第一章

DIYlZHANG集合與常用邏輯用語

1.從近S年高考情況來看.集合是必考內(nèi)

容,常用邏輯用語較少單獨命題.

2.本章考查的重點是集合的交、并、補

運算.給出的集合既有離散型的數(shù)集.

也有連續(xù)型的實數(shù)集.

3.命題的交匯處為集合與方程或集合與

不等式.

I.集合每年必芍.通常是選擇題的第一

題或第二題.難度不大.分值為5分.

2.常用邏輯用語偶爾出現(xiàn).難度屈容易.

分值為5分.

1.集合的交、并、補運算是高頻考點，

元素與集合間的關(guān)系儡有出現(xiàn).難度

較小.

2.充分、必要條件的判定,命題及其真

假判定.邏輯聯(lián)結(jié)同等內(nèi)容出現(xiàn)較少.

難度以中等偏下為主,一般是“小綜3.充分、必要條件更多地與函數(shù)、立體幾何關(guān)

合”類型.聯(lián).

第一節(jié)集合的概念與運算

■梳教行?固基他----基固為根必備知識

［基礎(chǔ)自梳］

1.集合的相關(guān)概念

(1)集合元素的三個特征：確定性、無序性、互異性.

⑵元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為且,不屬于，記為?

(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)五個特定的集合：

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N-ZQR

點撥①元素的確定性：集合中的元素有什么特性(點、數(shù))，有多少；是否屬于該集合

都是確定的.

②元素互異性：集合中不可能出現(xiàn)相同的元素.此性質(zhì)常用于題目中對參數(shù)的取舍.

③N為自然數(shù)集(即非負整數(shù)集)，包含0,而N*或N+表示正整數(shù)集，不包含0.

2.集合間的基本關(guān)系

表示

文字語言符號語言

AUB且BGA

相等集合A與集合8中的所有元素祖同

<=>A=B

子集A中任意一個元素均為B中的元素4a8或

A中任意一個元素均為B中的元素，且8中至

真子集42或BA

少有一個元素不是4中的元素

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的

空集

真子集

點撥(1)兩個集合4、8之間的關(guān)系

f依=8(相等)《*4=8且428

AUB(子集乂=

<〔A8(真子集)OAU3且AWB

口。8

(2)任何集合是其自身的子集.

⑶空集

規(guī)定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運算

并集交集補集

圖形演

表示

符號AUB=[*vGA,或xWACB={xlxGA,且xe

luA={MrCU,且xM}

表示BlBl

思考拓展

1.子集的個數(shù)

若A為有限集合，card(A)=n(?eN,),則:A的子集個數(shù)是2"；A的真子集個數(shù)是2"—1；

A的非空子集個數(shù)是2?-1；4的非空真子集個數(shù)是2"—2.

2.運算性質(zhì)

并集交集補集

AUQA）=U；

AC&A）=0；

AU0=4400=0.

性[tXluA）=4;

AUA=A；AHA=A；

質(zhì)『MAUB）=

AU8=8UA；AC\B=BQA；

AUB=A^>BQAAHB=A<^AQB

"（An8）=（lMU（C

uB）

［基礎(chǔ)自測］

1.（教材改編）若集合A={xGN|xWji5）,。=2/，則下面結(jié)論中正確的是（）

A.{a}QAB.aUAC.［a}^AD.㈤A

［答案1D

2.（教材改編）設(shè)集合4="彥-16<0},B={x|3x-728—2r},則AC1B=（）

A.{x|-4<x<4}B.{x|一4WxW4}

C.{x|3Wx<4}D.{R3WxW4}

［答案］C

3.（教材改編易錯題）在平面直角坐標(biāo)系中，集合C={（x,y）|y=x},￡>=］（x,y）±|=l、

則C與￡>的關(guān)系為（）

A.C=。B.C2DC.CUOD.Cn/）=0

［答案］B

4.（教材改編）已知集合人={0,1,2},集合B滿足AU8={0』,2},則集合B有

個.

