圓周長(zhǎng)、版長(zhǎng)

素質(zhì)教育目標(biāo)

1,復(fù)習(xí)圓周長(zhǎng)公式：理解弧長(zhǎng)公式.

2,通過(guò)弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生抽象、理解、概括、歸納能力；通過(guò)“彎道”問(wèn)題的

解決，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)

題的能力.

3,在弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)過(guò)程中，滲透從特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律.在解決

實(shí)際問(wèn)題的例題教學(xué)中，滲透實(shí)踐的觀(guān)點(diǎn)、理論聯(lián)系實(shí)際的觀(guān)點(diǎn).

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.重點(diǎn)：弧長(zhǎng)公式.

2.難點(diǎn)：正確理解弧長(zhǎng)公式.

3.疑點(diǎn)及解決方法：學(xué)生對(duì)公式中的“n”一會(huì)兒是角的“度數(shù)”，一會(huì)兒又是“倍數(shù)”

有疑惑，解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于講清楚1°的弧長(zhǎng).

教法學(xué)法和教具

1,教法：引導(dǎo)學(xué)生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2,學(xué)法：學(xué)生主動(dòng)探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3,教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）。

教學(xué)步驟

俠梧引入：前一階段我們學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，知道圓上兩點(diǎn)之間的部分叫做弧.弧的

度數(shù)前面已經(jīng)學(xué)過(guò)了，弧應(yīng)當(dāng)有長(zhǎng)度，弧的長(zhǎng)度應(yīng)如何求呢？

復(fù)打梃問(wèn)：1.已知。0半徑為R,。。的周長(zhǎng)C是多大？（安排中下生回答：C=2"R）,2.已

知。0的周長(zhǎng)是C,。。的半徑R等

于多少？（安排中下生回答，R=2）

錦堂撩神.

例一：已知：如圖7T55,圓環(huán)的外圓周長(zhǎng)Cl=250cm,內(nèi)圓周長(zhǎng)C2=150cm,求圓環(huán)的寬度

d（精確到1mm）.

引導(dǎo)分析：

1,圓環(huán)的寬度與同心圓半徑有什么關(guān)系？（安排中學(xué)生回答，d=Rl-R2）

2,請(qǐng)同學(xué)們完成此題，（安排一名學(xué)生上黑板做，其余同學(xué)在下面做）（d^l5.9cm）

談話(huà)引導(dǎo)：我們知道，把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的圓心角是1°的

角，因?yàn)橥瑘A中相等的圓心角所對(duì)弧相等，所以整個(gè)圓也被等分成360份，每一份這樣的弧

就是1°的弧，大家知道圓的周長(zhǎng)是2"R。

想想看1°的弧長(zhǎng)應(yīng)是多少？怎樣求？（安排中等生回答：1°的弧長(zhǎng)=

禁即1°的弧長(zhǎng)=點(diǎn)）那么2。的弧長(zhǎng)怎么求？3。的弧長(zhǎng)怎么求？

（安排中下生回答）哪位同學(xué)回答，n。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)1,應(yīng)怎么求？

（安排中等生回答：1=黑.）

loU

課堂練習(xí)一：（學(xué)生計(jì)算，然后回答）

1.邊長(zhǎng)6cm的正三角形，它的內(nèi)切圓周長(zhǎng)是—；它的外接圓的周

長(zhǎng)是；（2、后兀cm；4-75兀cm）

2.邊長(zhǎng)4cm的正方形，它的內(nèi)切圓周長(zhǎng)是―；它的外接圓的周長(zhǎng)

是s（4兀cm；4、也兀cm）

3.周長(zhǎng)6ncm的。0,其內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)是一；（3cm）

4.已知。0的周長(zhǎng)6Jicm,則它的外切正方形的周長(zhǎng)是—；（24cm）

-2

5.在半徑為1cm的圓中，120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是；（-71）

4

6.在。O中，如果120。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是可兀cm,則。O

的半徑是__（2cm）

7.如果。0的半徑3cm,其中一弧長(zhǎng)231cm,則這弧所對(duì)圓心角度數(shù)是—（120°）

以上各題解決起來(lái)不太困難，所以應(yīng)重點(diǎn)照顧中下學(xué)生.

課堂練習(xí)二：

已知圓的半徑R=46.0cm,求18°31'的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)1（保留三個(gè)有效數(shù)字）.

