第1講第1章§1.1.1柱、錐、臺(tái)、球的構(gòu)造特征

Q學(xué)問要點(diǎn):

結(jié)構(gòu)特征圖例

（1）兩底面互相平行；（2）側(cè)面的母

（1）兩底面互相平行，

棱線平行于圓柱的軸；

其余各面都是平行四邊圓

柱（3）是以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)

形：柱

軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的

（2）側(cè)棱平行且相等.

兒何體.

（1）底面是多邊形，各（1）底面是圓；（2）是以直角三角形

極

側(cè)面均是三角形；幟1的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其

錐

（2）各側(cè)面有一個(gè)公共錐余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何

頂點(diǎn).體.

（1）兩底面互相平行；

棱（1）兩底面互相平行；

（2）是用一個(gè)平行于棱圓

臺(tái)（2）是用一個(gè)平行于圓錐底面的平面

錐底面的平面去截棱錐，臺(tái)

去截圓錐，底面和截面之間的局部.

底面和截面之間的局部.

（1）球心到球面上各點(diǎn)的間隔相等；（2）是以半圓的直徑所在直線為

球

旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.

1.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.多面體至少有四個(gè)面B.九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形

C.長方體、正方體都是棱柱D.三棱柱的側(cè)面為三角形答案：D

2.一個(gè)棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，全部的側(cè)棱長的和為60cm,則每條側(cè)棱長為cm.答案：12

3.在本節(jié)我們學(xué)過的常見幾何體中，假如用一個(gè)平面去截幾何體，假如截面是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是.

答案：棱錐、棱柱、棱臺(tái)、圓錐

第2講§1.1.2簡潔組合體的構(gòu)造特征

0例題精講：【例1】在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形最多可有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)選D.

【例2】已知球的外切圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為r,R,求球的半徑.

解：圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，及球的大圓相切，由此得梯形腰長為R+r,梯形的高即球的直徑為+A）?—（大-/?）」=2J無,

所以，球的半徑為疝.

第3講§1.2.2空間幾何體的三視圖

K例題精講：［例I］畫出下列各幾何體的三視圖:

【例2】畫出下列三視圖所表示的幾何體.

解：

【例3】如圖，圖（1）

是常見的六角螺帽，

圖（2）是一個(gè)機(jī)器零

件（單位：cm）,所

給的方向?yàn)槲矬w的正前方.試分別畫出它們的三視圖.

I行巧◎4講§1.2.3空間幾何體的直觀圖

Q學(xué)向正視圖MtetaMWRI要點(diǎn)：“直觀圖”最常用的畫法是斜二測(cè)

畫法，⑷由其規(guī)則能畫出程度放置的直觀圖，其

本質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置的畫法.根本步驟如下：（1）建系：在已知圖形中取互相垂直的X軸和y軸，得到直角坐標(biāo)系xoy,

直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系x'o'y',兩軸夾角為45°.（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸或），軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于

/或V釉的線段.（3）長度規(guī)則：己知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于），軸的線段，長度為原來的一半.

第5講§1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的外表積

口學(xué)習(xí)目的：理解棱柱、棱錐、臺(tái)的外表積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）；能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的外表積進(jìn)展計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問

題.

口學(xué)問要點(diǎn):

外表積相關(guān)公式外表積相關(guān)公式

，全=S惻+2s底，

棱柱圓柱S全=2%產(chǎn)+2%汕（r：底面半徑，ht高）

其中Sft?]=/側(cè)棱長直截面周長

棱錐s全=s側(cè)+S底圓錐=7ir+7irl（r：底面半徑，h母線長）

S全=乃（尸:+產(chǎn)+尸/_|_rl）

棱臺(tái)s全=s側(cè)+S上底+S下底圓臺(tái)

（r：下底半徑，尸：上底半徑，/：母線長）

N例題精講:

29

【例1】已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長.解：/=三

7

【例2】一個(gè)正三棱柱的三視圖如右圖所示，求這個(gè)正三棱柱的外表積.

解：S=S+2S=3X4X2+2X-^X4X2V3=24+8>/3（7wn2）.

