人教版數(shù)學中考綜合模擬檢測試題

學校班級姓名成績________

一、選擇題

1.在1,-2,3,-4這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)為（）

A.1B.3C.-2D.-4

2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

3.2018年10月23日，世界上最長的跨海大橋——港珠澳大橋正式開通，這座大橋集跨海大橋、人工島、海

底隧道于一身，全長約55000米，其中55000用科學記數(shù)法可表示為（）

A.55xl03B.55X1O3C.5.5X104D.0.55x105

4.下列計算正確的是()

A.3x2+x2=4x4B.(x—l)2=x—1

C.(6x4y)X2x3j=3xD.(—x2y)2=x4y2

5.如圖，a!lb,Zl=110°,Z3=48°,則/2的度數(shù)是()

A.48°B,52°C,62°D,72°

6.五名女生體重（單位：KG）分別為：37、40、38、42、42,這組數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.42、40B.42、38

C.40、42D.42、42

7.一個圓錐高為4,母線長為5,則這個圓錐的側面積為（）

A.15兀B.12nC.25兀D.20n

8.已知關于x的一元二次方程x2—2x—k—2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）

A.k2一3B.kW3C.k>-3D.k<3

9.一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結論：①LVO；②。>0；③當％V3時，y\<yi；④

當yi>0且”>0時，-aVxV4.其中正確的個數(shù)是()

y

上

彳y=kx^b

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.在。ABC。中，對角線4C,8。相交于點。，以點。為坐標原點建立平面直角坐標系，其中A(a,b),B

(a-1,6+2),C(3,1),則點。的坐標是()

A.(4,-1)B.(-3,-1)C.(2,3)D.(-4,1)

11.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點0OE_LBD交BC于E.若AB=6,BC=8,則ABOE的周

長為()

A____________D

區(qū)

BEC

2950

A.12B.—C.15D.—

23

12.如圖是二次函數(shù)y=ox2+fer+c的圖象的一部分，對稱軸是直線x=l,以下結論：(T)abc>0；(2)3a+c>0；

③加為任意實數(shù)，則有〃(f??2+l)+Z;/%20；④若(-2,yi),(5,>,2)是拋物線上的兩點，則yiV”，正確

的有()個.

\]|/,

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

14.在不透明的盒子中裝有6個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子,

摸到黑色棋子的概率是工，則白色棋子的個數(shù)是

15.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC垂直平分BD,NBAD=120。，AB=4,點E是AB的中點，點F

是AC上一動點，則EF+BF的最小值是.

16.。0的半徑0A=4,以0A為直徑作。Oi交。O的另一半徑OB于點C,當C為0B的中點時，圖中陰

影部分的面積S=.

18.化簡分式,并從中選一個你認為合適的整數(shù)a代入求值.

19.如圖，一般捕魚船在A處發(fā)出求救信號，位于4處正西方向的8處有一艘救援艇決定前去數(shù)援，但兩船

之間有大片暗礁，無法直線到達.救援艇決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東60。方以每小時30海里的速度航

行，同時捕魚船向正北低速航行.30分鐘后，捕魚船到達距離A處1.5海里的。處，此時救援艇在C處測

得Q處在南偏東53°的方向上.

(1)求C、。兩點的距離;

(2)捕魚船繼續(xù)低速向北航行，救援艇決定再次調(diào)整航向，沿CE方向前去救援，并且捕魚船和救援艇同達

4

時到E處，若兩船航速不變，求NEC。的正弦值.（參考數(shù)據(jù)：sin53°v（）.8,my53°?0.6,ton53°?-）

20.實施新課程改革后，學生的自主學習、合作交流能力有很大提高，張老師為了了解所教班級學生自主學

習、合作交流的具體情況，對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調(diào)查，并將調(diào)查結果分成四類，A：特

別好；B：好；C：一般；D：較差；并將調(diào)查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答

下列問題:

（1）本次調(diào)查中C類女生有名，D類男生有名；將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整;

（2）計算扇形統(tǒng)計圖中D所占的圓心角是

（3）為了共同進步，張老師想從被調(diào)查A類和D類學生中分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請

用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率.

