第二章圓錐曲線與方程單元測試

A組題(共100分)

選擇題：本大題共5題，每小題7分，共35分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.方程x=13y2—1所表示的曲線是()

(A)雙曲線(B)橢圓

(C)雙曲線的一部分(D)橢圓的一部分

v-2v222

2.橢圓±+二=1與雙曲線二一2_=1有相同的焦點，則。的值是()

4a2a2

11

(A)-(B)］或-2(C)1或Q(D)1

22

3.雙曲線二-2=1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是()

a"h

(A)2(B)百(C)V2(D)-

2

4.若拋物線的準線方程為x=-7,則拋物線的標準方程為()

(A)x2=-28y(B)/=28x(C)y2=~28x(D)x2=28y

5.拋物線/=4x上一點P到焦點F的距離是10,則P點的坐標是()

(A)(9,6)(B)(6,9)(C)(t6,9)(D)(9,±6)

填空題：本大題共4小題，每小題6分，共24分。

x2y2

雙曲線兀的兩個焦點分別為匕、雙曲線上的點到的距離為則到

6.=1F%Ph12,PF2

的距離為.

22

7.雙曲線--'=1的焦點到漸近線的距離等于

54

8.經(jīng)過點P(4,-2)的拋物線的標準方程為.

9.已知點P(6,力在拋物線y2=2px(p>0)上，F(xiàn)為拋物線焦點，若|PF=8,則點F到拋物線準

線的距離等于

三.解答題：本大題共3小題，共41分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

y2

10.雙曲線二一二句(a>0,b>0),垂點％的弦AB(A、B在雙曲線的同支上)長為m,另一

ab-

焦點為F2，求ZXABF2的周長.

11.焦點在y軸上的拋物線上一點P(m,-3)到焦點的距離為5,求拋物線的標準方程.

12.已知拋物線y2=6x,過點P(4")引一弦，使它恰在點P被平分，求這條弦所在的直線/的方

程.

B組題（共100分）

四.選擇題：本大題共5題，每小題7分，共35分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

13.如果雙曲線日-21=1上一點P到它的右焦點的距離是8,

那么P到它的左準線距離是

6436

()

、96、86、8583

(A)—(B)~(C)~(D)—

o6

2.22

x讓。與雙曲線與有

14.設(shè)。<k</,那么雙曲線二=i7-=1)

（A）相同的虛軸（B）相同的實軸（C）相同的漸近線（D）相同的焦點

1_

15.拋物線片￡x2（a/0）焦點坐標是)

一

(B)(0,I)111

(A)(0,)或(0,(C)(0,—)或(0,-石）（D）（。，石）

2

16.若拋物線y=2px（p>0）上一點P到準線及對稱軸的距離分別為10和6,則p的值等于

()

（A）2或18（B）4或18（C）2或16(D)4或16

17.過拋物線/=2Px（p>0）的焦點F作一條直線/交拋物線

于A、B兩點，以AB為直徑的圓和該拋物線的準線/的位置關(guān)

系是（）

（A）相交（B）相離（C）相切（D）不能確定

五.填空題：本大題共4小題，每小題6分，共24分。

2，

18.若方程」—+工=-1表示焦點在y軸上的雙曲線，則

Ik1-21-k

它的半焦距c的取值范圍是.

19.若雙曲線與橢圓二+匕=1有相同焦點，且經(jīng)過點（、后,4）,則該雙曲線的方程

2736

為____________

20.在直角坐標系*。丫中,有一定點人（2,1）,若線段OA的垂直平分線過拋物線y2=2px（p>0）

的焦點，則該拋物線的準線方程是.

21.點M到點F（0,-2）的距離比它到直線/：y-3=0的距離小1,則點M的軌跡方程是.

六.解答題：本大題共3小題，共41分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22.己知焦點在坐標軸上的雙曲線，它的兩條漸近線方程為

y±瓜=0,焦點到漸近線的距離為3,求此雙曲線的方程.

23.雙曲線=一二=1(。＞0方＞0)滿足如下條件:(1)ab=g;(2)過右焦點F的直線/的斜率為

ah

叵，交y軸于點P，線段PF交雙曲線于點Q,且|PQ|:|QF|=2:1,求雙曲線的方程.

2

24.過拋物線片x2的頂點作互相垂直的兩條弦OA、0B,拋物線的頂點。在直線AB上的射影

為P,求動點P的軌跡方程.

C組題(共50分)

七.選擇或填空題：本大題共2題。

25.雙曲線/一＞2=i右支上一點pg,b)到直線/：y=x的距離［=后則a+b=()(A)

1111

--(B)-(C)一或一一(D)2或-2

2222

26.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+l)相交于A、B兩點，則aAOB的形狀是.

八.解答題：本大題共2小題，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

27.直線y=kx+l與雙曲線X?-y2=i的左支交于A,B兩點，直線/過點(一2,0)和AB的中點，求

直線/在y軸上截距b的取值范圍.

28.如圖所示，點尸(a,0)(?！?),點P在y軸上運動，M在x軸上，N為動點，且

PMPF=0,PN+PM=0*

(1)求點N的軌跡C的方程；

(2)過點b(a,0)的直線/(不與x軸垂直)與曲線c

交于A,B兩點，設(shè)點K(-a,0),蔡與慈的夾角為。，求

TC

證：0＜。＜一.

2

參考答案

A組

一、1、C.2、D.3>C.4、B.5、D.

二、6、答：2或22.||PF2|-12|=2a=10,A|PF2|=12±10.

7、答：2.焦點F(3,0)到漸近線2x-&y=0的距離為爺=2.

