第1章平面向量

DIERZHANG2.5平面向量應(yīng)用舉例

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.向量在幾何中的應(yīng)用

⑴平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾

角等都可以由IU向量的線性運算及數(shù)量積表示出來.

(2)用向量解決平面幾何問題的“三部曲”

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元

素，將平面圉幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;

②通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問

題；

③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

2.向量在物理中的應(yīng)用

(1)物理問題中常見的向量有固力、速度、位移等.

(2)向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的國合成和分解中.

⑶動量mv是向量的國數(shù)乘運算.

(4)功是應(yīng)力b與位移s的數(shù)量積.

□自診小測

1.判一判(正確的打，錯誤的打“X”)

⑴若△A3C是直角三角形，則有AB.BC=O.()

—?—?

(2)若則直線A3與CQ平行.()

-A->

(3)向量A3,CQ的夾角就是直線AB,的夾角.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)若向量。尸i=(2,2),03=(-2,3)分別表示兩個力B，F(xiàn)2,則

因+四為()

A.(0,5)B.(4,-1)

C.2y[2D.5

答案D

解析尸1+尸2=。5),嗎+尸21=5.

(2)在四邊形4BCO中，ABBC^O,BC=AD,則四邊形ABC。

是()

A.直角梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

答案C

解析,：BC=AD,四邊形A3CZ)為平行四邊形,

又AR3C=0,：.AB±BC,

二.四邊形ABC。為矩形.

(3)(教材改編P“3習(xí)題2.5A組TQ已知三個力B=(3,4),%=(2,

-5),F3=(X,y)和合力尸1+尸2+尸3=0，則尸3的坐標為.

答案(-5,1)

解析由Fl+F2+F3=0,得入=0-6一尸2=0—(3,4)-(2,

-5)=(-5,1).

卜課堂互動探究

探究1向量在平面幾何中的應(yīng)用

例1(1)在直角梯形ABCQ中,A8〃CZ),NCDA=NQAB=90。,

CD^DA=^AB,求證：AC.LBC；

(2)已知RtZXABC中，NC=90°,設(shè)AC=m,BC=n.

①若。為斜邊A8的中點，求證：品&

②若石為。。的中點，連接AE并延長交8C于E求Ab的長度

(用m,n表示).

解(1)證法一：'：ZCDA^ZDAB=90°,AB//CD,CD=DA^

—?—?—?

故可設(shè)AD=e”DC=e2,I^il=l^2b則A8=2e2.

—>—>—>

AC=AD~\~DC=€\+。2,

—?—?-?

BC=AC-AB=(<€\+62)-2e2=ei-^2-

—?—?—??—?

而ACBC=(ei+e2>(ei―e2)=e；―e；=?『一電『=。,??ACA_BC>

即ACIBC.

證法二：如圖，建立直角坐標系，

設(shè)CZ)=1,則A(0,0),5(2,0),C(l,l),0(0,1).

.,.BC=(-1,1),AC=(1,1).

—?-A

=-1+1=0.

：.AC±BC.

(2)①證明：以C為坐標原點，以邊CB,CA所在的直線分別為工

軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示,

CFBX

A(0,m),B(n,O).

.ri-西

為A3的中點，../2，2)

—?—?

.,.\CD\=2yjrr+m2,|AB|=^/m2+/?2,

：.\CD\=^\AB\,即CD=]A3.

②?：E為CD的中點，.?氣中4)

設(shè)F(x,O),則AE=(f,一%),AF=(x,—rri).

―?-?

VA,E,尸三點共線,：.AF=XAE,

即(X,—m)=^,—!

%=今,

,.4nJnA

則＜3古攵a=W，x—y??電，

—m=-TmA,

-?

|AF|=；即AF=1

拓展提升

用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路

(1)向量的線性運算法的四個步驟

①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運算或

數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化.

(2)向量的坐標運算法的四個步驟

①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；②把相關(guān)向量坐標化；③用向量

的坐標運算找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化.

【跟蹤訓(xùn)練1】(1)已知在平行四邊形A3CQ中，E,/是對角

線AC上的兩點，且試用向量方法證明四邊形OE8產(chǎn)

也是平行四邊形；

(2)如圖，平行四邊形A8CD中，已知AQ=1,AB=2,對角線

BD=2,求對角線AC的長.

解(1)證明：設(shè)AZ)=a,AB=b,

11,13

則。E=AE—4。=不1。-a=4(a+》)一”=心一不，

所以。且D,E,F,3四點不共線，所以四邊形DEB/

是平行四邊形.

—?—?—?-?