21.王媽媽在蓮花商場里購買單價總和是90元的商品甲、乙、丙共兩次，其中甲的單價是20元，乙的單價

是40元，甲商品第一次購買的數(shù)量是第二次購買數(shù)量的兩倍，乙商品第一次購買的數(shù)量與丙商品第二次購

買的數(shù)量相等，兩次購買商品甲、乙、丙的數(shù)量和總費用如下表:

購買商品甲的購買商品乙的購買商品丙的購買總費用

數(shù)量（個）數(shù)量（個）數(shù)量（個）（元）

第一次購物4440

第二次購物7490

（1）求兩次購買甲、乙、丙三種商品總數(shù)量分別是多少？

（2）由于蓮花商場物美價廉，王媽媽打算第三次前往購買商品甲、乙、丙，設三種商品的數(shù)量總和為a個，

其中購買乙商品數(shù)量是甲商品數(shù)量的3倍，購買總費用為1280元，求a的最小值.

22.【問題探究】課堂上老師提出了這樣的問題：“如圖①，在DABC中，NB4C=108°,點。是6C邊

上的一點，440=72。，BD=2CD,A￡>=4,求AC的長”.某同學做了如下的思考：如圖②，過點。作

CE//AB,交的延長線于點￡，進而求解，請回答下列問題：

(1)ZACE=度；

(2)求4c的長.

【拓展應用】如圖③，在四邊形ABCD中，ZBAD=120°,ZADC=75°,對角線AC、BD相交于點E，

且EB=2ED,他=2,則8C的長為.

23.如圖，AB是。0的直徑，且AB=6.點C是。O上的一動點，連接AC,BC,在AC的延長線上取一點D,

使得NCBD=NDAB,點G為DB的中點，點E為BG的中點，連接AE交BC于點E

(1)試判斷直線BD與。O的位置關系，并說明理由；

(2)當/CGB=60。時，求AC的長；

(3)當AE〃CG時，連接GF,若AF=4,求BD的長.

24.如圖1,拋物線G：尤一2與直線/：y=交于x軸上一點A,和另一點B(3,〃)

(1)求拋物線G的解析式；

(2)點P是拋物線G上的一個動點(點p在A，B兩點之間,但不包括A,B兩點)PM工AB于息M,PN〃y

軸交AB于點M求MN的最大值；

(3)如圖2,將拋物線C1繞頂點旋轉18()。后，再作適當平移得到拋物線。2，已知拋物線G的頂點E在第

一象限的拋物線G上，且拋持線與拋物線C交于點過點。作叱//x軸交拋物線。2于點F，過點

E作EG//x軸交拋物線&于點G,是否存在這樣的拋物線C2,使得四邊形。FEG為菱形？若存在，請求

E點的橫坐標；若不存在，請說明理由.

答案與解析

一、選擇題

1.在1,-2,3,-4這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)為（）

A.1B.3C.-2D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值的定義先求出這四個數(shù)的絕對值，再找出絕對值最小的數(shù)即可.

【詳解】解：；|11=1,|-2|=2,|3|=3,|-4|=4,

這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是1,

故選：A.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的大小比較和絕對值的性質，掌握絕對值的性質是解題的關鍵，是一道基礎題.

)

【解析】

【分析】

根據(jù)中心對稱圖形的定義和圖形的特點即可求解.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

B、是中心對稱圖形，故此選項正確;

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

故選：B.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞某一點旋轉180。后能夠與自身重合，那么這個

圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.掌握概念是解題關鍵.

3.2018年10月23日，世界上最長的跨海大橋——港珠澳大橋正式開通，這座大橋集跨海大橋、人工島、海

底隧道于一身，全長約55000米，其中55000用科學記數(shù)法可表示為（）

A.5.5x103B.55x103C.5.5X104D.0.55x105

【答案】C

【解析】

【分析】

科學記數(shù)法的形式是：?xio",其中1引w為整數(shù).所以。=5.5,〃取決于原數(shù)小數(shù)點的移動

位數(shù)與移動方向，〃是小數(shù)點的移動位數(shù)，往左移動，〃為正整數(shù)，往右移動，"為負整數(shù).本題小數(shù)點往

左移動到5的后面，所以〃=4.