［答案］8

5.（易錯題）已知集合4={小2-4工+3=0},B={X|OL2=0},若8UA,則a=.

［答案］0,2或,

研考點.練方法-----點明為綱關(guān)鍵能力

考點一集合的基本概念

[例1](1)(2021.湖南郴州模擬，1)已知集合4={0,123,4,6},B={x[x=2",nSN},則

AAB的元素個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

D?集合A={0,l,2,3,4,6},B={4r=2","GN}={1,2,4,8,…},ClB={1,2,4},

CB的元素個數(shù)是3.故選D.］

(2)(2020?全國III卷)已知集合集={(x,y)|x,yGN*,yex},2={(x,y)|x+y=8},則ADB

中元素的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

C［AnB={(x,加+y=8,x,yGN*,y2x}={(l,7),(2,6),(3,5),(4,4)}.故選C.J

(3)若集合4="仁11|加一3;(:+2=0}中只有一個元素，則。等于()

99、9

A.7B.QC.0D.0或d

Zoo

D［若集合A中只有一個元素，則方程or2-3工+2=0只有一個實根或有兩個相等實根.

2

當(dāng)4=0時，x=2，符合題意.

9

當(dāng)時，由/=(—3)2—8〃=0,得Q=d，

o

9

所以。的值為0或石，故選D」

O

(4)已知集合4={，〃+2,2，話+，〃},若3WA,則〃?的值為.

［解析］由題意得機+2=3或2機2+〃?=3,

3

則m=\或，〃=—5，

當(dāng)〃?=1時，機+2=3且2m2+機=3,

根據(jù)集合元素的互異性可知不滿足題意；

313

當(dāng)，/時，m+2=y而2，"2+,〃=3,故〃?=一,

3

[答案]~2

方法指導(dǎo)與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略

(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集.

(2)看這些元素滿足什么限制條件.

(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足

元素的互異性.

[思維變式J

1.將本例⑵改為4={1,2,3},8={x-ykeA,y^A},則3的元素個數(shù)為()

A.1B.3C.5D.9

C[8={0,1,-1,2,一2}共5個元素.]

2.將本例(2)改為A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x6A,y^A},則B的元素個數(shù)

為()

A.1B.3C.5D.9

B[8={(2,3),(3,2),(3,3)}.]

3.已知小Z?eR,若卜，今1}={/，。+40},則4021+加021為()

A.1B.0C.-1D.±1

2021202120212021

C[Vtz^O,.\b=09且4Wl,Aa=-1.Aa+&=(—1)+o=-1.]

4.設(shè)集合A={x［（x—a）2<l},且2GA3S,則實數(shù)”的取值范圍為.

(2—a)2<l,l<a<3,

［解析］由題意得，解得，

(3—a)221,aW2或a24.

所以lv?W2.

[答案J(1,2J

考點二集合間的基本關(guān)系

[例2](1)已知集合人二住片一x—2<0},B={x\-l<x<\),貝IJ()

A.ABB.BAC.A=BD.AClB=。

B\A={x\x2-x~2<0}={x|-1<x<2],B={x|-l<x<l},所以3A.]

(2)(2021?廣東湛江測試(二)，2)已知集合人={1,2,3,4},B={y僅=2x—3,x&A},則集合

AC8的子集個數(shù)為()

A.1B.2C.4D.8

C「.乂={1,2,3,4},B={y|y=2r-3,xG4},，8={-1,1,3,5},C8={1,3},所以

集合AAB的子集個數(shù)為22=4.故選C.]

