高中數(shù)學講義：函數(shù)與導數(shù)專題訓練

目錄

1.選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。每小題給出的四個選項中，第1-10題只有一項符合題目要

求，第11-12題有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）............1

2.填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上）............................6

3.解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）....................7

1.選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。每小題給出的四個

選項中，第1-10題只有一項符合題目要求，第11-12題有多項符合題

目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分）

2x+12(x<0)

/(x)=2

1.已知函數(shù)[x—3x—3(x>0),則/(/⑴)=()。

A、-5B、°C、1D、2

【答案】D

【解析】/0)=1-3-3=-5,/(-5)=2X(-5)+12=2,故選口。

2.已知函數(shù)a=.f(log20Z,b=八外唯，c=/(。啰與，則()。

A、a<b<cB、b<c<ac、ci<c<bD、b<a<c

【答案】c

【解析】由題意可知/(X)是定義在R上的單調遞增函數(shù)，

0203

ylog20.2<log2l=0,1=2°<2-<2'=2,0<O.2<0.2°=1,:.a<c<b,故選C。

31n_M

3.函數(shù)2,的大致圖像是（）。

31n|x|31n|x「e"

T（_V*I——

【解析】由題意知/（X）的定義域為-2"，-2

第1頁共12頁

貝I」/(X)且f(x)豐f(-x),

???函數(shù)〃X)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除B、D,

又當x<-1時/*)>0,...排除選項加故選A。

4.若函數(shù)”x)=l歐以-2x+a)的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍為()。

A、(-hO)B、(°[)C、1°」D、(L

【答案】D

【解析】等價于g(x)=，*-2x+a>0恒成立，

若a=0,則g(x)=_2x,不可取，

若“0,則需A=4-4/<0,解得。>1,

二。的范圍為(L+8),故選D。

5.若函數(shù)〃x)為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足〃x+4)=/(-x),當xw(0,2]時/(x)=2，，則

/(0)+/(1)+

/(2)+---+/(2020)=()。

A、0B、2C、6D、8

【答案】D

【解析】??J(X+4)=〃T),且A》)為奇函數(shù)，.??)(X+4)=—/(X),.??周期T=8,

.."(0)=0、/⑴=2、/⑵=4、〃3)=/(-1+4)=/⑴=2、〃4)=/(0)=0、

/(5)=/(I+4)=/(-1)=-/(I)=-2、/(6)=/(2+4)=/(-2)=-/(2)=-4、

/(7)=/(3+4)=f(-3)=-f(3)=-2,

,../(0)+/(1)+---+/(7)=0+2+4+2+0-2-4-2=0,

,../(0)+/(1)+-+/(2020)=252[/(0)+/(1)+-+/(7)]+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)