【詳解】解:55000=5.5x104.

故選C.

【點睛】本題考查的知識點是用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，關鍵是在理解科學記數(shù)法的基礎上確定

好。，〃的值，同時掌握小數(shù)點移動對一個數(shù)的影響.

4.下列計算正確的是()

A.3x2+x2=4x4B.(x—l)2=x—1

C.(6x，y)+(2x3)=3xD.(—x2y)2z=x4y2

【答案】D

【解析】

【分析】

按合并同類項的法則判斷A,

按完全平方公式的計算判斷B,

按單項式除以單項式判斷C,

按積的乘方判斷D.

【詳解】解：3X2+X2=4X2.所以A錯誤，

(x—l)2=f_2x+l,所以B錯誤，

(6*與)+(2/)=3孫，所以C錯誤,

(_》2))2=》4>2,所以D正確.

故選D.

【點睛】本題考查的是合并同類項，整式的乘法，單項式除以單項式，積的乘方等知識，掌握以上知識點

是解題關鍵.

5.如圖，a!lb,Nl=110°,Z3=48°,則N2的度數(shù)是()

b

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平行線的性質，平角的定義解決問題即可.

【詳解】解：如圖，VZ^llO0,

.,.Z4=180°-110o=70°,

：a〃b,

Z2+Z4+Z3=18O°,

VZ3=48°,

Z2=62°,

故選：C.

【點睛】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.

6.五名女生的體重（單位：KG）分別為：37、40、38、42、42,這組數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.42、40B.42、38

C.40、42D.42、42

【答案】A

【解析】

【分析】

先將數(shù)據(jù)從大到小重新排列，然后根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：五個數(shù)據(jù)從小到大排列為：37、38、40、42、42,所以眾數(shù)是42,中位數(shù)是40.

故選A-

【點睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的知識，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后，最

中間的那個數(shù)(最中間兩個數(shù)的平均數(shù))，叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)

據(jù)按要求重新排列，就可能會出錯.

7.一個圓錐高為4,母線長為5,則這個圓錐的側面積為()

A.15兀B.127tC.257tD.20兀

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用勾股定理計算出這個圓錐的底面圓的半徑，然后根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長

等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算即可.

【詳解】這個圓錐的底面圓的半徑=廬下=3,

所以這個圓錐的側面積=—X2TTX3X5=15兀.

2

故選A.

【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.

8.已知關于x的一元二次方程x2-2x-k—2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是()

A.k》一3B.k<3C.k>-3D.k<3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用判別式意義得到4=(-2)2-4(-k-2)>0,然后解不等式即可.

【詳解】根據(jù)題意得A=(-2)2-4(-k-2)>0,

解得k>-3.

故選C.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(arO)的根與△=b?-4ac有如下關系：當△>()

時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當AV0時，方程無實數(shù)根.

9.一次函數(shù)yi=Ax+人與y2=x+”的圖象如圖所示，則下列結論：①&<0；②a>0；③當尤<3時，)1<”；④

當yi>0且”>0時，-aVx<4.其中正確的個數(shù)是()

y個

be

oy3K為

Ay=kx^b

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】

仔細觀察圖象，①k的正負看函數(shù)圖象從左向右成何趨勢即可；②a看y2=x+a與y軸的交點坐標；③以兩

條直線的交點為分界，哪個函數(shù)圖象在上面，則哪個函數(shù)值大；④看兩直線都在x軸上方的自變量的取值

范圍.

【詳解】①??$=丘+6的圖象從左向右呈下降趨勢，

.,.^<0正確；

②'.j2=x+a,與y軸的交點在負半軸上，

故②錯誤；

③當xV3時，yi>>'2,故③錯誤；

④y2=x+〃與x軸交點的橫坐標為x=-a,

當yi>0且丫2>0時，-a<x<4正確；

故正確的判斷是①④，正確的個數(shù)是2個.

故選B.

【點睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)的圖象與性質，利用數(shù)形結合是解題的關鍵.

10.在。ABC。中，對角線AC,8。相交于點O,以點。為坐標原點建立平面直角坐標系，其中A(a,b),B

(?-1,b+2),C(3,1),則點。的坐標是()

A(4,-1)B.(-3,-1)C.(2,3)D.(-4,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出圖形，利用平行四邊形的性質解答即可.

