第1章三角形的證明（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（培優(yōu)篇）一、單選題1．樂樂發(fā)現(xiàn)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個等腰三角形底角的度數(shù)為（

）A．50° B．65° C．65°或25° D．50°或40°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點(diǎn)A作AD⊥BA交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于點(diǎn)E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，AG平分∠DAC，給出下列結(jié)論：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正確的結(jié)論是（

）A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③4．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，．按下列步驟作圖：（1）分別以點(diǎn)A和C為圓心，以AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；（2）作射線AD，并在射線AD上截??；（3）連接CE，設(shè)CE的中點(diǎn)為F，連接BF．則BF的長為（

）A． B． C． D．5．如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．6．如圖，直線是中邊的垂直平分線，點(diǎn)是直線上的一動點(diǎn)．若，，，則周長的最小值是（

）A．9 B．10 C．10.5 D．117．如圖，將紙片沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的大小為A．44° B．41° C．88° D．82°8．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動點(diǎn)，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°9．如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C，則線段長為（

）A． B． C． D．10．如圖，在直角三角形中，，的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交的延長線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④二、填空題11．a(chǎn)，b，c為直角三角形的三邊，且c為斜邊，h為斜邊上的高．下列說法中：①能組成三角形；②能組成三角形；③c+h，a+b，h能組成直角三角形；④能組成直角三角形；正確的序號是_________．12．如圖，過邊長為2的等邊的邊上一點(diǎn)，作于點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，當(dāng)時，連接交邊于點(diǎn)，則的長為______.13．在直角坐標(biāo)系中，已知，在的邊上取兩點(diǎn)(點(diǎn)是不同于點(diǎn)的點(diǎn))，若以為頂點(diǎn)的三角形與全等，則符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為________．14．如圖，△ACE中，AC＝AE，延長EC至點(diǎn)B，BD⊥AE交EA的延長線于點(diǎn)D，若∠BAD＝∠CAE，AB＝6，AE＝2，則AD的長為________.15．如圖，在中，平分，則______．16．如圖，長方形中，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)恰好落在的垂直平分線上（直線也是的垂直平分線），線段的長為___________．17．如圖，在長方形中，，，點(diǎn)在上，連接．當(dāng)時，的長為___________；在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的最小值為___________．18．如圖：在中，，，，是的角平分線．（1）則______；（2）若點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，從點(diǎn)以每秒的速度向運(yùn)動______秒鐘后是直角三角形．三、解答題19．如圖，點(diǎn)P是的外角的平分線上的一點(diǎn)，垂直平分，，求證：．20．在等腰直角中，，P是線段上一點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接，延長至點(diǎn)Q，使得，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．已知：在中，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在上，且點(diǎn)為與邊垂直平分線的交點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，若，，求的面積？22．已知：如圖，在中，，于點(diǎn)，是上的一動點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．(1)求證：．(2)如圖1，求證：．(3)如圖2，如果，，，當(dāng)正好平分時，直接寫出的面積為___________．23．如圖，在中，，，，過點(diǎn)作交延長線于，若是的倍．(1)求證：；(2)探究和的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)求出的值（用含的式子表示）．24．已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)，分別是軸負(fù)半軸和軸正半軸上的點(diǎn)，連接，，．如圖①，若，，且，，在同一條直線上，求的值；如圖②，當(dāng)，時，求的值；如圖③，點(diǎn)、、在一條直線上，點(diǎn)是上一點(diǎn)，．若，直接寫出的值為______．參考答案1．C【分析】在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=40°，討論：當(dāng)BD在ABC內(nèi)部時，如圖1，先計算出∠BAD=50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出∠ACB；當(dāng)BD在△ABC外部時，如圖2，先計算出∠BAD=50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出∠ACB.解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=40°，當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時，如圖1，∵BD是高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-50°)=65°；當(dāng)BD在△ABC外部時，如圖2，∵BD是高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAD=∠ABC+∠ACB,∴∠ACB=∠BAD=25°，綜上，這個等腰三角形底角的度數(shù)為65°或25°.故選：C.【點(diǎn)撥】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題中注意討論思想的運(yùn)用，這是解此題的關(guān)鍵.2．B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得的長，再求出的長，即可確定的長．解：，，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，得，或（舍去），，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】①根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD＝∠C；②再根據(jù)等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；③只有∠C＝30°時∠EBC＝∠C；④根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AG⊥EF．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C＋∠ABC＝90°，∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正確；∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE＋∠AEF＝90°，∠CBE＋∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（對頂角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正確；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°時∠EBC＝∠C，故③錯誤；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)作圖可知，為等邊三角形，再結(jié)合可計算，即可判斷，然后在和中，由勾股定理依次計算CE、BF的長即可．解：如下圖，連接CD，∵C為線段AB的中點(diǎn)，，∴，∵以點(diǎn)A和C為圓心，以AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴在中，，，，∵F為CE的中點(diǎn)，∴，∴在中，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，理解題意并綜合運(yùn)用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識．6．A【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，所以周長.