立體幾何基礎(chǔ)A組題

一、選擇題：

i.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()

⑴三點(diǎn)確定一個(gè)平面

(2)若點(diǎn)P不在平面a內(nèi)，A、B、C三點(diǎn)都在平面a內(nèi)，則P、A、B、C四點(diǎn)不在同一平面內(nèi)

⑶兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)

⑷兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

A.OB.lC.2D.3

答案：A

2.已知異面直線。和b所成的角為50。，P為空間肯定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a、人所成的角都是30。的直線條數(shù)有

且僅有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

答案：B

3.己知直線/_!_平面a,直線mu平面夕，下列四個(gè)命題中正確的是()

(1)若a〃/，貝(2)若貝”〃加

(3)若/〃6，則(4)若Um,則a〃尸

A.⑶與(4)B.(1)與(3)C.(2)與(4)D.(1)與(2)

答案：B

4.已知巾、”為異面直線，，wu平面a,nu平面/7,=則/()

A.與優(yōu)、”都相交B.與，"、〃中至少一條相交

C.與相、”都不相交D.至多與加、w中的一條相交

答案：B

5.設(shè)集合｛直線｝,｛平面｝,C=AU8，若aeA,h&B,c&C,則下列命題中的真命題是

()

cllbalh

A.>na_LcB.>=>Q〃C

aLbh±c

a//b]a//h]

C.nallcD.

ciihcLb

答案：A

6.已知a、人為異面直線，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，且，，則直線6所成的角為

()

A.90°B,60°C.45°D.30°

答案：A

7.下列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()

有四個(gè)相鄰側(cè)面相互垂直的棱柱是直棱柱

各側(cè)面都是正方形的四棱柱是正方體

底面是正三角形，各側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

答案：D

8.設(shè)｛正四棱柱｝，｛長(zhǎng)方體｝，｛直四棱柱｝,｛正方體｝,則這些集合之間關(guān)系是

()

六三半望京莖mwm望莖望

答案：B

9.正四棱錐P一中，高的長(zhǎng)是底面長(zhǎng)的,，且它的體積等于W。?？，則棱與側(cè)面之間的距離是

23

（）

A.42cmB.2cmC.1cmD.——cm

2

答案：A

10.緯度為a的緯圈上有A、B兩點(diǎn)，弧在緯圈上，弧的長(zhǎng)為成cosa（R為球半徑），則A、B兩點(diǎn)間的球面

距離為（）

A.咸B.Qr-a）RC.Q兀-a）RD.（兀一2a）R

答案：D

11.長(zhǎng)方體三邊的和為14,對(duì)角線長(zhǎng)為8,則（）

A.它的全面積是66B.它的全面積是132

C.它的全面積不能確定D.這樣的長(zhǎng)方體不存在

答案：D

12.正四棱錐P-的全部棱長(zhǎng)都相等，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值等于

（）

答案：D

13.用一個(gè)過(guò)正四棱柱底面一邊的平面去截正四棱柱，截面是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四邊形

答案：B

二、填空題：

14.正方體ABCO-AgGQ中，E、F、G分別為、、?的重點(diǎn)，則與所成角的余弦值為

答案：—

15.二面角a-a一夕內(nèi)一點(diǎn)P到兩個(gè)半平面所在平面的距離分別為2行和4,到棱a的距離為4后，則這個(gè)二

面角的大小為

答案：75?；?65。

16.四邊形是邊長(zhǎng)為a的菱形，ZBAD=60°,沿對(duì)角線折成12（T的二面角A——C后，與的距離為

V3

答案:——a

4

17.P為120P的二面角a—a—/?內(nèi)一點(diǎn)，P到a、夕的距離為10,則P到棱〃的距離是

20V3

答案:

3

18.如圖：正方形所在平面與正方形所在平面成60。的二面角，則異面直線與所成角的余弦值是

V2

答案：—

DC

19.已知三棱錐P一中，三側(cè)棱、、兩兩相互垂直，三側(cè)面與底面所成二面角的大小分別為①則

cos2a+cos2（3+cos2y=

答案：1

20.若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積的值是（只需寫(xiě)出一個(gè)可能的值）。