【詳解】如圖：

.?.A(-3,-1),

：.B(-4,1),

：.D(4,-1)；

故選A.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，解題的關鍵是利用平行四邊形的性質解答.

11.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O,0E_LBD交BC于E.若AB=6,BC=8,則aBOE的周

長為()

A.12B.—C.15D.—

23

【答案】C

【解析】

【分析】

由勾股定理得出BD=NCD°+BC2=10,得出OB=5,證明△BOES/\BCD,利用相似三角形的性質，即

可得出aBOE的周長.

【詳解】解：?.?矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O,

AOB=OD,ZBCD=90°,CD=AB=6,

???BD=yJCD2+BC2=10,

AOB=OD=5,

VOE1BD,

.,.ZBOE=90°=ZBCD,

\"ZOBE=ZCBD,

AABOE^ABCD,

.OEBEOB

…^D~~BD~~BC

口nOEBE5

即——

6To8

is25

解得：OE==BE=J

44

2515

ABOE的周長=OB+BE+OE=5+—+—=15；

44

故選：C.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質；熟練掌握矩形的性質，證明

三角形相似是解題的關鍵.

12.如圖是二次函數(shù)y="N+-+c的圖象的一部分，對稱軸是直線x=l,以下結論：?abc>0；②3a+c>0；

③，"為任意實數(shù)，則有〃（機2+i）+加?20；④若（-2,V）,（5,y2）是拋物線上的兩點，則？<y2,正確

的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

觀察圖像，可得出a,b和c的符號，就可判斷①是否正確；根據(jù)x=3時，y的正負就可對②作出判斷；根

據(jù)對稱軸是直線x=l,就可對③④作出判斷.

【詳解】①由圖象可知：a>0,c<0,

b

由對稱軸可知：——>0,

AZ?<0,

.??abc>0,故①正確；

b

②由對稱軸可知：——=1，

2a

:.b=-2a,

，??當x=3時，y>0,

/.9i+3Z?+c>0,

/.9a-6〃+c>0,

/.3?+c>0,故②正確；

③??,拋物線的對稱軸為直線x=l,

???當x=l時，y有最小值，

am2+bm+cNa+/?+c（"2為任意實數(shù)），

：?am?+bm》a+b（m為任意實數(shù)），

/.am2^a+bm22a+b（m為任意實數(shù)），

?:b=-2a,

?9?a（m2+1）+/?機20,故③正確；

④，?,點（-2,y\）離對稱軸要比點（5,”）離對稱軸要近，

.?.yiV”，故④正確.

故選D

【點睛】考查二次函數(shù)與系數(shù)的關系.二次項系數(shù)。決定拋物線的開口方向，共同決定了對稱軸的位置,

常數(shù)項。決定了拋物線與V軸的交點位置.

二、填空題

13.計算a-更的結果是

V2

【答案】26

【解析】

【分析】

先根據(jù)二次根式的除法法則運算，然后化簡后合并即可.

【詳解】解：原式=36-6

=3\/3—s/3

=2百.

故答案為2百.

【點睛】本題考查了二次根式混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運

算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)?/p>

解題途徑，往往能事半功倍.

14.在不透明的盒子中裝有6個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子,

摸到黑色棋子的概率是,，則白色棋子的個數(shù)是一.

【答案】24

【解析】

【分析】

設盒子中白色棋子有x個，根據(jù)概率公式列出關于x的方程，解之可得.

【詳解】解：設盒子中白色棋子有x個，

根據(jù)題意，得：-

6+x5

解得：x=24,

經(jīng)檢驗：x=24是原分式方程的解，

所以白色棋子有24個，

故答案為24.

【點睛】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC垂直平分BD,ZBAD=120°,AB=4,點E是AB的中點，點F

是AC上一動點，貝IJEF+BF的最小值是.….

A

\---

【答案】2幣

【解析】

【分析】

連接DF,過E作EGLBD于G,當E,F,D三點共線時，EF+BF的最小值等于DE的長，利用勾股定理

求得DE的長，即可得出EF+BF的最小值.

