三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i【全國卷”

三觀一統(tǒng)2020年高考數(shù)學(xué)十年高考真題精解(全國卷D

專題2函數(shù)

十年樹木，百年樹人，十年磨一劍。本專輯按照最新2020年考綱，對近十年高考真題精

挑細(xì)選，去偽存真，挑選符合最新考綱要求的真題，按照考點/考向同類歸納，難度分層精析，

對全國卷I具有重要的應(yīng)試性和導(dǎo)向性。

三觀指的觀三題(觀母題、觀平行題、觀扇形題)，一統(tǒng)指的是統(tǒng)一考點/考向，并對十

年真題進行標(biāo)灰(調(diào)整不考或低頻考點標(biāo)灰色)。

(一)2020考綱

考點2020考綱要求

(1)函數(shù)的定義域、值域和解析式的相關(guān)題型了解函數(shù)的構(gòu)成要素，會求一些簡單函數(shù)

的定義域和值域，了解映射的概念

(2)函數(shù)的奇偶性以及對稱性了解函數(shù)的奇偶性的基本定義，會根據(jù)函

數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求解相關(guān)題型，結(jié)合具

體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義

(3)函數(shù)的單調(diào)性理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其

幾何意義，結(jié)合具體函數(shù)，掌握函數(shù)的單

調(diào)性的相關(guān)題型

(4)函數(shù)的周期性理解函數(shù)的周期性的定義，會根據(jù)性質(zhì)推

算出函數(shù)的周期并根據(jù)相關(guān)性質(zhì)求值

(5)基本初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念以及運算

性質(zhì)，能通過指數(shù)式和對數(shù)的運算公式等

進行簡化計算，理解指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i【全國卷”

質(zhì)以及單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像和對數(shù)

函數(shù)圖像的特殊點，了解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)

函數(shù)的互為反函數(shù)的特點，知道指數(shù)函數(shù)

和對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；

了解哥函數(shù)的概念，掌握簡單尋函數(shù)的圖

形以及性質(zhì)，并了解它們的變化情況

(6)函數(shù)與方程結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與

方程根的關(guān)系，判斷一元二次方程根的存

在性以及根的個數(shù)，根據(jù)具體函數(shù)的圖像，

能顧用二分法求相應(yīng)方程的近似解

(二)本節(jié)考向題型研究匯總

題型考向考點/考向

函數(shù)的奇偶性以及對稱性(1)利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性

(2)利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值

(3)利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值

(4)利用函數(shù)的奇偶性求解析式

(5)利用函數(shù)的奇偶性求相關(guān)參數(shù)的取值范圍

(6)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性相結(jié)合等綜合性問題

利用函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍(1)利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的增減性

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)綜合問題

利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小(1)利用函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式的大小

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)式的大小

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小

函數(shù)的圖像問題利用掌握的函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的圖像問題

利用函數(shù)性質(zhì)求值利用函數(shù)的性質(zhì)求值

函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相結(jié)合求取值范圍函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相結(jié)合求相關(guān)參數(shù)的取值范圍

函數(shù)的零點問題(1)判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間

(2)判斷函數(shù)的零點的個數(shù)

(3)根據(jù)零點個數(shù)求相關(guān)參數(shù)的取值范圍

一、考向題型研究一：函數(shù)的奇偶性

三觀真題》

(2017新課標(biāo)I卷T5理科)函數(shù)f(x)在(-8,+oo)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f

(1)=-1,則滿足-iSf(x-2)<1的x的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

三觀一統(tǒng)

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【分析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可將不等式-iwf(X-2)<1化為-1WX-2<1,解得答案.

【詳解】解：???函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

若f(1)=-1,貝I)f(-1)=1,

又：函數(shù)f(x)在(-oo,+oo)單調(diào)遞減，-iWf(x-2)<1,

；.f(1)<f(x-2)<f(-1),

-l<x-2<1,

解得：x￡[1,3],

故選：D.

【點睛】本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔.

(觀平行題)

(2015新課標(biāo)I卷T13理科)若函數(shù)f(x)=九111(龍+，4+/)為偶函數(shù),則2=

【答案】1

【解析】由題知y=ln(尤+Ja+x?)是奇函數(shù),所以Ina+A/a+f)+inf-x+Ja+f)=

ln(<2+x2-x2)=In(7=0,解得Q=l.