答案:—或嗎

o1212

21.三棱錐P一的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，、、兩兩相互垂直，且這個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面的面積分別為后，

則這個(gè)球的表面積是

答案：18萬(wàn)

三、解答題：

22.已知直線a_La,直線4_1_直線〃，h<zoc,求證：blla

答案：略

23.如圖：在四面體中，平面BCD,,ZBCD=90°,ZADfi=30°,E、F分別是、的中點(diǎn)。（1）求

證：平面_L平面；（2）求平面和平面所成的銳二面角。

arctan也

答案：（1）略；（2）

3

27.如圖所示：已知所在的平面，是OO的直徑，C是。O上隨意一點(diǎn)，過(guò)A作AELPC于E,求

證：平面P5C答案：略

AGB

24.已知正方體一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為〃，求異面直線BiC和?間的距離。

.V6

答案：—-

6

25.如圖：正方體一AiBCiD］的棱長(zhǎng)為。，E、F、G分別是、1、BC的中點(diǎn)，求異面直線與A】F的距離。

26.矩形中，6,26,沿對(duì)角線將AABO向上折起，使點(diǎn)A移至點(diǎn)P,且P在平面上射影位0,且0在上，

(1)求證：PDLPC：

(2)求二面角P——C的平面角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角正弦值。

_171

答案：(1)略，(2)(3)—

33

28.已知：空間四邊形中，。、N分別為和的中點(diǎn)，設(shè)和所成的角為a,求cosa的值。

…2

答案：一

3

29.己知：正三棱錐S一的底面邊長(zhǎng)為a,各側(cè)面的頂角為3()。，D為側(cè)棱的重點(diǎn)，截面ADEE過(guò)D且平行于,

當(dāng)ADEF周長(zhǎng)最小時(shí)，求截得的三棱錐S一的側(cè)面積。

答案：------a2

8

30.在四面體A一中，5,245,求該四面體的體積。

答案:8

立體幾何基礎(chǔ)B組題

一、選擇題:

1.在直二面角a—一夕的棱上取一點(diǎn)P,過(guò)P分別在a、用兩個(gè)平面內(nèi)作與棱成45°的斜線、，則NCP。的

大小為（）

A.45°B.60°C.12（FD.60°或120°

答案：D

2.假如直線/、機(jī)與平面a、夕、y滿意：I=BCy，IHa,mua和m_L/,貝U必有（）

A.a-L/且/J_/nB.a工yAm//。

C.m/i0且,11mD.a〃〃且a_L7

答案：A

3.在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形最多可有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案：D

4.如圖：在多面體中，已知是邊長(zhǎng)

3

為3的正方形，，EF=-,與面的距

2

離為2,則該多面體的體積為（

9八,15

A.—B.5C.6D.—

22

答案：D

5.假如一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是

()

A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.大小關(guān)系不確定

答案：D

6.已知球的體積為361，則該球的表面積為（）

A.9萬(wàn)B.12〃C.24萬(wàn)D.361

答案：D

7.已知MN//a,M|Aua,且NA1MN,若MN=2,M,A=3,NA=4則M|N等于

（）

A.屈B.5C.4V3D.2713

答案：A

8.異面直線a、人成60°角，直線c_La,則直線。與c所成角的范圍是（）

A.[30°,90°]B.[60°,90°]C.[60°,120°]D.[30°,120°]

答案：A

9.一個(gè)三棱錐，假如它的底面是直角三角形，則它的三個(gè)側(cè)面（）

A.至多只有一個(gè)是直角三角形B.至多只有兩個(gè)是直角三角形

C.可能都是直角三角形D.必定都是非直角三角形

答案：C

10.如圖：在斜二棱柱一AiBiCi的底面AABC中,Bi

ZA=90°,KBCX±AC,過(guò)Ci作G”，底面，

垂足為H,則點(diǎn)H在（

A.直線上B.直線上

C.直線上D.A4BC內(nèi)部

答案：B

SE_BF_SG_I

11.如圖：三棱錐S—中，~EA~~FS~~SC~2則截面把三棱錐分成的兩部分的體積之比為

()