【詳解】解：如圖所示，連接DF,過E作EG_LBD于G,

：AC垂直平分BD,

；.FB=FD,AB=AD,

，EF+BF=EF+FD,

當E,F,D三點共線時，EF+BF的最小值等于DE的長，

VZBAD=120°,

NABD=30。，

又???AB=4,點E是AB的中點，

EG=—BE=LAH=—AB=2,

22

.?.BG=5BH=2g,GH=G，

，DH=26，DG=35

.?.RSDEG中，DE=7EG2+DG2=正+萩丫=2幣,

故答案為2近.

【點睛】本題主要考查了最短路線問題，以及勾股定理，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性

質定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.

16.00的半徑OA=4,以0A為直徑作。0i交。O的另一半徑0B于點C,當C為0B的中點時，圖中陰

影部分的面積S=

【答案】空一布

3

【解析】

【分析】

連接0C，先證明公。℃是等邊三角形，根據(jù)S|^=S招OAB—SAGCO-SSWOICA進行解答.

C是OB的中點，OA=OB=4,

AOC=2,

V。1是OA的中點，

/.OtA=OXO=2,

/.oc=go=o6=2,

/.A。。。是等邊三角形，

...NAOB=/OO|C=60°,

ZAO,C^120°,

_604x42G

??5陰影=

3604xm

故答案為：—Vs.

3

【點睛】本題考查的是扇形面積的計算及圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出圓心角及等邊三角形

是解答此題的關鍵.

三、解答題

-1\/3—21+2cos30—^―

17.計算:

3>

【答案】7+±叵

3

【解析】

【分析】

按負整數(shù)指數(shù)累，絕對值的含義，銳角三角函數(shù)，二次根式的性質分別計算，再合并即可.

【詳解】解：原式=9—(2—6)+2義旦一旦

23

=9-2+6+百一如

3

7+挈

【點睛】本題考查的是負整數(shù)指數(shù)幕，絕對值的含義，銳角三角函數(shù)，二次根式的性質及實數(shù)的運算，掌

握以上知識是解題的關鍵.

18.化簡分式(2-4-1+4^-,并從-2WaW2中選一個你認為合適的整數(shù)a代入求直

(a-2a*--4ja，+4a+4

【答案】—12

a-2

【解析】

【分析】

首先化簡分式，再把a的值代入求出答案.

【詳解】解:

a(a+2)a,(a+2了_a(a+1)(a+2)2_a+1

原式=

(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)a(a+2)(a+2)(a-2)a(a+2)a-2

由己知可得2戶2,0,-2,又因為-2芻及,且a為整數(shù)，所以a=-l或1.

不妨取a=l,原式=84=2(答案不唯一)

1-2

【點睛】本題考查的是分式的化簡求值與整式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.

19.如圖，一般捕魚船在月處發(fā)出求救信號，位于A處正西方向的B處有一艘救援艇決定前去數(shù)援，但兩船

之間有大片暗礁，無法直線到達.救援艇決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東60°方以每小時30海里的速度航

行，同時捕魚船向正北低速航行.30分鐘后，捕魚船到達距離A處1.5海里的。處，此時救援艇在C處測

得。處在南偏東53°的方向上.

北

(1)求C、O兩點的距離；

(2)捕魚船繼續(xù)低速向北航行，救援艇決定再次調(diào)整航向，沿CE方向前去救援，并且捕魚船和救援艇同達

時到E處，若兩船航速不變，求NEC。的正弦值.(參考數(shù)據(jù)：s加53。之().8,cos53°*0.6,柩〃53°n3)