（安排一中下生上黑板做此題，其余同學(xué)在下面完成.）

注意強(qiáng)調(diào)：

假如上黑板作題的學(xué)生把題寫(xiě)成1=1*二?及義46.0正好為本課提

loO

供了分析素材.假如上黑板作題的學(xué)生先把18°31'化為18.52。后計(jì)

18.52義兀X46.0教師也應(yīng)提出“1=些霜竺2怎么不行？”

算1=

180loU

的問(wèn)題讓學(xué)生們充分展開(kāi)討論.在討論過(guò)后首先讓先把18°31'化為18.52。后再代入公式

計(jì)算的學(xué)生談?wù)?，他是怎么想的，最后由上等生?/p>

教師做歸納總結(jié)，弧長(zhǎng)公式匚萼其實(shí)是l=n?我其中我表示1。

loUloUloU

的弧長(zhǎng)，2。弧長(zhǎng)則瞟X2,3?；￠L(zhǎng)則點(diǎn)X3,這其中的2或3不表

loUloU

示度數(shù)而是表示1°的倍數(shù)，當(dāng)然n?；￠L(zhǎng)則應(yīng)是黑?n,公式中的n表

1OU

示1°的n倍，由于2。是1°的2倍，3°是1°的3倍，n°是1

°的n倍，所以有圓心角n。則邨長(zhǎng)公式中就應(yīng)唾Xn,此時(shí)公式中的

loU

倍數(shù)n與圓心角的度數(shù)n。相對(duì)應(yīng).而這道題的圓心角是18。31',所以需將31'換算成

度才能得到公式中所需的n.

（安排學(xué)生正確完成此題，答案，1Q14.9cm）

課堂練習(xí)三：

請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆?jì)算一題，已知圓的半徑R=10cm,求18°42'的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)

（安排學(xué)生在練習(xí)本上完成，答案，1=黑兀）

loU

例2,彎制管道時(shí)，先按中心線(xiàn)計(jì)算展直長(zhǎng)度，再下料?，試計(jì)算圖所示管道的展直

長(zhǎng)度1（單位：mm,精確到1mm）

引導(dǎo)學(xué)生分析

1,哪位同學(xué)到前面指出圖中所示的管道指的哪部分？（安排舉手的同學(xué)）

2,哪位同學(xué)告訴同學(xué)們這管道的展直長(zhǎng)度1由圖中哪幾部分組成？（安排中下生回答）

3,圖中的弧所對(duì)圓心角等于多少度，它的半經(jīng)是多少？（安排中下生回答）

4,請(qǐng)大家動(dòng)筆先計(jì)算圖中的弧長(zhǎng)，（1=5001570mm）

700TOO.

01

0

圖7-156

5,請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算管道的展直長(zhǎng)度.（l=2930mm）

課堂練習(xí)四：

有一段彎道是圓弧形的，道長(zhǎng)是12m,弧所對(duì)的圓心角是81°,求這段弧的半徑R（精確到

0.1m）

練習(xí)指導(dǎo)：

1.哪位同學(xué)到前面指出圖中的彎道？（安排中下生上前）

2,道長(zhǎng)12m指的是哪條弧的長(zhǎng)12m?（安排中下生上前）

3,L和n已知，如何求R?（安排中下生回答:R=圖三）

n乃

4,請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算出R的值，（約8.5m）

總給、獷展（引導(dǎo)學(xué)2次忍老燈）

本堂課復(fù)習(xí)了小學(xué)就學(xué)會(huì)的圓周長(zhǎng)公式，在此基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了弧長(zhǎng)公式、哪位同學(xué)能回

答圓周長(zhǎng)公式.弧長(zhǎng)公式？（安排中下生回答：C=2irR,L=P型）

180

布置作業(yè)

教材P.168中練習(xí)1、2、3；P.179中2,3.

板書(shū)設(shè)計(jì)

7.19回周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)（一）

二、1°的弧長(zhǎng)=/2*JIR

360

一、C=2gR,

IOTR

n°的弧長(zhǎng)1=—

loU

教后札記：學(xué)生對(duì)圓的周長(zhǎng)和弧長(zhǎng)的有關(guān)概念和計(jì)算方法能夠理解，但是，應(yīng)用較

生，對(duì)公式能夠理解，但是，由于解題的綜合性較強(qiáng)，對(duì)公式中的n的意義時(shí)常忽落，應(yīng)用

有難度，解題不周密，要指導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用和計(jì)算方法的反思學(xué)習(xí)。

同周長(zhǎng)、孤長(zhǎng)（二）

素質(zhì)教育目標(biāo)

1,應(yīng)用圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)公式綜合圓的有關(guān)知識(shí)解答問(wèn)題.

