第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年福建省莆田二中高一（下）段考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù)z=i(5+3i)+i3，則|z|=(

)A.3 B.4 C.5 D.62.已知|a|=4，|b|=1，?a,A.12 B.28 C.23 3.歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ將復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，在復變函數(shù)中占有非常重要的地位，根據(jù)歐拉公式，復數(shù)e3i在復平面內對應的點所在的象限為A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.某同學因興趣愛好，自己繪制了一個迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學為讓迷宮圖更加美觀，在繪制過程中，按單位長度給迷宮圖標記了刻度，該同學發(fā)現(xiàn)圖中A，B，C三點恰好共線，則m=(

)A.7

B.223

C.233

5.“五月的風”是坐落在山東省青島市五四廣場的標志性雕塑，重達500余噸，是我國目前最大的鋼質城市雕塑，該雕塑充分展示了島城的歷史足跡.如圖，現(xiàn)測量該雕塑的高度時，選取了與該雕塑底B在同一平面內的兩個測量基點C與D，測得∠BCD=60°，∠CDB=80°，CD=23.4m，在c點測得該雕塑頂端A的仰角為40°，則該雕塑的高度約為(????)(參考數(shù)據(jù)：取sin40°=0.64)

A.26m B.28m C.30m D.32m6.如圖，M為△ABC的外接圓的圓心，AB=4，AC=6，N為邊BC的中點，則AN?AM=(

)A.5

B.10

C.13

D.26

7.已知AB⊥AC，|AB|=t，|AC|=1t.若點P是△ABCA.13 B.5?22 C.5?28.如圖所示，平面四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形的內部，AB=2,BC=22，AC=CD，AC⊥CD，當∠ABC變化時，對角線BD的最大值為(

)A.22

B.23

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設z1，z2是復數(shù)，則下列說法中正確的是(

)A.若z1z2=0，則z1=0或z2=0 B.若z1z2=z1z310.已知△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列說法正確的是(

)A.若sinA：sinB：sinC=2：3：4，則△ABC是鈍角三角形

B.若sinA>sinB，則a>b

C.若AC?AB>0，則△ABC是銳角三角形

D.若A=45°，a=2，b=211.在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=26，B的角平分線交AC于D，BD=3A.B=π6 B.π6<C<π2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知m為實數(shù)，并且1+mi2?i+12的實部與虛部相等，則m=13.設正方形ABCD的邊長為4，動點P在以AB為直徑的圓上，則PC?PD的取值范圍為______．14.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a=c，sinAsinB=32,2≤a≤6四、解答題：本題共6小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題10分)

已知向量a=(2,1),b=(1,2),c=(3,λ)．

(1)若c/?/a，求|c|的值及c在b方向上投影向量的坐標．16.(本小題14分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為AB，BC上的點，且AE=2EB，CF=2FB．

(1)若DE=xAB+yAD，求x，y的值；

(2)求AB?DE的值；

17.(本小題14分)

已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足已知ccosB+bcosC=a2cosA．

(1)求角A的大??；

(2)若cosB=33，求sin(2B+A)的值；

(3)若△ABC的面積為418.(本小題12分)

如圖，△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(b+c+a)(b+c?a)=3bc．

(1)求A的大??；

(2)若△ABC內點P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠PAC，求∠BPC的大?。?9.(本小題12分)

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD，BD=3，AD=2，∠BDC=π4．

(1)若∠ADC=7π12，求sin∠BCD；

(2)若AB=20.(本小題15分)

已知O為坐標原點，對于函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，稱向量OM=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)f(x)為向量OM的相伴函數(shù)．

(1)記向量ON=(1,3)的相伴函數(shù)為f(x)，求當f(x)=85且x∈(?π3,π6)時，sinx的值；

(2)設函數(shù)g(x)=3cos(x+π6)+cos(π3?x)，試求g(x)的相伴特征向量OM，并求出與OM答案1.C

2.C

3.B

4.C

5.C

6.C

7.B

8.D

9.ABC

10.ABD

11.BCD

12.7613.[0,32]

14.915.解：(1)因為c/?/a，所以2λ=3，即λ=32，

所以c=(3,32)，|c|=32+(32)2=352，

所以b?c=3+2×32=616.解：(1)∵DE=AE?AD=23AB?AD，

又DE=xAB+yAD，

∴x=23,y=?1．

(2)∵AB=4，AD=2，∠BAD=60°，DE=23AB?AD，

∴AB?DE=AB?(23AB?AD)

=23AB2?AB?AD

=217.解：(1)∵ccosB+bcosC=a2cosA，

由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=sinA2cosA，

從而有sin(B+C)=sinA2cosA?sinA=sinA2cosA，

∵sinA≠0，

∴cosA=12，

∵0<A<π，

∴A=π3；

(2)由已知得，sinB=1?cos2B=63，

∴sin2B=2sinBcosB=223，18.解：(1)因為(b+c+a)(b+c?a)=3bc，

所以b2+c2?a2=bc，

由余弦定理，得cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，

因為0<A<π，

所以A=π3．

(2)設∠PCB=α，∠PBA=β，

因為A=π3，∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠PAC，

所以∠PAB=∠PBC=30°，

在△PBC和△PAB中分別應用正弦定理，得PBPC=sinαsin30°，PA19.解：(1)由題意得∠ADB=∠ADC?∠BDC=7π12?π4=π3，

在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+CD2?2AB?CDcos∠ADB=7，得AB=7，

由正弦定理BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，得sin∠BAD=BDsin∠ADBAB=32114，

故sin∠BCD=sin20.解：(1)由已知可得：f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)=85，

所以sin(x+π3)=45，

又x∈(?π3,π6)，所以x+π3∈(0,π2)，

所以cos(x+π3)=35，

所以sinx=sin[(x+π3)?π3]

=sin