(3)已知集合A={xg/4T},B={x\a<x<a2-2}.若BUA,則實數(shù)a的取值范圍為

［解析］當(dāng)8=0時，a》4—2,即/一4?—2W0,—lWaW2,當(dāng)B#。時，a<a2~2,

；.a>2或。<一1,又；4=［-2,2］,

前一2W2

此時、...一ZWav-l.綜上，aS［-2,2］

［a2—2

［答案］［—2,2］

方法指導(dǎo)而定集合間基本關(guān)系的兩種方法和一個關(guān)鍵

兩種①化簡集合，從表達式中尋找兩集合的關(guān)系；

方法②用列舉法（或圖示法等）表示各個集合，從元素（或圖形）中尋找關(guān)系

一個關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系，若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系，包括相等和

關(guān)鍵真子集兩種關(guān)系

［思維變式J

I.將本例⑶的集合B變?yōu)?={x|aWxWa+l},其余條件不變，貝Ua的取值范圍為

［a^—2

［解析1U1^2?一2'WI.

［答案］［-2,1］

2.設(shè)全集U=R,則集合知={0,1,2}和％={就&-2>108冰=0}的關(guān)系可表示為（）

A[N={xM(x-2>log以=0}={1,2},

VM={0,1,2},是M的真子集，故選A.]

3.將本例⑶變?yōu)锳={x|y=也},8={>}=4},則A與5的關(guān)系為()

A.ABB.BA

C.A=BD.4n8=0

c[A=[0,+8),B=[0,+°°),

：.A=B,故選CJ

考點三集合的基本運算

角度1定義法求集合交、并、補的運算

[例3](1)(2020?全國I卷)設(shè)集合A={x*-4W0},8={x|2x+aW0},且AAB={x|一

24W1},則a=()

A.-4B.-2C.2D.4

B[A={x]-2WxW2},8=*卜一冬).

由4n8={x|-2WxWl},知一5=1,所以a=-2.故選B.]

(2)(2021?河南焦作模擬，2)若集合A={x|2x2—9x>0},B={y|憐2},則(CRA)UB=()

J91

A.[2,51B.0

C.[0,+8)D.(0,+8)

C[因為A={x|2x2—9x>0)=1x|x>^,或x<0},所以[RA=*]()WXW31,又B=

{y|y>2},所以([M)U8=[0,+?>).故選C.]

(3)已知集合4={1,2,3},B={x|(x+l)(x-2)<0,x?Z},則AU8=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

C[由已知可得B={x|(x+l)(x-2)V0,xWZ}={x|-lVxV2,XWZ}={0,1},Z.AUB

={0,1,2,3},故選C.]

角度2數(shù)軸、韋恩圖(Venn)法求集合的運算

[例4](1)

(2021?安徽宣城八校聯(lián)考)如圖,設(shè)全集U=N,集合A={135,7,8},B={1,2,3,4,5},則

圖中陰影部分表示的集合為()

A.{2,4}B.{7,8}

C.{1,3,5}D.{123,4,5}

A[([M)AB={2,4},故選A.]

(2)

已知集合4={工枕2-?+3忘0},2={x|lWx<5},則如圖所示的Venn圖中陰影部分表示

的集合為()

A.(3,5)B.[3,5)C.(3,5]D.[3,5]

A[由題可得A={x[(x-l)(x-3)W0}={x|lWxW3},B={x|lWx<5},所以Venn圖中陰

影部分表示的集合[〃=(3,5),故選AJ

角度3討論法求參數(shù)

[例5](1)設(shè)集合A={1,2},8={》仔+皿-6=0},若AA8={2},則AU8=()

A.{-3,1,2}B.{1,2}C.{-3,1}D.[1,2,3}

A[VAnB={2},A2GB,/.4+2m-6=0,m=\,

.,.N+x—6=0,...x=2或x=—3,B=[2,—3),

因此AUB={-3,1,2},故選A.]

（2）己知集合4={x|3<xW8},B=,C={x|2—a<xW2a+6}.若。AU8,

則實數(shù)a的取值范圍是.

[解析]8=31aW6},則AUB={x[l<x^8},

又CAU8,

4

，當(dāng)。=0時，2a+6W2—。，解得iW—

4門2—,2~a>l,

當(dāng)CW。時,“>一號且或

2〃+6<82a+6W8,

4

解得一§<“<1.