3

【答案】(1)C。兩點的距離是10海里；(2)0.08

【解析】

【分析】

(1)過點C、。分別作CG_LA3,DF1.CG,垂足分別為G,F,根據(jù)直角三角形的性質得出CG,再根

據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出C￡＞的長；

(2)如圖，設漁政船調(diào)整方向后■小時能與捕漁船相會合，由題意知CE=30/，OE=1.5x2xr=3r，

NEDC=53°,過點E作于點H,根據(jù)三角函數(shù)表示出EH,在比HEZ/C中，根據(jù)正弦的定義

求值即可；

【詳解】解：(1)過點C、。分別作CGLAB,DF1CG，垂足分別為G,F,

???在MCGB中，ZCBG=90°-60°=30°,

.?.CG=，BC=，x(30x，1=7.5海里,

22\2

\-ZDAG=90°,

四邊形AOFG是矩形,

；.6尸=4。=1.5海里,

:.CF=CG-GF=7.5—1.5=6海里,

在心口中，NCED=9()°,

vZZ）CF=53°,

CF

.-.cosZ￡）CF=—

CD

CF

CD==9=10（海里）

cos53°0.6

答：co兩點的距離是10海里;

（2）如圖，設漁船調(diào)整方向后1小時能與捕漁船相會合，

由題意知C￡=30f，DE=1.5x2xt=3f,NEDC=53°,

過點E作EH_LCD于點H,則NEHD=ZCHE=90°,

EH

：.sin/EDH=——,

ED

：.EH=EDsin530=3fx0.8=24,

FH24/

???在MEHC中，sinZECD=—=—=0.08.

CE30f

答：sin/EC。的正弦值是0.08.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用一方向角問題，掌握解直角三角形的應用一方向角問題是解題

的關鍵.

20.實施新課程改革后，學生的自主學習、合作交流能力有很大提高，張老師為了了解所教班級學生自主學

習、合作交流的具體情況，對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調(diào)查，并將調(diào)查結果分成四類，A：特

別好；B：好；C：一般；D：較差；并將調(diào)查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答

下列問題:

AS?

介........A....................■男生

(1)本次調(diào)查中C類女生有名，D類男生有名；將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整；

(2)計算扇形統(tǒng)計圖中D所占的圓心角是；

(3)為了共同進步，張老師想從被調(diào)查的A類和D類學生中分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請

用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率.

【答案】(1)2,1,圖詳見解析；(2)36°；(3)-

2

【解析】

【分析】

（1）先根據(jù)題意求得調(diào)查的學生總人數(shù)，進而求出c類女生和D類男生人數(shù)，然后即可補全統(tǒng)計圖；

（2）用360。乘以對應的百分比即得；

（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，進而由樹狀圖求得所有等可能的結果與所選兩位同學恰好是一位男同學和

一位女同學的情況，再利用概率公式即得.

【詳解】解：（1）本次調(diào)查的總人數(shù)為（6+4）+50%=20（人），

本次調(diào)查中C類女生有20x25%-3=2（人），

D類男生有20-（1+2+6+4+3+1+2）=1（人），

補全圖形如下：

故答案為：2,1；

2

（2）扇形統(tǒng)計圖中D所占圓心角是360萬——=36。,

20

故答案為：36°；

（3）畫樹狀圖得：

開始

強男女女

/\/\/\

D類男女男女男女

???共有6種等可能的結果，所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的有3種情況，

二所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率是=3=—1.

62

【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率、條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的知識，熟練掌握樹狀圖分析求

解概率，結合條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖均已知的量求出總人數(shù)是解題關鍵.

21.王媽媽在蓮花商場里購買單價總和是90元的商品甲、乙、丙共兩次，其中甲的單價是20元，乙的單價

是40元，甲商品第一次購買的數(shù)量是第二次購買數(shù)量的兩倍，乙商品第一次購買的數(shù)量與丙商品第二次購

買的數(shù)量相等，兩次購買商品甲、乙、丙的數(shù)量和總費用如下表:

購買商品甲的購買商品乙的購買商品丙的購買總費用

數(shù)量(個)數(shù)量(個)數(shù)量(個)(元)

第一次購物4440

第二次購物7490

(1)求兩次購買甲、乙、丙三種商品的總數(shù)量分別是多少？

(2)由于蓮花商場物美價廉，王媽媽打算第三次前往購買商品甲、乙、丙，設三種商品的數(shù)量總和為a個，

其中購買乙商品數(shù)量是甲商品數(shù)量的3倍，購買總費用為1280元，求a的最小值.

【答案】(1)兩次購買甲、乙、丙三種商品的總數(shù)量均為15個；(2)38.