Mftm

第6講?§1.3.1柱體'錐體'臺(tái)體的體積

口學(xué)問要點(diǎn)：1.體積公式：

體積公式體積公式

棱柱v=s底%圓柱V=7irh

棱錐圓錐V=-7rr2h

3J氏E3

V=^(S'+4s7S+s)hv=；%（〃*+尸尸+/注

棱臺(tái)圓臺(tái)

2.柱、椎、臺(tái)之間，可以看成?個(gè)臺(tái)體進(jìn)展改變，當(dāng)臺(tái)體的上底面漸漸收縮為?個(gè)點(diǎn)時(shí)，它就成了錐體；當(dāng)臺(tái)體的上底面漸漸擴(kuò)展

到及下底面全等時(shí)，它就成了柱體.因此體積會(huì)有以下的關(guān)系：

Q例題精講：【例1】一個(gè)長方體的相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2、3、6,則長方體的體積是—.解：

設(shè)長方體的長寬高分別為a,A,c,則，力=2,ac=3,bc=6,三式相乘得=36.所以，長方體的體積為6.

[例2]一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影局部裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容

器，試建立容器的容積V及x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域.

解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為XCTO.

在RtXEOF中，EF=5cm,OF=—xcm,所以EO=,于是

2

V=-x2.依題意函數(shù)的定義域?yàn)閧x[0<x<10}.

3

【例3】一個(gè)無蓋的圓柱形容器的底面半徑為石，母線長為6,現(xiàn)將該容器盛滿

然后平穩(wěn)緩慢地將容器傾斜讓水流出，當(dāng)容器中的水是原來的3時(shí)，圓柱的母線及程度面所成的角的大小為

6

解：容器中水的體積為V=萬，/=%x（、Q）2X6=18萬.流出水的體積為V'=（1-*）V=3不，如圖，

6

/'=%=3*=2.設(shè)圓柱的母線及程度面所成的角為a,則tana=2①=G，解得

仃%x（6）22

a=60°.

第7講§1.3.2球的體積和外表積

：1.外表積：S球面=477?2（氏球的半徑）.2.體積：/面=g7R’.

!□學(xué)問要點(diǎn)

K例題精講:【例2】外表積為324萬的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個(gè)正四棱柱的外表積.

解：設(shè)球半徑為R,正四棱柱底面邊長為則作軸截面如圖，AA'=\4,AC=又T4萬2=324亓，二R=9,

AC=4AC°-CC'2=8&,a=8,???%=64x2+32xl4=576.

【例3】設(shè)4、B、C、。是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，AB=BC=CD=DA=3,球心到該平面的間隔是球半徑的一半，則球的

體積是（）.A.8瓜兀B.（A限兀C.24亞冗D.720兀

【解】由已知可得，A、B、C、。在球的一個(gè)小圓上???A8=BC=CD=D4=3,/.四邊形ABCD為正方形....小圓半徑廠=辿

2

由2=產(chǎn)+外得R2=（￥）2+（5）2,解得R=J￡.?.球的體積丫=3萬/?，=；乃（#）3=8jdl.所以選A.

第8講§2.1.1平面

0學(xué)問要點(diǎn)：

1.點(diǎn)A在直線上，記作Awa；點(diǎn)A在平面々內(nèi)，記作Aea；直線。在平面a內(nèi)，記作aua.

2.平面根本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號(hào)語言”、“圖形語言”列表如下：

公理1公理2公理3

圖形/+/

語言ZZZZ7

假如一條直線上的兩點(diǎn)在過不在一條直線上的三點(diǎn)，有假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公

文字

一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線且只有一個(gè)平面.共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該

語言

在此平面內(nèi).點(diǎn)的公共直線.

Awl,Bel]48,。不共線=八\a[y/3=l

符號(hào)'n/uaPea.PeJ3=>\/

語言A,3,C確定平面a

3.公理2的三條推論：

推論1經(jīng)過,表直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面;

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

0例題精講：

【例1】假如一條直線及兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面？

【例2】空間四邊形A8C。中，E、F、G、H分別是48、BC、CD、0A上的點(diǎn)，己知EF和GH交于P點(diǎn)，求證：EF、

GH、AC三線共點(diǎn).

