2.2.3兩條直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及其應(yīng)用1.直線3x+my-1=0與4x+3y-n=0的交點(diǎn)為(2,-1),則m+n的值為()A.12B.10C.-8D.-62.(2024北京順義第一中學(xué)期中)直線kx-y+2k+1=0與x+2y-4=0的交點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.(-6,2)B.-C.-3.(2022重慶七中期中)直線y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為()A.14.(2022天津?yàn)I海新區(qū)統(tǒng)考)直線l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y軸所圍成的三角形的面積為.

題組二兩條直線的平行、重合5.(2023湖北十堰期中)若直線l1的傾斜角為135°,直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,-1),Q(3,-6),則直線l1與l2的位置關(guān)系是()A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合6.(2023北京順義二中期中)已知過(guò)A(m,1),B(-1,m)(m≠-1)兩點(diǎn)的直線與過(guò)P(1,2),Q(-5,0)兩點(diǎn)的直線互相平行,則m=()A.127.(2022北京一零一中學(xué)期中)已知直線l過(guò)點(diǎn)(0,3),且與直線x+y+1=0平行,則l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=08.(2024天津第一百中學(xué)、咸水沽第一中學(xué)期中)設(shè)a∈R,則“a=32”是“直線l1:x+2ay-1=0和直線l2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,1),B(1,0),C(4,3),則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.(3,4)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,8)題組三兩條直線的垂直10.(2024天津北辰期中)過(guò)點(diǎn)(0,1)且與直線2x-y+1=0垂直的直線方程是()A.x-2y+1=0B.x+2y-2=0C.2x+y-2=0D.x-2y-1=011.(2023湖南湘潭聯(lián)考)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(-3,0),B(6,2),C(0,-6),則邊AC上的高所在直線的方程為()A.x+2y-2=0B.x-2y-2=0C.x-2y-4=0D.2x+y-14=012.已知兩點(diǎn)A(2,0),B(3,4),直線l過(guò)點(diǎn)B,且交y軸于點(diǎn)C(0,y),O是坐標(biāo)原點(diǎn),O,A,B,C四點(diǎn)共圓,則y的值是()A.19B.19413.點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線l:x+2y-1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

14.(2022四川瀘州瀘縣五中月考)已知l1,l2不重合,直線l1過(guò)點(diǎn)A(-2,m)和點(diǎn)B(m,4),直線l2的斜率為-2,直線l3的斜率為-1n,若l1∥l2,l2⊥l3,則m+n的值為能力提升練題組兩直線的位置關(guān)系及其應(yīng)用1.(2024湖北武漢華中師大一附中月考)將一張畫(huà)了直角坐標(biāo)系(兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相等)的紙折疊一次,使點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(-2,4)重合,點(diǎn)(2021,2022)與點(diǎn)(m,n)重合,則m+n=()A.1B.2023C.4043D.40462.(2023福建福州三中段考)若直線2mx+y-2=0與直線x+(3-m2)y+2=0互相垂直,且交點(diǎn)位于第三象限,則實(shí)數(shù)m的值為()A.1B.3C.-1D.-33.已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B(2,1),C(-6,3),其垂心為H(-3,2),則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)4.(2024江蘇如皋調(diào)研)若直線l1:x+(m+1)y-2m-2=0與直線l2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于點(diǎn)P,對(duì)任意實(shí)數(shù)m,直線l1,l2分別恒過(guò)點(diǎn)A,B,則|PA|+|PB|的最大值為()A.4B.8C.225.(多選題)(2024湖南五市十校教研教改共同體期中)已知三條直線2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m的值可能為()A.2B.-46.(2022陜西師大附中月考)已知點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B在直線l:x+y=0上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)線段AB最短時(shí),直線AB的一般式方程為.

7.(2022北京房山月考)直線l經(jīng)過(guò)直線l1:2x+3y+2=0與l2:3x-4y-2=0的交點(diǎn),且與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形,則直線l的方程為.

8.(2022河北邢臺(tái)月考)某縣相鄰兩鎮(zhèn)在同一平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A(-3,-4),B(6,3),交通樞紐的坐標(biāo)為C(0,-1),計(jì)劃經(jīng)過(guò)C修建一條馬路l(l看成一條直線,l的斜率為k),若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)到馬路l的距離相等,則k=.

9.(2024山東師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

10.已知直線l1經(jīng)過(guò)A(-m,1),B(-4,-m+3),直線l2經(jīng)過(guò)C(-1,2),D(-4,m+2).(1)若l1∥l2,求實(shí)數(shù)m的值;(2)若l1⊥l2,求實(shí)數(shù)m的值.11.(2024浙江杭州重點(diǎn)中學(xué)期中)已知兩直線l1:x+y-1=0和l2:2x-y=0,定點(diǎn)A(1,1).(1)若直線l1恰好為△ABC的角平分線BD所在的直線,直線l2是邊AB上的中線CM所在的直線,求△ABC的邊BC所在直線的方程;(2)若直線l過(guò)點(diǎn)A,與直線l2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P,與x軸正半軸交于點(diǎn)Q,求△POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí),直線l的方程.

