從生產(chǎn)與存貯的協(xié)調(diào)談起——用變分法建立動態(tài)優(yōu)化模型作者05級班級學(xué)號目錄目錄 2摘要 3一、引言 3二、模型 3（一）問題的化簡和假設(shè) 3（二）模型的建立 3三、分析 4（一）泛函極值問題 4（二）最優(yōu)解及生產(chǎn)率與貯存量之間的關(guān)系 4四、結(jié)論 5（一）變分法的基本概念 5（二）泛函的變分 5（三）泛函的極值 5五、進(jìn)一步的探討 6（一）模型推廣——生產(chǎn)計劃模型 6（二）假設(shè) 6（三）建模 7五、參考文獻(xiàn) 7摘要本文將從分析生產(chǎn)和銷售的關(guān)系出發(fā)，研究如何能使生產(chǎn)率和存貯量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上。這個模型是用變分法建立的動態(tài)優(yōu)化模型。本文先從一個實例開始討論，以在一定時間T內(nèi)生產(chǎn)率和存貯量與設(shè)定值誤差的（加權(quán)）平方和最小為目標(biāo)，給出了泛函極值問題。在設(shè)銷售量為常數(shù)的條件下，求出了最優(yōu)解，并在T很大的情況下給出了生產(chǎn)率和存貯量之間的關(guān)系。本文最后推廣出了生產(chǎn)計劃制定的一般模型。關(guān)鍵詞：動態(tài)優(yōu)化模型、變分法、生產(chǎn)量、存貯量、生產(chǎn)計劃制定一、引言如今，國家工業(yè)化和商業(yè)化的步伐越來越快，在市場經(jīng)濟(jì)的浪潮下，如何以最小的成本獲得最大的經(jīng)濟(jì)的利潤無疑是人們現(xiàn)在最關(guān)注的問題。公司的負(fù)責(zé)人都希望生產(chǎn)出的產(chǎn)品能夠達(dá)到預(yù)期最好的銷售業(yè)績，不要在貨倉里過多的積壓，但也不希望產(chǎn)品會脫銷，這就要求人們考慮如何協(xié)調(diào)好生產(chǎn)和銷售這兩個商品流通的環(huán)節(jié)。制定一個科學(xué)合理的生產(chǎn)計劃是解決這個問題的最好辦法。二、模型（一）問題的化簡和假設(shè)本文先討論一個簡單的實例。一家集生產(chǎn)、銷售于一體的公司，希望生產(chǎn)率和存貯量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上，如果銷售量可以預(yù)測，公司需要制定一個根據(jù)存貯量控制生產(chǎn)率的策略。（二）模型的建立可以用變分法建立這個實例的動態(tài)優(yōu)化模型。這個數(shù)學(xué)模型的主要符號說明如下：x（t）——t時刻的存貯量u（t）——單位時間產(chǎn)量（即生產(chǎn)率）v（t）——單位時間銷量u0——預(yù)先給定的生產(chǎn)率x0——預(yù)先給定的存貯量J(u(t))——在時間T內(nèi)u（t）和x（t）與u0和x0誤差的（加權(quán)α）平方和最小的泛函極值三、分析（一）泛函極值問題記時刻t的存貯量x（t），單位時間產(chǎn)量（即生產(chǎn)率）和銷售量分別為u（t）和v（t），則x（t）=u（t）-v（t）（1）式設(shè)預(yù)先給定的生產(chǎn)率和存貯量分別為u0和x0，則在時間T內(nèi)u（t）和x（t）與u0和x0誤差的（加權(quán)α）平方和最小的泛函極值為J（u（t））=（2）式若設(shè)t=0和T=0時存貯量為0，則x（0）=x（T）=0(3)式將（1）式代入（2）式得J（u（t））=(4)式(3)式和（4）式構(gòu)成一個固定端點的泛函數(shù)極值問題。（二）最優(yōu)解及生產(chǎn)率與貯存量之間的關(guān)系當(dāng)銷售量v（t）=v0（常數(shù)）時，（4）式的歐拉方程為x-（x-）=0（5）式（5）式在條件（3）下的解為x（t）=-（6）式代入（1）式得u（t）=-（7）式由（6）式和（7）式可得u（t）=+（-x（t））-（8）式在T很大的情況下（8）式最后一項可忽略，于是u=+（-x）即生產(chǎn)率u可以由存貯量x直接確定四、結(jié)論對于動態(tài)優(yōu)化模型，其優(yōu)化目標(biāo)仍然是一個數(shù)值，而最優(yōu)策略是函數(shù)。