解：,:PGEF,EFu面ABC,面ABC.同理Pe面AOC：尸在面ABC及面AOC「.

的交線上，又'."^ABCn^ADC=AC,：.PeAC,即EF、HG、AC三線共點(diǎn)./R3/

【例3】求證：兩兩相交且不過同一個(gè)點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).^/

已知：直線AB,8C,C4兩兩相交，交點(diǎn)分別為A,8,C,求證：直線A8,BC,C4共面.

證明：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A,B,C三點(diǎn)可以確定平面a.因?yàn)锳da,fiea,所以ABC

a.同理8CUa,ACUa.所以AB,BC,CA三直線共面.

［例4］在正方體ABC?！狝gGR中，

（1）AA及CG是否在同一平面內(nèi)？（2）點(diǎn)B，G，O是否在同一平面內(nèi)？

（3）畫出平面AG及平面Bq。的交線，平面ACR及平面B￡>G的交線.

解：（1）在正方體ABCO-A耳G.中，AA〃CG，；.由公理2的推論可知，4A及CG

可確定平面4G，?,?Ad及CG在同一平面內(nèi).

（2）?.,點(diǎn)B，G，O不共線，由公理3可知，點(diǎn)氏G，?？纱_定平面BG。，點(diǎn)B，G，O在同一平面內(nèi).

（3）VACC\BD=O,ACnOG=E,二點(diǎn)Oe平面Ag，Oe平面8C￡>「又Re平面A￡,G€平面8CQ,

平面AC,Pl平面BC］D=OC］,同理平面AC"PI平面BDCt=OE.

第9講§2.1.2空間中直線及直線之間的位置關(guān)系

0學(xué)問要點(diǎn)：

1HH擊獨(dú)［相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

1.空間兩條直線的位置關(guān)系：'［平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

.異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

2.已知兩條異面直線。力，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線?！?。力‘〃"把所成的銳角（或直角）叫異面直線a8所成

的角（或夾角）.必加所成的角的大小及點(diǎn)O的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)。通常取在異面直線的一條上；異面直線所

成的角的范圍為（0,90。］,假如兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作江求兩條異面直線所

成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)一平移一定角~計(jì)算.

0例題精講：【例1】已知異面直線。和匕所成的角為50°,P為空間肯定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且及

a、。所成角都是30°的直線有且僅有（）.

A.I條B.2條C.3條D.4條

解:過P作a'〃0b'//b,若PWa,則取a為，，若P0b,則取6為//.這時(shí)/，"相交

于P點(diǎn)，它們的兩組對(duì)頂角分別為50°和130°.記"，。'所確定的平面為6,那么在

平面B內(nèi)，不存在及"，//都成30°的直線.過點(diǎn)P及a',6'都成30°角的直線必在

平面B外，這直線在平面6的射影是"，。'所成對(duì)頂角的平分線.其中射影是50°對(duì)頂

Ai

A

角平分線的直線有兩條/和射影是130。對(duì)頂角平分線的直線不存在.故答案選B.

【例2】如圖正方體中，E、尸分別為AG和8G的中點(diǎn)，P、。分別為AC及8力、4G及EF的交

點(diǎn).（1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若4c及面。BFE交于點(diǎn)R,求證：P、。、R三點(diǎn)共線.

證明：（1）：正方體A88-A4GR中，BB1幺=?.比）=幺8Q.又「中,E、/為中點(diǎn)，/.￡F=//2

/.EF//BD,即D、B、F、E四點(diǎn)共面.（2）VQw平面AC；,Qe平面BE,Pe平面A￡,Pw平面BE,

平面4C|n平面BE=PQ.又AC|n平面BE=R,Re平面AC1,Re平面比RePQ.即P、。、R三點(diǎn)

共線.

【例3】已知直線a//b//c,直線4及a、b、c,分別相交于A、B、C,求證：a、b、c、4四線共面.

證明：因?yàn)橛晒?的推論，存在平面a,使得aua,bua.c

又因?yàn)橹本€〃及。、仄c分別相交于A、B、C,由公理1,dua.'

