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7.3.2三角函數的圖象與性質

第1課時正弦函數.余弦函數的圖象

課程1.借助單位圓能畫出?:用函數的圖象.

標準2.借助圖象理解正弦函數、余弦函數、正切函數的性質.

為基礎認知?自主學習《

概念認知

1.正弦曲線

⑴正弦曲線

正弦函數y=sinx,xeR的圖象叫正弦曲線.

(2)正弦函數圖象的畫法

①幾何法：

(i)利用正弦線畫出y=sinx,x￡[0,2冗]的圖象；

(ii)將圖象向左、向右平行移動(每次2Tl個單位長度).

②“五點法

(i)畫出正弦曲線在［0,2冗］上的圖象的五個關鍵點(0,0),應

(Ji,0),(j,-1)_,(2TI,0),用光滑的曲線連接；

(ii)將所得圖象向左、向右平行移動(每次271個單位長度).

2.余弦曲線

⑴余弦曲線

余弦函數丫=3*,x￡R的圖象叫余弦曲線.

⑵余弦函數圖象的畫法

JT

①要得到y(tǒng)=cosx的圖象，只需把y=sinx的圖象向左平移/個單位

長度即可.

②用“五點法”畫余弦曲線y=cosx在［0,2冗］上的圖象時，所取的五個

關鍵點分別為(0,1),七，。］,(冗,-1)，修，,3,1),再用

光滑的曲線連接.

自我小測

1.函數y=1-sinx,xe［o,2TI］的大致圖象是()

Jr

選B.當x=0時，y=l；當x=]時，y=0；當x=7i時，y=l；x

3jr___

=y時，y=2；當X=2TI時，y=l.結合正弦函數的圖象可知B正確.

2.函數y=cosx與函數y=-cosx的圖象()

A.關于直線x=1對稱B.關于原點對稱

C.關于x軸對稱D.關于y軸對稱

選C.由解+析式可知y=cosx的圖象過點(a,b),則y=-cosx的圖

象必過點(a,-b),由此推斷兩個函數的圖象關于x軸對稱.

3.在同一平面直角坐標系內，函數y=sinx,x引0,2汨與y=sinx,

X￡[2TI,4兀]的圖象()

A.重合

B.形狀相同，位置不同

C.關于y軸對稱

D.形狀不同，位置不同

選B.根據正弦曲線的作法可知函數y=sinx,xe[0,2汨與y=sinx,

X￡［2TI,4兀］的圖象只是位置不同，形狀相同.

3

4.y=1+sinx,x￡［0,2冗］的圖象與直線y=］交點的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

選C.用“五點法”作出函數y=1+sinx,xW［0,2冗］的圖象，作出直線

3_

y=2的圖象如圖所示，

4yv=l+sinx

O匹n3兀27cx

2T

由圖可知，這兩個函數的圖象有2個交點.

sinx<0,

5.不等式組1冗的解集是________.

〔聲5

當方<x<7i時，OgsinxSl,當71<x<5時sinx<0,

所以原不等式的解集為（冗,5］.

答案：（Ji,5］

6.函數y=cosx+4,x￡［0,2冗］的圖象與直線y=4的交點的坐標為

y=cosx+4,7i、3兀

由彳得cosx=0,當xW[0,2冗]時，x=5或7，

ly=422

所以交點坐標為*,4］，［當，41.

答案：，4

7.用“五點法”作出下列函數的簡圖.

(l)y=1+2sinx,xG[0,2TI]；

(2)y=2+cosx,x￡[0,2瓦].

⑴列表:

71371

X071271

2T

sinx010-10

1+2sinx131-11

在直角坐標系中描出五點(0,1)《，，(冗，1),作，-1],(2兀,

1),然后用光滑曲線順次連接起來，就得至I」y=1+2sinx,xG[0,27i]

的圖象.

