數(shù)學題庫

附加題

矩陣

1（2010南通二模）

cosa-sincr

若點4（2,2）在矩陣M=對應變換的作用下得到的點為8（—2,2）,

sinacosa

求矩陣M的逆矩陣.

2-22cosa-2sina-2

解:M,即4

222sina+2cosa2

分

cosa-sina=-l,解得cosa=0,

所以6

sina+cosa=1.sina=I.

分

0-1100

所以A/=.由=,得AT'10

1001-10

分

0-101

另解:M=1W0,M-'=

10-10

0-1cos90°-sin90°

另解:M=，看作繞原點0逆時針旋轉90。旋轉變換矩陣,

10sin90°cos90°

cos(-90°)-sin(-90°)01

于是A/-=

sin(-90°)cos(-90°)-10

2（2010蘇錫常二模）

31

己知矩陣工=,求）的特征值4,辦及對應的特征向量囚,4.

0-1

解：矩陣，的特征多項式為

4-3—1

/(4)==(2-3)(2+1),2分

02+1

令/（團=0,得到矩陣4的特征值為沏=3,22=-1.4分

當沏=3時，由11『]=3巴，得=3x,

.?.y=0,取x=l,得到屬于特征值3

L°川卜」卜」f=3y

的一個特征向量/=:；......................7分

3x+J=f,取x=[,則”一明得到屬于特征

當幾2=-1時，由

弋H-y=-y

值—1的一個特征向量2="..........................................10分

|_-4

3(2010蘇北四市二模)

一20-

已知矩陣乂=]],求矩陣M的特征值及其相應的特征向量

矩陣M的特征多項式為/(九)==/12-32+2,...............2分

-1A—1

令/(乃=0,解得4=1,4=2,........................................................4分

(2-2)-x+0-y=0,

將4=1代入二元一次方程組《，解得x=0,……6分

[-x+(2-l)^=0,

「。]

所以矩陣M屬于特征值1的一個特征向量為]；..................8分

同理，矩陣M屬于特征值2的一個特征向量為J..............................10分.

極坐標與參數(shù)方程

1(2010南通二模)

已知極坐標系的極點。與直角坐標系的原點重合，極軸與X軸的正半軸重合，曲線Cl：

"A

IT/—X―

pcos(6?+-)=20與曲線C2：\~'(/GR)交于/、8兩點.求證：。4_108.

4[y=4/

解：曲線G的直角坐標方程x-V=4,曲線G的直角坐標方程是拋物線V=4x,…4

分

設4%,必)，B(x2,y2),將這兩個方程聯(lián)立，消去x,

得V-4尸16=0=M%=-16,必+為=4?.....................................................6

分

4

xtx2+yiy2=（必+4）（^2+）+^1^2=2了小2+4（乃+^2）+16=0........8

分

：.040B=0,：.OA1OB

2（2010蘇錫常二模）

.已知曲線C的方程/=3X2-2Y,設y=fx,/為參數(shù)，求曲線C的參數(shù)方程.解：將y=/x

代入y2=3x2-2x3,

得t2x2=3x2-2d,即2x3=（3-r2）%2.........................4分

當x-0時，y=0；

當xw0時，x=-—................................6分

2

AWy=—~~—................................8分

???原點（0,0）也滿足〈乙」

3t-t3

y=^~

3"

x=----,

.?.曲線C的參數(shù)方程為2a（f為參數(shù)）.......................10分

3t-t）

尸了

3（2010蘇北四市二模）

rr

在極坐標系中，直線/的極坐標方程為6=：（夕eR）,以極點為原點，極軸為x軸的正

半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為1'（a為參數(shù)），求直線/與

y=1+cos2a

曲線C的交點尸的直角坐標.

因為直線/的極坐標方程為e=—（0eR）

所以直線/的普通方程為y=...................................3分

又因為曲線C的參數(shù)方程為＜'（a為參數(shù)）

y=1+cos2a

所以曲線C的直角坐標方程為y=1x2（x6[-2,2]）,.................6分

聯(lián)立解方程組得（x=0'或!》=2百，，.................................8分

j=。，[y=6

-=2行

根據(jù)x的范圍應舍去(""故尸點的直角坐標為(0,0)..........10分

y=6

隨機變量的概率

1(2010南通二模)

一個暗箱中有形狀和大小完全相同的3只白球與2只黑球，每次從中取出一只球，取到紅

球得2分，取到黑球得3分.甲從暗箱中有放回地依次取出3只球.