考點：函數(shù)的奇偶性

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

(2014新課標(biāo)I卷T3理科)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函

數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)

C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

【答案】C

【解析】Yf(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，；.|f(x)|為偶函數(shù)，|g(x)|為偶函數(shù).

再根據(jù)兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)、兩個偶函數(shù)的積還是偶函數(shù)、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函

數(shù)，

可得f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，

故選：C.

(2011新課標(biāo)I卷T3文科)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+oo)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A.y=2x3B.y=|x|+lC.y=-x2+4D.y=2「閔

【答案】B

【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對選項一一加以判斷，即可得到既是偶函數(shù)又在(0,

+8)上單調(diào)遞增的函數(shù).

【解答】解：對于A.y=2x3,由f(-x)=-2x3=-f(x),為奇函數(shù)，故排除A；

對于B.y=|x|+l,由f(-x)=|-x|+l=f(x),為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，y=x+l,是增函數(shù)，故B正確;

對于C.y=-X2+4,有f(-x)=f(x),是偶函數(shù)，但x>0時為減函數(shù)，故排除C；

對于D.y=2-叫有f(-x)=f(x),是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，y=2E為減函數(shù)，故排除D.

故選：B.

三觀一統(tǒng)

十年高考真地精解

【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運用，注意定義的運用，以及函

數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題和易錯題.

(2011新課標(biāo)I卷T2理科)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+oo)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A.y=2x3B.y=|x|+lC.y=-x2+4D.y=2-國

【答案】B

【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對選項一一加以判斷，即可得到既是偶函數(shù)又在(0,

+8)上單調(diào)遞增的函數(shù).

3

【解答】解：對于A.y=2x,由f(-x)=-2x3=-f(x),為奇函數(shù)，故排除A；

對于B.y=|x|+l,由f(-x)=|-x|+l=f(x),為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，y=x+l,是增函數(shù)，故B正確；

對于C.y=-X2+4,有f(-x)=f(x),是偶函數(shù)，但x>0時為減函數(shù)，故排除C；

對于D.y=2-叫有f(-x)=f(x),是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，y=2r,為減函數(shù)，故排除D.

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運用，注意定義的運用，以及函

數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題和易錯題

一統(tǒng)考點/考向》

*函數(shù)的奇偶性

關(guān)于函數(shù)的奇偶性的定義

一般地，如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(-X)=f(x),那么函數(shù)/(X)就稱偶函數(shù)；

一般地，如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(-%)=-/(幻，那么函數(shù)/(X)就稱奇函

數(shù)；

*函數(shù)的奇偶性的幾個性質(zhì)

對稱性：奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；

整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個X都必須成立；

三觀一統(tǒng)

十年高考真地精解

可逆性：/(—%)=/(X)=/(X)是偶函數(shù)；/(—')=-/(X)=/(X)奇函數(shù)；

等價性：/(—x)=/(x)o/(-r)—/(x)=Oo/(|x|)=/(x)o^^=l；/(—x)=—/(x)o

小)

/(一幻+/(幻=。0^^=-1；

f\-x)

*奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；

“X)是奇函數(shù)o對定義域內(nèi)任意x,都有/(-%)=-/(x)o對定義域內(nèi)任意x,都有/(-%)+于(x)=0

。/(x)圖像關(guān)于原點對稱；

/(X)是偶函數(shù)。對定義域內(nèi)任意x,都有/(-x)=/(x)o對定義域內(nèi)任意無，都有/(-x)-/(x)=0

o/(x)圖像關(guān)于y軸對稱；

y=f(x+a)是偶函數(shù)。對定義域內(nèi)任意x都有f{a+x)=f{a-x)

y=/(x+a)是奇函數(shù)o對定義域內(nèi)任意x都有f(a-x)=-f{a+x)

*可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。

*設(shè)/。)，g(x)的定義域分別是2,3,那么在它們的公共定義域上：

奇土奇=奇(函數(shù))偶士偶=偶(函數(shù))

奇乂奇=偶(函數(shù))偶義偶=偶(函數(shù))奇義偶=奇(函數(shù))

*復(fù)合函數(shù)y=y［g(x)］的奇偶性

若函數(shù)〃x),g(x),丹g(x)］的定義域都是關(guān)于原點對稱的，那么由

u=g(x),y=/(〃)的奇偶性得到y(tǒng)=y［g(x)］的奇偶性的規(guī)律是：

函數(shù)奇偶性

U=g(x)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

y=/(?)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)

y=/[g(x)]奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

即當(dāng)且僅當(dāng)u=g(x)和y=/(〃)都是奇函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)y=/'［g(x)］是奇函數(shù).