⑵列表:

3

X0匹71271

2271

cosX10-101

2+cosx32123

描點連線，如圖,

除學情診斷?課時測評＜33

基礎全面練

一、選擇題

1.函數y=sinx,xe［0,兀］的圖象與直線y=0.99的交點有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

選B.觀察圖象(略)易知：有兩個交點.

2.已知f(x)=sin(X+2,g(x)=cos(x-,,則f(x)的圖象()

A.與g(x)的圖象相同

B.與g(x)的圖象關于y軸對稱

.7T

C.向左平移］個單位，得g(x)的圖象

D.向右平移冷個單位，得g(x)的圖象

選D.f(x)=sinIx+2,g(x)=cos(x-2

的圖象向右平移方個單位得到g(x)的圖象.

3.方程|x|二cosx在(-00,+8)內()

A.沒有根B.有且僅有一個根

C.有且僅有兩個根D.有無窮多個根

選C.求解方程|X|二COSX在(-8,+8)內根的個數問題，可轉化為求

解函數f(x)=|x|和g(x)=COSX在(-oo,+8)內的交點個數問題.f(x)

=|x和g(x)=COSX的圖象如圖,

顯然有兩交點，即原方程有且僅有兩個根.

4屈數y=-cosx(x〉0)的圖象中與y軸最近的最高點的坐標為()

A.B.(71,1)

C.(0,1)D.(271,1)

選B.用“五點法”作出函數y=-cosx,x>0的圖象如圖所示，可知B

正確.

5.將余弦函數y=cosx的圖象向右至少平移m個單位，可以得到函

數丫=-sinx的圖象，則m=()

兀一3兀3兀

A.2B.7iC.D.丁

選c.根據誘導公式得，y=-sinX=cos礙-x)=cos[x-雪,故

3JT

欲得至I」y=-sinx的圖象，需將y=cosx的圖象向右至少平移了個

單位長度.

6.(多選)用“五點法”畫y=3sinx,xQ[0,2冗]的圖象時，下列哪些點

是關鍵點()

A.(I，1]B.R3)

C.(71,0)D.(271,0)

選BCD.五個關鍵點的橫坐標依次是04,7i,y,2兀代入橫坐標,

計算得B,C,D正確.

COSX(-71sx<0),i

若y=5，貝口x的可能

{sinx(0<X<TI).

取值為()

717171—571

A.-3B.4C,3D.y

選ABD.作出函數

cosX(-7I<X<0),1

的圖象，再作直線y=y,如圖所示，則當

{sinx(0<x<7i)

-7I<X<0時,

由圖象知X=，當0<X<7I時，x=看或x=朗.

【光速解題】根據題意，畫出函數f（x）的圖象及直線y=；的圖象，

分別求出交點坐標即可.

二、填空題

8.利用余弦曲線，寫出滿足cosx>0,xG[0,2汨的x的區(qū)間是

畫出y=cosx,x￡[0,2兀]上的圖象如圖所示.

cosx>0的區(qū)間為0,U0.

答案:〕。周噌，2冗）

9.（2021.淮安高一檢測）函數y=lgb”-；）+個小-2sinx的定

義域為.

要使原函數解+析式有意義,必須滿足;<sinx當?首先作出y=sin

x在[0,2兀]上的圖象,如圖所示,

作直線y二;，根據特殊角的正弦值，可知該直線與y=sinx,xQ[0,

2汨的交點橫坐標為”喏；

作直線y邛，該直線與y=sinx,xe[O,2同的交點橫坐標為全和

2n

T.

觀察圖象可知，在[0,2汨上,箋<x<|或'SX蜷時，不等式;

<sinxW半成立，

所以;<sinxg坐的解集為｛x6+2k?i<x<^+2k7i或與+2k7i<x<

5n

石+2k?i,kWZ｝.

兀兀、2兀5兀

答案：｛x|&+2k7i<x<j+2k?i或+2k7i<x<+2kn,k^Z)

三、解答題

10.用“五點法”畫出y=-2cosx+3(0SxS27i)的簡圖.