假設(shè)c<xa,則?？凇?口在平面a內(nèi)過點(diǎn)C作c'〃6，/

因?yàn)閎//c,則”/c',此及cCk'=C沖突.故直線cua.4d，@

綜上述，a、6、c、d四線共面.

［例4］如圖中，正方體4BCD—A/CQi，E、F分別是A。、A4的中點(diǎn).（1）求直線ABt

和CG所成的角的大?。唬?）求直線A8和EF所成的角的大小.

解：（1）如圖，連結(jié)。G,-：DCf//ABi，：.DC\和CG所成的銳角NCCQ就是A?和CG

所成的角ZCGD=45°,ABt和CG所成的角是45°.（2）如圖，連結(jié)A/G,

?/EF//AiD,ABt//DCt,：.N4DG是直線ABi和EF所成的角.：AAQG是等邊三角形,

二Z4,DCi=60°,即直線ABi和EF所成的角是60°.

第10講§2.1.3直線及平面、平面及平面位置關(guān)系

0學(xué)問要點(diǎn)：1.直線及平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（2）直線及平面相交（有且只有一個(gè)

公共點(diǎn)）；（3）直線及平面平行（沒有公共點(diǎn)）.分別記作：lua；/fla=P；I//a.

2.兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）；相交（有一條公共直線）.分別記作a〃￡；a［｝/3=l.

0例題精講：【例1】已知空間邊邊形4BC。各邊長及對(duì)角線都相等，求異面直線AB和CQ所

成的角的大小.

解：分別取AC、AD.BC的中點(diǎn)尸、M、N連接PM、PN,由三角形的中位線性質(zhì)知PN〃AB,

PM//CD,于是NMPN就是異面直線AB和CO成的角（如圖所示）.連結(jié)MMDN,設(shè)AB=2,

：.PM=PN=l.IfnAN=DN=G,由MNLAD,AM=\,得MN=0,

.?.MM=MP2+NP2,.?.NMPN=90°..?.異面直線A3、CQ成90°角.

【例2】在空間四邊形ABC。中，E、H分別是A8、4。的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD

的中點(diǎn)，若AC+BD=a,ACBD=b,求雙尸+尸”上

解：四邊形EFGH是平行四邊形，

EG2+FH2=2（EF2+FG2）=-（AC2+BD2）=-（a2-2b）.

22

【例3】已知空間四邊形ABC。中，E、H分別是AB,A￡>的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是8C、

CD上的點(diǎn)，且旦=%=2.求證：（1）E、F、G.H四點(diǎn)共面；（2）三條直線EF、

CBCD3

GH、AC交于一點(diǎn).

證明：（1）在△48。和△C5O中，；E、H分別是A8和CD的中點(diǎn)，AEH//-BD.

=2

又...包=空=2,FG//-BD.：.EH//FG.所以，E、尸、G、”四點(diǎn)共面.

CBCD3=3

第11講§2.2.1直線及平面平行的斷定

0學(xué)問要點(diǎn)：1.定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則直線和平面平行.

2.斷定定理：平面外的一條直線及此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線及此平面平行.符號(hào)表示

為：acz：a,bcia,a//b=>a//a.圖形如右圖所示.

0例題精講：

【例1】己知P是平行四邊形A8CD所在平面外一點(diǎn)，E、尸分別為AB、P￡）的中點(diǎn)，求證:

AF〃平面PEC

證明：設(shè)PC的中點(diǎn)為G,連接EG、FG.?:F為PD中點(diǎn),：.GF//CDRGF=-CD.

2

,/AB//CD,AB=CDfE為AB中點(diǎn),

B

GF//AE,GF=AE,四邊形AEG5為平行四邊形.

EG//AF,

又,:AFU平面PEC,EGu平面PEC,1AF〃平面PEC.

【例2】在正方體ABCD-A由￡。|中，E、尸分別為棱8C、GA的中點(diǎn).求證：E尸〃平面

BBIDID.

證明：連接AC交B。于。，連接OE,則OE〃OC,0E=-DC.

2

■:DC//DiCx，DC=DXC\,尸為DICI的中點(diǎn)，

OE//D\F,OE=DlF,四邊形OiFEO為平行四邊形./.EF//DiO.