(2)設(shè)A￡>=a,AB=b,則3。=。-A,AC=a+b,

—>

而\BD\=\a-b\=-\la2—2a-b+b2=yJ1-\~4—2a-b=y]5—2a-b-2,

/.5—2aZ>=4,.,.ab=^.

―?-?

又|AC『=|a+例2="2+2a0+方2=1+4+2”0=6,二.依。尸黃,

即AC=y[6.

探究2向量在解析幾何中的應(yīng)用

例2已知圓C：(X-3)2+CV-3)2=4及點M是圓上的任

意一點，點N在線段的延長線上，且MA=2AN,求點N的軌跡

方程.

解設(shè)M(%o,泗)，N(x,y).由MA=2AN,得

(11%o,l—%)=2(%—1,1),

1-劭=2(%-1),

所以

1—^o=2(y—1),

%o=3-2,x,

即?

〔州=3-2乂

因為點M(Xo,光)在圓C上，

所以(%()—3)2+O)-3)2=4,

即(3—2%—3)2+(3—2＞一3)2=4.所以?+/=1.

所以所求點N的軌跡方程是?+/=1.

拓展提升

向量法解決解析幾何問題的關(guān)鍵點及常用知識

(1)向量法在解析幾何中的應(yīng)用，正確寫出點的坐標，并由已知

條件轉(zhuǎn)化為向量坐標是解題的關(guān)鍵.

(2)要掌握向量的常用知識：①共線，②垂直，③模，④夾角，

⑤向量相等則對應(yīng)坐標相等.

(3)有時需要建立平面直角坐標系.

【跟蹤訓(xùn)練2】已知定點A(—1,0)和8(1,0),尸是圓(%—3)2+&

—?-?

-4)2=4上的一動點，求解產(chǎn)+|尸用2的最大值和最小值.

-?—>

解設(shè)圓的圓心為C,由已知可得OA=(—1,0),08=(1。)，所

―?—?—?-?

以O(shè)A+OB=0,OAOB=-1.

—>-A—>

又B4+P8=2尸O,

―?-?—>—>—>—?-?—>

所以|R1|2+|P3|2=(?1+PB)2—22L.P3=(2PO)2—2(OA-

-?—?—A—?—?—?—?—?—?—?-?

OP)(OB-OP)=4|PO|2-2O4OB-2|OP|2+2OP(OA+O8)=2|OP|2

+2.

—>

又因為。。=(3,4),點P在圓(%—3)2+。-41=4上，

—?—?—?—?-?

所以|OC|=5,|CP|=2,且|0尸|=|OC+CP|.

―?—?—?—?—>—■>—■>—?

所以|OC|-|CP|W|OP|=|OC+CP|W|OC|+|CP|,即3W|OP|W7.

—?-?-A

故20^|B4|2+|PB|2=2|OP|2+2^100.

—?-?

所以照『十甲5|2的最大值為100,最小值為20.

探究3向量在物理中的應(yīng)用

例3(1)在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，

渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？

(2)已知兩恒力回=(3,4),尸2=(6,—5)作用于同一質(zhì)點，使之由

點A(20,15)移動到點8(7,0),求B，入分別對質(zhì)點所做的功.

解(1)如圖，設(shè)A3表示水流的速度，AQ表示渡船的速度，4C表

示渡船實際垂直過江的速度.

—?—?-?

因為AB+AZ)=AC,所以四邊形ABCD為平行四邊形.

―A-?—?

在RtZkAC△中,ZACD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,所

以NC4Q=30。，即渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)為北偏西30。.

(2)設(shè)物體在力b作用下的位移為s,則所做的功為W=F-s.

-?

".,AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

—?

.-.Wi=FrAB=(3,4)-(-13,-15)=3X(-13)+4X(-15)=-

99(焦)，

—?

W2=F2AB=(6,-5)?(—13,-15)=6X(-13)+(-5)X(-15)

=-3(焦).

［條件探究］本例(2)條件變?yōu)椋簝蓚€力*=?+_/,&=4i—》作

用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點A(20,15)移動到點3(7,0)(其中i,/分別

是與％軸、y軸同方向的單位向量).求：B,b2分別對該質(zhì)點做的功.

解AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),K=(l,l),

/2=(4,—5),所以收|=b「48=—13—15=—28,WF2=FrAB

=4X(-13)+(-5)X(-15)=23.

拓展提升

向量解決物理問題的步驟

【跟蹤訓(xùn)練3】在風(fēng)速為75（加一也）km/h的西風(fēng)中，飛機以

150km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時飛機的航速和航向.

解設(shè)/=風(fēng)速，〃=有風(fēng)時飛機的航行速度，柱=無風(fēng)時飛機

的航行速度，%=“一”.如圖所示.