對于連續(xù)過程可歸結(jié)為求泛函的極值，常用的方法有變分法。（一）變分法的基本概念泛函：設(shè)S為一函數(shù)集合，若對S中的每一函數(shù)都有一個確定的數(shù)J與之相對應(yīng)，則稱J為定義在S上的一個泛函，記作J[y(x)]。S稱為泛函J[y(x)]的定義域。最簡泛函：設(shè)定義一個泛函J:S?R，對任意y?S，設(shè)（二）泛函的變分函數(shù)的變分:函數(shù)在的增量其中L是y的線性項，而是y的高階項泛函J在的變分：最簡泛函的變分為：（三）泛函的極值泛函的極值：泛函取得極小值(極大值)是指：對于任意一個與接近的都有變分與極值的關(guān)系：泛函數(shù)極值的必要條件：定理：泛函J[y(x)]在上達(dá)到極小值（或極大值）的必要條件是＝０類比：連續(xù)光滑函數(shù)極值存在的必要條件：在極值點的導(dǎo)數(shù)為零。最簡泛函取得極值的必要條件：-=0或--y-此式為歐拉方程此最簡泛函極值的必要條件可以推廣到含有兩個及兩個以上未知函數(shù)歐拉方程組五、進(jìn)一步的探討根據(jù)以上這個實例，我們可以推廣出生產(chǎn)計劃制定的一般模型。（一）模型推廣——生產(chǎn)計劃模型工廠與客戶簽訂了一項在某時刻提交一定數(shù)量產(chǎn)品的合同，在制定生產(chǎn)計劃時要考慮生產(chǎn)和存貯兩種費用。生產(chǎn)費用通常取決于生產(chǎn)率（單位時間的產(chǎn)量），生產(chǎn)率越高費用越大。所謂生產(chǎn)計劃這里簡單地看作是到每一時刻為止的累積產(chǎn)量，它與每單位時間（如每天）的產(chǎn)量可以互相推算。建模的目的是尋求最優(yōu)的生產(chǎn)計劃，使完成合同所需的總費用（生產(chǎn)與貯存費用之和）最小。（二）假設(shè)開始生產(chǎn)時刻記為t=0，按照合同應(yīng)在t=T提交數(shù)量為Q的產(chǎn)品。到時刻t為止的產(chǎn)量記作x（t），x(t)即生產(chǎn)計劃。因為時刻t的生產(chǎn)率表示為x（t），所以單位時間的生產(chǎn)費用可以一般地記作f（x（t）），而單位時間的貯存費用則應(yīng)記為g（x（t））。于是從t=0到t=T的總費用C（x（t））是C（x(t)）=eq\o\ac(○,1)式為了確定f和g的具體形式作如下假設(shè)。1、單位時間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個單位所需的生產(chǎn)費用與這時的生產(chǎn)率成正比。在需求飽滿、生產(chǎn)率很高的工廠里這個假設(shè)是合理的。2、存貯費與存貯量（即累積產(chǎn)量）成正比。這是關(guān)于存貯費的最常用的假設(shè)。假設(shè)1表明，生產(chǎn)費f對生產(chǎn)率的變化率與成正比，即于是f（（t））=（t）eq\o\ac(○,2)式是比例系數(shù)，由假設(shè)2則可以直接寫出g（x（t））=x（t）eq\o\ac(○,3)式是單位數(shù)量產(chǎn)品單位時間的存貯費。（三）建模將eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)代入eq\o\ac(○,1)式并注意到x（t）在t=0和t=T時的值，我們有C(x(t))=eq\o\ac(○,4)式x（0）=0，x(T)=Qeq\o\ac(○,5)式制定最優(yōu)生產(chǎn)計劃歸結(jié)為在固定端點條件eq\o\ac(○,5)下，求x（t）使eq\o\ac(○,4)式定義的泛函C（x（t））取得最小值用變分法求解，記F（t，x，）=，根據(jù)歐拉方程可得(t,x,)-(t,x,)=0eq\o\ac(○,6)式方程eq\o\ac(○,6)在端點條件eq\o\ac(○,5)下的解為x（t）=