又：EFV平面BBiOQ,OiOu平面BBiOQ,/.EF〃平面88010.

【例3】如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱A。、CD、BD、BC的中點(diǎn)，

求證：AM〃平面EFG.

證明：如右圖，連結(jié)D0,交GF于O點(diǎn)，連結(jié)OE,

在ABQ9中，G、F分別是瓦)、C￡)中點(diǎn)，:.GF//BC,

為3。中點(diǎn)，二。為M￡>中點(diǎn)，

在A4W中，?:E、。為A。、M3中點(diǎn)，AEO//AM,

又：AMu平面EFG,EOu平面EFG,二AM〃平面EFG.

點(diǎn)評(píng)：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了.留

意適當(dāng)添加協(xié)助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用.

【例4】如圖，已知P是平行四邊形ABCO所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).

(1)求證：MN//平面BW；⑵若MN=BC=4,PA=4后，求異面直線左及MN所成的角的大小.

解：(1)取PO的中點(diǎn)H,連接A”，由N是PC的中點(diǎn)，ANHH-DC.由M是AB

-2

的中點(diǎn)，/.NH/1AM,即AMNH為平行四邊形./.MN//AH.

由平面平面叢。，，平面PAD.

(2)連接AC并取其中點(diǎn)為O,連接OM、ON,；.OMU-BC,ONH-PA,所以NONM

~2~2

就是異面直線附及MN所成的角，且M01.N。由MV=3C=4,尸4=4有，得

OM=2,。22后.所以/0N例=30°,即異面直線以及MN成30°的角.

點(diǎn)評(píng)：已知中點(diǎn)，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行.求兩條異面直線所成角，方法的

關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得.

第12講§2.2.2平面及平面平行的斷定

0學(xué)問要點(diǎn)：面面平行斷定定理：假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.用符

號(hào)表示為：auB，bu°,aCb=P

=>/3//a.

alla.hlla

0例題精講：【例1】如右圖，在正方體ABC。-AliGDi中，M、N、P分別是CC、BQ

GOi的中點(diǎn)，求證：平面MNP〃平面4BD

證明：連結(jié)Bi。，：P、N分別是OICI、BiG的中點(diǎn)，，PN〃B\D\.又：.PN//BD.

又PN不在平面A山。上，〃平面4BD同理，MN〃平面48D又PNCMN=N,C,

平面PMN〃平面A由D

【例2】正方體ABC￡>—AIBIGOI中.(1)求證：平面〃平面8AC;

(2)若E、尸分別是A4”CG的中點(diǎn)，求證：平面E8Qi〃平面尸BO.

證明：(1)由B山幺得四邊形是平行四邊形，

又平面BQC，8Qiu平面BQC，二^?！ㄆ矫?QC.

同理4?！ㄆ矫鍮IDIC.而4OnBD=O,二平面4BO〃平面BCD.

(2)由得平面EB0I.取BBi中點(diǎn)G,：.AE//B\G.

從而得B|E〃4G,同理G尸〃A￡).：.AG//DF.：.BtE//DF.

二。尸〃平面EBQ.平面EBQi〃平面FBO.

【例3】已知四棱錐P/BCD中，底面A8C￡>為平行四邊形.點(diǎn)M、MQ分

別在PA,BD、PD上，且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.

求證：平面MNQ〃平面PBC.

證明：PM：MA=BN：ND=PQ：QD.：.MQ//AD,NQ//BP,

而BPu平面PBC,NQ<Z平面PBC,二NQ〃平面PBC.

BA

又?.?ABC。為平行四邊形，BCHAD,：.MQ/IBC,

而BCu平面P3C,MQ0平面P8C,MQ〃平面P3C

由MQnNQ=Q,根據(jù)平面及平面平行的斷定定理，???平面MNQ〃平面PBC

點(diǎn)評(píng)：由比例線段得到線線平行，根據(jù)線面平行的斷定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個(gè)平面后,

轉(zhuǎn)化為面面平行.一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線及線的平行.