*函數(shù)的奇偶性的判斷

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i【全國卷”

函數(shù)奇偶性的因素有兩個：定義域的對稱性和數(shù)量關(guān)系。判斷函數(shù)奇偶性就是判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)、

偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)四種情況。

判斷函數(shù)奇偶性的方法：利用奇、偶函數(shù)的定義，主要考查/(-x)是否與-/(%)、/(X)相等，判斷

步驟如下：

(1)定義域是否關(guān)于原點對稱；若定義域不對稱，則為非奇非偶函數(shù)；若定義域?qū)ΨQ，則有成為奇(偶)

函數(shù)的可能

(2)數(shù)量關(guān)系/(—*)=±/(x)哪個成立；

判斷分段函數(shù)的奇偶性

判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷，在函數(shù)定義域中，對自變量X的不同取值范圍，有

著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)，分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)，因此其判斷方法

也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷了(一幻與了3)的關(guān)系，首先要特別注意X與一X

的范圍，然后將它們代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，/8)與了(一工)對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶

函數(shù)的定義進行比較。

*關(guān)于奇偶函數(shù)的圖像特征

一般地：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是

奇函數(shù)；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函

數(shù)。

I)

圖象法：如二次函數(shù)丁=以92+。%+。成為偶函數(shù)，必須要使對稱軸工=—二=0,即Z?=0；若二次函

2a

數(shù)y=?%2+6x+c成為奇函數(shù)，必須要使a=c=0；當(dāng)b/0時，二次函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。

奇函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

*函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)求函數(shù)解析式

①將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；

③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式.

(2)求參數(shù)值

在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足五一無)=-/U)或偶函數(shù)滿足八一x)=/(尤)列等式，根據(jù)等

式兩側(cè)對應(yīng)相等確定參數(shù)的值.特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0,可以根據(jù)近0)=0

列式求解，若不能確定則不可用此法.

三現(xiàn)一統(tǒng)

十年高考真題精解?全國卷/

*力避失誤穩(wěn)得分

(1)首先必須判斷武盼的定義域是否關(guān)于原點對稱.若不關(guān)于原點對稱,則是非奇非偶函數(shù).若關(guān)于原點對稱，

則需定義域內(nèi)的任意X滿足定義.若否定函數(shù)的奇偶性只需有一個自變量不滿足.(如第1題(1)).

(2)有些函數(shù)必須根據(jù)定義域化簡解析式后才可判斷，否則可能無法判斷或判斷錯誤，(如第1題(2),若不化

簡可能會出現(xiàn)誤判)，(如第1題(3)可能會誤判為非奇非偶函數(shù)).

(3)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明八一x)與犬尤)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時，才

能判斷其奇偶性.(如第1題(4)).

*利用二級結(jié)論快得分

(1)對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：

奇土奇為奇；偶土偶為偶；奇士偶為非奇非偶；

奇x(:)奇為偶；奇x(：)偶為奇；偶x(.)偶為偶.

(2)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)#x)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記偶函數(shù)

g(X)=W[Ax)+<A—X)],奇函數(shù)X)],則/U)=g(尤)+〃(尤).

(3)復(fù)合函數(shù)y=/Ig(x)]的奇偶性原理：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(4)若奇函數(shù)y=?r)在x=0處有意義，則有八0)=0；偶函數(shù)y=/(x)必滿足兀0=黃]刈.

*關(guān)于函數(shù)按奇偶性的分類

全體實函數(shù)可按奇偶性分為四類：①奇偶數(shù)、②偶函數(shù)、③既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)、④非奇非偶函數(shù)。、

二、考向題型研究二：函數(shù)的單調(diào)性

三觀真題》

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

(2017新課標(biāo)I卷T9文科)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則()

A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

【答案】C

【分析】由已知中函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),可得f(x)=f(2-x),進而可得函數(shù)圖象的對稱性.