2,通過(guò)應(yīng)用題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí);

通過(guò)應(yīng)用題的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

3,通過(guò)應(yīng)用題的教學(xué)，向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀(guān)點(diǎn).通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決，向?qū)W生滲

透矛盾相互轉(zhuǎn)化的觀(guān)點(diǎn).

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.重點(diǎn)：運(yùn)用圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)公式，綜合其它方面的知識(shí)解有關(guān)的應(yīng)用題.

2.難點(diǎn)：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，綜合運(yùn)用其它知識(shí)解決問(wèn)題.

3,疑點(diǎn)：學(xué)生對(duì)公式中n的理解一會(huì)是度數(shù)一會(huì)是倍數(shù)有疑慮，措施是講清1度弧的含義。

教法學(xué)法和教具

1,教法：引導(dǎo)學(xué)生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2,學(xué)法：學(xué)生主動(dòng)探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3,教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）。

教學(xué)步驟

篌精引入：上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了圓的周長(zhǎng)公式，學(xué)習(xí)了弧長(zhǎng)公式，我們說(shuō)圓的周長(zhǎng)公式

與弧長(zhǎng)公式應(yīng)用很廣泛，并且跟其它知識(shí)聯(lián)系很密切，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“7.19圓周長(zhǎng)、

弧長(zhǎng)”繼續(xù)研究它的應(yīng)用.

復(fù)打梃問(wèn)：

1.哪位同學(xué)回答圓的周長(zhǎng)公式？（安排中下生回答：C=2nR）,

2.如果。。的周長(zhǎng)為C,它的半徑R,設(shè)這個(gè)圓的半徑增加a,那么它的周長(zhǎng)增加多少？（在

學(xué)生思考、計(jì)算后，安排中等生回答：2na

3,周長(zhǎng)為6后的正三角形，他的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是多少？他的外接圓的周長(zhǎng)是多少？（在學(xué)生

思考，計(jì)算后，安排中下生回答：內(nèi)切圓周長(zhǎng)2n,外接圓周長(zhǎng)4n）.

4,哪位同學(xué)回答以下弧長(zhǎng)公式？（安排中下生回答

180

5,公式中的n與中心角度數(shù)n。有什么聯(lián)系和區(qū)別？（安排中上生回答：公式中的n表示1°

弧長(zhǎng)的n倍，它在數(shù)值上恰等于中心角的度數(shù)的數(shù)值.）如果已知條件中中心角的度數(shù)不僅

有度還有分，還有秒，要計(jì)算此角所對(duì)弧長(zhǎng)應(yīng)首先做什么工作，（安排中等生回答：將度、

分、秒轉(zhuǎn)化為度，從而得到公式中所需的n）

6,在半徑10cm的。0中，圓心角為32°24錯(cuò)誤!未指定書(shū)簽?！幕￠L(zhǎng)是多少？（安排中

下生回答）

錦堂探揀：

例-：火車(chē)機(jī)車(chē)上的主動(dòng)輪直徑為1.2米，主動(dòng)輪每分轉(zhuǎn)400轉(zhuǎn)，火車(chē)每小時(shí)行幾公

里（精確到1公里）？

引導(dǎo)學(xué)生分析：

1,哪位同學(xué)知道機(jī)車(chē)輪子轉(zhuǎn)一圈，在軌道上走多遠(yuǎn)距離？（安排中上學(xué)生回答：1.2n米）

你計(jì)算的依據(jù)是什么？（輪子轉(zhuǎn)一圈，在軌道上的距離就是圓的一個(gè)周長(zhǎng).）

2,請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算出這題的結(jié)果（約90公里）.

何二：如圖，有一圓弧形橋拱，拱的跨度AB=40m,拱形的半徑R=29m,求拱形的高和拱

形的弧長(zhǎng)（保留4個(gè)有效數(shù)字.）

哪位同學(xué)知道，“有一圓弧形橋拱”這句話(huà)給我們解題提供什么信息？（找中上生回答，橋拱

AB

的弧是一個(gè)圓的一部分.）圖7-158

引導(dǎo)學(xué)生分析：

1,“拱上跨度AB=40m”又為我們提供什么信息？（安排中上生回答：AB是橋拱弧所在圓的弦,

其長(zhǎng)40m）.

