形的面積、垂徑定理、翻折變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．（2023春·福建廈門·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，半徑為3的中，點A、B、C都在上，四邊形是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為.【答案】【分析】連接，由平行四邊形的性質(zhì)可證是等邊三角形，可得，再由，可知，再利用扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】