【詳解】解：；函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),

f(2-x)=ln(2-x)+lnx,

即f(x)=f(2-x),

即y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)的圖象與圖象變化，熟練掌握函數(shù)圖象的對稱性是解答的關(guān)鍵.在

此基礎(chǔ)上，掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，也是解答本題的關(guān)鍵

(觀平行題)

(2013新課標(biāo)I卷T16理科)若函數(shù)f(x)=(l—x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=~2對稱，則f(x)

的最大值為.

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

【答案】：16

【解析】???函數(shù)木尤)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱，

.?瓜乃滿足｛0)=八一4)，八-1)=五-3)，

仿=—15(16—4。+0，

即＜

0=—8(9—3a+3，

a=8,

解得4

["=15.

：.j(x)=一尤4一一141+8尤+15.

由/(%)=—4X3—24X2—28x+8=0,

得為=—2—亞,尬=—2,X3=—2+J^.

易知，危)在(-8,—2—J?)上為增函數(shù)，在(一2一—2)上為減函數(shù)，在(-2,—2+J?)上為

增函數(shù)，在(-2+J?,+8)上為減函數(shù).

.?9一2—A/5)="—(—2—A/5)2][(—2—A/5)2+8(—2—A/5)+15]

=(-8—4^/^)(8—4-\/5)

=80-64=16.

/(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8X(-2)+15]

=-3(4-16+15)

=一9.

f(—2+A/5)=[1—(—2+)2][(—2+A/5)2+8(—2+\/5)+15]

=(—8+4-\/5)(8+4-\/5)

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

=80—64=16.

故加0的最大值為16.

X

(2012新課標(biāo)I卷T11文科)當(dāng)0<x§時，4<logflx,則。的取值范圍是

(A)(0,乎)(B)(坐，1)(C)(1,.)(D)(y[2,2)

【答案】B

0<。<1廠

【解析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像知111,解得包故選B.

log。5〉422

(觀扇形題)

(2013新課標(biāo)I卷T11理科)已知函數(shù)1%)=<'—'若|/(x)|Nax,則〃的取值范圍是().

ln(x+l),x>0.

A.(-00,0]B.(-00,1]C.[-2,1]D.[-2,0]

【答案】D

【解析】：由y=|/U)|的圖象知：

①當(dāng)x>0時，只有好0時，才能滿足|/U)已辦，可排除B,C.

②當(dāng)爛0時，y=\f(x)\=\—x1+2x\=x1—2x.

故由\f{x}\>ax得x2—2x>ax.

三觀一統(tǒng)__________

--------------------------------------------------------------------V

十年高考直題精解,全國卷/

當(dāng)x=0時，不等式為OK)成立.

當(dāng)x<0時，不等式等價于x-2<a.

x—2V-2,???定一2.

綜上可知：]￡[—2,0].

(2010新課標(biāo)I卷T10理科)已知函數(shù)F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是

(A)(2A/I,+S)(B)[2A/2,+CX>)(C)(3,+S)(D)[3,+<X>)

【答案】A

【分析】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時極易忽視

a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+2b=?+->2V2，從而錯選A,這也是命題者的用苦良心之處.

a

12

【解析】因為f(a)=f(b),所以|lgak|lgb|,所以a二b(舍去)，或人二一，所以a+2b=〃+—

aa

2

又0<a<b,所以0<a<l<b,令/(a)=〃+—,由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù))(〃)在〃￡(0,1)上為減函數(shù)，所

a

2

以f(a)>f(l)=l+j=3,即a+2b的取值范圍是(3,+oo).

(2010新課標(biāo)I卷T7文科)已知函數(shù)/(%)=|lgx|.若QWb且，f(a)=f(b),則〃+/?的取值范圍

是

(A)(l,+oo)(B)[1,-Ho)(C)(2,+oo)(D)[2,+oo)

【答案】.C

【分析】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時極易忽視

a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+b=?+->2，從而錯選D,這也是命題者的用苦良心之處.

a

【解析1】因為f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或人=L所以a+b=o+工

aa

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

又0<a<b,所以0<a<l<b,令f(a)=a+工由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)/(?)在ae(0,1)上為減函數(shù)，所

a

以f(a)>f(l)=l+l=2,即a+b的取值范圍是(2,+00).