^\AB\=\va\,\CB\=\(o\,\AC\=\vb\,

作AD〃3C,COLA。于點。，BELAD于點E,

則NR4D=45°.

設(shè)|AB|=150,則|CB|=75(#—也).

—?―?—?―?

：.\CD\=\BE\=\EA\=15y[2,|D4|=75班.

-?

從而以。|=15即，NCAD=30°..?.既|=15附，

即沒有風(fēng)時飛機的航速為15Mkm/h,方向為北偏西60°.

1

f-----------------------------------1鄴耀外------------------

1.向量在幾何中的應(yīng)用

(1)利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距

離等問題.利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思路是

選擇一組基底(而選擇的基底的長度和夾角應(yīng)該是已知的，這樣方便

計算)，利用基向量表示涉及的向量；一種思路是建立坐標系，求出

題目中涉及到的向量的坐標.這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾

何命題的證明.

(2)向量解決幾何問題就是把點、線、面等幾何要素直接歸納為

向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算

的結(jié)果翻譯成關(guān)于點、線、面的相應(yīng)結(jié)果，可以簡單表述為“形到向

量一向量的運算一向量和數(shù)到形”.

2.向量在物理中的應(yīng)用

(1)向量與力

向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可

以沒有共同的作用點，但是力卻是既有大小，又有方向且作用于同一

作用點的，用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用

點上.

(2)向量與速度、加速度以及位移

速度、加速度與位移的合成和分解，實質(zhì)上是向量的加減法運算.

(3)物理上力做的功實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位

移的積，其實質(zhì)是向量的數(shù)量積.

卜課堂達標自測

1.已知⑷=2小，步|=2,向量a,b的夾角為30。，則以向量a,

b為鄰邊的平行四邊形的一條對角線的長度為()

A.10B.回

C.2D.22

答案C

解析以向量”，?為鄰邊的平行四邊形的對角線為a+〃與a—

|a+Z>|=\l(a+b)2=yj(T+2a-b~\~b2

12+2X2$X2X乎+4=/=2市，

\a-b\=yj(a—b)2

—2a?一+。2

=yj12-2x273x2x^+4=2.

2.已知A,B,C,。四點的坐標分別是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),

則此四邊形為()

A.梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

答案A

—?—?—?—?—?-?

解析由題意得AB=(3,3),DC=(2,2),S.AB//DC,\AB\^\DC\.

故選A.

3.平面上有三個點A(—2,y),3(0,m，C(x,y)(%WO)，若

BC,則滿足條件的x,y的關(guān)系式是

答案〉2=8x(x70)

解析"：AB=[1,.-y)=12,一號，

Be中廠號=1,目，

ffv2

.'.ABBC=2x—^—0,.,.y2=8%(%W0).

4.一質(zhì)點受到平面上的三個力尸1，尸2,尸3(單位：N)的作用而處

于平衡狀態(tài)，已知尸1，尸2成60。角，且尸1，尸2的大小分別為2和4,

則F3的大小為.

答案2小

解析VF1+F2+F3=0,

.?.?=一西+同)，

：.\F3\=y]F]+2Fi-F2+Fl

=^4+16+2*2義4*；=4=2#.

5.如圖，在“MCB中，BD=-BC,QD與3A相交于E.求證：

BE=；BA.

BEQ

E

0

證明,：O,E,。三點共線,

，向量0￡與向量。。共線.

―?―?

則存在實數(shù)2”使得0E=2QD

—?—?—?—?―?―?—?-?

11

而0￡>=0B+3Q=08+Q0A,則0石=九08+才。4

又「A,E,3三點共線，

-?―?—>—>—>—>

二.BE與區(qū)4共線，則存在實數(shù)及，<BE=A2BA=22(OA-OB).

—?—?—?—?—?—?

:.BE=%0A-220B.而0B+BE=0E,

AAAAA

OB+A2OA-A2OB=AlOB+JOA.

―?―?—?-?

即(1一%z;lOB+GOAuAiOB+goA

——?f1一丸2=九，

,..OA與03不共線，.?1人；3左

1A2—3，二

-?—>

:.BE=：BA,即BE=^BA.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.在△48C中，A8=AC,D,E分別是AB,AC的中點，則（）

―?—?—?-?

A.BD=CEB.BD與CE共線

—?—?―A—?

C.BE=BCD.力石與3c共線

答案D

解析'：D,E分別是AB,AC的中點，石〃3C,即QE與3c

共線.

—?―?—?

2.△ABC的外接圓的圓心為0,半徑為1,AO=^AB-\-AC）,

~?—?—?-?

且|0A|=|AB|,則氏4?3。為（）

A.1B.小

C.—1D.—^/3

答案A

解析由題意知，。為的中點，且NA3C=60。，13cl=2,

―?-?