解：∵直線m是中邊的垂直平分線,∴∴周長∵兩點(diǎn)之間線段最短∴∴的周長∵，∴周長最小為故選：A【點(diǎn)撥】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短.做本題的關(guān)鍵是能得出，做此類題的關(guān)鍵在于能根據(jù)題設(shè)中的已知條件，聯(lián)系相關(guān)定理得出結(jié)論，再根據(jù)結(jié)論進(jìn)行推論．7．C【分析】由題意得，那么．如圖，連接．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得，，那么．欲求，需求．由三角形內(nèi)角和定理得．由平分，平分，得，，那么．由，得，從而解決此題．解：如圖，連接．，．平分，平分，，．．．由題意得：．．，，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、圖形折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、圖形折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．B【分析】過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，證明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三邊關(guān)系可知，，即BE+EF的值最小為，通過證明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性質(zhì)求出AE′B′即可．解：過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，如圖：此時BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，在△ABG和△AB′G中，，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，AB＝AB′，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，在△ABE′和△AB′E′中，，∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），∴∠AE′B＝AE′B′，∵AE′B′＝∠BAD+AF′E′＝25°+90°=115°，∴∠AE′B＝115°．即當(dāng)BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為115°．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是找出BE+EF取最小值時點(diǎn)E的位置．9．A【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．解：∵一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，令x=0，則y=，令y=0，則x=，則A（，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，∴AC==x，∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．10．A【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)可以判斷①是否正確；延長交于H，通過證明，，利用全等的性質(zhì)來判斷②是否正確；通過證明，利用性質(zhì)判斷③是否正確；根據(jù)同高的兩個三角形的面積比等于它們的底邊長之比，直接判斷④是否正確；從而得解．解：的角平分線相交于點(diǎn)O，，，===故①正確；延長交于H，如圖所示：，又，，，，，，，，故②正確；，，，，，，又，，，，，故③錯誤；同高的兩個三角形面積之比等于底邊長之比，，故④正確；因此正確的有：①②④；故選A．【點(diǎn)撥】此題是直角三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、同高的兩個三角形面積之比等于底邊長之比等知識，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．11．②③##③②【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行逐個分析即可．解：，，是的三邊，且，是斜邊上的高，①，不符合三角形的兩邊之和大于第三邊；∴不能組成三角形，①錯誤；②∵，；又、、能組成三角形，，；，，，組成三角形（這里明顯是最長邊）；，，能組成三角形，②正確；③，（直角三角形面積兩直角邊乘積的一半斜邊和斜邊上的高乘積的一半），，，，，，，、、能組成直角三角形；③正確；④不符合三角形的兩邊之和大于第三邊；，，不能組成直角三角形，④錯誤．正確的序號是②③．故答案為：②③．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個三角形的三邊、、滿足，那么這個三角形是直角三角形．先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，看看是否相等即可．12．1【分析】過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，根據(jù)題意可證是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一證明，根據(jù)全等三角形判定定理可證，，進(jìn)而證明，計算求值即可．解：過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，如圖，∴，，是等邊三角形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；∴，，∵，，∴，∵，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了平行線性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)，掌握全等三角形判定定理是解題關(guān)鍵．13．或或或【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，分四種情況討論，①如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，；②如圖2，由①可知，點(diǎn)位置互換，亦滿足題意，此時，，③如圖3，作的平分線交于點(diǎn)，在上截取，連接，；④如圖4，在上截取，取的中點(diǎn)，則，由得出的坐標(biāo)．解：①如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連接，此時，∵，∴是的中位線，∴，∴，②如圖2，由①可知，點(diǎn)位置互換，亦滿足題意，此時，，③如圖3，作的平分線交于點(diǎn)，在上截取，連接，此時，過點(diǎn)作，垂足為，垂足為，則，由三角形面積公式得，，即，，∴，∴點(diǎn)，④如圖4，在上截取，取的中點(diǎn)，則，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，∴，∴點(diǎn)，故答案為：或或或．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．14．2【分析】延長AD至點(diǎn)G，使得AD=DG，連接BG，即有BD垂直平分AG，則有AB=BG，∠BAD=∠BGD；再證明，則有∠GBE=∠ACE，根據(jù)AC=AE，有∠ACE=∠AEC，進(jìn)而有∠GBE=∠AEC，則BG=GE，即可求解．解：延長AD至點(diǎn)G，使得AD=DG，連接BG，如圖，∵BD⊥AG，AD=DG，∴BD垂直平分AG，∴AB=BG，∵AB=6，∴BG=6，∴∠BAD=∠BGD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠CAE=∠BGD，∴，∴∠GBE=∠ACE，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，∴∠GBE=∠AEC，∴在△GBE中，有BG=GE，∵BG=6，∴GE=6，∵AE=2，AD=DG，GD+AD+AE=GE，∴AD=2，故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、平行的判定與性質(zhì)、等角對等邊以及等邊對等角的知識，構(gòu)造輔助線BG，證明BG=GE是解答本題的關(guān)鍵．15．【分析】作出如圖的輔助線，證明，推出，，再證明是垂直平分線，利用勾股定理和面積法求得和，再求得的長，再利用面積法求得，據(jù)此求解即可．解：在上取點(diǎn)E，使，作于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G，如圖，∵平分，∴又∵，∴，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∵平分，，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵平分，∴點(diǎn)D到和邊上的距離相等，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用面積法解決問題．16．或15【分析】設(shè)直線與交于點(diǎn)，分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時，設(shè)，設(shè)；當(dāng)點(diǎn)在射線上時，設(shè)，分別利用勾股定理求解即可．解：根據(jù)題意，四邊形為長方形，直線是、的垂直平分線，則，，設(shè)直線與交于點(diǎn)，可分兩種情況討論：①如下圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，設(shè)，在中，∵，，，∴，∵，∴，∴在中，可有，即有，解得，即；②如下圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時，設(shè)，在中，∵，，，∴，∵，∴，∴在中，可有，即有，解得，即．綜上所述，線段的長為或15．故答案為：或15．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、垂直平分線、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論的思想分析問題．17．