0<a<l0<x<l

【解析2］由0<a<b,且火編書。)得：<l<b,利用線性規(guī)劃得：<l<y，化為求2=x+y的取

ab=lxy=1

值范圍問題，z=x+y=>y=-x+z,y=工=>y'=--；<-l=>過點(1,1)時z最小為2,(C)

XX

(2,+8)

一統(tǒng)考點/考向》

函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)、減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)五龍)的定義域為/:如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩

個自變量的值Xl，X2

定義

當(dāng)X1<X2時，都有於1)/尤2),那么就當(dāng)X1<X2時，都有/(XI)/X2),那么就說

說函數(shù)/U)在區(qū)間D上是增函數(shù)函數(shù)Kr)在區(qū)間D上是減函數(shù)

\y

圖象

0孫?2X

0klx2左

描述

自左向右看圖象是上升的自左向彳亍看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)

間D叫做函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(3).函數(shù)的單調(diào)性等價變形

設(shè)為，9e\a,b],x1H/那么

①(%-/)"(不)—A/)]>0=>0o/(x)在上是增函數(shù)；

再—x2

②(xLX2)"a)—/■(x2)]<0=1^5i^<()o/(x)在[a㈤上是減函數(shù)?

(4).確定函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)單調(diào)性問題的基礎(chǔ)，是高考的必考內(nèi)容，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),

但有時也出現(xiàn)在解答題的某一問中，屬于低檔題目

(5).掌握確定函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的3種常用方法

定義法：一般步驟為設(shè)元-作差一變形-判斷符號一得出結(jié)論.其關(guān)鍵是作差變形，為了便于判斷差的符

號，通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形式，再結(jié)合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關(guān)系及不等

式的性質(zhì)進行判斷.(如典題領(lǐng)悟第1題)

圖象法：如果八x)是以圖象形式給出的，或者穴x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性確定它的單調(diào)性.(如

典題領(lǐng)悟第2題)

導(dǎo)數(shù)法(高二高三學(xué)生需掌握)：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.(如典題領(lǐng)悟第1題)

(6).熟記函數(shù)單調(diào)性的4個常用結(jié)論

(1)若八力，g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);

(2)若左>0,則破x)與段)單調(diào)性相同；若左<0,則破無)與段)單調(diào)性相反;

(3)函數(shù)y=/a)(/(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=>=六的單調(diào)性相反;

J\x)

(4)函數(shù)尸危)如巨0)在公共定義域內(nèi)與尸痂j的單調(diào)性相同.

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

（7）謹(jǐn)防3種失誤

A.單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間應(yīng)以“定義域優(yōu)先”為原則.（如沖關(guān)演練第1題）

B.單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示.

C.圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“U”連接.

（8）幾個初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

常用知識梳理：

分段函數(shù)的單調(diào)性：如果分段函數(shù)f（x）在每個分段區(qū)間上都具有相同的單調(diào)性，那么f（x）在整個定義域上未

必具有相同的單調(diào)性.還要考察各段銜接處的增減

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷規(guī)律是同增異減.須要注意的是復(fù)合函數(shù)的定義域

兩個單調(diào)函數(shù)的和函數(shù)的單調(diào)性是同增為增同減為減

兩個單調(diào)函數(shù)的積函數(shù)的單調(diào)性同增未必增，同減未必減

奇偶函數(shù)的單調(diào)區(qū)間具有的規(guī)律性是：

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性相同.

偶函數(shù)關(guān)于原點對稱區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性相反

三、考向題型研究三：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

0,203

（2019課表卷I卷T3理科）已知a=log20.2/=2,c=O.2,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

【答案】B

【分析】運用中間量。比較a，c,運用中間量1比較"c

【詳解】a=log202<log21=0,6=202〉2°=1,0<0.2°3<0.2°=1,則。<c<l,a<c<b.故選

B.