=252x0+0+2+4+2+0=8,故選D。

6.已知曲線=I則曲線在點M。，/。））處的切線方程是（）。

A9x—3y-5=0g9x—3y+5=03x-y-2=0p3x+y-2=0

【答案】A

33

…4/(x)=1x+x-^-'/(l)=1xl+lxe'-'=l

【解析】???3，：.33,3,

第2頁共12頁

又r（x）=.2+/T+X./T,...r（l）=12+/T+1X/T=3,

44_

故曲線/（x）在點""'3）處的切線方程為）“3=gT）,即9x-3y-5=0,故選人。

7.設曲線/（力=m.85Y，"￡J）上任意一點P*,y）處切線斜率為g（x）,則函數(shù)'="2抬。）的部

分圖像可以為（）。

［解析］v/W=m-cosx（We凡）上任一點P（x，y）處切線率為g8,

.g（x）=/'（x）=-m-sinx.y=x2-g（x）=-m?x2sinx

該函數(shù)為奇函數(shù)，且當x-0+時，y<°,故選D。

爐+元+1

8.已知函數(shù)A?滿足：VxeR,/（x）=2-/（-x）?則函數(shù)外、=FT+.⑴的最大值與最小

值的和為（）。

A、2B、2^2C、4D、8

【答案】A

〃X、+X+1_1X

【解析】..J（x）+/（T）=2,則/（X）關于點（0,1）中心對稱，設心x2+l+777,

XX

?.?）'=FTT為奇函數(shù)，則"關于點（°，°）中心對稱，做幻關于點（°」）中心對稱,

則g（x）也關于點（0,1）中心對稱，最大值與最小值的和為2,選A。

9.已知函數(shù)F（x）=e*+x2+ln（x+a）與函數(shù)g（x）=e，+eT+x2（x<0）的圖像上存在關于y軸對稱的

點，則實數(shù)。的取值范圍為（）。

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【答案】B

【解析】由題意得，g(T)=/(X)在(0,+8)上有解，

即e-=ln(x+a)在(0,+8)上有解，

即函數(shù)'="'與函數(shù)y=ln(x+n)的圖像在(0,+oc)上有交點，

函數(shù)y=ln(x+a)的圖像是由函數(shù)y=lnx的圖像左右平移得到的，

且當y=ln(x+a)的圖像經(jīng)過點(0,1)時，函數(shù)與函數(shù)y=ln*+a)的圖像有界交點，

此時代入點?1),有l(wèi)=1n(O+a),得“=e,故選及

10.若函數(shù)/3=/+6-2"€勺在(-8,0)內有且只有一個零點，則/(X)在I?上的最大值與

最小值之和為()。

A、2B、4C、-2D、-4

【答案】D

【解析】由題意可得，((幻=3*+〃，

2

①當aNO時，r(x)=3x+?>0>...〃幻=/+以一2(4€/?)在尺上單調遞增，

../(0)=-2<0；...函數(shù)/(幻=/+奴—2(aeR)在(-co。)內沒有零點；

2…口

②當a<0時，令/'(x)=3x+a=0,得N3,

易得V3為函數(shù)/(X)的極大值，

../(0)=-2<0；函數(shù)/(幻=9+以-2(破陰在(-8,0)內有且只有一個零點，

()=03

../~ri,-,a=-3,,./(X)=X-3X-2;

則-1、1分別為函數(shù)/⑴的極大值點和極小值點，又“T)=°、八2)=°,

..J(x)在［-1,2］上的最小值與最大值分別為/0)=-4、/(2)=0,

..J(x)在上的最小值與最大值之和為一4,故選D。

f(X)=x?€X——X—3

11.設函數(shù)2的零點為匹、“2、…X”,1力表示不超過X的最大整數(shù)，有下述

/(X)

四個結論：①函數(shù)"X)在(°，+8)上單調遞增；②函數(shù)"X)與X有相同零點；③函數(shù)“X)有且僅

有一個零點，且值］=2；④函數(shù)“X)有且僅有兩個零點，且同1+［々］=-6。其中所有正確結論的編

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號是()。

A、①②③B、②③C、①②④D、①④

【答案】C

【解析】f(X)=e-(1+A)-2,當xe(0,+8)時，八幻>0,...函數(shù)/(x)在(0,+co)上單調遞增,

故①正確，

X3_j_

g(X)=lS-L=e

顯然x=°不是/")零點，令'Xx2,

則在y,0)U(0,+8)上，〃x)與g(x)有相同零點，故②正確,

3

在y,0)U(0,+oo)上，gC')-e+^>0,

g*)在(Y°，°)上單調遞增，在(°，*0)上也單詞遞增，

7

而g⑴-"萬<0、8出=02-2>0,...存在王€（1,2）,使g（x）=0,

g(-7)=~----<0g(-6)=—^>0(7(\(\

又“，14、"e6存在的“(-7,-6),使8區(qū))=0,

...g(x)在(-8,0)U(0,+oO)上只有兩個零點再、*2,也即〃幻在尺上只有兩個零點到玉、“2,

且［再］+工］=1+(-7)=~6,故③錯誤、④正確，故選C。

12.已知函數(shù)/(x)=(x—&僻+1(%>1)在區(qū)間-1』上只有一個零點，則實數(shù)A的取值范圍是()。

（e,+8）

e-1）c[6-1，e-l]D、

【解析】由題意可知，(》一幻"+1=°在區(qū)間［-ij上只有一個根,

k=

等同于/在區(qū)間［TJ上只有一個根，

等同于y=&與ga)='+『的圖像有唯一一個公共點，

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由g(x)=x+/得/(x)=l-則g，(x)=0得x=0,

當-14x<o時,g'(x)<0,則g(x)在［T，。)上單調遞減,

當0<xWl時，g'(x)>0,則g。)在(0』上單調遞減，

在區(qū)間［T，“內，當x=O時g(x)取極小值也是最小值，...當g(xRg(0)=l,

￡（1）=1H[、[6—l>ld—/、

又e,g（z-D=e-l,且e,.?.作g（x）的圖像如圖，又％>1,

(1—,e-1］

則滿足條件的人的取值范圍是e，選A。

2.填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線

±）

13.已知函數(shù)/(幻=―/+4*+4廣€［0,1］〉若f(x)有最小值_2,則/(X)的最大值為0

【答案】1

［解析］，6)=_/+?+”_(》_2)2+4+4開口向下，對稱軸》=2,

..J(x)在［0,1］上單調遞增，最小值為"0)=。=-2,最大值為/⑴=-l+4+a=l。

14.已知定義在R上的函數(shù)A#滿足：〃x)=2-/(-x),且函數(shù)f(x+l)是偶函數(shù)，當xe［-l,0］

現(xiàn)