1=1,.,.3480=1X2x3=1.

3.人騎自行車的速度是小，風(fēng)速為外，則人騎自行車逆風(fēng)行駛

的速度為（）

A.V\—v2B.Vi+v2

V\

C.協(xié)|一出D.-

?2

答案B

解析對于速度的合成問題，關(guān)鍵是運用向量的合成進行處理,

人騎自行車逆風(fēng)行駛的速度為4+。2，因此選B.

4.已知非零向量48與AC滿足，竽+4三.BC=0,且絲■.分三=

\]AB\\AC\J\AB\\AC\

則△48。為（）

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

答案D

（一f\

ARATff

解析?.?丁+言.3C=0,「.NA的平分線所在的向量與8c

Wl\AC\）

—?—?

AQAT11

垂直，所以△A3C為等腰三角形.又二?==],/.COSA=2，AZ

\AB\\AC\

jr

A=1.故3c為等邊三角形.

5.已知直線％+y=a與圓f+y2=2交于A,3兩點，O是坐標

-?—?-?

原點，C是圓上一點，若0A+08=0C,則。的值為（）

A.±1B.±\f?,

C.±^/3D.±2

答案A

解析如圖，連接AC,BC,可知四邊形OACB是菱形，OCL

AB,所以原點0到直線的距離等于半徑的一半，即坐，進而可

得Q=±1.

二'填空題

6.某人從點。向正東走30m到達點A,再向正北走3S\。m到

達點B,則此人的位移的大小是m,方向是東偏北.

答案6060°

解析如圖所示，此人的位移是03=0A+4B,且OAJ_A&

則QB尸心"|^T60(m),

—?

tanN8QA=M=S：NBOA=60。.

\OA\

7.已知向量。=(6,2),方=[-4,過點A(3,—1)且與向量。

+2b平行的直線/的方程為.

答案3%+2廠7=0

解析。+26=(6,2)+(—8,1)=(—2,3)=—2(1,—|),.?.過4(3,

—1)且與向量a+2b平行的直線/的方程為y+l=—京%—3),即3%

+2y—7=0.

8.若平面向量a,4滿足|a|=l,網(wǎng)W1,且以向量a,2為鄰邊

的平行四邊形的面積為;,則a與H的夾角3的取值范圍是.

答2*案片「兀5兀

解析以a,4為鄰邊的平行四邊形的面積為

S=|a|W|sin6=|郊in8=/,

所以sin6=加，又因為網(wǎng)W1,所以蘇叢即sin?g且?！闧0,

兀],所以。電,y.

三'解答題

9.如圖，平行四邊形ABCD中，E,尸分別是40,48的中點,

—?—?

G為BE與DF的交點.若AD=b.

(1)試以a,5為基底表示BE,DF；

(2)求證：A,G,。三點共線.

-?-?—>

角星(\}BE=AE-AB=^b-a,

—?―?—?

DF=AF—AD=ja—b.

—?—?

(2)證明：D,G,b三點共線，則DG=ZDR

―?—?-?

AG=AD+ADF=|Aa+(l~^b.

―?—>

B,G,E三點共線，則

手=1-4，2

由平面向量基本定理知<]解得4=〃=1,

1—>1=呼，

—?—?

.,.AG=；3+Z>)=1AC所以A,G,C三點共線.

10.今有一小船位于d=60m寬的河邊尸處，從這里起，在下游

Z=80m處河流變成瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(與河岸平

行)，水速大小為5m/s,如圖，為了使小船能安全渡河，船的劃速不

能小于多少？當劃速最小時，劃速方向如何？[sin37°=|)

解如圖，由題設(shè)可知，船的實際速度0=0劃水，其方向為

―?

臨界方向PO.

則最小劃速W劃I=W水卜sin。，

.____d________60_____3

S1^-V?+?~^602+802-5>

:.e=37°.

3

二.最小劃速應(yīng)為v劃=5Xsin9=5><W=3(m/s).

當劃速最小時，劃速的方向與水流方向的夾角為127。.

B級：能力提升練

1.一只漁船在航行中遇險，發(fā)出求救警報，在遇險地西南方向

10mile處有一只貨船收到警報立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險漁船沿南偏東75。,

以9mile/h的速度向前航行，貨船以21mile/h的航速前往營救，并在

最短時間內(nèi)與漁船靠近，求貨船的位移.

解如下圖，設(shè)漁船在A處遇險，貨船在3處發(fā)現(xiàn)漁船遇險,

兩船在C處相遇，所經(jīng)時間為*h).

由已知，NA4C=45°+75°=120°,

—?—?-?

|A5|=10,\AC\=9t,\BC\=2\t