第13講§2.2.3直線及平面平行的性質(zhì)

0學(xué)問要點(diǎn)：線面平行的性質(zhì)：假如一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這

alia

個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.即：au0>=〃〃〃.

a[｝（3=b

0例題精講：

【例1】經(jīng)過正方體ABC￡H4BGOi的棱BBi作一平面交平面44QQ于EiE,求證:EiE〃BiB.

證明：VA4,〃8筋,A4,<z平面BEE]B,,BB,u平面8￡耳,

又小<=平面4）44，平面0平面=環(huán)，Da

,AA//BB.

則''=BBJ/EE」A

AA,//EEt

【例2】如圖，AB//a.AC//BD,Cea,Dea,求證：AC=BD.

證明：連結(jié)8,E.

A

二直線AC和8?？梢源_定一個(gè)平面，記為/?,B

又?:AC//BD,

四邊形AC￡>8為平行四邊形，AAC=BD.

第14講§2.2.4平面及平

0學(xué)問要點(diǎn)：1.面面平行的性質(zhì)：假如兩個(gè)平行平面同時(shí)及第三個(gè)平面相交，那么它們的交

線平行.用符號(hào)語言表示為：allB，yCa=a,yCB=b=allb2.其它性質(zhì)：①

e〃△/uan/〃尸；②alld11a=③夾在平行平面間的平行線段相等.

0例題精講：[例1]如圖，設(shè)平面a〃平面B,AB、C。是兩異面直線，M、N分別是AB、

C。的中點(diǎn)，且4、CFa,B、DeP.求證：MN//a.

證明：連接BC,取8c的中點(diǎn)E,分別連接ME、NE,

則ME〃AC,；.ME〃平面a,又NE"BD,：.NE//P,

又MECNE=E,二平面MEN〃平面a,「MNu平面MEN,:.MN"a.

【例2】如圖，A,B,C,￡>四點(diǎn)都在平面a,p外，它們?cè)赼內(nèi)的射影4,B）,G，A是平行

四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，在B內(nèi)的射影A2,B2,C2,外在一條直線上，求證：ABC。是平行四邊形.

證明：；A,B,C,。四點(diǎn)在。內(nèi)的射影A2，儀，C2,&在一條直線上，

；.A,B,C,。四點(diǎn)共面.

又A,B,C,D四點(diǎn)在a內(nèi)的射影A”B,,G，功是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，

二平面AB8A〃平面CDDiC].

.'.AB,CD是平面ABC。及平面ABBiAi，平面CDDtCt的交線.

：.AB//CD.同理AZ）〃8c.四邊形A8CD是平行四邊形.

第15講§2.3.1直線及平面垂直的斷定

0學(xué)問要點(diǎn)：1.定義：假如直線/及平面a內(nèi)的隨意一條直線都垂直，則直線/及平面?；ハ啻怪?，記作/La./一平

面a的垂線，a一直線/的垂面，它們的唯一公共點(diǎn)P叫做垂足.（線線垂直f線面垂直）

2.斷定定理：一條直線及一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線及該平面垂直.符號(hào)語言表示為：若

m,11.n,mC\n=B,mua,〃ua,貝！J/J,a

3.斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角.求直線和平面所成的角，

幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡述為“作（作出線面角）一證（證所作

為所求）一求（解直角三角形）”.通常，通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角

的關(guān)鍵.

歷

0例題精講：【例1】四面體ABCD中，AC=8￡）,E,尸分別為AQ,8C的中點(diǎn)，KEF=—AC,NBDC=90,求證:

2

平面ACD.

證明：取CD的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,尸G,；E,尸分別為A￡）,8C的中點(diǎn)，EG」LAC,FGU-BD.

22

又AC=3E>,，F(xiàn)G=，AC,在A￡FG中，EG2+FG2=-AC2=EF2,:.EGLFG,:.BDLAC,又

22

NBDC=9Q,即8￡>_LCO,AC^\CD=C,8。J_平面ACD.

【例2】已知棱長為1的正方體4BCO-4BICQI中，E是4B1的中點(diǎn)，求直線AE及平面

4BGD1所成的角的正弦值.