列表：

匹3兀

X0712K

2T

cosX10-101

-2cosx+

13531

3

描點、連線得出函數y=-2cosx+3(0SXS2TI)的圖象.

zv

5

4

3j=-2cosx+3

2

1

oM

'227t

7_t

11.在同一坐標系中，作函數y二sinx和y=1gx的圖象，根據圖象

判斷出方程sinx=1gx的解的個數.

建立平面直角坐標系xOy，先用五點法畫出函數y=sinx,xwR的圖

象.

描出點（1,0）,（10,1）,并用光滑曲線連接得到y(tǒng)=lgx的圖象，如

圖所示.

由圖象可知方程sinx=lgx的解有3個.

綜合突破練

一、選擇題

1.點,-m］在函數y=sinx的圖象上，則m等于（）

A.0B.1C.-1D.2

JT

選C.由題意得-m二sin5,

所以-m=1,所以m=-1.

2.侈選）函數y=sinx-1,xQ[0,2兀]與y=a有一個公共點,則a

的值可以為（）

A.-1B.0C.1D.-2

選BD.畫出y=sinx-1的圖象.如圖.

依題意a=0或a=-2.

3.與圖中曲線倍B分）對應的函數解+析式是（

-2nx

A.y=|sinx|B.y=sin|x|

C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|

選C.注意圖象所對應的函數值的正負，可排除選項A,D.當xe（O,

兀）時，sin|x|>0,而題圖中顯然小于零，因此排除選項B.

4若函數y=2cosx（0WxS2?i）的圖象和直線y=2圍成一^封閉的平面

圖形，則這個封閉圖形的面積是（）

A.4B.8C.2加D.4兀

選D.作出函數y=2cosx,xe[0,2兀]的圖象，函數y=2cosx,xQ[0,

2句的圖象與直線y=2圍成的平面圖形為如圖所示的陰影部分.

O

-2

利用圖象的對稱性可知該陰影部分的面積等于矩形OABC的面積,

又因為0A=2,0C=2TI,

所以s陰影部分=S矩形OABC=2X2K=4兀

【誤區(qū)警示】解此題，往往忽視對稱，我們需要將不規(guī)則圖形轉化為

規(guī)則圖形.

二、填空題

5.關于三角函數的圖象，有下列說法：

@y=sinx+1.1的圖象與x軸有無限多個公共點；

②y=cos(-x)與y=cos|x|的圖象相同；

③y二|sinx|與y=sin(-x)的圖象關于x軸對稱；

④y=cosx與y=cos(-x)的圖象關于y軸對稱.

其中正確的序號是________.

對②,y=cos(-x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其圖象相同；

對④,y=cos(-x)=cosx，故其圖象關于y軸對稱；作圖(略)可知①③

均不正確.

答案：②④

6.函數y=2sin2x+sinx-1的定義域是________.

由2sin2x+sinx-GO彳導sinx>^或sinx=-1,

所以2k?i+看<x<2k;i+?或x=2kn-方，kwZ.

jrjrjr

答案：{x|2k兀<x<2k?i+或x=2k7i-5,k￡Z}

uu乙

7.已知函數f(x)=2cosx+1,若f(x)的圖象過點&，m］，則m=

；若f(x)<0,則x的取值集合為.

、［/7T_I7T

當x=1時，f(x)=2cos2+1=1,

所以m=1.

f(x)<0即cosx<-；,

作出y=cosx在x￡［0作冗］上的圖象,如圖所示.

__27r4Ji

由圖知X的取值集合為{x|§+2k7i<x<-y+2k7i,keZ}.

2兀4兀

答案：1x|、+2k兀+2k兀,kQZ

8當xw[-7i同時,y=gx-^y=sinx的圖象交點的個數為

這些交點的橫坐標之和