第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球與簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義．2．駕馭圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征．(數(shù)學(xué)抽象)3．了解簡(jiǎn)潔組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征．(直觀想象)如圖，視察下列實(shí)物圖．問(wèn)題：(1)上述三個(gè)實(shí)物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？(2)上述實(shí)物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉(zhuǎn)而成？(3)如何形成上述幾何體的曲面？學(xué)問(wèn)點(diǎn)1圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球圖形結(jié)構(gòu)特征圖形表示圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O′O圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐SO圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)圓臺(tái)也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺(tái)記作圓臺(tái)O′O球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球球常用表示球心的字母來(lái)表示，如圖中的球可表示為球O1．如圖，在圓柱中任取不重合的兩條母線，如AB，CD，它們有何關(guān)系？過(guò)它們的截面是怎樣的圖形？AC是母線嗎？[提示]AB綉CD，截面ABCD是矩形．AC不是母線．2．直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐嗎？[提示]不愿定．必需以直角邊所在直線為軸．若以斜邊所在直線為軸，形成的幾何體是同底面的兩個(gè)圓錐組成的．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡(jiǎn)潔組合體的定義：由簡(jiǎn)潔幾何體組合而成的幾何體．(2)簡(jiǎn)潔組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：簡(jiǎn)潔組合體由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)球能由圓面旋轉(zhuǎn)而成． ()(2)用一個(gè)平面截圓錐，截得的兩部分分別是圓錐和圓臺(tái)． ()[答案](1)√(2)×2．如圖，第一排中的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，能形成其次排中的某個(gè)幾何體，請(qǐng)把第一、其次排中相應(yīng)的圖形用線連起來(lái)．ABCD[答案]①—C②—B③—D④—A類(lèi)型1旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓B．圓柱的軸截面是過(guò)母線的截面中面積最大的一個(gè)C．在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線D．用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面BD[A錯(cuò)誤，它們的底面為圓面；C錯(cuò)誤，如圖；BD正確．]推斷簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法(1)明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成．(2)明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．圓柱的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)矩形B．圓錐過(guò)軸的截面是一個(gè)等腰三角形C．圓臺(tái)的隨意兩條母線的延長(zhǎng)線可能相交，也可能不相交D．夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體AB[C錯(cuò)誤，圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)；D錯(cuò)誤，夾在圓柱兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體．故選AB．]類(lèi)型2簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征【例2】(源自湘教版教材)如圖，將直角梯形ABCD繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是由哪些簡(jiǎn)潔幾何體組成的？[解]將直角梯形ABCD繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后，得到的幾何體如圖所示，這個(gè)幾何體是由圓柱和圓錐這兩個(gè)簡(jiǎn)潔幾何體組成的．推斷組合體構(gòu)成的方法(1)判定實(shí)物圖是由哪些簡(jiǎn)潔幾何體組成的問(wèn)題時(shí)，首先要嫻熟駕馭簡(jiǎn)潔幾何體的結(jié)構(gòu)特征；其次要擅長(zhǎng)將困難的組合體“分割”為幾個(gè)簡(jiǎn)潔的幾何體．(2)組合體是由簡(jiǎn)潔幾何體拼接或截去一部分構(gòu)成的．要細(xì)致視察組合體的構(gòu)成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，先分割，后驗(yàn)證．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征是()A．一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱臺(tái)中挖去一個(gè)圓柱B[一個(gè)六棱柱挖去一個(gè)等高的圓柱，選B．]類(lèi)型3旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問(wèn)題【例3】一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2，求：(1)圓臺(tái)的高；(2)將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線長(zhǎng)．[解](1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm．又由題意知腰長(zhǎng)為12cm，所以高AM＝122-5-2(2)如圖所示，延長(zhǎng)BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由△SAO1∽△SBO，可得l-12l解得l＝20(cm)．即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm．解決旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問(wèn)題的方法策略(1)巧用軸截面實(shí)現(xiàn)空間圖形平面化：旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)底面半徑、母線、高以及有關(guān)球的問(wèn)題的計(jì)算，可巧用軸截面求解，即將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相像關(guān)系建立高、母線長(zhǎng)、底面圓的半徑長(zhǎng)的等量關(guān)系，求解即可．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．用一個(gè)平面截半徑為R的球，截面到球心的距離為R2，則截面圓面積為_(kāi)_______34πR2[如圖，O為球心，O1為截面圓的圓心，AB為截面圓的直徑，則OA＝ROO1＝R2∴AO1＝OA2-O∴截面圓面積S＝π32R2＝341．下面幾何體的截面確定是圓面的是()A．圓臺(tái)B．球C．圓柱D．棱柱B[截面可以從各個(gè)不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．]2．如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是()A．左邊是三棱臺(tái)，右邊是圓柱B．左邊是三棱柱，右邊是圓柱C．左邊是三棱臺(tái)，右邊是長(zhǎng)方體D．左邊是三棱柱，右邊是長(zhǎng)方體D[依據(jù)三棱柱和長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，可知此組合體左邊是三棱柱，右邊是長(zhǎng)方體．]3．(多選)下列命題中正確的是()A．