(1)寫出甲總得分4的分布列；

(2)求甲總得分^的期望E(4).

解：(1)甲總得分情況有6分，7分，8分，9分四種可能，記J為甲總得分.

分

(2)甲總得分f的期望

z?/r、427r54o36836

E)=6x留+7、后+3x—+9x—=y.

2(2010蘇錫常二模)

一個袋中裝有黑球，白球和紅球共個，這些球除顏色外完全相同.已知從袋

中任意摸出1個球，得到黑球的概率是現(xiàn)從袋中任意摸出2個球.

(1)若”=15,且摸出的2個球中至少有1個白球的概率是，，設J表示摸出的2個球

中紅球的個數(shù)，求隨機變量g的概率分布及數(shù)學期望；

(2)當〃取何值時，摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，最大概率為多少？

解：(1)設袋中黑球的個數(shù)為x(個)，記“從袋中任意摸出一個球，得到黑球”為事件

Y2

貝I」尸(4)=二二—.

155

，x=6........................................1分

設袋中白球的個數(shù)為y(個)，記”從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”

為事件8,則P(8)=l-S務=3,

Gs7

-29^+120=0,j，=5或y=24(舍).

,紅球的個數(shù)為15-6-5=4(個)...........................3分

.??隨機變量&的取值為0,1,2,分布列是

012

11442

P

2110535

4的數(shù)學期望EJ=UX0+'X1+NX2=9.........6分

2110535105

2

(2)設袋中有黑球z個，則Z=M〃(〃=5/0,15J“).

設“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個黑球”為事件C,

C；，，，，

3(2010蘇北四市二模)

7

當〃=5時，P(C)最大，最大值為一.

10

某電視臺綜藝頻道組織的闖關游戲，游戲規(guī)定前兩關至少過一關才有資格闖第三關，闖關者

闖第一關成功得3分，闖第二關成功得3分，闖第三關成功得4分.現(xiàn)有一位參加游戲者單

獨闖第一關、第二關、第三關成功的概率分別為1、記該參加者闖三關所得總分為

234

(1)求該參加者有資格闖第三關的概率；

(2)求J的分布列和數(shù)學期望.

⑴設該參加者單獨闖第一關、第二關、第三關成功的概率分別為乃=；、/J2=g、P3=：，

該參加者有資格闖第三關為事件/.

2

貝"(/)=回(［一02)+(1-口也+00=-：.........................4分

(2)由題意可知，J的可能取值為0、3、6、7、10,

PC=0)=(l—2)(1—0)=g，

113

PC=3)=p?—2)Q一。3)+(1一R)。2(1一23)=：+￡=［，

4oo

尸（4=6）="/?式1一。3）=°，

o

1

尸（4=7）="（1-。2）23+（1一。1）。2。3=4+三-

8P^=[0]=p]p2pi=—,

所以g的分布列為

4036710

23]_1

p

388824

?8分

所以g的數(shù)學期望延=0+3亭6*7、飆0吐W

10分

空間坐標系

1（2010蘇錫常二模）

如圖，在直三棱柱ABC-440中，NBAC=90°,AB=AC=a,/4=6,點E,F分別在棱BB,,

cq上，且BE=1B%C,F=-CCX.設;1=2.

33。

（1）當;1=3時，求異面直線NE與4尸所成角的大小;

（2）當平面NEF_L平面4E尸時，求/I的值.

.解：建立如圖所示的空間直角坐標系/-砂z.

(1)設a-\,則4B=AC=1,44]=3,各點的坐標為

4(0,0,0),￡(1,0,1),4(0,0,3),尸(0,1,2).

荏=(1,0,1),乖=(0,1,-1).................2分

[詞=]麗=立AE-A^F=-l,

./---AE-A.F—11

?-cos^^=p^[=7^=-2

二向量直和語所成的角為120°,

（第22題圖）

.??異面直線4后與4尸所成角為60。.…4分

(2)VE(a,0,-),尸(0.絲)，

33

一b—,2b

：.AE=(a,0,-),AF=(0,。,——).

33

設平面力口的法向量為〃i(x,y,z),

則“?荏=0,且〃「萬=0.

BP47X+—=0,且"+=0.