解：取C。的中點(diǎn)F,連接EF交平面ABGQ于。，連AO.由已知正方體，易知EO_L平

115

面ABC.D,,所以ZEAO為所求.在RtAEOA中，EO=-EF=-\D=^~,

A_E_=.I(,-")1+21=M—，si?nN/E口4人O仆=_￡0=_屈.

V22AE5

所以直線AE及平面A8G4所成的角的正弦值為畫.

1'5

【例3】三棱錐P-ABC中，PA1BC,PBVAC,PO_L平面ABC,垂足為。，求證:

0為底面△ABC的垂心.

證明：連接。A、OB、0C,PO_L平面ABC,PO±BC,POLAC.

又PA±BC,PBA.AC,

：.BC±平面PAO,AC1平面PBO,得AOJ.BC,BO1AC,

/.。為底面△4BC的垂心.

點(diǎn)評(píng)：此例可以變式為“已知24_LBC,PB_LAC,求證PC_LA8”，其思路是接著利用射影是垂心的結(jié)論得到OC_LA8

后進(jìn)展證明.三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，也可按同樣的思路證出.

第16講§2.3.2平面及平面垂直的斷定

0學(xué)問要點(diǎn)：

1.定義：從一條直線動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角(dihedralangle).這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半

平面叫做二面角的面.記作二面角a-A8一￡.(簡記?一48一。)

2.二面角的平面角：在二面角a一/一萬的棱/上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足，在半平面a,/?內(nèi)分別作垂直于棱/的射

線。4和。8,則射線OA和08構(gòu)成的NAQB叫做二面角的平面角.范圍：0°<0<180°.

3.定義：兩個(gè)平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.記作a，/?.

4.斷定：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直-?面面垂直)

0例題精講：【例1】已知正方形ABCQ的邊長為1,分別取邊BC、CD的

中點(diǎn)E、F,連結(jié)AE、EF、AF,以AE、EF、項(xiàng)為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、

D重合于一點(diǎn)P.

(1)求證：AP1EF；(2)求證：平面APE1.平面APF.

證明：(1)如右圖，：NAPE=NAPF=90°,PEC\PF=P,

：.%J_平面PEF.TEFu平面PE尸，：.PALEF.

(2),:NAPE=NEPF=9Q°,APCPF=P,，PE_L平面APF.

又PEu平面%E,.,.平面APE_L平面APF.

【例2】如圖，在空間四邊形ABC。中，AB=BC,CD=DA,E,F,G分別是

CD,DAAC的中點(diǎn)，求證：平面BEF上平面BGD.

證明：A5=8C,G為AC中點(diǎn)，所以AC_L8G.

同理可證AC_LDG,/.A。_1面86￡>.

又易知E/7/4C,則印_L面BGD

又因?yàn)镋Fu面BEF,所以平面5所，平面BGEL

第17講§2.3.3線面、面面垂直的性質(zhì)

0學(xué)問要點(diǎn)：1.線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.(線面垂直-線線平行)2.面面垂直性質(zhì)定

理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線及另一個(gè)平面垂直.用符號(hào)語言表示為：若a，？，。04=/，

qua,a_L/,則a_L￡.(面面垂直f線面垂直)

0例題精講：

【例1】把直角三角板ABC的直角邊BC放置于桌面，另一條直角邊AC及桌面所在的平面a垂直，。是a內(nèi)一條直線,

若斜邊AB及a垂直,則BC是否及a垂直？

解：AC±a

注：若,a.LAC

au。

a±AB'=a_L平面ABC

ACC\AB=A\BCu平面ABC

直，其本質(zhì)是三垂線定理及逆定理，證明過程表達(dá)了一種重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法：“線線垂直T線面垂直T線線垂

直”.

【例2】如圖，AB是圓。的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，以，平面ABC.

(1)求證：平面fi4c_L平面PBC；

(2)若。也是圓周上一點(diǎn)，且及C分居直徑A8的兩側(cè)，試寫出圖中全部互相垂直的各對(duì)

解：(1)證明：是AB為直徑的圓。的圓周上一點(diǎn)，AB是圓。的直徑，：.BCA.AC.

又B41.平面ABC,BCU平面ABC,

：.BCLPA,從而BC_L平面B4C.

