考點一開普勒行星運(yùn)動定律萬有引力定律一、開普勒行星運(yùn)動定律1.開普勒第一定律(軌道定律):所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓,太陽處在橢圓的

一個焦點上。2.開普勒第二定律(面積定律):對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)

掃過的面積相等。3.開普勒第三定律(周期定律):所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二

次方的比都相等,即

=k。提示

(1)開普勒行星運(yùn)動定律具有普遍適用性,既適用于行星繞太陽的運(yùn)動,也適用

于月球、人造衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動等。(2)如圖所示,由開普勒第二定律得

Δl1r1=

Δl2r2,即

v1Δt·r1=

v2Δt·r2,解得

=

,近日點速度最大,遠(yuǎn)日點速度最小。

(3)在開普勒第三定律

=k中,k值與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體對應(yīng)的k值一般不同。二、萬有引力定律1.內(nèi)容:自然界中任何兩個物體都相互吸引,引力的方向在它們的連線上,引力的大小

與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2.表達(dá)式:F=G

,其中G為引力常量。提示

英國物理學(xué)家卡文迪什利用扭秤測出引力常量G,使涉及萬有引力的定量計算

得以實現(xiàn)。3.適用條件(1)兩個質(zhì)點間的相互作用。(2)對于兩個質(zhì)量分布均勻的球體,r為兩球心間的距離。(3)對于質(zhì)點與質(zhì)量分布均勻的球體,r為質(zhì)點到球心的距離。4.兩條推論(1)推論1:在勻質(zhì)球?qū)拥目涨粌?nèi)任意位置處,質(zhì)點受到的萬有引力的合力為0,即∑F=0。(2)推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處,質(zhì)點受到的萬有引力等于半徑為r的球體對它

的引力,如圖所示,即F'=G

,而

=

,故F'=G

r。

三、萬有引力與重力的關(guān)系1.關(guān)系推導(dǎo)重力是因地面附近的物體受到地球的萬有引力而產(chǎn)生的;如圖所示,F引產(chǎn)生兩個效果:

一是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力;二是產(chǎn)生物體的重力。由于F向=mω2r,向心力

隨緯度的增大而減小,所以物體的重力隨緯度的增大而增大,即重力加速度從赤道到

兩極逐漸增大。

(1)在赤道上:G

=mg1+mω2R。(2)在兩極上:G

=mg2。注意

(1)F向很小,在一般情況下可認(rèn)為重力和萬有引力近似相等,即G

=mg。(2)在地球同一緯度處,因為物體所受萬有引力隨物體離地面高度的增加而減小,所以

重力加速度隨物體離地面高度的增加而減小,即g'=G

。2.地球表面、上空、內(nèi)部的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))滿足mg=G

,得g=

。公式g=

或GM=gR2又叫黃金代換式。(2)在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度為g',有

=

。(3)在地球內(nèi)部距離地心r處的重力加速度為g″,由萬有引力推論2可得mg″=

r,即g″=

r。知識拓展

星球的瓦解問題

假設(shè)讓星球自轉(zhuǎn)加快,則星球表面上的物體隨星球自轉(zhuǎn)所需的向心力將變大,當(dāng)

赤道上的物體與星球間的萬有引力完全提供物體所需的向心力時,星球?qū)ξ矬w的支持

力為0,即

=ma0=m

R=m

=m

R,聯(lián)立黃金代換式GM=gR2,可得a0=g、ω0=

、v0=

、T0=2π

。當(dāng)星球自轉(zhuǎn)角速度ω≥ω0時,星球上的物體就會“漂浮”,星球就會瓦解。例1已知一質(zhì)量始終為m的物體放在北極和赤道的重力差為ΔN,地球同步衛(wèi)星運(yùn)行

的周期為T,則可求出地球半徑R為

(

)A.

B.

C.

D.