時，/*)=1一/,則八§。

10

【答案】9

【解析】由函數(shù)/(x+D是偶函數(shù)知函數(shù)”的圖象關于直線對稱，即有〃—x)=/(x+2),

又/(x)=2_/(_x),..J(x)=2_/(x+2),..J(x+2)=2—/(x+5),

?J(x)=/(x+4),即函數(shù)/(x)的周期T=4,

/（苧=/（168X4+!）=宿）=嗎）=2—/（—}=2一[1一（管2]=2

15.若函數(shù)"X)=2X2+(X-2砂|x-a|在區(qū)間(-3,1)上不是單調函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是。

【答案】(-6,2)

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?。、25a2、

223(x—H----,x2a

3x-2ax+2cr,x>a24

/(x)=1=><

x2+3cix-2a2,x<a3Q、217a2

(ZXH--)-----,X<4

【解析】24

2-八c

—3_<_3Q<1=>——<a<2=>0<a<2

當心0時,23

-3cq<1=>-6<av2n-6<a<0

當。<0時,2

綜上-6<a<2。

16.已知函數(shù)A?'"--or+a（a>o）有兩個極值點占、々一心超），則/（刈+/?。┑淖畲?/p>

值為。

【答案】3-ln2

,12x2-ax+\

f(x)=-+2x-a=---------

【解析】A?的定義域為◎+◎,xx設g5)-2/-ax+\

由題意可知g(?=°在(°，-)內有兩個不等的實數(shù)根占、修(西<々),

g(0)=l>0

1_z￡>0

???〔4，二需滿足A=/-8>0,解得a>2/，

(1122/、2c

X+X=-XX=-Xj=(x+x)-2xx=--l

乂?i24、C2/*???}2r2??

f(xl)+f(x2)=ln(M?工2)+工；-a(xl+々)+2。

=--4-2?-ln2-l=-—(a-4)2+3-ln2<3-ln2

44

當且僅當。=4時，等號成立，

故/(西)+/(々)的最大值為3-ln2。

3.解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

=a+lnx

17.（10分）已知函數(shù)x,曲線/（X）在點（eJ（e））處的切線與直線e2x-y+e=°垂直

（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若/（X）在（〃L1M+1）上存在極值，求實數(shù)，"的取值范圍。

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l-?-ln￡/(、=二L

【解析】/(X)的定義域為(°，+8),,X2,e2,...4=1,2分

『叱手，八上手，令/叱亨=。，則E,4分

則o(尤<1時r(x)>o,x>i時ra)<o,6分

在(0,1)上單調遞增，在(1，+8)上單調遞減，f(x)在x=l處有極大值，8分

.?.04m一1<1且帆+1>1,.?.14帆<2。10分

18.(12分)已知函數(shù)“x)=l°g"-310g2》+c(c是常數(shù))。

(1)若當xe［2,8］時，恒有〃幻<°成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若存在％42,81時，使得/(%)<°成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若方程八幻=0.bg2x在〔2,8］上有唯一實數(shù)解，求實數(shù)c的取值范圍。

9

-+

當

i+g(r)=1—3t+c=(t—)4X2分

【解析】⑴令咋2'=‘，則2

3

JC——

g⑺的對稱軸為一2,Pl，3］時的最大值為8閉=。<。，

則實數(shù)。的取值范圍是(一8，。)；4分

(2)若存在瓦€［2,8|時，恒有/(%)<°成立，則存在/0曰1，31時，使得8/)<°成立，6分

399

o(一)=--FCV0C<一

于是只需海口⑶時的最小值為524，即4,

(-82)