2,“拱形的半徑R=29m”又為我們提供什么信息？（安排中下生回答：橋拱弧所在圓的半徑

29m）

3,哪位同學(xué)能畫(huà)出解決此實(shí)際問(wèn)題的幾何圖形？（安排一名上等生上黑板畫(huà)，其余學(xué)生在練

習(xí)本上畫(huà)）

4,在這個(gè)圖形中，拱形的高是哪條線(xiàn)段.為什么是它？（安排中上生回答：CD,概括弓形高

的定義.）看到這個(gè)圖，你想到了什么定理？（安排中等生回答：垂經(jīng)定理.）哪位同學(xué)能敘

述一下垂徑定理？（安排中等生回答）請(qǐng)同學(xué)們研究一下拱高怎么求？（安排中下生回答：先

用勾股定理求出0D,然后用半徑減0D即可）.

5,要求拱形弧長(zhǎng)，半徑已知，還缺少什么條件？（安排中下生回答，少弧所對(duì)中心角的度數(shù)）

C

0

圖7-159

6,中心角NA0B的度數(shù)你打算通過(guò)什么方法求出來(lái)？上生回答：作直角三角形AOD）.請(qǐng)同

學(xué)們完成這題，（安排上等生上黑板）

圖7-160

例三：如圖，兩個(gè)皮帶輪的中心的距離為2.1m,直徑分別為0.65m和0.24m.（1）求皮

帶長(zhǎng)（保留三個(gè)有效數(shù)字）；（2）如果小輪每分轉(zhuǎn)750轉(zhuǎn)，求大輪每分約轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn).

引導(dǎo)學(xué)生分析：

1,“兩個(gè)皮帶輪的中心的距離為2.1m”，給我們解決此題提供了什么數(shù)學(xué)信息？（安排中

等生回答：兩個(gè)圓的圓心距為2.1m）

2,題目中皮帶長(zhǎng)，在圖形中指的是哪幾部分的和？（安排中等生回答：流+DC+前+AB）

3,AB、CD與。0卜（DO?具有什么位置關(guān)系？AB與CD具有什么數(shù)量關(guān)系？根據(jù)是什么？（安

排中下生回答：AB與CD是OOi與。02的公切線(xiàn)，AB=CD,根據(jù)的是兩圓外公切線(xiàn)長(zhǎng)相等.）

4,前面單元大家已學(xué)過(guò)了公切線(xiàn)長(zhǎng)的求法，哪位同學(xué)還記得計(jì)算兩圓外公切線(xiàn)長(zhǎng)的途經(jīng)？

（安排中上學(xué)生回答：構(gòu)造由圓心距、半徑差和切線(xiàn)長(zhǎng)的平移線(xiàn)段組成的直角三角形，解這

個(gè)三角形即可）

5,請(qǐng)同學(xué)們把切線(xiàn)長(zhǎng)AB求出來(lái)，（安排一名中上生到黑板做）

解：（1）作過(guò)切點(diǎn)的半徑01A、011）、02B、02C,作02EL01A,垂足為E

RtAEOjOj=C）2E=J。。；-OE

0^=^X0.65=0325

OjE=0,205>=>02E=AB?2.090(m).

AE=O2B=^X0.24=0.12

Q%=21

O1E=O1A-O2B

6,要求前的長(zhǎng)度，已具備了什么條件，還缺少什么條件？（安排中下生：已具備了半徑

0.325,缺少流所對(duì)圓心角的度數(shù)），

7,觀(guān)察圖形，你打算通過(guò)什么途徑求出流所對(duì)圓心角al?（安排中上生：a1=360°-2

a,而a可通過(guò)解Rt401E02解決）.

8,請(qǐng)同學(xué)們求出流的長(zhǎng)度.（安排一名中上生到黑板前完成此題）

0E

cosCl^0,0976.-.ZCl=84.4°=>Z<1^360°-2Za

1912X%X0.325

=191.2°=>AMD的長(zhǎng)h=1.085(m).

180

9,同樣要求就的長(zhǎng)度，半經(jīng)0.12,NB02c怎么求？請(qǐng)同學(xué)們觀(guān)察圖形，哪位同學(xué)談?wù)?/p>

看法：(安排上等生回答：ZB02C=2Za=168.8°,因01A〃02B,01D/702C所以NB02c=2

Za）

10,請(qǐng)同學(xué)們求出氤的長(zhǎng)度，（安排一名中上生到黑板完成）