【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取中間變量法，利用

轉(zhuǎn)化與化歸思想解題

(觀平行題)

(2016新課標(biāo)I卷T8理科)若則

cccc

(A)a<b(B)ab<ba(C)aloghc<blogac(D)logac<\oghc

【答案】C

【詳解】對A：由于0<c<l,?,?函數(shù)丁=在R上單調(diào)遞增，因此，A錯誤

對B：由于一1<o一1<0，，函數(shù)y=x'T在(L+8)上單調(diào)遞減，

：.a>b>l<^ac-1<bc-xbac<abc,B錯誤

對C：要比較alo&c和blog.c,只需比較生吧和曲，只需比較正和匹，只需blnb和。山。

]nb]nabTnbalna

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx(x>l),則/,(x)=lnx+l>l>0,/(力在(l,+oo)上單調(diào)遞增，因此

/(a)>f(b]>0<^alna>blnb>0<=>---<---

a]nabinb

Inr*In

又由0<c<l得lnc<0，------<-------=/?log”c<ak)g〃c,C正確

a]nab]nbab

對D：要比較log。。和logbc,只需比較處和處

ln〃Inb

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解［全國卷/

而函數(shù)y=lnx在（L+00）上單調(diào)遞增，故°>6>101114>111/J>00^—<^—

InaIn6

又由。<c<l得lnc<0,?>@^<=>log?c>log'C

D錯誤

InaInZ?

故選C.

（2016新課標(biāo)I卷T8文科）.若a>6>0,0<c<l,貝1|（）

cc

A.logac<log/,cB.logc?<logc.Z>C.a<bD.c">（?

【答案】B

【解析】取特值a=l,b=0.5,c=0.5,可排除A,C,D,故選B

-i

（2010新課標(biāo)I卷T8理科）設(shè)a=log32,b=In2,c=5，則

Aa<b<cBb<c<aCc<a<bDc<b<a

【答案】C

【分析】本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實數(shù)大小的比較、換底

公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.

［解析Ja=log32=一一,b=In2=一一，而log。3>log。e>1,所以a<b,

log23log2e-

c-5^1，而&>2=log4>log3,所以c<a,綜上c<a<b.

飛22

（觀扇形題）

（2017新課標(biāo)I卷T11理科）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2*=3丫=5"，貝I］（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

三觀一統(tǒng)

十年高考真地精解

【答案】D

【分析】x、y、z為正數(shù)，令2，=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x」.，y=1",Z=A^K.可得3y=,乎，

lg2lg3lg5ig對

2*=哉，52=謂/艮據(jù)對=%>版=&，a=1痘>1曬=我.即可得出大小關(guān)系.

另解：x、y、z為正數(shù)，令2x=3y=5z=k>l.lgk>0.可得*=迎匕y=1^N,z=^^.—=—

lg2lg3lg53y3lg2

=上能>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.

Ig8

【解析】解：X、y、z為正數(shù)，

令2x=3y=5z=k>l.lgk>0.

貝”他丫=地JK.

Ig2lg3lg5

.?.3y=號，2x=lg%,5z=1*.

i§V3ig亞isVs

?去綱>版=如，g阪尸啊溶底

.?七加>坨&>1且強>0.

3y<2x<5z.

另解：x、y、z為正數(shù),

^2x=3y=5z=k>l.lgk>0.

貝鼠工y號z=A§k

lg2lg3lg5

可得2x>3y,

三觀一統(tǒng)

「十年高考真題精解/全國卷/

5

=.§.X112>]可得5Z>2X.

2x2lg5ig52

綜上可得：5z>2x>3y.

解法三：對k取特殊值，也可以比較出大小關(guān)系.

故選：D.

【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

'一統(tǒng)考點/考向〉/

指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用

高考常以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，難度偏小，屬中低檔題.，常見的命題角度有:

①比較指數(shù)式的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)哥再利用單調(diào)性比較大小，不

能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大??；

②簡單指數(shù)方程或不等式的應(yīng)用，先利用幕的運算性質(zhì)化為同底數(shù)幕，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求

解；

③探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解

三觀一統(tǒng)

十年高考真題精解i全國卷/

注意：比較兩個指數(shù)易大小時，盡量化同底或同指，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后

比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小.

對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用

①比較對數(shù)值的大小的方法

比較對數(shù)式大小的方法

方法解讀適合題型

(1>>1,g(x)>0,則log式x)>log“g(x)u^x)

單調(diào)>g(x)>0;底數(shù)相同，

性法(2)0<a<l，X%)>0,g(尤)>0,則log^x)>logag(x)<=>0真數(shù)不同

<f(,x)<g(x)

作出直線y=l,分別與四個圖像自左向右交于點

A(c,1),m1),C3,D，得到底數(shù)的大小關(guān)

圖象系是:：b>a>l>d>c>0

底數(shù)不同，真數(shù)相同

y/y=log%

法fl