綜上，。的取值范圍是(一8,1).

[答案](一8,1)

方法指導(dǎo)集合基本運算的方法技巧

(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也可借助Venn

圖運算.

(2)當(dāng)集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解,對于端點處的取舍，可以單獨檢驗.

(3)集合的交、并、補運算口訣如下：

交集元素仔細找，屬于A且屬于8；

并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一；

全集。是大范圍，去掉U中a元素，剩余元素成補集.

[思維變式]

1.(2021河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知4={1,2,3,4},8={4+1,2”},若408={4},則4=()

A.3B.2C.2或3D.3或1

A[VADfi={4},：.4GB,

當(dāng)a+l=4,a=3,；.B={4,6},滿足AC8={4},

當(dāng)2a=4時，a=2,B={3,4},不滿足AC8={4}

a=3.]

2.設(shè)集合4={)心=2",xCR},?={%lx2-l<0},則AUB=()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,+°°)D.(0,+8)

C[Vy=2r>0,，A={y|y>0}.

又A1V0,

.-.fi={x|-l<x<l}.故AUB={4r>—1}.故選CJ

3.設(shè)U為全集，非空集合A,B,C滿足AGC,BUluC,則下列結(jié)論不成立的是()

A.AnB=。B.BU[uA

C.([u8)nA=AD.AU(CyB)=t/

D[

由。為全集，集合A,B,C滿足AUC,知ACB=。，A正確；作出Venn圖,

如圖，知(]uB)n4=4,即B,C正確：AU^uB)=iuB^U,所以D錯，故選DJ

?鎮(zhèn)高考?提素養(yǎng)————素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用

［再研高考］

1.（2019?全國卷I）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},8={2,3,6,7},則8門（源

=()

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

C［由題意知［必={1,6,7},又2={2,3,6,7},AfinCM={6,7},故選C.］

2.(2019?全國卷II)已知集合4="仇>-1},B={x|x<2},則AAB=()

A.(-1,+8)B.(一8,2)C.(-1,2)D.0

"

C［VA={x|x>-l}tB={x|x<2},..AnB={x|-l<x<2},即AC8=(-1,2).故選

C.］

3.(2019?全國卷III)已知集合4={-1,0,1,2},H={x\x2^}},則4nB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

A［由題意可知8={x|-IWXWI},

又：4={-1,0,1,2},.?.ACB={-l,0,l},故選A.］

［創(chuàng)新應(yīng)用］

1.定義新集合

(2021?河南南陽第一中學(xué)第十四次考試，1)定義集合運算：A0B={z|z=孫，xGA,

團，設(shè)集合4={-1,0,1},B={sina,cosa},則集合AOB的所有元素之和為()

A.1B.0C.-1D.sina+cosa

B［因為xEA,所以x的可能取值為-1,0,1,

同理，y的可能取值為sina,cosa,

所以孫的所有可能取值為(重復(fù)的只列舉一次)：—sina,0,sina,—cosa,cosa,所

以所有元素之和為0,故選B.］

點評“新定義”問題的關(guān)鍵是要讀懂新定義，本題以集合為載體，定義了一個新的集

合運算，但其本質(zhì)還是考查集合中元素之間的關(guān)系及其集合中元素的性質(zhì).考查了數(shù)學(xué)抽象、

數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).

2.定義新運算

(2021?福建漳平一中模擬)定義：設(shè)有限集合A={x|x=a，i^N*,”6N*},S=a、

+a2T卜加|+斯,則S叫做集合A的“模"，記作|A|.若集合P={x|x=2〃-1,〃WN*,〃W5},

集合P含有四個元素的全體子集為Pi，P2,…，Ph々WN*,則『1I+IP2I+…+R|=.

［解析］依題意知,集合P={1,3,5,7,9},則集合尸含有四個元素的全體子集為{3,5,7,9},

{1,5,7,9},{1,3,7,9},{1,3,5,9},{1,3,5,7}.