【解析】

【分析】

(1)設第二次購進甲商品x個，購進丙商品y個，則第一次購進甲商品2x個，乙商品y個，根據(jù)總價=單

價X數(shù)量及前兩次購物的總費用，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出x,y的值，再分別

將兩次購物購進的三種商品數(shù)量相加即可得出結論；

(2)設第三次購進甲商品m個，則購進乙商品3m個，丙商品(a-4m)個，根據(jù)總價=單價X數(shù)量結合購

買總費用為1280元，即可的關于a,m的二元一次方程，結合a,m,a-4m均為非負整數(shù)，即可求出a,m

的值，取其最小值即可得出結論.

【詳解】解：(1)設第二次購進甲商品x個，購進丙商品y個，則第一次購進甲商品2x個，乙商品y個，

[20x2x+40y+4(90-20-40)=440

依題意，得：＜,

[20x+40x7+(90-20-40)y=490

解得：\'尤=3.

[y=5

；.2x+y+4=15,x+7+y=15

答：兩次購買甲、乙、丙三種商品的總數(shù)量均為15個.

(2)設第三次購進甲商品m個，則購進乙商品3m個，丙商品(a—4in)個，

依題意，得：20m+40x3m+(90-20-40)(a-4m)=1280,

128-2m

；.a=-------------,

3

'.'a,m,a—4m均為非負整數(shù),

m=1fm=4=7

《，或《，或《,

a=42[a=40[a=38

，a的最小值為38.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系,

正確列出二元一次方程組；(2)找準等量關系，正確列出二元一次方程.

22.【問題探究】課堂上老師提出了這樣的問題：“如圖①，在n49C中，N84C=108。，點。是3c邊

上的一點，/班0=72。，BD=2CD,AD=4,求AC的長某同學做了如下的思考：如圖②，過點C作

CE//AB,交AZ)的延長線于點E，進而求解，請回答下列問題：

(1)ZACE=度；

(2)求AC的長.

【拓展應用】如圖③，在四邊形ABCD中，ZBAD=nO°,ZADC=75°,對角線AC、相交于點E，

且ACLAB,EB=2ED,AE=2,則8C的長為.

【答案】【問題探究】(1)72°；(2)AC=6.【拓展應用】2n.

【解析】

【分析】

問題探究：

(1)由平行線的性質得出NACE+NBAC=180。，即可得出結果；

(2)由平行線的性質得出NE=NBAD=72。，證出AC=AE,由平行線證明AABDS/^ECD,求出AD=2；

ED=4,ED=2,得出AC=AE=AD+ED=6；

ARAFRF

拓展應用：過點D作DF〃AB交AC于點F.證明ABAES^DFE,得出======2,得出AB=2DF,

EF=^AE=1,AF=AE+EF=3,證出AC=AD,在RsADF中，求出DF=AFxtan/CAD=百，得出

AC=AD=2DF=26，AB=2DF=26,得出AC=AB,在RsABC中，求出BC=0AB=2n即可.

【詳解】解：⑴：CE〃AB,

.".ZACE+ZBAC=180°,

.,.ZACE=180o-108°=72°；

故答案為：72；

(2)VCE/7AB,

.\ZE=ZBAD=72O,

???NE=NACE,

AAC=AE,

VCE/7AB,

AAABD^AECD,

.ADBD

??—，

EDCD

VBD=2CD,

.AJ

ED

AAD=2ED=4,

AED=2,

???AC=AE=AD+ED=4+2=6；

拓展應用：

解：如圖3中，過點D作DF〃AB交AC于點F.

VAC±AB,.,.ZBAC=90°,VDF/7AB,

.\ZDFA=ZBAC=90°,

ZAEB=ZDEF,

.,.△BAE^ADFE,

.ABAEBEr

??=——2,

DFEFDE

AAB=2DF,EF」AE=1,AF=AE+EF=3,

2

VZBAD=120°,

/.ZCAD=30°,

.\ZACD=750=ZADC,

，AC=AD,

在RSADF中，VZCAD=30°,

n

：.DF=AFxtanZCAD=3x—=y/3,

3

Z.AC=AD=2DF=26,AB=2DF=2百，

；.AC=AB,

在RtAABC中，VZBAC=90°,

.\BC=V2AB=2V6;

故答案為：2底.