過(guò)球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑B．母線長(zhǎng)相等的不同圓錐的軸截面的面積相等C．圓臺(tái)中全部平行于底面的截面都是圓面D．圓錐全部的軸截面都是全等的等腰三角形[答案]ACD4．一圓錐的母線長(zhǎng)為6cm，底面半徑為3cm，把該圓錐截一圓臺(tái)，截得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4cm，則圓臺(tái)的另一底面半徑為_(kāi)_______cm．1[作軸截面如圖，則r3＝6-46＝1回顧本節(jié)學(xué)問(wèn)，自主完成以下問(wèn)題：1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征各有哪些？[提示](1)圓柱：①旋轉(zhuǎn)圖形為矩形；②旋轉(zhuǎn)軸為矩形的一邊；③由旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體．(2)圓錐：①旋轉(zhuǎn)圖形為直角三角形；②旋轉(zhuǎn)軸為一條直角邊；③由旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體．(3)圓臺(tái)：①所截幾何體為圓錐；②截面與底面平行．圓臺(tái)也可看作是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成的．(4)球：①旋轉(zhuǎn)圖形為半圓；②旋轉(zhuǎn)軸為直徑；③由半圓面旋轉(zhuǎn)一四周成的幾何體．2．處理臺(tái)體問(wèn)題常接受什么思想？處理組合體問(wèn)題常接受什么思想？[提示]處理臺(tái)體問(wèn)題常接受還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想，處理組合體問(wèn)題常接受分割思想．3．簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體的軸截面有什么作用？應(yīng)用其解題體現(xiàn)了什么思想？[提示](1)簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量．(2)在軸截面中解決簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．課時(shí)分層作業(yè)(二十二)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球與簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征一、選擇題1．(多選)下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是()ABCD[答案]ABC2．用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐，得到的圖形可能是()A．矩形 B．圓形C．梯形 D．正方形B[因?yàn)閳A錐的側(cè)面是曲面，底面是圓，所以用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐，得到的圖形可能是圓形，不行能是矩形，梯形，正方形．故選B．]3．(2024·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面綻開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A．2 B．22C．4 D．42B[設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為2，所以2π×2＝πl(wèi)，解得l＝22，故選B．]4．上、下底面面積分別為36π和49π，母線長(zhǎng)為5的圓臺(tái)，其兩底面之間的距離為()A．4 B．32C．23 D．26D[圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l、高h(yuǎn)和上、下兩底面圓的半徑r，R滿(mǎn)意關(guān)系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝26，即兩底面之間的距離為26．]5．(多選)用一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是()A．2 B．2πC．2π D．CD[如圖所示，設(shè)底面半徑為r，若矩形的長(zhǎng)恰好為卷成圓柱底面的周長(zhǎng)，則2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的寬恰好為卷成圓柱的底面周長(zhǎng)，則2πr＝4，所以r＝2π．]二、填空題6．如圖是一個(gè)幾何體的表面綻開(kāi)圖形，則這個(gè)幾何體是________．圓柱[一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)圓折疊后，能?chē)傻膸缀误w是圓柱．]7．一個(gè)半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm，則截面圓面積為_(kāi)_______cm2．9π[設(shè)截面圓半徑為rcm，則r2＋42＝52，所以r＝3，所以截面圓面積為9πcm2．]8．若一個(gè)圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的高為_(kāi)_______．3[設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則4π＝πl(wèi)2，所以母線長(zhǎng)為l＝2，又半圓的弧長(zhǎng)為2π，圓錐的底面的周長(zhǎng)為2πr＝2π，所以底面圓半徑r＝1，所以該圓錐的高為h＝l2-r2＝三、解答題9．已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同側(cè)，且距離等于1，求這個(gè)球的半徑．[解]如圖，設(shè)這兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1，r2，球心到截面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，則πr12＝5π，πr又∵R2＝r12+d12＝r2即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，又d1－d2＝1，∴d1+∴R＝r12+d1即球的半徑等于3．10．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面半徑的比是1∶4，且該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9，則截去的小圓錐的母線長(zhǎng)為()A．94B．3C．12D．B[設(shè)截去的小圓錐的母線長(zhǎng)為y，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)，得yy+9＝14，解得y＝3．11．圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體，則它的側(cè)面綻開(kāi)圖是()ABCDD[結(jié)合幾何體的實(shí)物圖，從截面最低點(diǎn)起先高度增加緩慢，然后漸漸變快，最終增加漸漸變慢，不是均衡增加的，所以A、B、C錯(cuò)誤．]12．(多選)如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是()ABCDAD[一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐后，剩下的幾何體被一個(gè)豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分．]13．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______cm．13[如圖，O′A＝3cm，OB＝8cm，OO′＝12cm，O′A∥OB，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C．在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝122+5214．一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在圓錐內(nèi)部有一個(gè)高為xcm的內(nèi)接圓柱．(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？[解](1)設(shè)圓柱的底面半徑為rcm，則由r2＝6-x6，得所以S＝2r·x＝－23x2＋4x(0<x<6)(2)因?yàn)镾＝－23x2＋4x＝－23(x－3)2＋所以當(dāng)x＝3時(shí)，S取得最大值，Smax＝6cm2．15．如圖所示，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm，10cm，母線長(zhǎng)AB＝20cm，從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求：(1)繩子的最短長(zhǎng)度；(2)在繩子最