由條件中“?！钡亩x知，IP1I+IP2I+…+lBI=(3+5+7+9)+(l+5+7+9)+(l+3+7

+9)+(1+3+5+9)+(l+3+5+7)=4X(1+3+5+7+9)=100.故填100.

［答案j100

點評本題給出集合的一種“?！钡倪\算法則，即對集合A中所有元素求代數(shù)和S=ai

+“2+…+如-|+m，稱代數(shù)和S為集合A的模，記作冏.解題過程中要注意兩個細節(jié)：①列

舉集合戶含有四個元素的全體子集時，可按照元素的某種排列順序依次選取元素，從而防止

漏掉某種組合；②求解所有“模”|多|,|尸2|,…，1Pti的代數(shù)和時，注意觀察元素特點，找到

簡便的求和方法，可以避免求和出錯.

3.建立新環(huán)境

已知函數(shù)五》)=痔2'+/+加，記集合A={xl/(x)=0},集合8={犬歐期)=0},若A=B,

且A,B都不是空集，則〃?+〃的取值范圍是()

A.f0,4)B.［-1,4)C.［-3,51D.［0,7)

A［依題意，設(shè)的W{x|/(x)=0}={x歐x))=0},

則於1)=歡r))=0,

所以<0)=0,即八0)=〃?=0,

求得/H=0,于是火此三^+以.

由AXx))=U2+nx)(x2+nx+")=0,

可知當(dāng)”=0時，A=B={0},符合題意；

當(dāng)"W0時，A={0,~n},又0,一〃不是方程N+?x+"=0的根，所以要使A=8成

立，必須滿足/=〃2—4〃<0,

解得0</7<4,

所以n的取值范圍是［0,4).

綜上所述，機+〃的取值范圍是[0,4).故選A.]

點評集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).作為一種基本的數(shù)學(xué)表達方式，集合滲透在高中數(shù)學(xué)的

各個領(lǐng)域中.在函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何、立體幾何等知識中，用集合的語言

和形式來表達，會顯得準(zhǔn)確、簡潔、清晰，因此高考命題常將集合與其他知識進行交匯，考

查考生的數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)表達的能力，考查創(chuàng)新應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算

的學(xué)科素養(yǎng).

本題通過集合的相等關(guān)系“A=B,且4,8都不是空集”來表達方程4x)=0與方程4(x))

=0有相同的實數(shù)解，體現(xiàn)集合與函數(shù)方程的交匯，解題的關(guān)鍵主要還是對函數(shù)方程與復(fù)合

函數(shù)方程的理解.對于函數(shù)次幻=樣2，+/+依，注意到函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點——一部分是

指數(shù)型函數(shù)y=加2，，另一部分是二次函數(shù)y=N+以，因此嘗試0是對應(yīng)的兩個方程的公共

根是解題的突破口，由此推出機=0和〃的取值范圍，進而得到膽+〃的取值范圍.

4.創(chuàng)新訓(xùn)練

若集合A具有以下性質(zhì)：

?OCA.ieA；

②若xJ,y^A,則x-yGA,且x#0時，1?A.

則稱集合A是“好集”.下列命題正確的個數(shù)是()

①集合B={-1,0,1}是“好集”；

②有理數(shù)集Q是“好集”；

③設(shè)集合A是“好集”，若xdA,yWA,則x+yWA.

A.0B.1C.2D.3

C[①集合8不是''好集"，假設(shè)集合8是“好集”，因為一所以一1一1

=-2SB,這與一2C8矛盾.②有理數(shù)集Q是''好集"，因為OGQ/eQ,對任意的x^Q,

yGQ,有x-yGQ,且x#0時，[cQ,所以有理數(shù)集Q是''好集”.③因為集合A是''好

集”，所以O(shè)GA,若xGA,yGA,則0—yGA,即一yGA,所以x-(-y)eA,即x+yWA.

故正確的個數(shù)是2.]