BCU平面尸8C,平面以C_L平面PBC.

(2)平面布CJ_平面ABCD-,平面用CL平面PBC；平面網(wǎng)。，平面PBD；平面PAB

?ABCD-,平面出￡>J_平面ABCD

第18講第3章§3.1.1傾斜角及斜率

0學(xué)問要點(diǎn)：1.當(dāng)直線/及x軸相交時(shí)，我們把x軸正方向及直線/向上方向之間所成的角叫做直線/的傾斜角.當(dāng)直線

/及X軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.則直線/的傾斜角a的范圍是

2.傾斜角不是90°的直線的斜率，等于直線的傾斜角的正切值，即4=1加夕.假如知道直線上兩點(diǎn)2內(nèi),乂),尸*,,%),

則有斜率公式％=之一%.特殊地是，當(dāng)為=犬2，時(shí),，直線及x軸垂直，斜率4不存在；當(dāng)X|Xx,,%=%時(shí)，

直線及y軸垂直，斜率右0.

留意：直線的傾斜角a=90°時(shí)，斜率不存在，即直線及y軸平行或者重合.當(dāng)a=90。時(shí)，斜率D；當(dāng)0。<夕<90。時(shí)，

斜率4>0,隨著a的增大，斜率”也增大；當(dāng)90。<。<180。時(shí)，，斜率％<0,隨著。的增大，斜率人也增大.這樣，

可以求解傾斜角a的范圍及斜率后取值范圍的一些對(duì)應(yīng)問題.

0例題精講：

【例2】已知過兩點(diǎn)4(加+2,4-3),8(3->-肛2相)的直線/的傾斜角為45°,務(wù)實(shí)數(shù)加的值.

解：―-~———--=------=tan45°=1,+3加+2=0,解得/n=-1或一2.但當(dāng)/n=—I時(shí)，A、8重合，舍

加?+2—(3—m一in)

去?m=—2?

【例3】已知三點(diǎn)A(m2)、8(3,7)、C(-2,-9a)在一條直線上，務(wù)實(shí)數(shù)。的值.

解：心尸上匚二色一，7^-(-9^)=7+9￡?.?ABC三點(diǎn)在一條直線上，???3=限，即上=42，

八*3一。3一。K3-(-2)5A53c3_a5

7

解得a=2或。=—.

9

第19講§3.1.2兩條直線平行及垂直的斷定

0學(xué)問要點(diǎn)：1.對(duì)于兩條不重合的直線4、4,其斜率分別為勺、&，有：

=

(1)/j//l2<=>kxk2；(2)4_L(=K?&=—1,

2.特例：兩條直線吊一條斜率不存在時(shí)，另一條斜率也不存在時(shí)，則它們平行，都垂直于x軸；….

Q例題精講：

【例1】四邊形ABC。的頂點(diǎn)為A(2,2+2&)、8(-2,2)、以0,2-2血)、￡)(4,2),試推斷四邊形ABCO的形態(tài).

解：A8邊所在直線的斜率原B=2一(；；于)=孝，CD邊所在直線的斜率上。=27：]；血)=孝,

BC邊所在直線的斜率&BC=&-言)_2=_亞DA邊所在直線的斜率的人=(2+芝"2=S

"：kAB=kCD,kKC=kIM,：.AB//CD,BC//DA,即四邊形ABC。為平行四邊形.又：觴?心,=十X(一夜)=-1,

AB±BC,即四邊形A8C￡>為矩形.

【例2】已知AA3C的頂點(diǎn)8(2,1),C(-6,3),其垂心為”(-3,2),求頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

解：設(shè)頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為(x,y).

■v-x(--)=—1,

..sIn口■\kAc-kBH=-1x+65小的%Jy=5x+33Jx=-19.

.AC±BH,AB±CH,..<，H即n<,化間為<,解N得：〈...

也屋自H=-12zlx(_l)=_1[y=3x-5[y=-62

,x—23

A的坐標(biāo)為(-19,-62).

35

【例3】(1)已知直線4經(jīng)過點(diǎn)M(-3,0)、N(-15,-6),I,經(jīng)過點(diǎn)R(