【點睛】此題考查四邊形綜合題，相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定，勾

股定理，本題綜合性強，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題.

23.如圖，AB是。O的直徑，且AB=6.點C是。O上的一動點，連接AC,BC,在AC的延長線上取一點D,

使得/CBD=/DAB,點G為DB的中點，點E為BG的中點，連接AE交BC于點F.

(1)試判斷直線BD與。0的位置關系，并說明理由；

(2)當/CGB=60。時，求AC的長；

(3)當AE〃CG時，連接GF,若AF=4,求BD的長.

【答案】(1)直線BD與。O相切，詳見解析；(2)兀；(3)8

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)圓周角定理，由AB是。0的直徑，可得NDCB=NACB=90。，故有ND+NCBD=90。；再由

ZCBD=ZDAB,可得ND+/DAB=90°,即NABD=90。，可得結論.

(2)因為點G是Rt/SBCD斜邊BD的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得

CG=BG=—BD.又有NCGB=60。，故4BCG是等邊三角形，求得/DBC=60。，進而得NABC=30。.根據(jù)

2

圓周角定理有/AOC=2/ABC=60。，再由半徑r=yAB=3代入弧長公式即求得AC的長.

(3)由AE〃CG和E為BG中點可證得點F為BC中點，又因為CG=BG=^BD,故FGLBC,進而得AC〃FG,

2

所以四邊形AFGC是平行四邊形，所以有BG=CG=AF=4,BD=2BG=8.

【詳解】解：(1)直線BD與。0相切，理由如下：

：AB是。O的直徑

ZBCD=ZACB=90°,

.".ZD+ZCBD=90°,

VZCBD=ZDAB,

ZD+ZDAB=90°,

ZABD=90°,

即BD±AB,

直線BD與。。相切

(2)如圖1,連接OC

：/BCD=90。，點G為DB的中點

.,.BG=CG=DG=—BD

2

ZCGB=60°

AABCG是等邊三角形

；./DBC=60°

，/ABC=/ABD-/DBC=30°

ZAOC=2ZABC=60°

?.?直徑AB=6

，半徑r=3

60^x3

，AC的長為

180

D

(3)如圖2,連接FG,；點E是BG中點

.\BE=EG

：AE〃CG

.BFBE,

??-----=------=1,

CFEG

???BF=CF,即點F是BC中點

VBG=CG

???FG_LBC

???NCFG=NACB=90。

???FG〃AC

???四邊形AFGC是平行四邊形

???CG=AF=4

JBG=CG=4

.??BD=2BG=8

【點睛】本題考查了圓的切線判定，圓周角定理，中點定義，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

等邊三角形的判定和性質，弧長的計算公式，平行線分線段定理，等腰三角形三線合一的性質，平行四邊

形的判定和性質.整題證明和計算過程涉及很多幾何知識點，需綜合靈活運用幾何定理和公式解題.

24.如圖1,拋物線G：丁=依2+反一2與直線/：y=——!交于X軸上的一點4,和另一點B(3,〃)

（1）求拋物線G的解析式；

（2）點P是拋物線a上的一個動點（點P在A,B兩點之間，但不包括A,B兩點）PM_LA6于點M,PN//y

軸交AB于點N,求例N的最大值；

（3）如圖2,將拋物線G繞頂點旋轉180。后，再作適當平移得到拋物線。2,已知拋物線。2的頂點E在第

一象限的拋物線G上，且拋持線。2與拋物線G交于點。，過點。作）V/x軸交拋物線G于點忙過點

E作EG//X軸交拋物線G于點G,是否存在這樣的拋物線。2,使得四邊形。FEG為菱形？若存在，請求

E點的橫坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=-x2--x-2；（2）區(qū)5；（3）E點的橫坐標為+g）時，四邊形DFEG為菱形

225I

【解析】

【分析】

（1）求直線/與x軸交點A坐標、B坐標，用待定系數(shù)法求拋物線G的解析式?

（2）延長PN交x軸于點H,設點尸橫坐標為〃?，由PN//y軸可得點N、H橫坐標也為〃?，即能用，"表示

PN、N