課時作業(yè)(一)

A級基礎(chǔ)達標(biāo)

1.(2020?全國I卷)已知集合人土木2—3x—4<0},8={-4,1,3,5},則ACB=()

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

D['：A={x|x2-3x-4<0}={x|U+1)(x-4)<0}={x|-1<x<4],8={-4,1,3,5},/.ADB

={1,3}.故選DJ

2.已知集合4={1,2,3},8={)打=2%—1,xdA},則ACB=()

A.{1,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

A[A={1,2,3},B={1,3,5},AC8={1,3}.選A.]

3.已知集合尸={xGR|lWxW3),Q={xeRW2>4},則尸U([RQ)=()

A.[2,3]B.(-2,3]

C.11,2)D.(-8,-2]U[1,+oo)

B[由于Q={MrW—2,或x22},CR2={x|-2<r<2},故得PU(八。)=3一2<xW3}.選

B.]

4.設(shè)全集U={xCN*kW4},集合4={1,4},B={2,4},則Cu(ACB)=()

A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4}

A[因為U={1,2,3,4},AC8={4},所以[u(4CB)={1,2,3},故選A.]

5.(2021?濱州模擬)設(shè)集合4={1,2,3},B={4,5},M={x\x=a+b,a^A,b&B},則M

中元素的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

B[因為A={1,2,3},B={4,5},

又M={M工=o+b,b￡B),

???M={5,6,7,8},即M中有4個元素.]

6.(2021?日照質(zhì)檢)已知全集U={0,1,2,3,4},若—={0,2,3},B={2,3,4},則

A.0B.{1}C.{0,2}D.{1,4}

B[因為全集[/={0,1,2,3,4},A={0,2,3},B={2,3,4),所以CuA={1,4},UB={0,l},

因此(]Mn&B)=⑴.]

7.設(shè)集合A={x[—1<%W2},8={就:<0},則下列結(jié)論正確的是()

A.([RA)C8={4T<-1}

B.ACB={x|-l<x<0}

C.AU([RB)={4C20}

D.AUB-0}

B[易求(RA={4TW—1或x>2},

[R8={4V20},

，(CRA)nB={xpW-l},A項不正確.

ACB={x|-l<x<0},B項正確，經(jīng)檢臉，C、D錯誤.]

8.已知集合人={在兇%2—2x—8W0},8={X|228},則集合ADB的子集的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

D[因為A={XWN|A2-2X-8W0}={0,1,2,3,4},B={X\X^3],所以AC8={3,4},所以

集合AC1B的子集個數(shù)為4.]

9.若全集U=R,集合4={刈<2*<4},B={x\x-\^0],則)

A.{x|l<x<2}B.{x|0aWl}

C.{x|O<x<l}D.{x|lWx<2}

C[由題意知，A={x\0<x<2},8={木21},]4={小<1},所以An[(/8={x|0<x<l}.]

10.已知集合4={0,1,2},B={1,m}.若ACB=B,則實數(shù)m的值是()

A.0B.2

C.0或2D.0或1或2

C['：AQB=B,：.BQA,.?./"=()或〃?=2.]

11.已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4),則AU([uB)=.

[解析]Cu8={2},.?.4UCt/B={l,2,3}.

[答案]{1,2,3)

12.設(shè)全集U={〃CN|1W〃W1O},A={1,2,358},B={1,3,5,7,9},則")C1B=

[解析]依題意得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Ct/A={4,6,7,9,10),(Cf/A)nB={7,9}.

[答案]{7,9}

13.設(shè)集合S={x|(x-2)(x—3)20},T={xk>0},貝！I([RS)C7=.

I解析|易知S={#W2或x》3},

/.[R5={X|2<X<3},

因此((RS)nT={x[2<x<3}.

[答案]{x|2<r<3}

14.已知集合人={1,2},B={a,/+3),若AAB={1},則實數(shù)〃的值為.

[解析]由AA8={1}知，leg,又序+323,則“=1.