則實數(shù)。的取值范圍是7；8分

(3)若方程/(X)=。.1國2天在〔2,8］上有唯一實數(shù)解，

則/一(3+c)f+。=°在［1,3］上有唯一實數(shù)解，

,.A=(3+C)2-4C=(C+1)2+8>0

?,

故J—(3+c)/+c=°在［1,3］上不可能有兩個相等的實數(shù)解，I。分

令〃Q)=J-(3+c)t+c,...力⑴=-2<0,故只需力(3)=-2<?20,解得cMO,

???實數(shù)c的取值范圍是(9⑼。12分

19.(12分)已知〃x)=e*(D7。

(1)求函數(shù)"X)在區(qū)間la上的值域；

第8頁共12頁

(2)當xNO時，/(X)工以恒成立，求實數(shù)。的取值范圍。

【解析】(l)“x)的定義域為R,/'(幻="(一力，1分

令/'(幻<0得無>0,則/(x)在區(qū)間(-=0,0)上單調遞減，

令/'。)>0得x<0,則f(x)在區(qū)間(。，討)上單調遞增，3分

而/(-l)=2eT-l,/(2)=—e2—1,/(0)=0,則/(O)>/(-1)>/⑵，

故/(X)在區(qū)間IT，?上的值域為-1,0].4分

(2)/(元)工以，g|Je'(l_此-1?ax,g|j(1-x)ex-ax-\<0,

令g(x)=(l-x)e"◎-1(%之0)則只需證明g*)max40,5分

則g'(x)=-xeX_q,g\x)=-ex-=(-1-x)ex對于xN0時，g"(*)<0恒成立,

...g，(x)在xe[0,xo)上單調遞減，g'(O)=-a,6分

①當aNO時，g'(x)<g'(O)W(),g。)在[0，+°°)上單調遞減，

貝I」g(x)4g(°)=°,滿足g(x)m”40,8分

②當a<0時，e~a>\,則g'(O)=-a>0,gz(-?)=ae-a-a=a(e-u-1)<0

則存在％GQ—0使得d)=o,

..當xe[O,xo)時g，(x)>0,g(x)在[O,xo)上單調遞增,

..當xw(x0,-a)時g'(x)<0,g(x)在(x0,-?)上單調遞增減，

又g(0)=°,...gG)>°,...a<0不滿足g(X)max40,11分

綜上可得“NO,故實數(shù)a的取值范圍為[Q+00)。12分

20.(12分)已知函數(shù)〃x)=2e*-(x-a)2+3,a&Ro

(1)若函數(shù)y="x)的圖象在尤=°處的切線與x軸平行，求〃的值；

(2)若xNO,恒成立，求。的取值范圍。

【解析】(1)由題意可知/(X)的定義域為R，/'(x)=2(e，-x+a),1分

?.?>=/")在x=0處的切線與x軸平行，即在x=°切線斜率為0,

即r(0)=2(a+l)=0,...q=_i；3分

(2)/'(%)=2(，一工+。)，令g(x)=2(/-%+a),貝°g,x)=2(e*-1)之。，4分

第9頁共12頁

...g（x）=2（e，-x+a）在［0,+oo）內單調遞增，g（0）=2（l+a）,5分

,

①當2（l+a）N0,即1時，r（x）=2（^--x+a）＞/（0）＞0＞

/（x）在［0,用）內單調遞增，要想f（x"0,只需要外））=5-"±0,

解得一有4a4百，從而一L石，7分

②當2（l+a）＜0,即.＜一1時，由g（x）=2（e，-x+a）在［0,+co）內單調遞增知，

存在唯一而使得g&o）=2（4-X。+a）=0,有*=X。-a,

令/'5）＞（）,解得了＞與，令八々）＜°,解得0Vx＜與，

從而f0）在*=%）處取最小值/（/）=2/—（々—a）?+3,又/=ex°+a,

/（x（））=2e%-（e*）?+3=-（e'。+l）（ei-3）,從而應有/（/）2。，即e*。一3?（）,

解得0＜與41n3,由6.=%一°可得"=而―/。，有l(wèi)n3—34a＜—1,］］分

綜上所述，石。修分

21.（12分）已知函數(shù)/（幻=*2?2+依+。），/*）的圖像在點⑵/（2））處的切線方程為

y=4x-l?

（1）求/（X）在［-3,2］上的最值。

（2）若的解集為｛.由4、＜々｝,且在（不，々）內有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)%的取值范

圍。

［解析］（1）由題意知，〃x）的定義域為R,/'。）=，-2.口2+3+2卜+4+切，1分

則/'（2）=3a+/?+8,f（2）=4+2a+b

則/（x）的圖像在點（2J（2））處的切線方程為y_4_2。_6=（3。+6+8）*-2）,

g|jy=（3。+人+8）1一4。一〃一12,

又已知了（X）的圖像在點⑵/⑵）處的切線方程為）'=4x-7,3分

］3a+Z?+8=4=-1

則［4a+6+］2=7,解得W=T,貝y（x）="-2.（x2_x_］）,

由/8）=612.（/+*-2）=0得》=_2或》=1,5分

.?./'（X）、,（X）隨x的變化情況如下表所示：

X-3(-3,-2)-2(-2,1)1(1,2)2

第10頁共12頁

f,Mra)>or(x)=ora)<or(x)=ora)>o

/(X)1le5T1TT1

因而函數(shù)/(X)在［—3,2］上的最大值為1,最小值為-/；6分

x22

(2)由⑴知,f(x)=e--(x-x-l)f

當XG(YO,-2)時，/'(x)>(),函數(shù)〃x)單調遞增，

當xe(—2，D時，八%)<0,函數(shù)A?單調遞減，

，

當—)時,/(x)>0>函數(shù)/*)單調遞增，8分

2

易知/(-2)=5e">(),/(-l)=e-3>(),/(0)=-^<0>/(1)=-^'<0>/⑵=1>0

且當x-時，y-()+,當xf+co時，10分

則函數(shù)"X)的大致圖像如圖所示：

在區(qū)，々)內有且只有兩個整數(shù)，

(—f,0］

???結合圖像可知實數(shù)人的取值范圍為e-。12分

r2

f(x)=——21nx

22.(1