A.1:9B.1:7C.1:8D.2:25

12.正四面體內(nèi)隨意一點(diǎn)到各面的距離和為一個(gè)常量，這個(gè)常量是（）

A.正四面體的一個(gè)棱長(zhǎng)B.正四面體的一條斜高的長(zhǎng)

C.正四面體的高D.以上結(jié)論都不對(duì)答案：C

13.球面上有三點(diǎn)A、B、C,每?jī)牲c(diǎn)之間的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的過(guò)三點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4%,則球面面

6

積為（）

A.16萬(wàn)B.24打C.32萬(wàn)D.48萬(wàn)答案：D

二、填空題：

14.a、夕是兩個(gè)不同的平面，丸〃是平面a與尸之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷:

①加_L〃②。，/?③“_1_夕④〃?_La以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,

寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題是答案：②③④=①或①③④0②

15.關(guān)于直角在平面a內(nèi)的射影有如下推斷：①可能是0。的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角;

⑤可能是180°的角，其中正確推斷的序號(hào)是

（注：把你認(rèn)為是正確推斷的序號(hào)都填上）答案：①②③④⑤

16.如圖所示：五個(gè)正方體圖形中，/是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出/_L

面的圖形的序號(hào)是

①②③

答案：①④⑤

17.如圖：平面?！ㄆ矫媸矫媲蚁υ赼、7之間。若a和夕的距離是5,4和/的距離是3,直線/和a、

夕、/分別交于A、B、C,12,則，

答案：”或2

22

18.已知三條直線兩兩異面，能與這三條直線都相交的直線有條。

答案：多數(shù)

19.一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有兩個(gè)是等腰直角三角形，另一個(gè)是邊長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三棱錐體積為（寫(xiě)

出一個(gè)可能值）答案：也或乖或直

241212

20.正三棱錐兩相鄰側(cè)面所成角為a,側(cè)面與底面所成角為p，則2cosa+cos2尸

答案：一1

21.正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為36萬(wàn)的一個(gè)球面上，則這個(gè)正四面體的高等于

答案：4

22.如圖所示：AIBICIDI是長(zhǎng)方體的一個(gè)斜截面，其中4,3,尸12,尸5,則這個(gè)幾何體的體積為

答案：102

三、解答題:

23.已知平面1平面夕，、是夾在夕間的兩條線段，A、C在a內(nèi)，B、D在月內(nèi)，點(diǎn)E、F分別在、上,

且AE:EB=CF:FD=m:n,求證：EFUa

24.在底面是直角梯形的四棱錐S—中，ZABC=9CP,SAL面ABC。，1,AD=-,（如圖）,

2

（1）求四棱錐S一的體積；（2）求面與面所成二面角的正切值。

_1V2

答案：（1）yS-ABCD=1（2）—

25.從二面角a—MN一尸內(nèi)一點(diǎn)A分別作，平面a于B,，平面夕于C,已知3,1,NABC=60°,求：

（1）二面角a—MN—4的度數(shù)；（2）求點(diǎn)A到棱的距離。

答案：（1）1209,（2）-721

3

26.如圖：在棱長(zhǎng)為a的正方體O4BC—O'AR'C'中，E、F分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且，（1）求證：AF1CE；

（2）當(dāng)三棱錐目的體積取得最大值時(shí)，求二面角的大小。

答案：（1）略，（2）arctan2近

27.已知正四棱柱一AIBIGDI，1,產(chǎn)2,點(diǎn)E為I中點(diǎn)，點(diǎn)F為1中點(diǎn)（如圖），（1）證明為i與i的公垂線；（2）

求點(diǎn)Di到面的距離。

2-73

答案：（1）略，（2）——

3

28.如圖：在直三棱柱一AIBIG中，底面是等腰直角三角形，NACB=90°,側(cè)棱尸2,D、E分別是?與A|B

的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面上的射影是AABO的重心G。

（1）求AiB與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（2）求點(diǎn)Ai到平面的距離。