解析

由萬有引力和重力的關(guān)系可知,物體在北極時有

=mg①,物體在赤道時有

=mg0+m

R②,又由于ΔN=mg-mg0③,聯(lián)立①②③解得R=

。故選C。

答案

C四、挖補(bǔ)法求解萬有引力如圖所示,在一個半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中,緊貼球的邊緣挖去一個半徑

為

的小球體后,求剩余部分對質(zhì)量為m的質(zhì)點的引力大小。已知質(zhì)點位于球心和空穴中心連線上,且與球心相距為d。

完整的均勻球體對球外質(zhì)量為m的質(zhì)點的引力F=G

,設(shè)挖去小球體后的剩余部分對質(zhì)點的引力為F1,半徑為

的小球體對質(zhì)點的引力為F2,則F=F1+F2,半徑為

的小球體的質(zhì)量M'=

π

ρ=

,則F2=G

=G

,所以F1=F-F2=G

-G

。提示

(1)形狀的要求:大球內(nèi)挖掉小球。挖掉其他形狀物體的情況不可用此法。(2)三心的位置關(guān)系:大球球心、小球球心、第三個球的球心(或質(zhì)點),若三心共線,則

三力共線,可轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算;若三心不共線,則三力不共線,遵循矢量運(yùn)算法則。五、天體質(zhì)量和平均密度的計算1.利用重力加速度和天體半徑計算天體的質(zhì)量和平均密度(1)由G

=mg得天體質(zhì)量M=

。(2)天體平均密度ρ=

=

=

。2.利用物體繞天體運(yùn)動參量計算中心天體的質(zhì)量和平均密度(已知物體繞天體做勻速

圓周運(yùn)動的半徑r和周期T)(1)由G

=m

得中心天體的質(zhì)量M=

。(2)若已知中心天體的半徑R,則中心天體的平均密度ρ=

=

=

。(3)若軌道半徑r等于中心天體的半徑R,則中心天體的平均密度ρ=

。(4)利用公式T=

或T=

與上式聯(lián)立也可求出中心天體的質(zhì)量和平均密度。注意

(1)利用萬有引力提供向心力估算天體質(zhì)量時,估算的只是中心天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別中心天體半徑R和軌道半徑r,只有在中心天體表面附近做圓周運(yùn)動時,才有r≈

R;V=

πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。(3)天體質(zhì)量估算中常有隱含條件,例如地球的自轉(zhuǎn)周期為24h,公轉(zhuǎn)周期為365天等。例2我國載人航天事業(yè)已邁入“空間站時代”。若中國空間站繞地球近似做勻速

圓周運(yùn)動,運(yùn)行周期為T,軌道半徑約為地球半徑的

倍,已知地球半徑為R,引力常量為G。忽略地球自轉(zhuǎn)的影響,則

(

)A.漂浮在空間站中的航天員不受地球的引力B.空間站繞地球運(yùn)動的線速度大小約為

C.地球的平均密度約為

D.空間站繞地球運(yùn)動的向心加速度大小約為地面重力加速度的

倍

解析

漂浮在空間站中的航天員依然受地球的引力,所受引力完全提供向心力,視重為0,故A錯誤。由題意可知,軌道半徑r=

R,故空間站繞地球運(yùn)動的線速度大小約為v=

=

,故B正確。設(shè)空間站的質(zhì)量為m,其所受萬有引力提供向心力,故G

=m

·

,又因為地球的平均密度約為ρ=

,聯(lián)立可得ρ=

,故C錯誤。根據(jù)萬有引力提供向心力有G

=ma,則空間站繞地球運(yùn)動的向心加速度大小a=

,根據(jù)題意可知,忽略地球自轉(zhuǎn)的影響,則地面的重力加速度g=

,聯(lián)立可得

=

,故D錯誤。

答案

B考點二人造衛(wèi)星宇宙速度一、人造衛(wèi)星1.衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析(1)核心思想將衛(wèi)星的運(yùn)動看成勻速圓周運(yùn)動,萬有引力提供其做圓周運(yùn)動的向心力。(2)運(yùn)行參量隨半徑變化的規(guī)律G

=

當(dāng)r↑時,a↓v↓ω↓T↑(高軌、低速、大周期)。2.人造地球衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星:運(yùn)行時軌道經(jīng)過南北兩極上空,由于地球自轉(zhuǎn),極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆

蓋。(2)近地衛(wèi)星:軌道半徑r=R(地球半徑),向心加速度a=g,環(huán)繞速度v=7.9km/s,周期T≈84min。(3)地球同步衛(wèi)星

3.地球同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的比較近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)行,滿足萬有引力提供向心力。赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)而運(yùn)動,

不滿足萬有引力提供向心力。因此,二者無法直接進(jìn)行物理量的比較,需借助地球同

步衛(wèi)星這個“中介”進(jìn)行比較。如圖所示,a為近地衛(wèi)星,軌道半徑為r1;b為地球同步衛(wèi)

星,軌道半徑為r2;c為赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體,軌道半徑為r3。

近地衛(wèi)星(r1、ω1、v1、a1)地球同步衛(wèi)星(r2、ω2、v2、a2)赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體(r3、ω3、v3、a3)向心力萬有引力萬有引力萬有引力的一個分力軌道半徑r2>r3=r1角速度由G

=mω2r得ω=

,故ω1>ω2ω2=ω3ω1>ω2=ω3線速度由G

=m

得v=

,故v1>v2由v=ωr得v2>v3v1>v2>v3向心加速度由G

=ma得a=

,故a1>a2由a=ω2r得a2>a3a1>a2>a3二、宇宙速度1.三個宇宙速度

(1)當(dāng)v發(fā)=7.9km/s時,飛行器在地表附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動。(2)當(dāng)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s時,飛行器繞地球運(yùn)動的軌跡為橢圓。(3)當(dāng)11.2km/s≤v發(fā)<16.7km/s時,飛行器掙脫地球引力的束縛在太陽系中運(yùn)動。2.飛行器發(fā)射速度與軌跡的關(guān)系(4)當(dāng)v發(fā)≥16.7km/s時,飛行器將掙脫太陽引力的束縛,飛到太陽系以外的空間。知識拓展

第一宇宙速度的計算方法(1)方法1:由

=m

,得v=

,把地球質(zhì)量M、半徑R的數(shù)值代入求解。(2)方法2:由mg=

得v=

,把g=9.8m/s2和地球半徑R的數(shù)值代入求解。例3“羲和號”衛(wèi)星是我國首顆太陽探測科學(xué)技術(shù)試驗衛(wèi)星。該衛(wèi)星軌道為圓軌

道,通過地球南北兩極上方,離地高度比地球同步衛(wèi)星的低,能夠24h持續(xù)對太陽進(jìn)行

觀測,則該衛(wèi)星

(

)A.運(yùn)行周期大于24hB.運(yùn)行速度大于第一宇宙速度C.運(yùn)行角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度D.發(fā)射速度大于第二宇宙速度

解析

“羲和號”衛(wèi)星的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑,則由“高軌、低速、大周期”可知,其運(yùn)行周期小于地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期,即小于24h,其運(yùn)行角

速度大于地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行角速度,故A錯誤,C正確。第一宇宙速度為衛(wèi)星環(huán)繞地

球做圓周運(yùn)動的最大速度,則“羲和號”衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度(點撥:也

可根據(jù)近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度為第一宇宙速度,而“羲和號”衛(wèi)星的軌道半徑比近地衛(wèi)

星的大,所以其運(yùn)行速度比近地衛(wèi)星的小,即小于第一宇宙速度),故B錯誤。衛(wèi)星沒有

擺脫地球引力的束縛,所以其發(fā)射速度小于第二宇宙速度,故D錯誤。

答案

C微專題6雙星及多星問題一、雙星問題兩顆星體在宇宙中遠(yuǎn)離其他天體,且繞公共圓心轉(zhuǎn)動,我們稱之為雙星問題。圖例

受力特點兩星間的萬有引力提供兩星做圓周運(yùn)動所需的向

心力,

=m1ω2r1,

=m2ω2r2,化簡得

=ω2r1①,

=ω2r2②運(yùn)動特點轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度相同,運(yùn)動半徑一般不