8、答：y2。或x2=-8y.當拋物線焦點在X軸上時，設(shè)拋物線方程為黃二以，P點代入解得。=

1；當拋物線焦點在y軸上時，設(shè)拋物線方程為X?二ay,P點代入解得。=—8..??拋物線方程為

y2=x或x2=-8y.

9、答：4.由PF|=6+5=8^p=4,即焦準距等于4.

三、10.解V|AF2|-|AF1|=2a,|BF21-|AFx|=2a,

."?(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)=4a,

又|AFi|+|BF/=|AB|=m,

|AF2|+|BF2|=4o+(|AF1|+|BF1|)=4a+m.

.?.△ABF2的周長等于IAF2I+IBF2I+|AB|=4a+2m.

11、解：依題意，設(shè)拋物線方程為為x2=-2py(p>0)

點P在拋物線上，到準線的距離為5,又點P到x軸的距離為3,所以準線到x軸的距離

為2,.W=2,；.p=4,.,.拋物線方程為x?=-8y.

12、解：設(shè)/交拋物線于A(X1M)、B(X2J2)兩點，由y/=6Xi、為2=6*2，

得僅1一力)伊1+丫2)=6,1一X2),

又P(4,1)是A、B的中點，.”+丫2=2,

.??直線/的斜率k=色二拄=3,.?.直線/的方程為3x-y-11=0.

X1—X2

B組

四、13、選A.設(shè)P到右焦點的距離為|PF/=8,則P到左焦點的距離|PF2|=2a+|PFj=24.

e]到左準線的距離號.

14、選D.

15>B.將拋物線方程化為x2=ay,當a>0時，p=*焦點為。：)，

當a<0時，p=—焦點為。一的，也是(0,~).

16、A.

1

17、C.設(shè)AB中點為M,ADJJ于D,BCJJ于C,MNJJ于N.；|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|MN|=]

1

(|AD|+|BC|)=,AB|,...以AB為直徑的圓于拋物線的準線/相切.

l-k<Q

五、18、(1,+8),二?雙曲線的焦點在y軸上，°八，.”>2.

K-2>0

/.c2=k_l+k_2=2k_3>1,c>l.

22

19..?.雙曲線的方程為匕-2=1.

45

20.答：x=-j.?；OA的垂直平分線的方程是y-3=-2(x-l),令y=0得到拋物線的焦點為

(-,0),.?.拋物線的準線方程為x=-生

44

21、答x2=-8y.設(shè)M(x,y),依題意，J(x_())2+(y+2產(chǎn)=_3卜1且y<3.

化簡得x2=-8y.

六、22.解設(shè)雙曲線方程為3x?二k(kW0),

當k>0時，/二女此時焦點為(0,±瓦)，

33-V3

由題意得3=匕_，解得k=27,雙曲線方程為y2-3x2=27；

2

當k<0時，a2=——,b2=—k,c2=一二火,此時焦點為(士,0),

33-V3

22

由題意得3=匚而，解得k=-9,雙曲線方程為y-3x=-9,

2

即3x?-y2=9.

所求雙曲線方程為

y2-3x2=27或3x2-y2=9.

23.解:設(shè)直線/:y='衛(wèi)(x-c),令x=0,得P(0,互c),

22

2c2

x=------=—c

1+23

設(shè)入=吆0=2,Q(x,y),則有.

后

\QF\c

v_2_

1+2

又Q(gc,-乎C)在雙曲線上，b2(gc)2-/(一筌c)2=a2b2,

222

Vo+b=c,-(1+^T)-—(^+1)=1,解得4=3,又由ab=百，可得I：=1

9a212b2a2[b2=3

所求雙曲線方程為x2-^-=l.

3

24解法設(shè)

P(x,y),4(占，%),B(z,%)，5：>=依+b,(b*0)

0X

y=kx+b,.

由，消去y得：x~-kjc-b=O,xx--b.

y=x,y2

VOA_LOB,，OAOB=0,...玉々+%為=0,

所以玉%2+(X/2)2=—b+(~b)2=0,b#0,

b=l,直線AB過定點M(0,1),

又。PLAB,...點P的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓(不含原點。)，

...點P的軌跡方程為x2+(y--)2=-(y>0).

解法二：設(shè)P(x,y),/OB：y=kx,/0A：y=-/x,分別代入y=x?,

得3優(yōu),%2),A(--,-y).

kk

[QP^P=Q[x2+y2-kx-k2y=O

由得1,XV，消去k得點P的軌跡方程為

0PAp=0x2+y2+--^-=O

iIkk~

x2+y2_y=O(y>0).

c組

a-h

七、25、選B.\?點P在直線/：y=x的下方，所以b<o,所以d=O得a-b=2,又

(i~-h~—I,/,a+b=-.

2

'1,2=-X

26、答：直角三角形.由《'得公x?+(2公+13+%2=0,

y=左(x+1)

設(shè)A(X"V1)、B(X242)，

,,2k2+1

,/XXX2+yi/2=*1*2+k(Xi+1)(X2+l)=l+r(l—k2+1)=0,

OA?OB=0,.，.OA±OB,所以^AOB是直角三角形.

八、27.解：設(shè)A(Xi,yJ,B(X2,y2),將直線y=kx+l與x2—y2=l聯(lián)立得

(l-k2)x2-2kx-2=0................①，

又l-k2H0,方程①有兩個不大于一l的不等實根，

4/r2-4(l-/:2)(-2)>0

A>0

2k

々)<—2即《<-2

\-k2

(玉+l)(x+1)>0

2-22k

---------T+1>0

l-k2l-k2

LtI

解得l<k<J2;AB的中點為(----7,——7),

l-k2l-k2

直線/的方程為y=—」------(x+2),截距b=