答案與分層梯度式解析2.2.3兩條直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.B2.C3.C5.D6.A7.C8.C9.A10.B11.B12.B1.B將(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,將(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.2.C解方程組y由兩直線的交點(diǎn)在第四象限可得x=2-4k2k3.C解方程組y∴直線y=2x+10與y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,-8).將其代入y=ax-2中,得-8=a·(-9)-2,∴a=23.故選C4.答案9解析易知直線l1,l2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,12),(0,3).由3故所求三角形的面積S=125.D由題意得,直線l1的斜率為tan135°=-1,直線l2的斜率為-6-(-1)3易錯(cuò)警示當(dāng)兩直線的斜率都存在時(shí),由兩直線平行可以推出兩直線的斜率相等;但由兩直線的斜率相等推不出兩直線平行,此時(shí)還有可能重合,解題時(shí)要注意驗(yàn)證.6.A由題意得kAB=kPQ,又kPQ=2-01-(-5)=7.C設(shè)直線l的方程為x+y+t=0(t≠1).由點(diǎn)(0,3)在直線x+y+t=0上,得0+3+t=0,解得t=-3,因此直線l的方程為x+y-3=0.故選C.方法點(diǎn)撥與直線Ax+By+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+m=0(A2+B2≠0,m≠C).8.C若l1∥l2,則1×a=2a(a-1),所以a=0或a=32當(dāng)a=0時(shí),l1:x-1=0,l2:-x+1=0,此時(shí)l1,l2重合,與題意不符;當(dāng)a=32時(shí),l1:x+3y-1=0,l2:12x+32所以“a=32”是“l(fā)1∥l2”的充要條件.故選C9.A設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),由題意得AB∥DC,AD∥BC,則有kAB=kDC,kAD=kBC,所以0-10.B與直線2x-y+1=0垂直的直線方程可設(shè)為x+2y+C=0,將(0,1)代入可得2+C=0,解得C=-2,故所求直線的方程為x+2y-2=0.故選B.方法點(diǎn)撥與直線Ax+By+C=0垂直的直線可設(shè)為Bx-Ay+m=0(A2+B2≠0).11.B易得直線AC的斜率為-6∴邊AC上的高所在直線的斜率為12又B(6,2),∴邊AC上的高所在直線的方程為y-2=12(x-6),即x-2y-2=0.故選B12.B由O,A,B,C四點(diǎn)共圓可得四邊形OABC的對(duì)角互補(bǔ).又由題意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即4-03-213.答案-解析設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則a所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為-314.答案-10解析由題意得4-mm能力提升練1.C2.C3.A4.A5.AD1.C記A(2,0),B(-2,4),則kAB=4-由題知過(guò)點(diǎn)(2021,2022)與點(diǎn)(m,n)的直線與直線AB平行,所以n-22.C因?yàn)橹本€2mx+y-2=0與直線x+(3-m2)y+2=0互相垂直,所以2m+3-m2=0,解得m=3或m=-1.當(dāng)m=3時(shí),由6x當(dāng)m=-1時(shí),由-2x+3.A設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y).由已知得AH⊥BC,BH⊥AC,且直線AH,BH的斜率存在,所以k解得x=4.A由x+(m+1)y-2m-2=0,得x+y-2+m(y-2)=0,令y-同理,得B(2,0).因?yàn)?×(m+1)+(m+1)×(-1)=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,故|PA|2+|PB|2=|AB|2=8,所以|PA|+|PB|≤2(|PA5.AD因?yàn)槿龡l直線2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能構(gòu)成三角形,所以直線mx-y-1=0與2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行,且直線mx-y-1=0不過(guò)2x-3y+1=0與4x+3y+5=0的交點(diǎn).當(dāng)直線mx-y-1=0與2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行時(shí),m≠23且m≠-43.由2x-3y+1=0,4x+3y+5=06.答案x-y+1=0解析當(dāng)線段AB最短時(shí),AB⊥l,所以kAB=1.所以直線AB的方程為y=x+1,化為一般式為x-y+1=0.7.答案17x+17y+12=0或17x-17y-8=0解析設(shè)直線l的方程為2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,即(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0.∵直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形,∴直線l的斜率為±1,∴2+3m=±(3-4m),解得m=17∴直線l的方程為17x+17y+12=0或17x-17y-8=0.方法點(diǎn)撥經(jīng)過(guò)兩直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線可設(shè)為(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2,其中A12+8.答案7解析若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)到馬路l的距離相等,則有兩種情況:當(dāng)l與直線AB平行時(shí),k=-4-3-3-6=79.答案1解析易得S△ABC=12設(shè)直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點(diǎn)為M,則M-b由直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,得b>0,所以-ba易得BC所在直線的方程為x+y=1.設(shè)直線y=ax+b(a>0)和BC所在直線的交點(diǎn)為N,由y=ax+①如圖1,當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)A重合時(shí),要滿足直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn),故N12將A(-1,0),N12,1②如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間時(shí),b>13由題意得,三角形NMB的面積為12,則12×MB×yN=12,即1③如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí),b<13易得AC所在直線的方程為y=x+1.設(shè)直線y=ax+b(a>0)和AC所在直線的交點(diǎn)為P,由y=ax+由題意得,三角形CPN的面積為12,則12·(1-b)·|xN-xP|=12,即12(1-b)·1-因?yàn)?<a<1,所以2(1-b)2=|a2-1|=1-a2,兩邊開(kāi)方,得2(1?b)=1-a2<1,所以1-b<1綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍是1-10.解析(1)由題意得直線l2的斜率存在且kl2=2-(m+2經(jīng)檢驗(yàn),均滿足題意.(2)當(dāng)kl2=0時(shí),m=0,此時(shí)當(dāng)kl2≠0時(shí),需滿足-m311.解析(1)設(shè)B(a,b),則Ma+1易知點(diǎn)B,M分別在直線l1,l2上,所以a+設(shè)點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(x,y),則線