等,r1+r2=L③,T=

④解題規(guī)律(1)兩顆星到軌道圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成

反比,

=

⑤(2)雙星的運(yùn)動周期T=2π

⑥(3)雙星的總質(zhì)量m1+m2=

⑦提示

(1)由①②相加并與③④聯(lián)立可得⑥⑦。(2)注意區(qū)分雙星運(yùn)動中的軌道半徑和萬有引力公式中的距離L。例

(多選)2017年,人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家

們復(fù)原的過程,在兩顆中子星合并前約100s時,它們相距約400km,繞二者連線上的某

點每秒轉(zhuǎn)動12圈,將兩顆中子星都看作質(zhì)量均勻分布的球體,由這些數(shù)據(jù)、引力常量

并利用牛頓力學(xué)知識,可以估算出這一時刻兩顆中子星(

)A.質(zhì)量之積

B.質(zhì)量之和C.速率之和

D.各自的自轉(zhuǎn)角速度

解析

由題意可知,合并前兩顆中子星繞連線上某點每秒轉(zhuǎn)動12圈,則兩中子星的周期相等,且均為T=

s,兩顆中子星的角速度均為ω=

=24πrad/s。兩顆中子星構(gòu)成雙星模型,假設(shè)兩顆中子星的質(zhì)量分別為m1、m2,軌道半徑分別為r1、r2,速率分別為v1、v

2,根據(jù)萬有引力提供向心力有

=m1ω2r1、

=m2ω2r2,又有r1+r2=L=400km,解得m1+m2=

,A錯誤,B正確。由v1=ωr1、v2=ωr2得v1+v2=ω(r1+r2)=ωL,C正確。由題中的條件不能求解兩顆中子星自轉(zhuǎn)的角速度,故D錯誤。

答案

BC二、多星問題1.三星問題圖例

受力特點各星所受萬有引力的合力提供其做圓周運(yùn)動所需

的向心力。圖甲中

+

=man,圖乙中

×cos30°×2=man運(yùn)動特點轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度、線速度大小均相等,圓

周運(yùn)動半徑相等。圖甲中r=

,圖乙中r=

2.四星問題圖例

各星所受萬有引力的合力提供其做圓周運(yùn)動所需的向心力(M星除外)。圖甲中

×2cos45°+

=man,圖乙中

×2cos30°+

=man

轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度、線速度大小均相等,圓

周運(yùn)動半徑相等。圖甲中r=

L,圖乙中r=

微專題7衛(wèi)星的變軌和對接問題1.變軌原理及過程(如圖所示)

(1)為了節(jié)省能量,在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓形軌道Ⅰ上。(2)在A點點火加速,由于速度變大,萬有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做圓周運(yùn)動的

向心力,衛(wèi)星做離心運(yùn)動進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(遠(yuǎn)地點)再次點火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。2.一些物理量的定性分析(1)速度:設(shè)衛(wèi)星在圓形軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時的速率分別為v1、v3,在軌道Ⅱ上經(jīng)過A點

和B點時的速率分別為vA、vB。在A點加速,則vA>v1,在B點加速,則v3>vB,又因v1>v3,故有

vA>v1>v3>vB。(2)加速度:在A點衛(wèi)星只受萬有引力作用,故無論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點時,衛(wèi)

星的加速度都相同;同理,衛(wèi)星在不同軌道運(yùn)行過程中經(jīng)過B點時的加速度也相同。(3)周期:設(shè)衛(wèi)星在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3,軌道半徑分別為r1、r2

(半長軸)、r3,由開普勒第三定律

=k可知T1<T2<T3。(4)機(jī)械能:衛(wèi)星在一個確定的圓或橢圓軌道上機(jī)械能守恒,在不同軌道上外軌道的機(jī)

械能大于內(nèi)軌道的機(jī)械能。若衛(wèi)星在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的機(jī)械能分別為E1、E2、E3,則E1<E2<E3。例1

2022年10月31日,搭載夢天實驗艙的長征五號B遙四運(yùn)載火箭,在中國文昌航天

發(fā)射場點火升空,約8min后,夢天實驗艙與火箭成功分離并準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道,發(fā)射任

務(wù)取得圓滿成功。某衛(wèi)星發(fā)射可簡化為三個軌道,如圖所示,先由橢圓軌道1運(yùn)動后調(diào)