3'3

:..=(——,1)=(-—,1)是平面AEF的一個法向量......6分

3。3a33

同理，〃,=(絲,2,1)=(2,2,1)是平面4￡尸的一個法向量......8分

3。3。33

;平面4￡尸_1平面4跖，

..2*2匕?,

??n,'tt-,=0n.??----------F1=0.

1-99

解得，a=2.

2

3

當平面4E尸《1平面4Eb時、A=-...................10分

數(shù)學歸納法

1(2010南通二模)

設數(shù)列{%}滿足。1=4,an+\=a?-Va\,〃={awR?wN*,IqjW2}.

(1)當。金(―°°,—2)時，求證：a

(2)當°C(0,-］時，求證：

4

(3)當?！?-,+8)時，判斷元素。與集合"的關系，并證明你的結論.

4

證明：(1)如果a<-2,則|q|=lal>2,a史M...............................2

分

(2)當0<awL時，\a\^-(V〃21).

4112

事實上，()當〃=1時,，同=同W；.

設〃=〃-1時成立(左22為某整數(shù))，

則()對〃=.,|4|W|4_『+aW出+卜;.

由歸納假設，對任意〃￡N*,l%IW±V2,所以.................6

2

分

(3)當時，a^M,證明如下：

4

19

對于任意〃21,an>a>-,且a“+]=a；+a.

對于任意〃21,a“+1_a“=<7：_q,+a=(q,_g)2+<7_；》<7_；,

貝lJa“+i_勺?

所以，?！?1-0=。用-02〃(〃-；)?

2—Z71

當〃〉---j-時，％+]2八(a—)+Q>2—(7+Q=2,即?！?]>2,因此ueM.

a—

4

................................10分

直線與拋物線

1(2010蘇北四市二模)

如圖，已知拋物線A/:x2=4々(p>0)的準線為/,N為/上的一個動點，過點N作拋物

線M的兩條切線，切點分別為4,B,再分別過4,8兩點作/的垂線，垂足分別為C,

D.

(1)求證：直線Z8必經(jīng)過歹軸上的一個定點0,并寫出點0的坐標；

(2)若h4CN,\BDN,A4NS的面積依次構成等差數(shù)列，求此時點N的坐標.

解法一：(1)因為拋物線的準線/的方程為歹=-°,所以可設點N,4,3的坐標分別為

2

（m,-p）,（再,乂）,（和y2），則X；=4pyl,Xj=4勿2，由x=4py,得少

互+p

二，于是小吆=工即幺一=

求導數(shù)得_/

2PXj-7772pxx-m

化簡得%12-2加/-4P2=0,

2

同理可得x；-2mx2-4p=0,

所以X]和％是關于x的方程/一2加工一4P2=0

兩個實數(shù)根，所以為2=+4p2,且苞羽=-4.2.

在直線N8的方程歹一必=』二區(qū)(x—玉)中，

x2—x1

令x=0,

得y=叢二乂-X%=="尼區(qū)一%)=一/=0為定值,

x2-x,x2-x,4P(%一須)4P

所以直線Z8必經(jīng)過歹軸上的一個定點0(0,p),即拋物線的焦點..........5分

(2)111(1)知芯+々=2加，所以N為線段CD的中點，取線段Z8的中點E,

因為。是拋物線的焦點，所以NQ=/C,BQ=BD,所以4C+BD=4B,

所以sMNB=SMNE+S^NE=；EN,CN+；EN?DN=；EN?(CN+DN)

AC+BD…AB-CN

=EN-CN=--------C7V=-------

22

▽由“AC-CNAQ-CNcBDDNJBQ-CN

又因為S^CN---2，S\BDN--2，

所以AQ；N,BQCNAB；N成等差數(shù)列,即幺。BQ>成等差數(shù)列，

即0—石,x2-0,%2-占成等差數(shù)列，所以4-2%=2.，x2--2xt,

所以玉々=-2x；=(m+yjm2+4/72)(m-y]m2+4p2)=-4p?,玉=±V2p,

XA2

X1=0p時，x2--2y/lp,m-'~^'-P,

玉=一夜;?時，x2=242p,所以所求點N的坐標為(土告p,-p).

...................................................10分

解法二：(1)因為已知拋物線的準線/的方程為丁=-2，所以可設點N,A,8的坐標分別

為(m,-p),為,乂),(