276

答案：(1)arcsin—,(2)

3亍

29.如圖：三棱柱043-OA3,平面。_L平面，ZOOB=60°,ZAOB=90°,且尸2,退，求：

1111

（1）二面角01——O的大??；

（2）異面直線AiB與?所成角的大小。（上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

答案：（1）arctanV7,（2）arccos—

7

30.，矩形所在平面，連，，，求證：ZPBD+ZBPC<9Q°,如圖。

31.長(zhǎng)方形紙片，4,7,在邊上任取一點(diǎn)E,把紙片沿折成直二面角，問(wèn)E點(diǎn)取何處時(shí)，使折起后兩個(gè)端點(diǎn)B、

D之間的距離最短？

答案：當(dāng)4時(shí)，的最小值為J方

32.如圖：ABCD內(nèi)接于直角梯形AiA2A3D,已知沿AfiCD三邊把入4出。、AA2BC,AA3C。翻折上去，恰

好使Ai、A2>A3重合成A,

（1）求證：AB_LCD；（2）若A。=10,A,A2=8,求二面角A---B的大小。

VF7

答案：（1）略，（2）arctan----

8

32.如圖：四棱錐P一中，底面為矩形，，平面，，E、F分別為、的中點(diǎn)。（1）求證：，平面；（2）設(shè)后，求

與平面所成的角的大小。

p

答案：(1)略，(2)arcsin—

6

33.在三棱錐P一中，、的長(zhǎng)度分別為〃、b,與兩條異面直線間的距離為力，且與所成的角為求三棱錐P一

的體積。答案：-abhsmO

6

34.如圖所示：四棱錐P一中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面是面積為2石的菱形，ZADC

為菱形的銳角，M為的重點(diǎn)，

(1)求證：PA±C￡＞；

(2)求二面角P——D的度數(shù);

(3)求證：平面_L平面；

(4)求三棱錐C一的體積。

答案：(1)略，(2)45°,(3)略，(4)-

2

35.如圖所示：直三棱柱一AIBCI中，產(chǎn)2,ZACB=9CP,E為?中點(diǎn)，ZA,DE=90°,

(1)求證：J■平面An；

(2)求二面角C—AiE—D的大小;

(3)求三棱錐Ai一的體積。

答案：(1)略,(2)45°,(3)1

A,C,

36.如圖所不：已知在斜三棱柱一A|B|C|中，，D為的中點(diǎn)，平面AiBiGJ_平面1A”異面直線?與1相互垂直。

（1）求證：?J■平面A,；

（2）若?與平面向的距離為1,A、C=后，A與=5,求三棱錐4一AC。的體積。

立體幾何基礎(chǔ)C組題

一、選擇題：

1.過(guò)空間任一點(diǎn)作與兩條異面直線成60°的直線，最多可作的條數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

答案:A

2.用一塊長(zhǎng)方形鋼板制作一個(gè)容積為4m3的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱，可用的長(zhǎng)方形鋼板有下列四種不同的規(guī)格（長(zhǎng)x寬

的尺寸如各選項(xiàng)所示，單位均為m）?若既要夠用，又要所剩最小，則應(yīng)選擇鋼板的規(guī)格是

（）

A.2x5B.2x5.5C.2x6.1D.3x5

答案：C

3.已知集合｛直線的傾斜角｝,集合｛兩條異面直線所成的角｝,集合｛直線與平面所成的角｝,則下列結(jié)論中正確

的個(gè)數(shù)是（）

7T

（1）（“nN）np=（o,—?（2）（MDN）UP=（O,萬(wàn)]

2

TTTT

（3）（“nN）up=（o,—]（4）（“nN）rip=（o,—）

22

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.l個(gè)

答案：D

4.已知圓錐的底面半徑為R,高為3R,在它的全部?jī)?nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（）

QQ5

A.2欣2B.-TTR2C.-TTR2D.-TIR2答案：B

432

5.一個(gè)四面體的全部棱長(zhǎng)都為收，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（)