[答案]1

B級能力提升

15.設(shè)集合A={(x,y)\x+y=\},B=[(x,)，)卜一y=3},則滿足MU(AClB)的集合”的

個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

fx+y=l,(x=2,

C閩.2得.

[x—y=3,[y=~\,

：.AQB={(2,-1)}.

由MU(AClB),知知=0或時={(2,-1)}.]

16.若集合A={xb，=lg(3x-/)}，卜=1+$，xWA：,則AC([RB)等于()

A.(0,2]B.(2,3)

C.(3,5)D.(-2,-1)

A[由3%一舊>0,得0cx<3,則A=(0,3),

.?.8=卜卜=1+*Y，xj}=(2,5),

則1R8=(-8,2]U[5,4-0°),故AC([RB)=(0,2].]

17.集合A={xk<0},B={x[y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|xGA,且N8},貝ij4-8=

［解析J由題意知，8={My=Ig［x(x+l)J}

={xk(x+1)>0}={x|x<—1或x>0},

則A-B={x|-lWx<0}.

［答案J{x|-lWx<0}

18.(多填題，答案不唯一型)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四個關(guān)系：①a=l；

②6W1；③c=2；④dW4有且只有一個是正確的.請寫出滿足上述條件的一個有序數(shù)組(a,

b,c,d)=,符合條件的全部有序數(shù)組(a,b,c,⑨的個數(shù)是.

［解析］顯然①不可能正確，否則①②都正確；

。=2,7=3,

b=3,b=2,

若②正確，則<或《

c=l,c=l,

、d=4,、d=4.

7=3,

b=l.

若③正確，此時<

c=2.

、d=4,

4=2,〃a=3,pz=4,

b=l.b=l,b=l,

若④正確，此時有〈<<

c=4,c=4,c=3,

、d=3,、d=2,、d=2.

所以符合條件的數(shù)組共6個.

［答案］(3,2』,4)(填一個正確的即可)6

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

?梳教科?固基礎(chǔ)-----基固為根必備知識

［基礎(chǔ)自梳］

1.四種命題

(1)四種命題及其相互關(guān)系

(2)互為逆否命題的真假判斷：

互為逆否的兩個命題同真或同假.

點撥①任何命題都可寫為：“若p則q”形式.

②一個命題要么是真命題，要么是假命題，不能模棱兩可.

2.充分條件與必要條件的判斷

若p=q,則〃是q的充分條件，夕是p的必要條件

〃是4的充分不必要條件〃=q且g=/p

p是q的必要不充先條件〃=/q且qnp

p是〃的充要條件poq

p是q的既不充分也不必要條件〃=/4且4=/〃

點撥（1）區(qū)別兩個說法

①A是8的充分不必要條件是指：4=8且8=/A.

②A的充分不必要條件是8是指：8=A且A=/B,在解題中要弄清它們的區(qū)別，以免出

現(xiàn)錯誤.

（2）掌握充要條件的兩個特征

①對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件.

②傳遞性：若p是q的充分（必要）條件，〃是r的充分（必要）條件，則p是r的充分（必要）

條件.

（3）充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系

設(shè)A={x|/?（x）},B={x\q（x）},

①若AG8,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.

②若AB,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.

③若A=B,則p是q的充要條件.

［基礎(chǔ)自測］

1.（教材改編）下列命題是真命題的是（）

A.矩形的對角線相等

B.若a>b,c>d,則

C.若整數(shù)。是素數(shù)，則。是奇數(shù)

D.命題“若/>0,貝的逆否命題

［答案］A

2a（教材改編）命題“若（>爐，則Q）,”的逆否命題是（）

A.“若x<y,則x2守”B.“若x>y,則x?>嚴(yán)

C.“若xWy,則D.“若則/導(dǎo)尸”

［答案］C

3.（教材改編）”（x—l）（x+2）=0"是"x=l"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B

4.（教材改編）已知命題：“若x20,y20,則刊》0"，則原命題、逆命題、否命題、

逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

［答案］B

5.（易錯題）若命題“五一2以一3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是

［解析］由題意知ar2-2at—3W0恒成立，當(dāng)a=0時，-3W0成立；當(dāng)時，得

a<0,

.解得-3Wa<0,故一3W〃W0.