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##【分析】當(dāng)時在中，由勾股定理列出的方程便可求得；在線段下方作，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，連接，求出此時的的長度便可．解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，當(dāng)時，則，∵，∴，∴；在線段下方作，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，連接，∴，∴，當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時，的值最小，此時，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：；．【點(diǎn)撥】本題考查了長方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造的最小值．18．

6或【分析】（1）過點(diǎn)作于，利用角平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)面積法可得答案；（2）分或兩種情形，分別畫出圖形，利用勾股定理可得答案．解：（1）如圖，過點(diǎn)作于，在中，由勾股定理得，，，，是的角平分線，，設(shè)，則，解得，即，故答案為：；（2）如圖，當(dāng)時，則，，，，設(shè)秒后是直角三角形，則，在中，由勾股定理得，，解得，當(dāng)時，由（1）得，，，，，故答案為：6或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．19．見分析【分析】作于點(diǎn)H，由角平分線的性質(zhì)得，由線段的垂直平分線的性質(zhì)得，即可證明得即可．解：證明：如圖：作于點(diǎn)H，∵是的平分線，，∴，∵垂直平分，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20．(1)見分析 (2) (3)，證明見分析【分析】（1）由直角三角形兩個銳角互余即可得出，，從而得出；（2）連接，．由題意易得出為線段的垂直平分線，即得出，，，從而由勾股定理可求出．進(jìn)而易證，得出，再根據(jù)勾股定理可求出．又易證，即得出，從而由求解即可；（3）作于點(diǎn)E，易證，即得出．再根據(jù)是等腰直角三角形，即得出，從而得出．解：（1）∵，，∴，，∴；（2）如圖，連接，．∵，，∴為線段的垂直平分線，∴，，，∴．又∵，，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴；（3）．證明如下，如圖，作于點(diǎn)E，由（2）可知，又∵，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．(1)見詳解 (2)的面積為5【分析】（1）連接、，由題意易得，則有，，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和及角的和差關(guān)系可求證；（2）作，使，點(diǎn)M在直線上，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，則，先根據(jù)得到和，再結(jié)合（1）的結(jié)論證明，進(jìn)一步證明以及，最后根據(jù)“”證明，然后問題可求解．解：（1）證明：連接、，如圖所示：∵點(diǎn)為與邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，，在中，，∴，即，∴，∵，∴；（2）解：作，使，點(diǎn)M在直線上，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，則，如圖所示：∵，∴，∴，由（1）得，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22．(1)見分析 (2)見分析 (3)8【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件先證明，得出，證明，根據(jù)，得出，得出，即可證明結(jié)論；（3）過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，連接，