A.3"B.4萬(wàn)C.36兀答案：A

6.如圖：四棱錐P—的底面為正方形，

，平面，1,設(shè)點(diǎn)C到平面

的距離為4,點(diǎn)B到平面的距離^2,則有（

A.\<d]<d2B.<d2<\

C.4<1<12D.J2<（/,<1

答案：D

7.平行六面體一AIBCIDI的六個(gè)面都是菱形，則Di在面?上的射影是AAC名的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

答案：D

8.設(shè)正三棱錐P一的高為，M為的中點(diǎn)，過(guò)作與棱平行的平面，將三棱錐截為上、下兩部分，則這兩部分體積

之比為)

答案：C

9.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是32二萬(wàn)，則該三棱柱的體積是

3

（）

A.9673B.1673C.2473D.4873答案：D

10.在側(cè)棱長(zhǎng)為2百的正三棱錐S一中,ZASB=ZBSC=ZCSA=40°,過(guò)A作截面，則截面的最小周長(zhǎng)為

()

A.272B.4C.6D.10

答案：C

11.設(shè)O是正三棱錐P一底面AABC的中心，過(guò)。的動(dòng)平面與P—的三條側(cè)棱或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別記為，則

A.有最大值而無(wú)最小值

B.有最小值而無(wú)最大值

C.既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等

D.是一個(gè)與平面為之無(wú)關(guān)的常量答案：D

12.三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩相互垂直，且三條側(cè)棱長(zhǎng)之和為3,則三棱錐體積的最大值為（）

A.1B.-C.-D.6答案：B

63

二、填空題：

13.過(guò)正方體的每三個(gè)頂點(diǎn)都可確定一個(gè)平面，其中能與這個(gè)正方體的12條棱所成的角都相等的不同平面的個(gè)

數(shù)為個(gè)答案：8

14.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)A45C的兩邊、相互垂直，則AB2+AC2拓展到空間，類

比平面幾何的勾股定理，探討三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A一

的三個(gè)側(cè)面、、兩兩相互垂直，則”

答案：S2MBC+S2&ACD+S2MDB=S2ABen

15.下圖是一個(gè)正方體的綻開(kāi)圖，在原正方體中，有下列命題（1）與所在直線平行；（2）與所在直線異面；（3）

與所在直線成60°角；（4）與所在直線相互垂直，其中正確命題的序號(hào)為（將全部正確的都填入空格內(nèi)）

答案：⑵、（4）

16.如圖：在透亮塑料制成的長(zhǎng)方體一AliGDi容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器傾

斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)命題：

①水的部分始終呈棱柱形；②水面四邊形的面積不變；③棱AD始終與水面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，

5尸?BE是定值，其中全部正確命題的序號(hào)是

答案：①③④

17.已知將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底粘在一起，恰得到一個(gè)全部二面角都相等的六面體，并且該六面體的

最短棱的長(zhǎng)為2,則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離為

答案：3

三、解答題：

18.在長(zhǎng)方體一ABCQ1中，a,BC=b,A4,=c,求異面直線?和B,C所成角的余弦值。

\c2-b2\

答案：11.----

-7a2+b2+c2-ylb2+c2

19.如圖所示：四棱錐P一的底面是邊長(zhǎng)為。的正方形，，面，

（1）平面，平面所成的二面角為60。，求這個(gè)四棱錐的體積；

（2）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣改變，面與面所成的二面角恒大于90°。

答案：（1）VP_ABCD=^-a\（2）略

p

20.如圖：已知平行六面體ABC?！狝'?。'。'的底面是菱形，且NC]CB=NCiCD=ZBC。，(1)證明:

CD

CqiBD；(2)當(dāng)cq的值為多少時(shí),能使平面C門(mén)請(qǐng)給出證明。

CD

答案：(1)略，(2)——=I

CC,

21.在長(zhǎng)方體一AiBCiDi中，己知產(chǎn)2,3,求:

(1)異面直線BC與?所成的角；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，使BiCLi?

答案：⑴arccos(2)。=2

yja2+137a2+4

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