整至圓軌道2,然后再進(jìn)入橢圓軌道3。軌道上A、B、C三點與地球球心在同一直線上,

A、C兩點分別為軌道1的遠(yuǎn)地點與近地點,且

=3

=3a。下列說法不正確的是

(

)A.衛(wèi)星在軌道1上C點的速度大于在軌道2上B點的速度B.衛(wèi)星在軌道3上的機(jī)械能大于在軌道1上的機(jī)械能C.若衛(wèi)星在軌道2上A點的速度為v,則在軌道1上經(jīng)過A點的加速度小于

D.衛(wèi)星在軌道2上運(yùn)行的周期與在軌道1上運(yùn)行的周期之比為8∶3

解析

過C點作以地球球心為圓心的輔助圓軌道,設(shè)衛(wèi)星在此軌道的速度大小為v0,由“高軌、低速、大周期”有vB<v0;由輔助圓軌道到軌道1需加速,故衛(wèi)星在軌道1上C

點的速度vC>v0,可得vC>vB(點撥:軌道1是橢圓軌道,軌道2是圓軌道,故不可直接用“高

軌、低速、大周期”判斷B、C兩點的速度大小關(guān)系),A正確。衛(wèi)星在軌道1上A點加

速進(jìn)入軌道2,機(jī)械能瞬間增大;在軌道2上B點加速進(jìn)入軌道3,機(jī)械能再次增大,故衛(wèi)星

在軌道3上的機(jī)械能大于在軌道1上的機(jī)械能,B正確。軌道2的半徑r2=2a,則衛(wèi)星在軌

道2上A點的加速度大小等于

,由于衛(wèi)星在軌道1上A點和在軌道2上A點的受力情況相同,所以衛(wèi)星在軌道1上A點的加速度大小也等于

,C錯誤。由開普勒第三定律可得

=

,由幾何關(guān)系可得軌道1的半長軸r1=

,故

=8∶3

,D正確(關(guān)鍵:開普勒第三定律不僅適用于橢圓軌道,也適用于圓軌道)。故本題選C。

答案

C3.衛(wèi)星回收過程與發(fā)射過程的對比

4.對接問題對接問題實際上就是兩個做勻速圓周運(yùn)動的星體的追趕問題,本質(zhì)仍然是衛(wèi)星的變軌問題,需要分清是從高軌道減速變軌至低軌道,還是從低軌道加速變軌至高軌道。例2設(shè)天舟六號貨運(yùn)飛船與空間站天和核心艙都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動。為了

實現(xiàn)飛船與空間站的對接,下列措施可行的是

(

)A.使飛船與空間站在同一軌道上運(yùn)行,然后飛船加速追上空間站實現(xiàn)對接B.使飛船與空間站在同一軌道上運(yùn)行,然后空間站減速等待飛船實現(xiàn)對接C.飛船先在比空間站運(yùn)動半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近空間站,兩者速度

接近時實現(xiàn)對接D.飛船先在比空間站運(yùn)動半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近空間站,兩者速

度接近時實現(xiàn)對接解題指導(dǎo)

變軌問題要理解“供需”關(guān)系。(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時,G

<

,即萬有引力不足以提供向心力,衛(wèi)星將做離心運(yùn)動,軌道半徑變大。(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時,G

>

,即萬有引力大于所需要的向心力,衛(wèi)星將做近心運(yùn)動,軌道半徑變小。

解析

飛船在同一軌道上加速追趕空間站時,速度增大,所需向心力大于萬有引力,飛船將做離心運(yùn)動,不能實現(xiàn)與空間站的對接,A錯誤。同理,空間站在同一軌道上減

速等待飛船時,速度減小,所需向心力小于萬有引力,空間站做近心運(yùn)動,也不能實現(xiàn)對

接,B錯誤。當(dāng)飛船在比空間站運(yùn)動半徑小的軌道上加速時,飛船做離心運(yùn)動,逐漸靠近

空間站,可實現(xiàn)對接,C正確。當(dāng)飛船在比空間站運(yùn)動半徑小的軌道上減速時,飛船將做

近心運(yùn)動,遠(yuǎn)離空間站,