/=4a2+12aW0,

［答案］［-3,0］

研考點?練方法-----點明為綱關(guān)鍵能力

考點一命題及其關(guān)系

11501］（1）（2021?鄭州模擬）下列說法正確的是（）

A.“若。>1,則〃2>1”的否命題是“若”>1,則

B."若卬"2<癡2,則“<匕”的逆命題為真命題

C.存在x（）e（O,+°°）,使3xo>4xo成立

D.“若sin2則是o真命題

IJr7rl

D［“若sinaW京則a蝶”的逆否命題：“若a弋，則sina=；”是真命題，故原命

題為真.］

（2）下面的命題中是真命題的是（）

A.y=sii?x的最小正周期為2兀

B.若方程ax2+fcc+c=0（aW0）的兩根同號，則彳>0

C.如果那么MUN=M

D.在△4BC中，若贏反>0,則NB為銳角

［答案1B

（3）（2021.長春模擬）命題“若/<1,則一14<1”的逆否命題是（）

A.若則或x<一1

B.若一則/<1

C.若x>l或x<—I,則/>1

D.若或xW—1,則爐21

r答案］D

方法指導(dǎo)

1/由原命題寫出其他3種命題的方法

由原命題寫其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆

命題，將條件與結(jié)論同時否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時進行否定即得逆否命題.

［注意1（1）對于不是“若p,則q”形式的命題，需先改寫；

（2）當(dāng)命題有大前提時，寫出其他三種命題時需保留大前提.

2.判斷命題真假的2種方法

（1）直接判斷：判斷一個命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個命題是假命題，

只需舉出一個反例即可.

（2）間接判斷：根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，

當(dāng)一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假.

［思維變式］

1.（2021?肇慶一診）命題“若a,b,c成等比數(shù)列，則〃=ac”的逆否命題是（）

A.“若a,b,c成等比數(shù)列,則按Wac”

B.“若a,b,c不成等比數(shù)列，則按#ac”

C.“若及=ac,則a,b,c成等比數(shù)列”

D.“若〃2w“c,則〃，b,c不成等比數(shù)列”

D［命題“若a,b,c成等比數(shù)列，則扶=ac”的逆否命題是“若則a,b,c

不成等比數(shù)列”.］

2.下列命題中為真命題的是（）

A.命題“若x>y,則x>W的逆命題

B.命題“若｝1，則x>l”的逆否命題

C.命題“VxCR,N+2%+320”的否定

D.命題“若x>l,則N>1”的否命題

A［命題“若x>y,則的逆命題；“若x>|），|,則x>y"，正確；

命題“若:>1,則x>l”為假命題，所以其逆否命題為假命題：

命題“VxGR,爐+2%+3'0”為真命題，所以其否定為假命題；

命題“若x>l,則x2〉］”的否命題；若xWl,則顯然不正確，反例：x=-2,「>1.

故選A.］

考點二充分條件與必要條件的判定

［例2］⑴(2021?安徽淮南一模)設(shè)2ER,則“4=—3”是“直線2&+(，-l)y=l與直線

6x+(l-協(xié)=4平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

A［當(dāng)4=-3時，兩條直線的方程分別為6x+4.y+l=0,3x+2)，-2=0,此時兩條直線

平行；若直線為+(2—l)y=l與直線6x+(l—2)y=4平行，則23(1—?=—6(1一％),所以2

=-3或7=1,經(jīng)檢驗，兩者均符合，

綜上，'：=一3”是“直線與直線放+(1—2?=4平行”的充分不必要

條件，故選A.］

(2)(2021?安徽黃山模擬)設(shè)。>0且“W1,則是“l(fā)ogQl”的()

A.充分不必要條件